高考数学命题角度5_3直线与抛物线位置关系大题狂练理

点 睛 ： 在 解 析 几 何 中 由 于 OMN 的 边 MN 过 定 点 F ， 因 此 其 面 积 可 表 示 为
S 1 OF 2
x1 x2
，因此可易求 p ，同样在解解析几何问题时如善于发现平面几何的性质可
以帮助解题，第（I I）小题中如能发现 OP AB 则知 OP 是圆 R 的切线，因此 CPD 取最
x1 x2 x1 x2 2 4x1x2 4 p ，
1 SOMN 2 OF
x1 x2
p2 4 p 2 ，抛物线方程为 x2 4 y ．
（II）设 P t, 2,
A x1,
x12 4
, B x2,
x22 4
，由
x
2
4y
得
y
x2 4
,
y
'
x 2
，
则切线 PA 方程为
y
x12 4
PA
的斜率为
1 2
x1
，进一步得到直线 PA
的方程为
y
1 4
x12
1 2
x1
x
x1
.
将 点 点 Pa, 2 代 入 直 线 PA 方 程 ， 整 理 得
x12 2ax1 8 0 .
同理,
x22 2ax2 8 0 .
又 y1 y2
1 4
x12
1 4
x22
1 16
x1x2 2
4,
为定值.
所以 x1x2 y1 y2 4
把点 F 0,1 代入上方程,知点 F 的坐标是方程的解.
所以以 PM 为直径的圆恒过点 F.
法 2：设点 M 的坐标为 m, n ，
则△ PAB 的外接圆方程为 x m2 y n2 m a2 n 22 ，
由于点 A x1, y1, B x2, y2 在该圆上， 则 x1 m2 y1 n2 m a2 n 22 ，
16t 2 t2 4
2
t
2
8
4
2
2
2t
，
t2 4
当 PC, PD 与圆 R 相切时角 CPD 最大，
此时 sin CPD r 2 PR
2t t2 4 t2 16
2
1 ，等号当 t 2 2 时成立
t2
64 t2
20
3
当 P 2 2, 2 时，所求的角 CPD 最大．
综上，当 CPD 最大时点 P 的坐标为 2 2, 2
线,切点分别为 A , B .求证： AQO BQO （其中 O 为坐标原点）.
【答案】（I） x2 4 y ;(Ⅱ) 见解析.
【解析】试题分析 ：（I）原点在圆上，抛物线准线与圆相切，可得 a,b, p 三者之间的关系，
进而求出 C 的方程；(Ⅱ) 设 A x1, y1 ， B x2, y2 ， Pm, t ，利用导数求得两切线方
t 2k2
，
所以 kAQ
kBQ
k1 2
t 2k1
k2 2
t 2k2
k1 k2 t k1 k2
2
2k1k2
mm 0， 22
所以 AQO BQO ．
2.已知动圆 过定点
，且在 轴上截得的弦 的长为 ．
(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程；
(2)设 ， 是轨迹 上的两点，且
，
，记
命题角度 5.3：直线与抛物线位置关系
1.已知圆 M : x a2 y b2 9 , M 在抛物线 C : x2 2 py( p 0) 上,圆 M 过原点且
与 C 的准线相切. (Ⅰ) 求 C 的方程；
(Ⅱ) 点 Q0, t (t 0) ,点 P （与 Q 不重合）在直线 l：y t 上运动,过点 P 作 C 的两条切
1x 2
，
5分
求得抛物线在点
A
处的切线的斜率
k
1 2
x1
，所以切线
PA
方程为：
y
y1
1 2
x1
x
x1
，
即
y
1 4
x12
1 2
x1
x
x1 ，化简得
y
1 4
x12
1 2
x1x
，
又因过点 Pm, t ，故可得，
t
1 4
x12
1 2
x1m
，
即 x12 2x1m 4t 0 ，同理可得 x22 2x2m 4t 0 ，
当 x1 x2 时, 得 8a 4m a3 2an 0 , ②
假设以 PM 为直径的圆恒过点 F ,则 MF PF , 即 m, n 1?a, 3 0 ,
得 ma 3n 1 0, ③
由②③解得 m 3 a, n 1 1 a2 ,
2
2
所以点
M
3 2
a,1
1 2
a2
.
当 x1 x2 时, 则 a 0 ,点 M 0,1 .
法 2:设过点 Pa, 2 且与抛物线 C 相切的切线方程为 y 2 k x a ,
由{y 2 k x a, 消去 y 得 x2 4kx 4ka 8 0 ,
x2 4y,
由 16k2 44ak 8 0 , 化简得 k2 ak 2 0 .
所以 k1k2 2 .
由 x2 4 y ,得 y 1 x2 ,所以 y 1 x .
【解析】试题分析：
（I）抛物线焦点为
F
p 2
,
0
，写出直线
l
方程，与抛物线方程联立，消元后可得
x1
x2 ,
x1x2
，
其中 M x1,
y1, N x2,
y2 ，可再求出原点 O 到直线 l
的距离 d
，由 S
1 2
MN
d
求得
p
，
也可由 S
1 2
x1 x2
OF
求得 p ；
试题解析：
（I）依题意，
x12 4
x1 2
x
y1 ，
同理，切线 PB 方程为
y
x2 2
x
y2
，
把P
2 代入可得{
x1 2
t
y1
故直线
AB 的方程为 2
x
t
y 即 tx 2y 4
0
2
x2 2
t
y2
1
tx
R0,2 由{
2y 4 2
0 xQ 得{
4t t2 4
，
y x t
yQ
t2
8
4
r RQ
2
2
xQ yQ 2
F
0,
p 2
，所以直线
l
的方程为
y
3x p ； 2
y 由{
3x
p 2
得
x2
2
3 px p2 0 ，
x2 2 py
2 3 p 2 4 p2 16 p2 0, x1 x2 2 3 p, x1x2 p2
所以 y1 y2 3 x1 x2 p 7 p, MN y1 y2 p 8p ，
（II）设 P 是直线 y 2 上的一个动点，过 P 作抛物线 E 的切线，切点分别为 A, B 直线 AB
与直线 OP, y 轴的交点分别 为 Q, R 点 C, D 是以 R 为圆心 RQ 为半径的圆上任意两点，求
CPD 最大时点 P 的坐标．
【答案】（I） x2 4 y ；（II） 2 2, 2 ．
所以以 PM 为直径的圆恒过点 F.
点睛：本题考查抛物线的基本性质以及直线与抛物线的位置关系，属中档题.解释要注意灵活 应用韦达定理以及向量有关知识
4.已知过抛物线 E : x2 2 py( p 0) 焦点 F 且倾斜角的 60 直线 l 与抛物线 E 交于点 M , N
OMN 的面积为 4 ． （I）求抛物线 E 的方程；
程，利用根与系数关系可证 kAQ kBQ 0 ，即证两角相等．
解法二：因为圆 M 的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，由抛物线的定义，
圆
M
必过抛物线的焦点
0,
p 2
，
又圆 M 过原点，所以 b p ， 4
又圆的半径为 3，所以 a2 9 p2 ，又 a2 2 pb ， 16
又 9 p2 p2 ，得 p2 16( p 0) ，所以 p 4 ．所以抛物线 C 方程 x2 4 y ． 16 2
4
2
所以直线
PA 的斜率为 k1
1 2
x1 ,直线
PB 的斜率为 k2
1 2
x2 .
所以
1 4
x1x2
2 ,
即 x1x2
8 .
又
y1 y2
1 4
x12
1 4
x22
1 16
x1x2 2
4,
所以 x1x2 y1 y2 4 为定值.
由①②解得 x 3 a , y 1 a2 ,
2
2
所以点
M
O 到 MN 的距离 d
p
2 2
2
1
p 4
,
SOMN
1 2
MN
d
p2
4，
p 2 ，抛物线方程为 x2 4 y
（II）设 P t, 2,
A x1,
x12 4
, B x2,
x22 4
，由
x
2
4y
得
y
x2 4
,
y
'
x 2
，
则切线 PA 方程为
y
x12 4
x1 2
x
x1 即
y
x1 2
x
x1 x2 x1x2
tm tm 0 ． 4t
所以 AQO BQO ．
解法二：依题意设点
P
m,
t
，设过点
P
的切线为
y
k
x
m
t
，所以
{
y
k
x2
x m
4y,
t
,
，
所以 x2 4kx 4km 4t 0 ，所以 16k2 44km 4t 0 ，即 k2 km t 0 ，
不妨设切线 PA、PB 的斜率为 k1、k2 ，点 A x1, y1 ， B x2, y2 ，
PF
3a2 2
3a2 2
0，
可得 MF PF. 所以
以 PM 为直径的圆恒过点 F.
同理, x22 2ax2 8 0 .
所以 x1, x2 是方程 x2 2ax 8 0 的两个根.
所以 x1x2 8 .
又
y1 y2
1 4
x12
1 4
x22
1 16
x1x2 2
4,
所以 x1x2 y1 y2 4 为定值.
所以 x1, x2 为方程 x2 2mx 4t 0 的两根，所以 x1 x2 2m ， x1x2 4t ，
因为 Q
0, t
，所以 kAQ
kBQ
y1 t x1
y2 t x2
x12 4t 4x1
x22 4t 4x2
，
化简 kAQ
kBQ
x1x1 x1 4x1x2
x2
t
x1 2
x
x1 即
y
x1 2
x
x12 4
x1 2
x
y1 ，
同理，切线 PB 方程为
x2 m2 y2 n2 m a2 n 22 .
两式相减得 x1 x2 x1 x2 2m y1 y2 y1 y2 2n 0, ①
由(Ⅰ)知
x1
x2
2a,
x1x2
8,
y1
1 4
x12 ,
y2
1 4
x22 ,代入上式得
x1 x2 4a 4m a3 4a 2an 0 ,
（1） 证明: x1x2 y1 y2 为定值;
（2） 记△ PAB 的外接圆的圆心为点 M , 点 F 是抛物线 C 的焦点, 对任意实数 a , 试判断 以 PM 为直径的圆是否恒过点 F ? 并说明理由.
【答案】（I）详见解析；（II）详见解析.
【解析】试题分析：(Ⅰ)对 y 1 x2 4
求导，得到直线
所以 k1 k2 m ，
k1
k2
t
，又
y
1 4
x2
，所以
y
'
1 2
x
，所以
k1
1 2
x1
，
所以 x1 2k1 ， y1 k12 ，即点 A 2k1, k12 ，同理点 B 2k2, k22 ，
因为 Q
0, t
，所以 kAQ
k12 t 2k1
k1 2
t 2k1
，同理 kBQ
k2 2
大值时， PC, PD 中一条与 PO 重合，另一条也是圆的切 线，从而易得解．
另解：（I）依题意，
F
0,
p 2
，所以直线 l
的方程为
y
3x p ； 2
y 由{
3x
p 2
得
x2
2
3 px p2 0 ，
x2 2 py
2 3 p 2 4 p2 16 p2 0, x1 x2 2 3 p, x1x2 p2
(Ⅱ)由题意可得)直线 PA 的垂直平分线方程为
y
ax1 4
2 x1
x
x1 a 2
.
①
同理直线 PB 的垂直平分线方程为
y
ax2 4
2 x2
x
x2
2
a
.
②由①②解得来自点M3 2
a,1
a2 2
.
又
抛 物 线 C 的 焦 点 为 F 0,1, 则
MF
3 2
a,
a2 2
, PF
a,3. 由 MF
3 2
a,1
a2 2
.
抛物线 C 的焦点为 F 0,1,
则
MF
3 2
a,
a2 2
,
PF
a, 3 .
由于 MF PF 3a2 3a2 0 ， 22
所以 MF PF.
所以以 PM 为直径的圆恒过点 F.
另法:
以
PM
为直径的圆的方程为
x
a
x
3 2
a
y
2
y
1
a2 2
0.
【答案】(1)
；(2)
.
，求 的最小值．
试题解析: (1)设
， 的中点 ，连 ，则：
，
，
∴
.
又
,
∴
∴
， 整理得
.
(2)设
则 ∵
∴
，
，不失一般性，令
，
， ,
,解得
③
直线 的方程为：
，
,
即
，令 得 ，即直线 恒过定点
，
当
时，
轴，
，
．
直线 也经过点
.
∴ 由③可得
. ,
∴
.
当且仅当
，即
时，
.
3. 过点 Pa, 2 作抛物线 C : x2 4 y 的两条切线, 切点分别为 A x1, y1 , B x2, y2 .
解法三：因为圆 M 与抛物线准线相切，所以 b 3 p ， 2
且圆过
0,
p 2
又圆过原点，故
b
p 4
，可得 3
p 2
p 4