题型07 函数图象变换及利用对称性求和(解析版)

秒杀高考数学题型之函数图象变换及利用对称性求和
【秒杀题型一】：平移变换。

『秒杀策略』：()()y f x y f x a =→=+，如果0a >，则向左平移a 个单位；反之向右平移a 个单位，即左加右减；()()y f x y f x b =→=+，如果0b >，则向上平移b 个单位，反之向下平移b 个单位，即上加下减。

1.(高考题)为了得到函数321x y -=-的图象,只需把函数2x
y =上所有点 ( ) A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 【解析】：选A 。

2.(高考题)将函数21x y =+的图象按 得到函数12x y +=的图象。

【解析】：先向左平移一个单位，然后向下平移一个单位。

3.(高考题)把函数e x
y =的图象向右平移两个单位，得到()y f x =的图象，则()f x = ( )
A.e 2x +
B.e 2x -
C.2
e x - D.2
e
x +
【解析】：选C 。

4.(高考题)若01,1a b <<<-，则函数()x f x a b =+的图象不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】：选A 。

5.(高考题)为了得到函数1
3()3x y =⨯的图象,可以把函数1()3
x y =的图象 ( ) A.向左平移3个单位长度 B.向右平移3个单位长度 C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度
【解析】：函数可化简为：1113()()33x x y -=⨯=，即向右平移1个单位长度，选D 。

6.(高考题)为了得到函数3
lg 10
x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点 ( )
A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【解析】：函数可化简为：1)3lg(-+=x y ，即向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度，选C 。

7.(高考题)已知定义域为R 的函数()f x 在()8,+∞上为减函数，且(8)y f x =+为偶函数，则 ( ) A.(6)(7)f f > B.(6)(9)f f > C.(7)(9)f f > D.(7)(10)f f >
【解析】：)(x f 的图象向左平移8个单位关于y 轴对称 ，所以)(x f 的图象关于直线8=x 对称，先增后减，观察自变量距离对称轴的远近，越近越大，选D 。

【秒杀题型二】：对称变换。

『秒杀策略』：①()()y f x y f x =→=-(关于y 轴对称)。

②()()y f x y f x =→=-(关于x 轴对称)。

③()()y f x y f x =→=--(关于原点对称)。

④()f x 关于直线x a =对称的函数：()(2)g x f a x =-；()f x 自身关于x a =对称，则有性质：()(2)f x f a x =-()()()(2)f a x f a x f x f a x ⇔-=+⇔-=+。

⑤()f x 关于点(,)a b 对称的函数：()2(2)g x b f a x =--；()f x 自身关于点(,)a b 对称，则有性质：
()2(2)f x b f a x =--。

1.(2018年新课标全国卷III)下列函数中，其图象与函数x y ln =的图象关于直线1=x 对称的是 ( ) A.)1ln(x y -= B.)2ln(x y -= C.)1ln(x y += D.)2ln(x y += 【解析】：)2ln()2()(x x f x g -=-=，选B 。

2.(2017年新课标全国卷I)已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 ( ) A.()f x 在()2,0单调递增
B.()f x 在()2,0单调递减
C.()f x 的图象关于直线1=x 对称
D.()f x 的图象关于点()0,1对称
【解析】：)2()(x f x f -=，选C 。

3.(高考题)函数x y e =-的图象 ( )
A.与x y e =图象关于y 轴对称
B.与x
y e =图象关于坐标原点对称
C.与x y e -=图象关于y 轴对称
D.与x
y e -=图象关于坐标原点对称 【解析】：选D 。

4.(高考题)把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题，若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的 图象关于 对称，则函数)(x g = 。

(注:填上成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)。

【解析】：开放型试题，答案不唯一，如关于y 轴对称，则()x x g -+=2log 3)(；如关于x 轴对称，则
()x x g 2log 3)(--==，如关于直线x=a 对称，则()x a x g -+==2log 3)(2，等等。

5.(高考题)与曲线1
1
y x =-关于原点对称的曲线为 ( ) A.11y x =+ B.11y x =-+ C.11y x =- D.1
1y x
=--
【解析】：选A 。

6.(高考题)已知定义在区间()2,0上的函数)(x f y =的图象如图所示，则)2(x f y --=的图象为 ( )
【解析】：只需把)(x f y =的图象关于点（1，0）对称即可，选B 。

7.(高考题)函数)(x f 的图象向右平移一个单位长度，所得图象与x
e y =关于y 轴对称，则)(x
f = ( )
A.1
+x e
B.1
-x e
C.1
+-x e
D.1
--x e
【解析】：逆推：x
e y =关于y 轴对称得x
e y -=，再向左平移1个单位得()
1)(+-=x e
x f ，选D 。

8.(高考题)对于函数()f x ，若存在常数0≠a ，使得x 取定义域内的每一个值，有()(2)f x f a x =-，则称
()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 ( )
A.()f x =
3()f x x = C.()tan f x x = D.()cos(1)f x x =+
【解析】：)(x f 关于直线a x =对称，0≠a ，即存在不是y 轴的对称轴，选D 。

9.(高考题)定义在R 上的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[]1,2上是减函数，则()f x ( )
A.在区间[]2,1--上是增函数，在区间[]3,4上是增函数
B.在区间[]2,1--上是增函数，在区间[]3,4上是减函数
C.在区间[]2,1--上是减函数，在区间[]3,4上是增函数
D.在区间[]2,1--上是减函数，在区间[]3,4上是减函数 【解析】：)(x f 关于直线1=x 对称，所以2=T ，由图象知选B 。

10.(2017年新课标全国卷III11)已知函数(
)
11
2
2)(+--++-=x x e e
a x x x f 有唯一零点，则=a ( )
A.2
1
-
B.13
C.
12
D.1
【解析】：(
)x
x e
e a x x
f -++=2
)(是偶函数，
()()
112
11)(+--+++-=x x e e a x x f 关于1=x 对称，
0)1(=∴f ，得2
1
=
a ，选C 。

秒杀技巧：代入幸运数字1=x 。

11.(2013年新课标全国卷I16)若函数))(1()(2
2
b ax x x x f ++-=的图象关于直线2-=x 对称，则)(x f 的
最大值是 。

【解析】：)(x f 的图象关于直线2-=x 对称，0)3()1(,0)5()1(=-=-=-=∴f f f f 15,8==⇒b a ，
)158)(1()(22++-=x x x x f ，设2+=x t ，则,)5(16)(22--=t t f 当52=t 时，16max =y 。

秒杀技巧：)(x f 向右平移2个单位关于y 轴对称，即为偶函数，∴)2(-x f 为偶函数，可分解为：
()()()()3131)2(++---=-x x x x x f =()
2
22316+-x x ，其最大值与)(x f 的最大值相同，同上。

12.(2020年新课标全国卷III12)已知函数()x
x x f sin 1
sin +=，则 ( ) A.()x f 的最小值为2
B.()x f 的图象关于y 轴对称
C.()x f 的图象关于直线π=x 对称
D.()x f 的图象关于直线2
π
=
x 对称
【解析】：0sin <x ，A 选项错误；奇函数，B 选项错误；()()()
x
x x x x f sin 1
sin sin 1sin +
=-+-=-πππ =()x f ，选D 。

【秒杀题型三】：翻折变换。

『秒杀策略』：①左右翻折：()()y f x y f x =→=(把y 轴右面的图象保留，左面的图象去掉，然后把右面的图象对称到左面，变为偶函数，关于y 轴对称。

)
②上下翻折：,()()y f x x y f x ==轴上面的图象保持不变下面的图象对称到上面。

1.(高考题)函数lg y x = ( )
A.是偶函数,在区间(),0-∞上单调递增
B.是偶函数,在区间(),0-∞上单调递减
C.是奇函数,在区间()0,+∞上单调递增
D.是奇函数,在区间()0,+∞上单调递减 【解析】：偶函数，选B 。

【秒杀题型四】：两个具有相同对称轴（或对称中心）的函数交点坐标之和。

『秒杀策略』：秒杀公式：①若两个函数均关于直线a x =对称，且两函数图象有n 个交点，则n 个交点的横坐标之和为：
∑=m
i i x 1
=na 。

②若两个函数均关于点()b a ,成中心对称，且两函数图象有n 个交点，则n 个交点的横坐标之和为：
∑=m i i
x 1
=na ，纵坐标之和为：∑=m
i i
y 1
=nb 。

1.(2011年新课标全国卷12)函数x
y -=11
的图象与函数)42(sin 2≤≤-=x x y π的图象所有交点的横坐标 之和等于 ( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】()0,1成中心对称，从图象可知有8个交点，4×1=8，选D 。

2.(2016年新课标全国卷II12)已知函数))((R x x f ∈满足)(2)(x f x f -=-，若函数x
x y 1
+=与)(x f y = 图象的交点为()()()m m y x y x y x ,,,,2211⋅⋅⋅，则
()∑=+m
i i
i
y x 1
= ( )
A.0
B.m
C.m 2
D.m 4 【解析】：)(x f 与x
x y 1
+=
均关于点()1,0对称，交点亦关于()1,0对称，由秒杀公式得021=+⋅⋅⋅++m x x x , m m y y y m =⨯=+⋅⋅⋅++121，选B 。

秒杀方法：)(x f 为抽象函数，利用抽象函数特殊化思想，设1)(+=x x f ，由
11
+=+x x
x 解得1=x 或1-=x ，即2=m ，()∑=+m
i i i y x 1
=2=m 。

3.(2016年新课标全国卷II)已知函数)(x f ()R x ∈满足)2()(x f x f -=，若函数322
--=x x y 与
)(x f y =的图象的交点为()()()m m y x y x y x ,,,,2211⋅⋅⋅，则
∑=m
i i x 1
= ( )
A.0
B.m
C.m 2
D.m 4 【解析】：322
--=x x y 与)(x f y =均关于直线1=x 对称，m m
x m
i i =⨯=
∴
∑=22
1
，选B 。

秒杀方法：)(x f 为抽象函数，利用抽象函数特殊化思想，设0)(=x f ，由0322
=--x x 解得3=x 或
1-=x ,即2=m ，∑=m
i i x 1
=2=m 。