数学_2012-2013学年江苏省淮安市某校高三(下)期初数学试卷(含答案)

2012-2013学年江苏省淮安市某校高三（下）期初数学试卷
一、填空题
1. 与两条平行线l 1:3x +2y −6=0，l 2:6x +4y −3=0等距离的平行线________．
2. 从含有2件正品和1件次品的3件产品中每次任取1件，每次取出后再放回，连续取两次，则两次取出的产品中恰好有一件次品的概率是________．
3. 从甲、乙，…，等6人中选出4名代表，那么 （1）甲一定当选，共有________种选法． （2）甲一定不入选，共有________种选法．
（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有________种选法．
4. 设a ，b ∈(0, 1)，则关于x 的方程x 2+2ax +b =0在(−∞, +∞)上有两个不同的零点的概率为________．
5. 函数y =sin 2x −2sinxsin(x +π
3)的图象的对称轴是________．
6. 在空间直角坐标系中，点(−1, b, 2)关于y 轴的对称点是(a, −1, c −2)，则点P (a, b, c)到坐标原点O 的距离|PO|=________．
7. 设函数f(x)=log a x(a >0且a ≠1)，若f(x 1⋅x 2•…•x 2009)=8，则f(x 12
)+
f(x 22)+...+f(x 20082)+f(x 20092)的值等于________． 8. 函数y =lgsinx +√cosx −1
2的定义域为________．
9. 执行如图的程序框图，若p =4，则输出的S =________．
10. 函数y =|x +1|−|x −1|的最大值是________．
11. 若复数(1+2i)(1+ai)是纯虚数，则实数a 的值是________． 12. 计算极限：lim n →∞(2n 2−2
n 2+n+1
)=________．
13. （理）函数f(x)=min{2√x, |x −2|}，其中min{a, b}={a,a ≤b
b,a >b ，若动直线y =m 与
函数y =f(x)的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则x 1⋅x 2⋅x 3是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”________． 14. 不等式|2x +120
02x 132−1|≥0的解为________．
二、解答题
15. （1）求不等式x2≤5x−4的解集A；
（2）设关于x的不等式(x−a)(x−2)≤0的解集为M，若M⊆A，求实数a的取值范围．16. （1）设α为第四象限角，其终边上一个点为(x,−√5)，且cosα=√2
4
x，求sinα；
（2）若cosα+2sinα=−√5，求tanα的值．
17. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AB // CD，AB⊥AD，AD=CD=2AB=2．侧△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．
（1）若M为PC上一动点，则M在何位置时，PC⊥平面MDB？并加已证明；
（2）若G为△PBC的重心，求二面角G−BD−C大小．
18. 已知函数f(x)=sin(π−x)sin(π
2
−x)+cos2x
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[−π
8, 3π
8
]时，求函数f(x)的单调区间．
19. 画出函y=sin(2x−3π
4
)在区间[0, π]上的图象．
20. 设函数f(x)=clnx+1
2
x2+bx，且x=1为f(x)的极值点．
（1）若x=1为f(x)的极大值点，求函数的单调区间（用c表示）；
（2）若f(x)=0恰有两解，求实数c的取值范围．
2012-2013学年江苏省淮安市某校高三（下）期初数学试卷答案
1. 12x+8y−15=0
2. 4
9
3. 10．
（2）甲一定不入选，则从剩余的5人中选出4人即可，方法有C54=5种，
故答案为5．
（3）若甲、乙二人只有一人当选，方法有C21⋅C43=8种，若甲、乙二人都当选，方法有C22⋅C42=6种，
根据分类计数原理求得所有的方法共有8+6=14种，
故答案为14．
4. 1
3
5. x=kπ
2+π
4
(k∈Z)．
6. √2
7. 16
8. {x|2kπ<x≤π
3
+2kπ, k∈Z}
9. 15
16
10. 2
11. 1
2
12. 2
13. 1
14. x≤0
15. 解：（1）由x2≤5x−4，得x2−5x+4≤0，
解得：1≤x≤4．
所以原不等式的解集为A=[1, 4]；
（2）当a=2时，不等式(x−a)(x−2)≤0的解集为M={2}，符合M⊆A．当a<2时，不等式(x−a)(x−2)≤0的解集为M=[a, 2]，
要使M⊆A，则a≥1．
所以1≤a<2．
当a>2时，不等式(x−a)(x−2)≤0的解集为M=[2, a]，
要使M⊆A，则a≤4．
所以2<a≤4．
综上，使M⊆A的实数a的取值范围是[1, 4]．
16. 解：（1）∵ α终边上一个点为(x,−√5)，且cosα=√2
4
x，
∴
√x2+5=√2
4
x
∴ x2=3
∴ √x2+5=√8
∴ sinα=√5
√8=−√10
4
；
（2）∵ cosα+2sinα=−√5
∴ 两边平方，化简得：4sinαcosα+3sin2α=4∴ 4sinαcosα+3sin2α
sin2α+cos2α
=4
∴ 4tanα+3tan2α
tan2α+1
=4
解得tanα=2．
17. 解：（1）如图，当M 为PC 的中点时，PC ⊥平面MDB ．
事实上，连BM ，DM ，取AD 的中点N ，连NB ，NP ．
因为△PAD 为正三角形，N 为AD 中点，所以PN ⊥AD ， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PN ⊥平面ABCD ． 在Rt △PNA 中，由PA =2，AN =1，得PN =√3， 在Rt △BAN 中，由AN =AB =1，得NB =√2， 在Rt △PNB 中，由PN =√3，NB =√2， 则PB =√PN 2+NB 2=√(√3)2+(√2)2=√5．
在直角梯形ABCD 中，由AD =CD =2AB =2，解得BC =√5． 所以BM ⊥PC ，
又PD =DC =2，所DM ⊥PC ，
而MD ∩BM =M ，MD ，BM ⊂平面MDB ， 所PC ⊥平面MDB ；
（2）由G 为△PBC 的重心，可知G 在中线BM 上， 所以二面角G −BD −C 即为二面角M −BD −C ． 过M 作MF ⊥BD 于F ，连CF ，
因为PC ⊥平面MDB ，所以PC ⊥BD ，又MF ⊥BD ，MF ∩PC =M 所以BD ⊥面MFC ，所以CF ⊥BD ，
故∠MFC 是二面角G −BD −C 的平面角． 在等腰△BDC 中，BD =√5，DC =2，BC =√5， 所以cos∠DBC =(√5)2+(√5)2−22
2×√5×√5
=3
5．
sin∠DBC =4
5．
所以12
BD ⋅CF =1
2
BD ⋅BC ⋅sin∠DBC
所以CF =BC ⋅sin∠DBC =
4√55
，
在Rt △PDC 中，由PD =DC =2，得PC =2√2，则MC =√2． 所以sin∠MFC =
MC FC
=
√2
4√55
=
√10
4
， 故二面角G −BD −C 的大小为arcsin
√10
4
． 18. 解：(I)f(x)=sinx ⋅cosx +1
2cos2x +1
2 =12sin2x +12cos2x +1
2
=√2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
∴ 函数f(x)的最小正周期T=2π
2
=π
(II)当x∈[−π
8，3π
8
]时，2x+π
4
∈[0,π]
∴ 当2x+π
4∈[0,π
2
]即x∈[−π
8
，π
8
]时，函数f(x)单调递增
当2x+π
4∈[π
2
,π]即x∈[π
8
，3π
8
]时，函数f(x)单调递减
19. 解：(1)列表如表：
22
(2)描点、连线如图
20. 解：（1）求导函数，可得f′(x)=x2+bx+c
x
∵ x=l为f(x)的极大值点，∴ f′(1)=0
∴ f′(x)=(x−1)(x−c)
x
，c>1，b+c+1=0
当0<x<1时，f′(x)>0；当1<x<c时，f′(x)<0；当x>c时，f′(x)>0；
∴ f(x)的递增区间为(0, 1)，(c, +∞)；递减区间为(1, c)
（2）①若c<0，则f(x)在(0, 1)上递减，在(1, +∞)上递增，若f(x)=0恰有两解，则f(1)<0，
∴ 1
2+b<0，∴ −1
2
<c<0
②若0<c<1，则f
极大(x)=f(c)=clnc+1
2
c2+bc，f
极小
(x)=f(1)=1
2
+b
∵ b=−1−c，∴ f
极大(x)=f(c)=clnc+1
2
c2+c(−1−c)<0，f
极小
(x)=f(1)=−1
2
−
c，从而f(x)=0只有一解；
③若c>1，则f
极小(x)=f(c)=clnc+1
2
c2+c(−1−c)<0，f
极大
(x)=f(1)=−1
2
−c，
从而f(x)=0只有一解；
综上，可知f(x)=0恰有两解时，实数c的取值范围为−1
2
<c<0。