河北省邢台一中高二数学上学期期中试卷文(含解析)

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2023-2024学年河北省部分高中高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√322．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√557．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（） A ．2B ．1C ．12D ．−748．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（）A ．B ．C ．D ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为1012．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= ． 14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0．（1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标；（2）若l 1∥l 2，求a 的值．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →．（1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ．（1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值．20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系．（1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三角形，M ，Q 分别为AC ，A 1B 1的中点，且MQ ⊥AB ．（1）证明：MC 1⊥AB ．（2）若BB 1＝4，MQ =√15，求平面MB 1C 1与平面MC 1Q 夹角的余弦值．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点．（1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√32解：将l 的方程转化为y =−2√33x +√33，则l 的斜率为−2√33．故选：A ．2．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）解：因为方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，所以42+22+4m ＞0，解得m ＞﹣5．故选：B ．3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（）A ．1B ．2C ．3D ．4解：椭圆E ：x 29+y 25=1，可知a ＝3，因为P 是椭圆E 上一点，所以|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝6﹣|PF 1|＝4．故选：D ．4．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →解：因为P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，故以A 为坐标原点，AB ，AC ，P A 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，令AB ＝a ，AC ＝b ，P A ＝c ，则A （0，0，0），B （a ，0，0），C （0，b ，0），D(0，34b ，14c)，则AC →=(0，b ，0)，BD →=(−a ，34b ，14c)，所以BD →在AC →方向上的投影向量为AC →⋅BD →|AC →|⋅AC →|AC →|=34b 2|b|⋅AC →|b|=34AC →．故选：A ．5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）解：∵O 1与O 2相交， ∴|r ﹣5|＜|O 1O 2|＜|r +5|，又|O 1O 2|＝7，∴|r ﹣5|＜7＜|r +5|，解得2＜r ＜12．故选：D ．6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√55解：由题意得，BA →=(2，2，0)，BC →=(2，0，−1)，则BA →在BC →上的投影向量的模为|BA →⋅BC →||BC →|=√5，则点A 到直线BC 的距离为√|BA →|2−(|BA →⋅BC →||BC →|)2=√(√8)2−(4√5)2=2√305．故选：A ．7．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（）A ．2B ．1C ．12D ．−74解：由已知直线l 的方程为y =b ax ，即bx ﹣ay ＝0，点F （c ，0），则|FA|=|bc|√b +(−a)2=b ，因为FB →=BA →，所以B 为线段AF 的中点，则|BF|=b2，设双曲线C 的左焦点为F 1，则|BF 1|=2a +b2，在△BFF 1中，由余弦定理可得：cos ∠BFF 1=|BF|2+|FF 1|2−|BF 1|22|BF||FF 1|=b 24+4c 2−(2a+b 2)22×b2×2c=2b−ac，又cos ∠BFF 1=bc ，所以a ＝b ，故l 的斜率为1，故选：B ．8．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117解：√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8=√(x −9)2+y 2+√(x −2)2+(y −2)2，该式表示直线l ：2x ﹣y +2＝0上一点到P （9，0），Q （2，2）两点距离之和的最小值．而P ，Q 两点在l 的同一侧，设点P 关于l 对称的点P ′（x 0，y 0），则{y 0−0x 0−9=−122×x 0+92−y 0+02+2=0，解得{x 0=−7y 0=8，∴P ′（﹣7，8），故√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8≥|P′Q|=√(−7−2)+(8−2)2=3√13．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→解：BC →−A 1A →=AD →+AA 1→=AD 1→，A 正确，B 不正确，又因为EF →=12A 1C 1→，故C 正确，D 不正确．故选：AC ．10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（）A ．B ．C ．D ．解：A ．取m ＝1，则直线l ：y ＝x +1与曲线C ：x 2+y 2＝1满足图中的位置关系，因此A 正确； B ．联立{y =mx +1x 2+my 2=1，化为（1+m 3）x 2+2m 2x +m ﹣1＝0，若直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1有交点，则Δ＝4m 4﹣4（1+m 3）（m ﹣1）＝m 3﹣m +1＞0．由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，满足Δ＞0，因此B 正确；C ．由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，直线l 与椭圆应该有交点，因此C 不正确；D ．由图可知：直线l 经过点（1，0），则m ＝﹣1，联立{y =−x +1x 2−y 2=1，化为x ＝1，y ＝0，即直线l 与双曲线的交点为（1，0），因此D 正确．故选：ABD ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为10解：A 、B 选项，由椭圆的定义得，|PF 1|+|PF 2|＝2a ，已知|PF 1|=43|PF 2|，解得|PF 1|=87a ，|PF 2|=67a ，由cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=4c 2−47a 2247ac=35，整理得5a 2+18ac ﹣35c 2＝0，即（a +5c ）（5a ﹣7c ）＝0，则a ＝﹣5c （舍去）或a =75c ，即c a=57，故椭圆E 的离心率为57，故A 正确，B 不正确；C 选项，由a =75c ，得|F 1F 2|=2c =107a ，则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，故PF 1⊥PF 2，故C 正确； D 选项，由PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2内切圆的半径为2，得2c ＝2a ﹣4，因为a =75c ，所以c ＝5，即椭圆E 的焦距为10，故D 正确．故选：ACD ．12．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63解：设F ，G 在平面ABCD 的投影分别为AB ，BC 的中点R ，S ，由于AF =√5，AB ＝4，所以F 到平面ABCD 的距离为FR =√AF 2−(12AB)2=1，由于上、下两层等高，所以P 到平面ABCD 的距离为2，又FG =RS =12AC =2√2，由于GS ＝FR ＝1，BS =RB =12×4=2 所以BG =GC =√GS 2+BS 2=√5=BF =AF ，所以△AFB ≌△BGC ，同理可得△CDH ≌△ADE ≌△AFB ≌△BGC ，△BFG ≌△CHG ≌△DEH ≌△AEF ，则点B 到FG 的距离为√BF 2−(12FG)2=√(√5)2−(√2)2=√3，则△ABF 的面积为12AB ⋅FR =12×4×1=2，△BFG 的面积为12×2√2×√3=√6，故该几何体的表面积4×2+4×√6+4×4+2√2×2√2+2√2×4=32+8√2+4√6，故A 正确；将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上，且A 、B 、C 、D ，N 、P 、Q 、M 均在球面上，设球心到下底面ABCD 的距离为x ，由于四边形MNPQ 为边长为2√2的正方形，四边形ABCD 为边长为4的正方形，则其对角线长度分别为4，4√2，则(2√2)2+x 2=22+(2−x)2，解得x ＝0，则该球体的半径为2√2，体积为4π3×(2√2)3=64√2π3，故B 错误；以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C （4，4，0），P （2，0，2），B （4，0，0），F （2，0，1），G （4，2，1），M （2，4，2），CP →=(−2，−4，2)，BF →=（﹣2，0，1），BG →=(0，2，1)，BM →=（﹣2，4，2），平面ABF 的一个法向量为m →=（0，1，0），则cos ＜CP →，m →＞=−42√6=−√63，设直线CP 与平面ABF 所成角为θ，则sinθ=|cos ＜CP →，m →＞|=√63，故直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63，故C 正确；设平面BFG 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅BF →=−2x 1+z 1=0n →⋅BG →=2y 1+z 1=0，令x 1＝1，得n →=（1，﹣1，2），则点M 到平面BFG 的距离为|n →⋅BM →||n →|=222=√63，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= 5 ．解：由题可知，N （3，0，4），则ON →=(3，0，4)，∴|ON →|=√32+42=5．故答案为：5．14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ 1 ．解：由题可知（m +1）+（m 2﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝1或m ＝﹣1（舍去），∴m ＝1．故答案为：1．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 √3x −y =0 ．解：圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1①，则圆心C （0，1），以C （0，1），M （√3，0）为直径的圆的方程为：(x −√32)2+(y −12)2=1②，①﹣②可得，√3x −y =0，故直线AB 的方程为√3x −y =0．故答案为：√3x −y =0．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为7√111111．解：设I ∩AA 1＝P ，连接NP ，MP ，直线NP 即为直线l ．易证得MP ∥CN ，由AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，得AP =13AA 1，以D 为坐标原点，DA ．DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝6，则得：N （0，0，3），P （6，0，2），A （6，0，0），C 1（0，6，6）， NP →=（6，0，﹣1），AC 1→=（﹣6，6，6），所以得：|cos ＜NP →，AC 1→＞|=|NP →⋅AC 1→||NP →|⋅|AC 1→|=37×63=7√111111，故直线与直线 AC 1 所成角的余弦值为7√111111．故答案为：7√111111．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0．（1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标；（2）若l 1∥l 2，求a 的值．解：（1）因为a ＝1，所以l 1：x +y +1＝0，l 2：2x +4y ﹣4＝0，即x +2y ﹣2＝0，联立{x +y +1=0x +2y −2=0解得{x =−4y =3，故直线l 1与l 2的交点坐标为（﹣4，3）．（2）因为l 1∥l 2，所以2a 2﹣a ﹣3＝0，解得a ＝﹣1或a =32，当a ＝﹣1时，l 1与l 2重合，不符合题意．当a =32时，l 1与l 2不重合，符合题意．故a =32．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →．（1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．解：（1）证明：因为E ，F 分别为P A ，PC 的中点，所以BE →=12BA →+12BP →，BF →=12BC →+12BP →，所以BG →=BD →+DG →=BD →+23DP →=BD →+23(BP →−BD →)=13BD →+23BP →=13BA →+13BC →+23BP →=23(12BA →+12BP →)+23(12BC →+12BP →)=23BE →+23BF →，故B ，E ，G ，F 四点共面；（2）由正四棱锥的对称性知，V 1＝2V E ﹣PBG ，V 2＝2V A ﹣PBD ，设点E 到平面PBG 的距离为d 1，点A 到平面PBD 的距离为d 2，由E 是P A 的中点得d 2＝2d 1，由DG →=2GP →得S △PBD ＝3S △PBG ，所以V 1V 2=V E−PBG V A−PBD=13S △PBG ⋅d 113S △PBD ⋅d 2=16．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ．（1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值．解：（1）设M （x ，y ），则Q （x ，0），因为PQ →=2PM →，则P （x ，2y ），因为P 在圆C 上，所以x 2+（2y ）2＝12，故E 的方程为x 212+y 23=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若A ，B 是E 上两点，则{x 1212+y 123=1x 2212+y 223=1，两式相减得x 12−x 2212+y 12−y 223=0，即y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)．因为线段AB 的中点坐标为(−85，25)，所以y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)=1，所以k AB ＝1，则直线AB 的方程为y ＝x +2．联立方程组{y =x +2x 212+y 23=1，整理得5x 2+16x +4＝0，其中Δ＞0，则x 1+x 2=−165，x 1x 2=45， |AB|=√1+12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√225． 20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系．（1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）解：（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，由图形可得A（﹣8，0），B（8，0），D（0，4），设该圆的半径为r米，则r2＝82+（r﹣4）2，解得r＝10，圆心为（0，﹣6），故该圆弧所在圆的方程为x2+（y+6）2＝100．（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则(d2)2+(6+1.6)2=102，解得d=2√42.24．若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3×0.5=11.5＜2√42.24．隧道能并排通过4辆该种汽车；若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5×2.5+4×0.5=14.5＞2√42.24，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，M，Q分别为AC，A1B1的中点，且MQ⊥AB．（1）证明：MC1⊥AB．（2）若BB1＝4，MQ=√15，求平面MB1C1与平面MC1Q夹角的余弦值．（1）证明：因为△A1B1C1是等边三角形，Q为A1B1的中点，所以C1Q⊥A1B1，又AB∥A1B1，所以C1Q⊥AB，因为MQ⊥AB，C1Q∩MQ＝Q，所以AB⊥平面MC1Q，又MC1⊂平面C1MQ，所以MC1⊥AB；（2）解：取AB靠近点A的四等分点N，连接MN，NQ，易证得MN∥C1Q，则MN⊥AB，且MN=√32，由BB 1＝4，得QN =3√72，因为MQ =√15，所以MQ 2+MN 2＝QN 2，即MQ ⊥MN ，又MQ ⊥AB ，从而MQ ⊥平面ABC ，以M 为坐标原点，MN 所在直线为x 轴，MQ 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M （0，0，0），B 1（0，1，√15），C 1（−√3，0，√15），则MB 1→=（0，1，√15），MC 1→=（−√3，0，√15），设平面MB 1C 1的法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅MB 1→=y +√15z =0m →⋅MC 1→=−√3x +√15z =0，令z ＝1，得m →=(√5，−√15，1)，由图可知，n →=（0，1，0）是平面MC 1Q 的一个法向量，设平面MB 1C 1与平面MC 1Q 的夹角为θ，则cosθ=|m →⋅n →||m →||n →|=√1521=√357．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点．（1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．解：（1）∵F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点，∴{a 2+b 2=10409a2−69b2=1，解得a 2＝4，b 2＝6，∴E 的方程为x 24−y 26=1．（2）证明：设T （1，m ），由题意得直线l 1的斜率存在且不等于0，设直线l 的方程为y ﹣m ＝k （x ﹣1），则直线l 2的方程为y ﹣m ＝﹣k （x ﹣1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），联立方程组{y −m =k(x −1)x 24−y 26=1，整理得（3﹣2k 2）x 2+（4k 2﹣4km ）x ﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12＝0，Δ＝（4k 2﹣4km ）2﹣（12﹣8k 2）（﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12）＝﹣72k 2﹣48km +24m 2+144＞0，则x 1+x 2=4k 2−4km 2k 2−3，x 1x 2=2k 2−4km+2m 2+122k 2−3，|AT |=√1+k 2|x 1−1|，|BT |=√1+k 2|x 2﹣1|，|CT |=√1+k 2|x 3﹣1|，|DT |=√1+k 2|x 4﹣1|， ∴|AT ||BT |＝（1+k 2）|（x 1﹣1）（x 2﹣1）|＝（1+k 2）|x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1| ＝（1+k 2）|2k 2−4km+2m 2+122k 2−3−4k 2−4km 2k 2−3+1|＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3|，同理，|CT ||DT |＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3，∴|AT||DT|=|CT||BT|，∴△ACT ∽△DBT ，∴∠ABD ＝∠ACD ．。

河北省邢台市2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试题Word版含解析

2017-2018学年度第一学期高二期中考试文科数学试题第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. 若直线过圆’厂2■■: \ ■的圆心，则的值为（）A. -1B. 1C. 3D. -3【答案】B【解析】分析：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）代入直线3x+y+a=0,解方程求得a的值.2 2解答：圆x +y +2x-4y=0的圆心为（-1, 2）,代入直线3x+y+a=0得：-3+2+a=0,「. a=1,故选Co点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围2. 设：：：E I-;，命题"若•，则方程.■ x' ：■ ■ :■- =「:有实根”的逆否命题是（）A. 若方程:;有实根，则•B. 若方程• J ：…='二有实根，则C. 若方程V- .■- :没有实根，则•D. 若方程:没有实根，则-【答案】D【解析】试题分析：原命题的逆否命题是：若方程/ + x-m = 0没有实根，则m 0 ,故选D.考点：四种命题.3. 命题“存在：-, ”的否定是（）A.不存在 _______________________B.存在儿，C.对任意的!，::叮 ___________D.对任意的!,【答案】D【解析】特称命题的否定是全称命题,所以为对任意的比ER, 故选D。

4. 若直线匚-丫十.-■?与圆：：；/：_「=「有公共点，则实数的取值范围是（）A. | - ■ IB. | 打C. | .■■.! ID. -J'：.-【答案】C|a卜1|厂【解析】由题意可得•，，解得' ：i I，选D.【点睛】直线与圆位置关系一般用圆心到直线距离d与半径关系来判断：当d>r时，直线与圆相离，当d=r时，直线与圆相切，当d<r时，直线与圆相交。

河北省邢台市数学高二上学期理数期中考试试卷

河北省邢台市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A . 若α≠，则tanα≠1B . 若α=，则tanα≠1C . 若tanα≠1，则α≠D . 若tanα≠1，则α=2. （2分）已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是（）A .B .C .D .3. （2分）已知，若，则m=（）A . -B . ﹣2C .D . 24. （2分）设，，且，则锐角为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·怀化模拟) 已知一三棱柱ABC﹣A1B1C1各棱长相等，B1在底面ABC上的射影是AC的中点，则异面直线AA1与BC所成角的余弦值为（）A .B .C .D .6. （2分）抛物线y=4x2的准线方程是（）A . x=1B .C . y=－1D .7. （2分） (2016高二下·芒市期中) 设F1 ， F2是双曲线C：的两个焦点，点P在C上，且0，若抛物线y2=16x的准线经过双曲线C的一个焦点，则的值等于（）A . 2B . 6C . 14D . 168. （2分） (2018高三上·昭通期末) 椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，抛物线x2=4by 的焦点为B，且．则椭圆C的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分）已知曲线C:与抛物线的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若，则b 的值为（）A .B . －C .D . －10. （2分）“”是“函数为奇函数”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分） (2018高二上·长安期末) 已知正四棱柱中，，为的中点，则直线与平面的距离为（）A . 1B .C .D . 212. （2分）下列曲线中，离心率为2的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知动点P（x，y）的坐标x，y满足xcosα+ysinα=1（α∈R），|x|+|y|≤2，则当α变化时，点P的轨迹所形成的图象的面积是________14. （1分）(2018·北京) 已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.15. （1分）已知角α，β的终边在第一象限，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的________ 条件．16. （1分）当m取一切实数时，双曲线x2﹣y2﹣6mx﹣4my+5m2﹣1=0的中心的轨迹方程为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2017高二下·安徽期中) 设p：|4x﹣3|≤1，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若：非q是非p的充分不必要条件，求实数a取值范围．18. （5分） (2016高二下·大丰期中) 已知椭圆E： =1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1 ， F2 ，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）证明：直线PQ与椭圆E只有一个公共点．19. （15分） (2017·淄博模拟) 如图，已知三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，△ABC为等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PA=PB．（Ⅰ）证明：OA=OB；（Ⅱ）证明：AB⊥OP；（Ⅲ）若AP：PO：OC= ：1，求二面角P﹣OA﹣B的余弦值．20. （10分） (2019高二上·成都期中) 已知椭圆C:的离心率为，且过点（1，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设与圆相切的直线交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值，及取得最大值时直线的方程．21. （10分） (2019高二上·开封期中) 已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，轴， .（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值.22. （5分）(2018·中原模拟) 已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上一点满足，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）若点是点在轴上的垂足，延长交椭圆于，求证：三点共线．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、18-1、18-2、18-3、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

河北省邢台市高二上学期期中数学试卷

河北省邢台市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共14分)1. （1分） (2017高三上·苏州开学考) 命题“∃x＞1，使得x2≥2”的否定是________．2. （1分）经过点A（1，2）和点B（3，m）的直线的倾斜角为45°，则实数m的值为________．3. （1分）△ABC 中，“A=”是“sinA=”的________ 条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）．4. （1分）(2020·杨浦期末) 己知圆锥的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为________.5. （1分）已知圆C过点（2，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：x+y﹣7=0被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为________6. （1分） (2016高二上·镇雄期中) 底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为________ cm2 ．7. （1分） (2015高三上·锦州期中) 已知△ABC，点A（2，8）、B（﹣4，0）、C（4，﹣6），则∠A BC的平分线所在直线方程为________．8. （1分） (2017高一上·武邑月考) 在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为________．9. （1分） (2016高二上·宝应期中) 已知函数y=lg（4﹣x）的定义域为A，集合B={x|x＜a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围 ________．10. （1分） (2016高一上·郑州期末) 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，则a的取值范围是________11. （1分） (2017高二上·南通开学考) 设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的是________①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂β且l∥m；③l⊥α，m⊥β，且l∥m；④l∥α，m∥β，且l∥m．12. （1分）半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A﹣BCD的体积为________．13. （1分）由直线y=x+1上一点向圆x2﹣6x+y2+8=0引切线，则切线长的最小值为________14. （1分） (2019高二上·德惠期中) 已知F1 ， F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M、N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为________ ．二、解答题 (共6题；共45分)15. （5分）已知△ABC的顶点A（6，1），AB边上的中线CM所在直线方程2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（Ⅰ）顶点C的坐标；（Ⅱ）直线BC的方程．16. （5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．17. （10分）(2018高二上·潮州期末) 已知 ,命题，命题.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题是假命题, 命题是真命题,求实数的取值范围.18. （5分）如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．19. （10分）已知过原点O的圆x2+y2﹣2ax=0又过点（4，2），（1）求圆的方程，（2） A为圆上动点，求弦OA中点M的轨迹方程．20. （10分） (2018高二下·双鸭山月考) 已知曲线。

【精品】2015年河北省邢台一中高二上学期期中数学试卷带解析答案(文科)

2014-2015学年河北省邢台一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．22．（5分）曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是（）A．2x+y+3=0 B．2x+y﹣3=0 C．2x+y+1=0 D．2x﹣y﹣1=03．（5分）以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y2﹣2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）A．y=3x2或y=﹣3x2 B．y=3x2C．y2=﹣9x或y=3x2 D．y=﹣3x2或y2=9x4．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1 C．D．5．（5分）“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y﹣3=0相互垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要6．（5分）已知抛物线y2=4x，以（1，1）为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（）A．x﹣2y+1=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y﹣3=07．（5分）已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）设点P是椭圆上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF 1F2的内心，若+=2，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=（）A．2.2 B．2.6 C．2.8 D．2.910．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（）A．B．C．D．11．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=012．（5分）设P是椭圆上的一点，F1、F2是焦点，若∠F1PF2=30°，则△PF 1F2的面积为（）A．B．C．D．16二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若f′（x）=﹣3，则=．14．（5分）方程+=1所表示的曲线为C，有下列命题：①若曲线C为椭圆，则2＜t＜4；②若曲线C为双曲线，则t＞4或t＜2；③曲线C不可能为圆；④若曲线C表示焦点在y上的双曲线，则t＞4；以上命题正确的是（填上所有正确命题的序号）．15．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为．16．（5分）若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点P在该抛物线上移动，为使得PA+PF取得最小值，则P点的坐标为．三、解答题（共70分）17．（10分）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，实轴长是虚轴长的2倍，且过点（2，1），求双曲线的标准方程及离心率．18．（12分）已知抛物线：y2=4x，（1）直线l：y=kx+1与抛物线有且仅有一个公共点，求实数k的值；（2）定点A（2，0），P为抛物线上任意一点，求线段长|PA|的最小值．19．（12分）已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：方程表示双曲线，且离心率e∈（，），若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数k的取值范围．20．（12分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）下表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值；（Ⅱ）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．21．（12分）直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2﹣y2=1的右支交于不同的两点A、B．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以b为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程．（2）若过椭圆C的右焦点F作直线L交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，且，求证：λ1+λ2为定值．2014-2015学年河北省邢台一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．2【解答】解：双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选：B．2．（5分）曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是（）A．2x+y+3=0 B．2x+y﹣3=0 C．2x+y+1=0 D．2x﹣y﹣1=0【解答】解：由题意知，y′=2x，∴在（1，1）处的切线的斜率k=2，则在（1，1）处的切线方程是：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0，故选：D．3．（5分）以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y2﹣2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）A．y=3x2或y=﹣3x2 B．y=3x2C．y2=﹣9x或y=3x2 D．y=﹣3x2或y2=9x【解答】解：根据题意知，圆心为（1，﹣3），（1）设x2=2py，p=﹣，x2=﹣y；（2）设y2=2px，p=，y2=9x故选：D．4．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1 C．D．【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点，F（）准线方程x=，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，∴|AF|+|BF|==3解得，∴线段AB的中点横坐标为，∴线段AB的中点到y轴的距离为．故选：C．5．（5分）“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y﹣3=0相互垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【解答】解：若（m+2）x+3my+1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y﹣3=0相互垂直，则（m+2）（m+2）+3m（m﹣2）=0，即2m2﹣m+2=0，此时方程无解．所以“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y﹣3=0相互垂直”的既不充分不必要条件，故选：D．6．（5分）已知抛物线y2=4x，以（1，1）为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（）A．x﹣2y+1=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y﹣3=0【解答】解：由题意可得，弦所在直线斜率存在，设弦所在直线方程为y﹣1=k （x﹣1），代入抛物线的方程可得ky2﹣4y﹣4﹣4k=0，由y1+y2==2 可得，k=2，故弦所在直线方程为2x﹣y﹣1=0，故选：B．7．（5分）已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设实数x∈[1，9]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2，经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3，经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4此时输出x，输出的值为8x+7，令8x+7≥55，得x≥6，由几何概型得到输出的x不小于55的概率为P==．故选：B．8．（5分）设点P是椭圆上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF 1F2的内心，若+=2，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设△PF1F2的内切圆半径为r，则由+=2，得PF1×r+PF2×r=2×F1F2×r即PF1+PF2=2F1F2即2a=2×2c∴椭圆的离心率e==故选：A．9．（5分）已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=（）A．2.2 B．2.6 C．2.8 D．2.9【解答】解：由题意==2，==4.5．因为回归直线方程经过样本中心，所以4.5=0.95×2+a，所以a=2.6．故选：B．10．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的渐近线方程是y=，右焦点F（4，0），过右焦点F（4，0）分别作两条渐近线的平行线l1和l2，由图形可知，符合条件的直线的斜率的范围是[﹣]．故选：C．11．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，∵C 1与C2的离心率之积为，∴，∴=，=，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．故选：A．12．（5分）设P是椭圆上的一点，F1、F2是焦点，若∠F1PF2=30°，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．D．16【解答】解：∵椭圆方程为，∴a2=25，b2=16，得a=5且b=4，c==3，因此，椭圆的焦点坐标为F1（﹣3，0）、F2（3，0）．根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=10∵△PF1F2中，∠F1PF2=30°，∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos30°=4c2=36，可得（|PF1|+|PF2|）2=36+（2+）|PF1|•|PF2|=100因此，|PF1|•|PF2|==64（2﹣），可得△PF1F2的面积为S=•|PF1|•|PF2|sin30°=故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分））=﹣3，则=﹣12．13．（5分）若f′（x【解答】解：∵f′（x0）=﹣3，∴==+=f′（x0）+3==4×（﹣3）=﹣12．故答案为：﹣12．14．（5分）方程+=1所表示的曲线为C，有下列命题：①若曲线C为椭圆，则2＜t＜4；②若曲线C为双曲线，则t＞4或t＜2；③曲线C不可能为圆；④若曲线C表示焦点在y上的双曲线，则t＞4；以上命题正确的是②④（填上所有正确命题的序号）．【解答】解：①若C为椭圆应该满足即2＜t＜4且t≠3，故①错；②若C为双曲线应该满足（4﹣t）（t﹣2）＜0即t＞4或t＜2故②对；③当4﹣t=t﹣2即t=3表示圆，故③错；④若C表示双曲线，且焦点在y轴上应该满足t﹣2＞0，t﹣4＞0则t＞4，故④对综上知②④正确故答案为②④．15．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为44．【解答】解：根据题意，双曲线C：的左焦点F（﹣5，0），所以点A（5，0）是双曲线的右焦点，虚轴长为：8；双曲线图象如图：|PF|﹣|AP|=2a=6 ①|QF|﹣|QA|=2a=6 ②而|PQ|=16，①+②得：|PF|+|QF|﹣|PQ|=12，∴周长为：|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44故答案为：44．16．（5分）若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点P在该抛物线上移动，为使得PA+PF取得最小值，则P点的坐标为（2，2）．【解答】解：由P向准线作垂线，垂足为M，由抛物线的定义，PF=PM，再由定点A向准线作垂线，垂足为N，那么点P在该抛物线上移动时，有PA+PF=PA+PM≥AN，当且仅当A，P，N三点共线时取得最小值AN=3﹣（﹣）=，此时P的纵坐标为2，继而求得横坐标为2．故答案为：（2，2）．三、解答题（共70分）17．（10分）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，实轴长是虚轴长的2倍，且过点（2，1），求双曲线的标准方程及离心率．【解答】解：根据题意，设双曲线的标准方程是﹣=1，则2a=4b①，又双曲线过点（2，1）∴﹣=1②；由①②联立，解得a2=4，b2=1；∴双曲线的标准方程是﹣y2=1，∴它的离心率是e===．18．（12分）已知抛物线：y2=4x，（1）直线l：y=kx+1与抛物线有且仅有一个公共点，求实数k的值；（2）定点A（2，0），P为抛物线上任意一点，求线段长|PA|的最小值．【解答】解：（1）联立，k2x2+（2k﹣4）x+1=0，当，满足题意；当k≠0时，由△=0得k=1，综上，k=0或1．（2）设P（x，y），则|PA|===，故当x=0时，|PA|min=2．19．（12分）已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：方程表示双曲线，且离心率e∈（，），若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数k的取值范围．【解答】解：若p为真，则9﹣2k＞k＞0，解得0＜k＜3，若q为真，则e==∈（，），解得2＜k＜4，由题意可知，p，q一真一假，当p真q假时，则，则0＜k≤2；当q真p假时，则，则3≤k＜4；综上所述，k的取值范围是（0，2]∪[3，4）．20．（12分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）下表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值；（Ⅱ）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题设可知，a=0.08×5×500=200，b=0.02×5×500=50．…（2分）（Ⅱ）因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．…（6分）（Ⅲ）设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为C1，C2，C3，C4，则从六位同学中抽两位同学有：（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4），共15种可能．…（10分）其中2人年龄都不在第3组的有：（A，B），共1种可能，…（12分）所以至少有1人年龄在第3组的概率为．…（13分）21．（12分）直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2﹣y2=1的右支交于不同的两点A、B．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2﹣y2=1后，整理得（k2﹣2）x2+2kx+2=0．①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故解得k的取值范围是﹣2＜k＜．（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则由①式得②假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0）．则由FA⊥FB得：（x1﹣c）（x2﹣c）+y1y2=0．即（x1﹣c）（x2﹣c）+（kx1+1）（kx2+1）=0．整理得（k2+1）x1x2+（k﹣c）（x1+x2）+c2+1=0．③把②式及代入③式化简得．解得可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以b为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程．（2）若过椭圆C的右焦点F作直线L交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，且，求证：λ1+λ2为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：以椭圆C的右焦点为圆心，以b为半径的圆的方程为（x﹣c）2+y2=2b2，∴圆心到直线x+y+1=0的距离d=…*∵椭圆C：，a＞b＞0的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，b=c，代入*式得b=1∴a==，故所求椭圆方程为．…（4分）（Ⅱ）由题意：直线L的斜率存在，∴设直线L方程为y=k（x﹣1），则M（0，﹣k），F（1，0）将直线方程代入椭圆方程得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2）则…①…（8分）由，∴，，即：，…（10分）==﹣4∴λ1+λ2=﹣4（定值）…（12分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

【精品】2016年河北省邢台一中高二上学期期中数学试卷带解析答案(文科)

2015-2016学年河北省邢台一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．（5分）已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为（）A．B．C．D．2．（5分）设命题p和命题q，“p∨q”的否定是真命题，则必有（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真3．（5分）入射光线沿直线x﹣2y+3=0射向直线l：y=x，被l反射后的光线所在直线的方程是（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x+y+3=0 D．2x﹣y+3=04．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”B．命题“若x=2，则x2﹣5x+6=0”的否命题是“若x=2，则x2﹣5x+6≠0”C．已知a，b∈R，命题“若a＞b，则|a|＞|b|”的逆否命题是真命题D．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分条件5．（5分）已知两个平面垂直，下列命题中：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2=﹣2y+3，直线l 经过点（1，0）且与直线x﹣y+1=0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为（）A．1 B．C．2 D．27．（5分）已知椭圆，则以点为中点的弦所在直线的方程为（）A．8x﹣6y﹣7=0 B．3x+4y=0 C．3x+4y﹣12=0 D．4x﹣3y=08．（5分）设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P 在椭圆C上，线段PF 1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4}D．（4，+∞）10．（5分）四面体ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．25πB．45πC．50πD．100π11．（5分）下列命题正确的个数是（）①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13．（5分）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C被直线x+y+3=0所截得的弦长为4，则圆C的方程为．14．（5分）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且满足，则△F1PF2的面积等于．15．（5分）已知直线ax+by+c=0与圆：x2+y2=1相交于A、B两点，且，则=．16．（5分）已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B 两点，则||+||的最大值为．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）设条件p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a≠0）；条件q：实数x满足x2+2x﹣8＞0，且命题“若p，则q”的逆否命题为真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．（1）求三棱锥A1﹣B1C1F的体积；（2）求异面直线BE与A1F所成的角的大小．19．（12分）已知圆O：x2+y2=1与圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0相切于M点，求以M为圆心，且与圆C的半径相等的圆的标准方程．20．（12分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M（2，1），N（2，0）两点．（1）求椭圆E的方程；（2）已知定点Q（0，2），P点为椭圆上的动点，求|PQ|最大值及相应的P点坐标．21．（12分）已知⊙M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．（1）若|AB|=，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；（2）求证：直线AB恒过定点．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；（2）若k＞0，P（6，0）且△PAB的面积为6，求k的值；（3）当k（k≠0）变化时，是否存在一点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年河北省邢台一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．（5分）已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且c=1，e==，故a=2，b=，则椭圆的标准方程为，故选：A．2．（5分）设命题p和命题q，“p∨q”的否定是真命题，则必有（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真【解答】解：∵“p∨q”的否定是真命题，∴p∨q是假命题，因此p与q都是假命题．故选：B．3．（5分）入射光线沿直线x﹣2y+3=0射向直线l：y=x，被l反射后的光线所在直线的方程是（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x+y+3=0 D．2x﹣y+3=0【解答】解：在入射光线上取点（1，2），则关于y=x的对称点（2，1）在反射代入验证，通过排除法，2x﹣y﹣3=0满足．故选：B．4．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”B．命题“若x=2，则x2﹣5x+6=0”的否命题是“若x=2，则x2﹣5x+6≠0”C．已知a，b∈R，命题“若a＞b，则|a|＞|b|”的逆否命题是真命题D．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分条件【解答】解：A命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆命题是“若x=2，则x2﹣5x+6=0”，故错误；命题“若x=2，则x2﹣5x+6=0”的否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”，故错误；命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题，故逆否命题也是假命题；∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，故正确．故选：D．5．（5分）已知两个平面垂直，下列命题中：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面α∩平面β=m，n⊂α，l⊂β，∵平面α⊥平面β，∴当l⊥m时，必有l⊥α，而n⊂α，而在平面β内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时，•一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，当两个平面垂直时，•过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故④正确；故选：B．6．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2=﹣2y+3，直线l 经过点（1，0）且与直线x﹣y+1=0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2=﹣2y+3，∴化成标准方程，可得x2+（y+1）2=4，由此可得圆的圆心为C（0，﹣1）、半径为2．∵直线x﹣y+1=0的斜率为1且与直线l垂直，直线l经过点（1，0），∴直线l的斜率为k=﹣1，可得直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即x+y﹣1=0．因此，圆心C到直线l的距离d==．∴直线l被圆C截得的弦长|AB|=2=2=2，又∵坐标原点O到AB的距离为d'==，∴△OAB的面积为S=|AB|×d'==1．故选：A．7．（5分）已知椭圆，则以点为中点的弦所在直线的方程为（）A．8x﹣6y﹣7=0 B．3x+4y=0 C．3x+4y﹣12=0 D．4x﹣3y=0【解答】解：设以点为中点的弦与椭圆交于M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=3，分别把M（x1，y1），N（x2，y2）代入椭圆方程，可得，再相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴4（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，∴k==﹣，∴点为中点的弦所在直线方程为y﹣=﹣（x﹣2），整理，得：3x+4y﹣12=0．故选：C．8．（5分）设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P 在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵线段PF1的中点在y轴上设P的横坐标为x，F1（﹣c，0），∴﹣c+x=0，∴x=c；∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴，∵∠PF1F2=30°，∴PF2=，∵PF1+PF2=2a，∴PF2=，tan∠PF1F2===，∴=，∴e==．故选：A．9．（5分）如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4}D．（4，+∞）【解答】解：根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，如图所示，当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，∵OA=OB=2，∠AOB=90°，∴根据勾股定理得：AB=2，∴OC=AB=，此时λ=OC2=2；当圆O半径大于2，即λ＞4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数λ的取值范围是{2}∪（4，+∞）．故选：A．10．（5分）四面体ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．25πB．45πC．50πD．100π【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，则有（2R）2=x2+y2+z2=50（R为球的半径），得R2=，所以球的表面积为S=4πR2=50π．故选：C．11．（5分）下列命题正确的个数是（）①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，∴（1）正确；（2）f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，最小正周期是=π⇒a=±1，∴（2）正确；（3）例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，∴（3）不正确；（4）∵，当θ=π时，•＜0．∴（4）错误．∴正确的命题是（1）（2）．故选：B．12．（5分）某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设正视图正方形的边长为m，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b=m，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径m，得到俯视图中椭圆的长轴长2a=m，则椭圆的焦距c==m，根据离心率公式得，e==故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13．（5分）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C被直线x+y+3=0所截得的弦长为4，则圆C的方程为（x+1）2+y2=6．【解答】解：令y=0得x=﹣1，所以直线x﹣y+1=0，与x轴的交点为（﹣1，0）所以圆心到直线的距离等于=，因为圆C被直线x+y+3=0所截得的弦长为4，所以r==所以圆C的方程为（x+1）2+y2=6；故答案为：（x+1）2+y2=6．14．（5分）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且满足，则△F1PF2的面积等于1．【解答】解：∵P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=，∴|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2 ，在△F1PF2中，由勾股定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|PF1|•|PF2|=16﹣2|PF1|•|PF2|=16﹣2|PF1|•|PF2|=12，∴|PF1|•|PF2|=2，∴S△F1PF2=|PF1|•|PF2|=1故答案为：115．（5分）已知直线ax+by+c=0与圆：x2+y2=1相交于A、B两点，且，则=．【解答】解：依题意可知角∠AOB的一半的正弦值，即sin =所以：∠AOB=120°则•=1×1×cos120°=．故答案为：．16．（5分）已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B 两点，则||+||的最大值为．【解答】解：由椭圆，得a=3，b=2，c==，由椭圆的定义可得：|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=12，∵当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值，把x=﹣代入，解得：y=±，∴|AB|min=，∴|AF2|+|BF2|的最大值为12﹣=．故答案为：．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）设条件p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a≠0）；条件q：实数x满足x2+2x﹣8＞0，且命题“若p，则q”的逆否命题为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：设A={x|x2﹣4ax+3a2＜0}当a＞0时，A=（a，3a）；当a＜0时，A=（3a，a），B={x|x2+2x﹣8＞0}={x|x＜﹣4，或x＞2}由于命题“若p，则q”的逆否命题为真命题，所以命题“若p，则q”为真命题，∴p是q的充分条件，∴A⊆B，∴a≥2或a≤﹣4，所以实数a的取值范围是a≥2或a≤﹣4．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．（1）求三棱锥A1﹣B1C1F的体积；（2）求异面直线BE与A1F所成的角的大小．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，FC1⊥平面A1B1C1，故FC1=2是三棱锥A1﹣B1C1F的高．而直角三角形的===2．∴三棱锥A 1﹣B1C1F的体积===．（2）连接EC，∵A1E∥FC，A1E=FC=4，∴四边形A1ECF是平行四边形，∴A1C∥EC，∴∠BEC是异面直线A1F与BE所成的角或其补角．∵AE⊥AB，AE⊥AC，AC⊥AB，AE=AB=AC=2，∴EC=EB=BC=2．∴△BCE是等边三角形．∴∠BEC=60°，即为异面直线BE与A1F所成的角．19．（12分）已知圆O：x2+y2=1与圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0相切于M点，求以M为圆心，且与圆C的半径相等的圆的标准方程．【解答】解：圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，可化为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m∵圆O：x2+y2=1与圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0相切，∴|OC|=1+=5或|OC|=﹣1=5∴m=9或m=﹣11∴圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=16或C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=36设M（x，y），由题知，=4或=6，故M（，）或M（﹣，﹣）故所求圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2=16或（x+）2+（y+）2=36．20．（12分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M（2，1），N（2，0）两点．（1）求椭圆E的方程；（2）已知定点Q（0，2），P点为椭圆上的动点，求|PQ|最大值及相应的P点坐标．【解答】（12分）解：（1）设椭圆E的方程为：mx2+ny2=1，m＞0，n＞0，m≠n．将M（2，1），N（2，0）代入椭圆E的方程，得…（3分）解得m=，n=，所以椭圆E的方程为…（6分）（2）设P（x，y）为椭圆上任意一点，由Q（0，2），得，∵，∴时，此时P点坐标为21．（12分）已知⊙M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．（1）若|AB|=，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；（2）求证：直线AB恒过定点．【解答】解：（1）设直线MQ交AB于点P，则|AP|=，又|AM|=1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|==，∵|MQ|=，∴|MQ|=3．设Q（x，0），而点M（0，2），由=3，得x=±，则Q点的坐标为（，0）或（﹣，0）．从而直线MQ的方程为2x+y﹣2=0或2x﹣y+2=0．（2）证明：设点Q（q，0），由几何性质，可知A、B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x（x﹣q）+y（y﹣2）=0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，即为qx﹣2y+3=0，∴直线AB恒过定点（0，）．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；（2）若k＞0，P（6，0）且△PAB的面积为6，求k的值；（3）当k（k≠0）变化时，是否存在一点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．【解答】解（1）∵椭圆方程为∴a2=18，b2=9，得c==3，可得F（3，0）…（1分）∵且点A在x轴的上方，…（2分）∴可得A在椭圆上且，得A是椭圆的上顶点，坐标为A（0，3）由此可得l的斜率k=﹣1，…（3分）因此，直线l的方程为：，化简得x+y﹣3=0…（4分）（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l：y=k（x﹣3）…（5分）将直线与椭圆方程联列，…（6分）消去x，得（1+2k2）y2+6ky﹣9k2=0…（7分）由于△＞0恒成立，根据根与系数的关系可得…（8分）∴…（9分）=因此，可得S△PAB化简整理，得k4﹣k2﹣2=0，由于k＞0，解之得k=1…（10分）（3）假设存在这样的点C（x 0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，根据题意，得直线l：y=k（x﹣3）（k≠0）由消去y，得（1+2k2）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）=0…（12分）由于△＞0恒成立，根据根与系数的关系可得…（*）…（13分）而，，…（14分）∴=由此化简，得2kx1x2﹣k（x0+3）（x1+x2）+6kx0=0，…（15分）将（*）式代入，可得，解之得x0=6，∴存在一点C（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．…（16分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

2020-2021学年河北邢台一中高二上学期期中考试文科数学试卷

2021年河北邢台一中高二上学期期中考试文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．双曲线2228x y -=的实轴长是A ．2B ．C ．4D ．2．曲线2x y =在(1,1)处的切线方程是（）A ．230x y ++=B ．032=--y xC ．210x y ++=D ．012=--y x3．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆222690x y x y +-++=的圆心的抛物线的方程是（） A ．23y x =- B ．29y x =C ．29y x =-或23y x =D ．23y x =-或29y x =4．已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) A ．34B ．1C ．54D ．745．m=-是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m-2)y-3=0相互垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要6．已知抛物线y 2=4x ，以(1,1)为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（） A ．x −2y +1=0 B ．2x −y −1=0 C ．2x +y −3=0 D ．x +2y −3=0 7．已知实数[]1,9x ∈，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于55的概率为( )A ．58B ．38C ．23D ．138．设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是（）A ．B ．C ．D ．9．已知x ，y 的取值如下表示：若y 与x 线性相关，且0.95y x a =+，则a =（） x 0 1 3 4 y 2.24.34.86.7A ．2.2B ．2.6C ．2.8D ．2.910．已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（）A ．33⎡⎢⎣⎦B ．]3,3[-C ．33⎛ ⎝⎭ D ．(3,3- 11．已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 与2C3，则2C 的渐近线方程为( )A ．20x =B 20x y ±= C ．20x y ±= D ．20x y ±=12．设P 是椭圆上的一点，F 1、F 2是焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△PF 1F 2的面积为（） A ． B ． C ． D ．16二、填空题13．若函数()f x 满足()0'3f x =-，则当h 趋向于0时，()()003f x h f x h h+--趋向于______．14．方程x 24−t +y 2t−2=1所表示的曲线为C ，有下列命题： ①若曲线C 为椭圆，则2<t <4； ②若曲线C 为双曲线，则t >4或t <2； ③曲线C 不可能为圆；④若曲线C 表示焦点在y 上的双曲线，则t >4。

河北省邢台市第一中学高二数学上学期第三次月考(期中)试题理

邢台一中2015-2016学年上学期第三次月考高二年级数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.已知椭圆的一个焦点为F(0,1)，离心率12e =，则椭圆的标准方程为( ).A ．2212x y +=B ．2212y x += C ．22143x y += D ．22134x y +=2.设命题p 和命题q ，“p q ∨”的否定．．是真命题，则必有（） A ．p 真q 真 B ．p 假q 假 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真3.入射光线沿直线x －2y ＋3＝0射向直线l ：y ＝x ，被l 反射后的光线所在直线的方程是( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x ＋y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝04.下列说法正确的是( ).A ．命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆命题是“若2x ≠，则2560x x -+≠”B ．命题“若2x =，则2560x x -+=”的否命题是“若2x =，则2560x x -+≠”C ．已知 a b ∈R ，，命题“若a b >，则||||a b >”的逆否命题是真命题D ．若 a b ∈R ，，则“0ab ≠”是“0a ≠”的充分条件 5.若两个平面互相垂直，则下列命题中正确的是( )A ．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；B ．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；C ．一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；D ．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.6.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为2223x y y +=-+，直线l 过点(1,0)且与直线10x y -+=垂直.若直线l 与圆C 交于A B 、两点，则OAB ∆的面积为（）A ．1B ．2 D ．7.已知椭圆191622=+y x ，则以点)23,2(A 为中点的弦所在直线的方程为（） A ．0768=--y x B ．043=+y x C ．01243=-+y x D ．034=-y x8.设1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（）A.3 B.6C.13D.169.如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范围是（）A ．{2}∪(4,)+∞B ．(2,)+∞C ．{2,4}D ．(4,)+∞10.四面体ABCD 中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（）A ．25πB ．45πC ．50πD ．100π 11.下列命题正确的个数是 ( )①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；②“函数ax ax x f 22sin cos )(-=的最小正周期为π”是“1=a ”的必要不充分条件；③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立⇔maxmin 2)()2(ax x x ≥+，[]1,2x ∈；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<”. A.1 B.2 C.3 D.412.某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（） A ．2 B ．21 C ．22 D ．42第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上 13.已知圆C 的圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点，且圆C 被直线30x y ++=所截得的弦长为4，则圆C 的方程为 .14.设1F 、2F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点,点P 在椭圆上,且满足221π=∠PF F ,则21PF F ∆的面积等于____________.15.直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →＝________.16.已知椭圆:14922=+y x ,左右焦点分别为12F F ，,过1F 的直线l 交椭圆于A B ，两点,则22||||BF AF +的最大值为________.三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（10分）设条件p ：实数x 满足22430(0)x ax a a -+<≠；条件q ：实数x 满足 2280,x x +->且命题“若p ，则q ”的逆否命题为真命题，求实数a 的取值范围.18.（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且2PD CD BC ==，过棱PC 的中点E ，作E F P B ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE （Ⅰ）证明：PB DEF ⊥平面．（Ⅱ）求异面直线AD 与BE 所成角的余弦值及二面角B DE F --的余弦值。

2017-2018学年河北省邢台市高二(上)数学期中试卷带解析答案(文科)

2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣32．（5分）当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤03．（5分）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞04．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）5．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切7．（5分）已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p 是￢q的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件9．（5分）下列命题中真命题是（）A．B．∃x∈（﹣∞，0），2x＞1C．∀x∈R，x2≥x﹣1 D．∀x∈（0，π），sinx＞cosx10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C． D．11．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．12．（5分）三棱锥P﹣ABC 中，PC⊥平面ABC，且AB=2，BC=CA=PC=2，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．2πB．4πC．6πD．12π二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为．14．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=．15．（5分）命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为．16．（5分）若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）给定命题p：∀x∈R，都有ax2+ax+1＞0成立；q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）（Ⅰ）已知圆经过A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5）两点，若圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，求圆M的方程；（Ⅱ）求过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，1）的圆N的方程．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离．20．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．22．（12分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．（Ⅰ）证明：直线l恒过一定点P；（Ⅱ）证明：直线l与圆C相交；（Ⅲ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选：B．2．（5分）当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0【解答】解：由逆否命题的定义可知：当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x ﹣m=0有实根”的逆否命题是：若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0．故选：D．3．（5分）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0【解答】解：命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是对任意的x∈R，2x＞0，故选：D．4．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选：C．5．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．6．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴两圆的位置关系是相交．故选：B．7．（5分）已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解；①∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又∵m⊂β，∴l⊥m，①正确．②由l⊥m推不出l⊥β，②错误．③当l⊥α，α⊥β时，l可能平行β，也可能在β内，∴l与m的位置关系不能判断，③错误．④∵l⊥α，l∥m，∴m∥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，正确；故选：B．8．（5分）已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p 是￢q的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得：=1，解得k=．∴p是q的充分不必要条件．则￢p是￢q的必要不充分条件．故选：B．9．（5分）下列命题中真命题是（）A．B．∃x∈（﹣∞，0），2x＞1C．∀x∈R，x2≥x﹣1 D．∀x∈（0，π），sinx＞cosx【解答】解：∵sinxcosx=sin2x，若sinxcosx=，则sin2x=＞1，故A错误；∵当x∈（﹣∞，0），2x＜1恒成立，故B错误；∵方程x2﹣x+1=0的△=1﹣4=﹣3＜0，函数y=x2﹣x+1的图象为开口朝上的抛物线，故x2﹣x+1≥0恒成立，即∀x∈R，x2≥x﹣1，故C正确；∵当x=∈∈（0，π），sinx=cosx，故∀x∈（0，π），sinx＞cosx，故D错误；故选：C．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C． D．【解答】解：由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，左侧与一个底面半径为1，高为1的半圆锥组成的组合体，几何体的体积为：=．故选：B．11．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选：C．12．（5分）三棱锥P﹣ABC 中，PC⊥平面ABC，且AB=2，BC=CA=PC=2，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．2πB．4πC．6πD．12π【解答】解：如图，∵AB=2，BC=CA=2，∴△ABC为直角三角形，斜边中点M为△ABC的外心，设球心为O，则OM⊥面ABC，过O作ON⊥PC于N，可得N为PC中点，∵PC⊥平面ABC，∴球半径R=OC=则该三棱锥的外接球的表面积是4πR2=12π．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为6π．【解答】解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，所以它的底面半径为：1，所以圆柱的表面积为S=2S底+S侧=2×12×π+2π×2=6π．故答案为：6π．14．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=2．【解答】解：圆心为（0，0），半径为2，圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=，故，得|AB|=2．故答案为：2．15．（5分）命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为[﹣2，2] ．【解答】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2．故答案为：[﹣2，2]16．（5分）若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是[1﹣，3] ．【解答】解：如图所示：曲线y=3﹣，即y﹣3=﹣，平方可得（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，∴b=1+，或b=1﹣．结合图象可得1﹣≤b≤3，故答案为：[1﹣，3]．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）给定命题p：∀x∈R，都有ax2+ax+1＞0成立；q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a=0或⇔0≤a＜4；（2分）关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根⇔△=1﹣4a≥0⇔a≤；…（4分）p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真，…（5分）如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞∴＜a＜4；…（6分）如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤∴a＜0…（7分）所以实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（，4）．…（8分）18．（12分）（Ⅰ）已知圆经过A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5）两点，若圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，求圆M的方程；（Ⅱ）求过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，1）的圆N的方程．【解答】解：（Ⅰ）AB的中点为（0，﹣4），直线AB的斜率为=，∴线段AB的中垂线方程为y=﹣2x﹣4，即2x+y+4=0．联立方程组，解得x=﹣1，y=﹣2，即所求圆的圆心M（﹣1，﹣2），∴圆的半径，∴圆M的方程为（x+1）2+（y+2）2=10．（Ⅱ）设圆N的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵圆N过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，1），∴列方程组得解得D=﹣2，E=2，F=﹣3，∴圆N的方程为x2+y2﹣2x+2y﹣3=0．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离．【解答】（本题满分12分）（Ⅰ）证明：连接A1C交AC1于点O，连接OD．∵矩形ACC1A1中，O是A1C的中点，又点D是BC的中点，∴△A1BC中，OD∥A1B．∵OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1；…（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知O是A 1C的中点，故点A1到平面ADC1的距离与点C到平面ADC1的距离相等，设为h．∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∴AD⊥CC1，BC⊥CC1，∴AD⊥平面BCC1B1，AD⊥DC1．在Rt△C 1CD中，，则，；在Rt△ACD中，；…（8分）∵三棱锥C﹣ADC1与三棱锥C1﹣ACD的体积相等，即，∴，解得．即点A1到平面ADC1的距离为．…（12分）20．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．命题q：实数x满足．化为，解得，即2＜x≤3．（1）a=1时，p：1＜x＜3．p∧q为真，可得p与q都为真命题，则，解得2＜x＜3．实数x的取值范围是（2，3）．（2）∵p是q的必要不充分条件，∴，a＞0，解得1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（1，2]．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF ②．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．22．（12分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．（Ⅰ）证明：直线l恒过一定点P；（Ⅱ）证明：直线l与圆C相交；（Ⅲ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．【解答】（本题满分12分）解：证明：（Ⅰ）直线l方程变形为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，由，得，∴直线l恒过定点P（3，1）．…（4分）（Ⅱ）∵P（3，1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的圆心C（1，2），半径r=5，∴，∴P点在圆C内部，∴直线l与圆C相交．…（8分）解：（Ⅲ）当l⊥PC时，所截得的弦长最短，此时有k l•k PC=﹣1，而，k PC=﹣，∴=﹣1，解得m=﹣．…（12分）。

河北省邢台一中高二数学上学期12月月考试卷文(含解析)

2015-2016学年河北省邢台一中高二（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．抛物线y=x2的准线方程是（）A．4y+1=0 B．4x+1=0 C．2y+1=0 D．2x+1=02．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣43．若直线ax+by=2与圆x2+y2=1有公共点，则（）A．a2+b2≤4 B．a2+b2≥4 C． +≤4 D． +≥44．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）5．“a=1”是“函数f（x）=（x﹣1）2在区间[a，+∞）上为增函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．曲线与曲线的（）A．焦距相等 B．离心率相等C．焦点相同 D．准线相同7．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±4x D．y=±x8．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1＜0”9．已知直线l：y=x+m（m∈R），若以点M（2，0）为圆心的圆与直线l相切于点P，且P在y轴上，则该圆的方程为（）A．（x﹣2）2+y2=8 B．（x+2）2+y2=8 C．x2+（y﹣2）2=8 D．x2+（y+2）2=810．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在线段AB1，BC1上，且AM=BN，给出以下结论：其中正确的结论的个数为（）①AA1⊥MN②异面直线AB1，BC1所成的角为60°③四面体B1﹣D1CA的体积为④A1C⊥AB1，A1C⊥BC1．A．1 B．2 C．3 D．411．一个正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心）的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在过该球球心的一个截面上，则该正三棱锥的体积是（）A．B．C．D．12．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．（1，2）C．[2，+∞）D．（2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13．抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是．14．已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．15．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在双曲线上，则= ．16．已知点A（﹣5，0），B（﹣1，﹣3），若圆x2+y2=r2（r＞0）上共有四个点M，N，P，Q，使得△MAB、△NAB、△PAB、△QAB的面积均为5，则r的取值范围是．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知以点C（1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y﹣1=0相切．（1）求圆C的标准方程；（2）求过圆内一点P（2，﹣）的最短弦所在直线的方程．18．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．19．已知⊙C与两平行直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，且圆心C在直线x+y=0上，（Ⅰ）求⊙C的方程；（Ⅱ）斜率为2的直线l与⊙C相交于A，B两点，O为坐标原点且满足，求直线l 的方程．20．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．21．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且＞2（其中O为原点）．求k的取值范围．22．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若椭圆E的左、右焦点分别是F、H，过点H的直线l：x=my+1与椭圆E交于M、N两点，则△FMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．2015-2016学年河北省邢台一中高二（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．抛物线y=x2的准线方程是（）A．4y+1=0 B．4x+1=0 C．2y+1=0 D．2x+1=0【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程，可求得q，进而根据抛物线的性质可知其准线方程．【解答】解：抛物线y=x2，P=，准线方程为y=，即4y+1=0故选A．2．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【考点】椭圆的简单性质．【分析】通过椭圆、抛物线的焦点相同，计算即得结论．【解答】解：由a2=6、b2=2，可得c2=a2﹣b2=4，∴到椭圆的右焦点为（2，0），∴抛物线y2=2px的焦点（2，0），∴p=4，故选：C．3．若直线ax+by=2与圆x2+y2=1有公共点，则（）A．a2+b2≤4 B．a2+b2≥4 C． +≤4 D． +≥4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线ax+by=2和圆x2+y2=1有公共点，通过圆心到直线的距离小于等于半径，即可推出a，b关系．【解答】解：因为直线ax+by=2和圆x2+y2=1有公共点，所以圆心到直线ax+by﹣2=0的距离d=≤1，解得a2+b2≥4，故选：B．4．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）【考点】椭圆的定义．【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围．【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆∴故0＜k＜1故选D．5．“a=1”是“函数f（x）=（x﹣1）2在区间[a，+∞）上为增函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据二次函数的单调性的性质，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若函数f（x）=（x﹣1）2在区间[a，+∞）上为增函数，则a≥1，则“a=1”是“函数f（x）=（x﹣1）2在区间[a，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，故选：A6．曲线与曲线的（）A．焦距相等 B．离心率相等C．焦点相同 D．准线相同【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】根曲线的方程可知前者为椭圆，后者为双曲线，排除B；前者焦点在x轴，后者焦点在y轴，排除CD，答案可知．【解答】解：由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，排除C，D；椭圆的离心率小于1，双曲线离心率大于1排除B，故选A7．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±4x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式可得a，b的关系，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．【解答】解：椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则=，即有=，则双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，即有y=±x．故选A．8．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1＜0”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出命题的否命题判断A；写出命题的逆命题判断B；由互为逆否命题的两个命题共真假判断C；直接写出特称命题的否定判断D．【解答】解：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“若一个数的平方是正数，则这个数是负数”，故B错误；命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，故其逆否命题为真命题，C正确；命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1≥0”，故D错误．故选：C．9．已知直线l：y=x+m（m∈R），若以点M（2，0）为圆心的圆与直线l相切于点P，且P在y轴上，则该圆的方程为（）A．（x﹣2）2+y2=8 B．（x+2）2+y2=8 C．x2+（y﹣2）2=8 D．x2+（y+2）2=8【考点】圆的标准方程．【分析】由题意可得，点P的坐标为（0，m），再根据圆的半径MP即点M到直线l的距离，求得m的值，可得半径，从而得到圆的标准方程．【解答】解：由题意可得，点P的坐标为（0，m），圆的半径MP即点M到直线l的距离，∴=，求得 m=2，故半径为MP=2，故圆的方程为（x﹣2）2+y2=8，故选：A．10．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在线段AB1，BC1上，且AM=BN，给出以下结论：其中正确的结论的个数为（）①AA1⊥MN②异面直线AB1，BC1所成的角为60°③四面体B1﹣D1CA的体积为④A1C⊥AB1，A1C⊥BC1．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．【分析】根据正方体的性质和线面平行、性质的性质，可证出AA1⊥MN，得到①正确；根据异面直线所成角的定义与正方体的性质可得异面直线AB1，BC1所成的角为60°，得到②正确；根据正方体、锥体的体积公式加以计算，可得四面体B1﹣D1CA的体积为，得到③正确；利用线面垂直的判定与性质，结合正方体的性质可证出A1C⊥AB1且A1C⊥BC1，得到④正确．即可得到本题答案．【解答】解：对于①，分别作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E、F，连结EF由AM=BN利用正方体的性质，可得四边形MNEF为平行四边形∴MN∥EF，可得MN∥平面ABCD∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥MN，因此可得①正确；对于②，连结B1D1、AD1，可得∠B1AD1就是异面直线AB1，BC1所成的角∵△B1AD1是等边三角形，∴∠B1AD1=60°因此异面直线AB1，BC1所成的角为60°，得到②正确；对于③，四面体B1﹣D1CA的体积为V=﹣4=1﹣4×=，得到③正确；对于④，根据A1B1⊥平面BB1C1C，得到A1B1⊥BC1，由正方形BB1C1C中证出B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1C，结合A1C⊂平面A1B1C，得A1C⊥BC1，同理可证出A1C⊥AB1，从而得到④正确综上所述，四个命题都是真命题故选：D11．一个正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心）的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在过该球球心的一个截面上，则该正三棱锥的体积是（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【分析】作棱锥的高OP，则OP=OC=1，利用等边三角形的性质求出底面边长，从而得出棱锥的体积．【解答】解：设正三棱锥底面中心为O，连接OP，延长CO交AB于D，则CD=OC．∵O是三棱锥P﹣ABC的外接球球心，∴OP=OC=1，∴CD=，∴BC=．∴V P﹣ABC===．故选：B．12．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．（1，2）C．[2，+∞）D．（2，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【解答】解：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2=，∴e≥2，故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13．抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先对y=﹣x2求导得到与直线4x+3y﹣8=0平行的切线的切点坐标，再由点到线的距离公式可得答案．【解答】解：先对y=﹣x2求导得y′=﹣2x令y′=﹣2x=﹣易得x0=即切点P（，﹣）利用点到直线的距离公式得d==故答案为：14．已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．由此可求出它到双曲线中心的距离．【解答】解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．∴它到中心（0，0）的距离为d==．故答案为：．15．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在双曲线上，则= ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，利用正弦定理以及双曲线的定义化简，即可得到答案．【解答】解：由题意可知双曲线的焦点是A，B，∵顶点B在双曲线上，∴由双曲线的定义可知||BC|﹣|AB||=2a=6，c=4，∴==．故答案为：．16．已知点A（﹣5，0），B（﹣1，﹣3），若圆x2+y2=r2（r＞0）上共有四个点M，N，P，Q，使得△MAB、△NAB、△PAB、△QAB的面积均为5，则r的取值范围是（5，+∞）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先求得|AB|=5，再根据题意可得点M，N，P，Q到直线AB的距离为2，AB的方程为3x+4y+15=0，利用圆上有4个点到直线AB的距离为2时，r应满足的条件是圆心到直线AB 的距离d＜r﹣2，从而求得r的取值范围．【解答】解：由题意可得|AB|==5，根据△MAB和△NAB、△PAB、△QAB的面积均为5，可得点M，N，P，Q到直线AB的距离为2；由于AB的方程为=，即3x+4y+15=0，且圆上有四个点到直线AB的距离为2，所以圆心（0，0）到直线AB的距离＜r﹣2，解得r＞5；所以r的取值范围是（5，+∞）．故答案为：（5，+∞）．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知以点C（1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y﹣1=0相切．（1）求圆C的标准方程；（2）求过圆内一点P（2，﹣）的最短弦所在直线的方程．【考点】直线和圆的方程的应用；圆的标准方程．【分析】（1）由点到直线的距离求出半径，从而得到圆的方程；（2）由垂径定理可得，过P点的最短弦所在直线与过P点的直径垂直，求出过P点的直径的斜率，进而求出过P点的最短弦所在直线的斜率，利用点斜式，可以得到过P点的最短弦所在直线的方程．【解答】解：（1）圆的半径r==，所以圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．（2）圆的圆心坐标为C（1，﹣2），则过P点的直径所在直线的斜率为﹣，由于过P点的最短弦所在直线与过P点的直径垂直∴过P点的最短弦所在直线的斜率为2，∴过P点的最短弦所在直线的方程y+=2（x﹣2），即4x﹣2y﹣13=0．18．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．【分析】（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程．（II）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．【解答】解：（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程y2=2px，得4=2p，p=2∴抛物线C的方程为：y2=4x，其准线方程为x=﹣1（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t，由得y2+2y﹣2t=0，∵直线l与抛物线有公共点，∴△=4+8t≥0，解得t≥﹣又∵直线OA与L的距离d==，求得t=±1∵t≥﹣∴t=1∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y﹣1=019．已知⊙C与两平行直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，且圆心C在直线x+y=0上，（Ⅰ）求⊙C的方程；（Ⅱ）斜率为2的直线l与⊙C相交于A，B两点，O为坐标原点且满足，求直线l 的方程．【考点】圆的标准方程；直线的一般式方程；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用平行线之间的距离求出圆的直径，设出圆心坐标，利用圆心到直线的距离，求出圆心坐标，可得圆的方程．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，说明直线l经过圆的圆心，然后利用两点式求出直线方程即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意知⊙C的直径为两平行线 x﹣y=0及x﹣y﹣4=0之间的距离∴解得，…由圆心C（a，﹣a）到 x﹣y=0的距离得a=±1，检验得a=1…∴⊙C的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=2…（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊙C过原点，因为，则l经过圆心，…直线l的斜率为：2，圆的圆心坐标（1，﹣1），所以直线l的方程：2x﹣y﹣3=0…（注：其它解法请参照给分．）20．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系．【分析】（Ⅰ）取AB中点O，连接EO，DO．利用等腰三角形的性质，可得EO⊥AB，证明边形OBCD为正方形，可得AB⊥OD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面EOD，从而可得AB⊥ED；（Ⅱ）由平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，可得EO⊥平面ABCD，从而可得EO⊥OD．建立空间直角坐标系，确定平面ABE的一个法向量为，，利用向量的夹角公式，可求直线EC与平面ABE所成的角；（Ⅲ）存在点F，且时，有EC∥平面FBD．确定平面FBD的法向量，证明=0即可．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接EO，DO．因为EB=EA，所以EO⊥AB．…因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD．…因为EO∩OD=O所以AB⊥平面EOD．…因为ED⊂平面EOD所以AB⊥ED．…（Ⅱ）解：因为平面ABE⊥平面ABCD，且 EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB所以EO⊥平面ABCD，因为OD⊂平面ABCD，所以EO⊥OD．由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．…因为△EAB为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．所以，平面ABE的一个法向量为．…设直线EC与平面ABE所成的角为θ，所以，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为．…（Ⅲ）解：存在点F，且时，有EC∥平面FBD．…证明如下：由，，所以．设平面FBD的法向量为=（a，b，c），则有所以取a=1，得=（1，1，2）．…因为=（1，1，﹣1）•（1，1，2）=0，且EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD．即点F满足时，有EC∥平面FBD．…21．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且＞2（其中O为原点）．求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．【分析】（1）由双曲线的右焦点与右顶点易知其标准方程中的c、a，进而求得b，则双曲线标准方程即得；（2）首先把直线方程与双曲线方程联立方程组，然后消y得x的方程，由于直线与双曲线恒有两个不同的交点，则关于x的方程必为一元二次方程且判别式大于零，由此求出k的一个取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系用k的代数式表示出x A+x B，x A x B，进而把条件转化为k的不等式，又求出k的一个取值范围，最后求k的交集即可．【解答】解：（1）设双曲线方程为（a＞0，b＞0）．由已知得．故双曲线C的方程为．（2）将．由直线l与双曲线交于不同的两点得即．①设A（x A，y A），B（x B，y B），则，而=．于是．②由①、②得．故k的取值范围为．22．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若椭圆E的左、右焦点分别是F、H，过点H的直线l：x=my+1与椭圆E交于M、N两点，则△FMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆E的方程为，由椭圆E经过A（﹣2，0）、两点，知，由此能求出椭圆E的方程．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），设y1＞0，y2＜0，设△FMN的内切圆的半径为R，则S△FMN=4R，当S△FMN最大时，R也最大，△FMN的内切圆的面积也最大，由此能求出△FMN的内切圆的面积的最大值及直线l的方程．【解答】解：（1）设椭圆E的方程为，∵椭圆E经过A（﹣2，0）、两点，∴，∴a2=4，b2=3∴椭圆E的方程为+=1．…（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），设y1＞0，y2＜0，如图，设△FMN的内切圆的半径为R，则S△FMN=（|MN|+|MF|+|NF|）R= [（|MF|+|MH|）+（|NF|+|NH|）]R=4R，当S△FMN最大时，R也最大，△FMN的内切圆的面积也最大，∵S△FMN=|FH||y1|+|FH||y2|，|FH|=2c=2，∴S△FMN=|y1|+|y2|=y1﹣y2．由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，则△=（6m）2+4×9（3m2+4）＞0恒成立，，∴，∴…设，则t≥1，且m2=t﹣1，∴，设，则，∵t≥1，∴f'（t）＜0，∴函数f（t）在[1，+∞）上是单调减函数，∴f（t）max=f（1）=3，即S△FMN的最大值是3．∴4R≤3，R，即R的最大值是，∴△FMN的内切圆的面积的最大值是，此时m=0，直线l的方程是x=1．。

2022-2022年高二上册期中考试数学带参考答案和解析(河北省邢台市)

2022-2022年高二上册期中考试数学带参考答案和解析（河北省邢台市）填空题若直线与曲线有公共点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】试题分析：如图所示：曲线，即（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得结合图象可得选择题圆和圆的位置关系是（）A. 相交B. 相离C. 外切D. 内切【答案】A【解析】两圆的方程可化为，两圆心距离．由两圆之间位置关系的判定可知两圆相交．故本题答案选．选择题三棱锥中，平面，且，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作的外接圆，过点C作外接圆的直径CM，连接PM，则PM为三棱锥P-ABC的外接球的直径，如图所示;∵∴又平面∴∴，即∴,故选D.解答题（1）已知圆经过和两点，若圆心在直线上，求圆的方程；（2）求过点、和的圆的方程.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由直线AB的斜率，中点坐标，写出线段AB中垂线的直线方程，与直线x-2y-3=0联立即可求出交点的坐标即为圆心的坐标，再根据两点间的距离公式求出圆心到点A的距离即为圆的半径，根据圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可；（2）设圆的方程为，代入题中三点坐标，列方程组求解即可试题解析：（1）由点和点可得，线段的中垂线方程为．∵圆经过和两点，圆心在直线上，∴，解得，即所求圆的圆心，∴半径，所求圆的方程为；（2）设圆的方程为，∵圆过点、和，∴列方程组得解得，∴圆的方程为．选择题已知，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知，,..当时，有最小值.故选A.填空题若平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为__________．【答案】【解析】由题意设l与α所成角为θ,设向量与的夹角为β，∵平面α的一个法向量,直线l的一个方向向量为，∴答案为：.选择题过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，则的外接圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】D填空题直线与圆相交于两点，则__________．【答案】【解析】圆心到直线的距离，，圆半径，．选择题过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（）A. 2B. 1C.D.【答案】A【解析】因为点P(2,2)满足圆的方程，所以P在圆上，又过点P(2,2)的直线与圆相切，且与直线ax−y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax−y+1=0平行，所以直线ax−y+1=0的斜率为：.故选A.选择题正方体中，二面角的大小为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 135°【答案】B【解析】正方体中,∵平面，∴，就是所求二面角的平面角。

2019-2020学年河北省邢台市高二上学期期中数学试题

2019-2020学年河北省邢台市高二上学期期中数学试题一、单选题1．命题“0x ∀>，3x e x >”的否定是（） A ．0x ∀>，3x e x ≤ B ．0x ∀≤，3x e x > C ．0x ∃>，3x e x ≤ D ．0x ∃≤，3x e x >答案C全称命题的否定对应特称命题，对照选项即可选出. 解解全称命题“0x ∀>，3x e x >”的否定是特称命题“0x ∃>，3x e x ≤”. 故选C. 点评本题考查全称命题的否定，属于基础题.2．椭圆C 2211612x y +=的右焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，则PF 的最大值是（） A ．2 B ．3C ．4D ．6答案D求出椭圆的,a c ，利用椭圆的性质推出结果即可. 解解由题意可得4a =，2c ==，则6PF a c ≤+=. 所以PF 的最大值是6. 故选D. 点评本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题. 3．下列说法正确的是（） A ．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是12，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况B ．某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，这说明明天本地有80%的区域下雨C ．概率是客观存在的，与试验次数无关D ．若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖答案C概率是反映事件发生机会的大小的概率，只是表示发生机会的大小，机会大也不一定发生. 解解对于A ，这是一个随机事件，抛掷一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，事先无法预料，错误；对于B ，这是一个随机事件，明天本地降水概率为80%表示明天有80%的可能降雨，事先无法预料，错误；对于C ，正确；对于D ，这是一个随机事件，买彩票中奖或不中奖都有可能，事先无法预料，错误. 故选C. 点评本题考查概率的意义，属于基础题.4．若椭圆22214932x y m+=-上的一点M 到其左焦点的距离是6，则点M 到其右焦点的距离是（） A ．5 B ．6C ．7D ．8答案D根据题意，由椭圆的标准方程可得a 的值，结合椭圆的定义，可得点M 到其右焦点的距离解解由椭圆的方程可知7a =，点M 到两个焦点的距离之和为214a =. 因为点M 到其左焦点的距离是6，所以点M 到其右焦点的距离是1468-=. 故选D. 点评本题考查椭圆的几何意义，注意利用椭圆的定义分析，是基本知识的考查.5．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是（）A ．“至少一个红球”与“至少一个黄球”B ．“至多一个红球”与“都是红球”C ．“都是红球”与“都是黄球”D ．“至少一个红球”与“至多一个黄球”答案BA 选项“至少一个红球”与“至少一个黄球”可以同时发生；B 选项说法正确；C 选项仅仅是互斥而不是对立；D 选项“至少一个红球”与“至多一个黄球”可以同时发生. 解从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，各种情况为两红，一红一黄，两黄，三种情况，“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至少一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件；“至多一个红球”即一黄一红或两黄，与“都是红球”互为对立事件； “都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件；“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至多一个黄球”即一红一黄或两红，不是对立事件. 故选B 点评此题考查对立事件的辨析，关键在于弄清每个选项中的事件的本质意义.6．已知椭圆E 22164x y +=，直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点.若线段AB 的中点P 的坐标为()2,1，则直线l 的斜率是（） A ．43-B ．34-C ．43D ．34答案A设()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可得到直线l 的斜率. 解解设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x +=，122y y +=. 因为A ，B 都在椭圆E 上，所以22112222164164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即 22221212064x x y y --+=，整理得()()121212122433x x y y x x y y +-=-=--+，故直线l 的斜率是43-. 故选A. 点评本题考查椭圆的中点弦所在直线的斜率，注意运用点差法，考查运算能力，属于中档题. 7．从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数是大于20的偶数的概率为（） A ．14B ．38C ．34D ．1116答案B利用列举法从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有16个，其中大于20的偶数有6个，即可求出两位数是大于20的偶数的概率. 解解从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43，共16个，其中大于20的偶数有24，30，32，34，40，42，共6个，故所求概率63168p ==. 故选B. 点评本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题. 8．已知椭圆C2213620x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，若122AF AF =，则1ABF ∆的面积是（）A．B．C ．8D ．4答案B根据题意，结合椭圆定义可求出12AF F ∆的三边长，利用余弦定理求出12cos F AF ∠，即可得12sin F AF ∠值，故可得12AF F ∆的面积，由对称性可知1ABF ∆的面积. 解解由题意可得6a =，4c =，则12212AF AF a +==，128F F =. 因为122AF AF =，所以18AF =，24AF =，所以126416641cos 2844F AF +-∠==⨯⨯，则12sin F AF ∠=，故12AF F ∆的面积是121211sin 8422AF AF F AF ⋅∠=⨯⨯=，由对称性可知1ABF ∆的面积是故选B. 点评本题考查了椭圆定义、考查了余弦定理三角形面积公式及图形的对称性，属于中档题. 9．从5个同类产品（其中3个正品，2个次品）中，任意抽取2个，下列事件发生概率为910的是（） A ．2个都是正品 B ．恰有1个是正品 C ．至少有1个正品 D ．至多有1个正品答案C由5个产品中3个正品2个次品的分布，5个中产品任取2个有10种取法，取2个次品只有一种取法，概率为110，那么其对立事件的概率就是910．从而得到结论．解易得两个都是次品的概率是2225110C C =，故发生概率为910的事件是“两个都是次品”的对立事件，即“至少有1个正品” 故选C. 点评本题考查古典概型，由概率求事件，因此可从最简单的情况入手，利用对立事件的概率公式求得结论． 10．给出下列四个命题①x R ∀∈，210x x ++>；②当0ac >时，x R ∃∈，20ax bx c +-=； ③x y x y -=+成立的充要条件是0xy ≥； ④“23x -<<”是“()()2224230x x xx -+--<”的必要不充分条件.其中真命题的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案C利用∆<0判定①正确；利用判别式法判定②正确；举例说明③错误；由()2224130x x x -+=-+>，在求解一元二次不等式，结合充分必要条件得判定说明④正确. 解解对于①，由于30∆=-<，所以①正确；对于②，由于0ac >，所以240b ac ∆=+>，所以方程20ax bx c +-=有实数根，故②正确；对于③，由x y x y -=+，得()22x y x y -=+，整理得xy xy -=，所以0xy ≤，故③错误；对于④，因为()2224130x x x -+=-+>，所以()()2224230x x xx -+--<等价于2230x x --<，由2230x x --<，可得13x -<<，所以④正确. 故选C. 点评本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定，属于中档题. 11．不等式sin cos x x m +≥对,64x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立的充要条件，则实数m 的取值范围是（）A ．(-∞ B ．(C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥ ⎝⎦答案C设()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，不等式sin cos x x m +≥对,64x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立等价于()min 6m f x f π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，即可求出答案. 解解设()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，不等式sin cos x x m +≥对,64x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立等价于()min m f x ≤，因为()f x 在,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为516122f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以m ≤. 故选C. 点评本题考查了根据函数恒成立问题求参数取值范围，属于中档题.12．已知椭圆:C 22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，点M 在椭圆C 上，若12MF c a MF =，则该椭圆的离心率不可能是（） A ．14B ．12C ．0.6 D答案A设1MF x =，由椭圆的定义得22MFa x =-，结合12MF c a MF =得2acx a c=+，借助椭圆的范围得a c x a c -≤≤+，代入解不等式组即可得出结论．解设1MF x =．因为点M 在椭圆C 上，所以122MF MF a +=，所以22MF a x =-．因为12MF c a MF =，所以2c x a a x =-，解得2acx a c=+．由题意可知a c x a c -≤≤+，即2aca c a c a c-≤≤++．由2ac a c a c≤++，可得()22ac a c ≤+，即220a c +≥显然成立．由2aca c a c-≤+，可得222a c ac -≤，则212e e -≤，解得1e ≥，因为01e <<11e ≤<，符合条件的只有A 选项，故选A ．点评本题主要考查椭圆的定义及离心率的范围，属于中档题．二、填空题13．若方程22134x y m m+=+-表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是______.答案1,42⎛⎫⎪⎝⎭. 由方程表示焦点在x 轴上的椭圆，根据椭圆性质列出不等式组，解出即可. 解解由题意可得304034m m m m+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得142m <<.故答案为1,42⎛⎫⎪⎝⎭.点评本题考查根据椭圆的标准方程，根据所在焦点求参数取值范围问题，属于基础题. 14．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），事件A 为“正面朝上的点数为3”，事件B 为“正面朝上的点数为偶数”，则()P A B +=________. 答案23分别求出事件,A B 发生的概率，再根据事件A 与事件B 互斥，由互斥事件概率关系，即可求解. 解由题意可得1()6P A =，1()2P B =，事件A 与事件B 互斥，则2()()()3P A B P A P B +=+=. 故答案为:23. 点评本题考查互斥事件并事件发生的概率，解题的关键判断出事件间的关系，属于基础题.15．若点P 是椭圆E 2214x y +=上的动点，则点P 到直线l 0x y --=的距离的最小值是______.设直线1l 0x y m -+=，根据直线和椭圆相切得到m =m =间的距离即为所求. 解设直线1l 0x y m -+=，联立22140x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，整理得2258440x mx m ++-=，则()226445440m m ∆=-⨯-=，解得m =当m =l 与直线1l之间的距离d ==即点P 到直线l.点评本题考查了椭圆到直线的距离最值问题，计算切线是解题的关键，本题也可以利用参数方程法计算.16．已知甲袋中有m 个黑球和n 个白球，现随机地从甲袋中取出2个球，事件A 为“取出的2个球至少有1个白球”，事件B 为”取出的2个球都是黑球”，记事件A 的概率为a ，事件B 的概率为b .当41a b+取得最小值时，m n +的最小值是______. 答案3.根据题意可知1a b +=，运用基本不等式求出a 与b 的值，进而得m 与n 的值，即可得出答案. 解解由题意可得1a b +=，则()4141459a b a b a b a b b a⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当223a b ==时，取等号，此时41a b+的值最小. 故23a =，13b =，从而m 的最小值是2，n 的最小值是1，故m n +的最小值是3. 故答案为3. 点评本题考查概率有关问题，结合基本不等式求最值问题，属于中档题.三、解答题17．某幼儿园举办“yue ”主题系列活动——“悦”动越健康亲子运动打卡活动，为了解小朋友坚持打卡的情况，对该幼儿园所有小朋友进行了调查，调查结果如下表（1）根据上表数据，求该幼儿园男生平均打卡的天数；（2）若从打卡21天的小朋友中任选2人交流心得，求选到男生和女生各1人的概率. 答案（1）19；（2）35（1）求出所有男生打卡天数总和再除以男生人数即平均打卡天数；（2）打卡21天的小朋友中男生2人，女生3人，任选2人交流心得，求出基本事件总数和选到男生和女生各1人所包含的基本事件个数即可求解概率. 解（1）男生平均打卡的天数1731851932072121935372x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++.（2）男生打卡21天的2人记为a ，b ，女生打卡21天的3人记为c ，d ，e ，则从打卡21天的小朋友中任选2人的情况有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种，其中男生和女生各1人的情况有(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，共6种.故所求概率63105P ==. 点评此题考查求平均数和古典概率，关键在于准确求出打卡天数总和以及根据计数原理求出基本事件个数.18．求分别满足下列条件的椭圆的标准方程.（1）焦点坐标为()12,0F -和()22,0F ，P 为椭圆上的一点，且128PF PF +=；（2）离心率是3，长轴长与短轴长之差为2. 答案（1）2211612x y +=；（2）22194x y +=或22194y x +=.（1）根据焦点坐标为()12,0F -和()22,0F ，得知2c =，再由128PF PF +=，根据椭圆的定义，得到28a =，然后由222b a c =-求解即可..（2）根据3c e a ==和 222-=a b 求解，注意两种情况. 解（1）因为焦点坐标为()12,0F -和()22,0F ，所以2c =. 因为128PF PF +=，所以28a =，即4a = 所以22216412b a c =-=-=.故所求椭圆的标准方程为2211612x y +=.（2）由题意可得解得222222c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得29a =，24b =.故所求椭圆的标准方程为22194x y +=或22194y x +=.点评本题主要考查了椭圆方程的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．已知集合A ={x |1-a ≤x ≤1+a }（a ＞0），B ={x |x 2-5x +4≤0}．（1）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围；（2）对任意x ∈B ，不等式x 2-mx +4≥0都成立，求实数m 的取值范围．答案（1）[3，+∞）；（2）（-∞，4].（1）根据“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，即可得出a 满足的条件．（2）要使任意x ∈B ，不等式x 2-mx +4≥0都成立，又B ={x |x 2-5x +4≤0}={x |1≤x ≤4}．由x 2-mx +4≥0，得4x m x +≥，只要4()min m x x≤+，即可得出．解解（1）A ={x |1-a ≤x ≤1+a }（a ＞0），B ={x |x 2-5x +4≤0}={x |1≤x ≤4}．因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，即B ⫋A ，所以1114a a -≤⎧⎨+>⎩，或1114a a -<⎧⎨+≥⎩，所以，03a a ≥⎧⎨>⎩，或03a a >⎧⎨≥⎩，所以a ≥3．所以，实数a 的取值范围是[3，+∞）．（2）要使任意x ∈B ，不等式x 2-mx +4≥0都成立，又B ={x |x 2-5x +4≤0}={x |1≤x ≤4}．由x 2-mx +4≥0，得4x m x +≥，则只要4()min m x x ≤+，又44x x +≥，当且仅当4x x=，即x =2时等号成立．实数m 的取值范围（-∞，4]．点评本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20．已知椭圆M ()222210x y a b a b +=>>的离心率为3，且经过点()3,3，F 为椭圆M 的左焦点.直线l 3y x =与椭圆M 交于P ，Q 两点. （1）求椭圆M 的标准方程；（2）求PQF ∆的面积.答案（1）2213612x y +=；（2）12.（1）直接利用离心率和过点联立方程组计算得到答案. （2）点F 到直线l的距离d =，P Q ==，再利用面积公式计算得到答案. 解（1）由题意可得222223991c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得236a =，212b =故椭圆M 的标准方程为2213612x y +=.（2）因为F 为椭圆M 的左焦点，所以F 的坐标为()-，则点F 到直线l的距离d ==联立22136123x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，整理得218x =，则1x =，2x =-1y ，2y =从而PQ ===.故PQF ∆的面积为111222PQ d ⋅=⨯=. 点评本题考查了椭圆的标准方程，三角形的面积，意在考查学生的计算能力.21．某校针对校食堂饭菜质量开展问卷调查，提供满意与不满意两种回答，调查结果如下表（单位人）（1）求从所有参与调查的人中任选1人是高三学生的概率；（2）从参与调查的高三学生中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求这两人对校食堂饭菜质量都满意的概率. 答案（1）37；（2）25（1）高三人数除以全校总人数即是所求概率；（2）采用分层抽样的6人中结果满意的4人，不满意的2人，分别求出基本事件总数和两人都是满意所包含的基本事件个数，即可得到概率. 解（1）由题意得该校学生总人数为5003006002008004002800+++++=人，则从所有参与调查的人中任选1人是高三学生的概率800400328007P +==.（2）依题意可得，从调查结果为满意的高三学生中应抽取68004800400⨯=+人，设为1A ，2A ，3A ，4A ；从调查结果为不满意的高三学生中应抽取64002800400⨯=+人，设为1B ，2B .从这6人中任意选取2人的所有基本事件有()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()34,A A ，()31,A B ，()32,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()12,B B ，共15种.设A 表示事件“两人都满意”，则事件A 包含的基本事件有()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()23,A A ，()24,A A ，()34,A A ，共6种.故所求概率()62155P A ==. 点评此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件的个数，其中涉及分层抽样，考查概率与统计知识的综合应用.22．已知椭圆C ()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，且C 上的动点M 到F 的距离的最大值为4，最小值为2.（1）证明10MA MB -≤⋅≤u u u r u u u r.（2）若直线l y mx n =+与C 相交于P ，Q 两点（P ，Q 均不与A ，B 重合），且PB QB ⊥，试问l 是否经过定点？若经过，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由. 答案（1）证明见；（2）存在，3,017⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）根据题意，可得42a c a c +=⎧⎨-=⎩，即可解得椭圆的标准方程，设(),M x y ，表示出MA u u u r，MB u u u r ，利用坐标法表示MA MB ⋅u u u r u u u r ，由[]20,9x ∈，即可证明10MA MB -≤⋅≤u u u r u u u r ；（2）联立直线与椭圆的方程，运用韦达定理可得根与系数的关系，由PB QB ⊥，运用坐标相乘可得22175490n mn m ++=，解出m 与n 的关系，进行判断即可得出结论. 解解（1）证明由题意可得42a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得31a c =⎧⎨=⎩，则2228b a c =-=，故C 的方程为22198x y +=.设(),M x y ，则22889y x =-. ∵()3,MA x y =---u u u r ，()3,MB x y =--u u u r，∴2221919x A M y x M B =-+=-⋅u u u r u u u r ，∵[]20,9x ∈，∴10MA MB -≤⋅≤u u u r u u u r .（2）解设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立22198x y y mx n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得 ()()2228918980m xmnx n +++-=，则>0∆，即22980m n -+>，且1221889mnx x m -+=+，()21229889n x x m-=+，∴()()()2212121212y y mx n mx n m x x mn x x n =++=+++22287289n m m-=+. ∵()3,0B ，PB QB ⊥，∴()()()121212121233390x x y y x x x x y y --+=-+++=，()2222229818872390898989n mn n m m m m ----⨯++=+++，即22175490n mn m ++=，所以3n m =-或317n m =-. 当3n m =-时，直线l 为()3y m x =-，此时过定点()3,0，不合题意；当317n m =-时，直线l 为317y m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时直线过定点3,017⎛⎫⎪⎝⎭.点评本题考查求椭圆的标准方程，联立方程运用韦达定理根据题意判断直线是否恒过定点问题，属于较难题.。

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2015-2016学年河北省邢台一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为( ) A．B．C．D．2．设命题p和命题q，“p∨q”的否定是真命题，则必有( )A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真3．入射光线沿直线x﹣2y+3=0射向直线l：y=x被直线反射后的光线所在的方程是( ) A．x+2y﹣3=0 B．x+2y+3=0 C．2x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y+3=04．下列说法正确的是( )A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”B．命题“若x=2，则x2﹣5x+6=0”的否命题是“若x=2，则x2﹣5x+6≠0”C．已知a，b∈R，命题“若a＞b，则|a|＞|b|”的逆否命题是真命题D．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分条件5．已知两个平面垂直，下列命题中：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数有( )A．1 B．2 C．3 D．46．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2=﹣2y+3，直线l经过点（1，0）且与直线x﹣y+1=0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为( )A．1 B．C．2 D．27．已知椭圆，则以点为中点的弦所在直线的方程为( )A．8x﹣6y﹣7=0 B．3x+4y=0 C．3x+4y﹣12=0 D．4x﹣3y=08．设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为( )A．B．C．D．9．如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4} D．（4，+∞）10．四面体ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为( )A．25π B．45π C．50π D．100π11．下列命题正确的个数是( )①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1 B．2 C．3 D．412．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13．已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C被直线x+y+3=0所截得的弦长为4，则圆C的方程为__________．14．设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且满足，则△F1PF2的面积等于__________．15．已知直线ax+by+c=0与圆：x2+y2=1相交于A、B两点，且，则=__________．16．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B 两点，则||+||的最大值为__________．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设条件p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a≠0）；条件q：实数x满足x2+2x﹣8＞0，且命题“若p，则q”的逆否命题为真命题，求实数a的取值范围．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．（1）求三棱锥A1﹣B1C1F的体积；（2）求异面直线BE与A1F所成的角的大小．19．已知圆O：x2+y2=1与圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0相切于M点，求以M为圆心，且与圆C的半径相等的圆的标准方程．20．已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M（2，1），N（2，0）两点．（1）求椭圆E的方程；（2）已知定点Q（0，2），P点为椭圆上的动点，求|PQ|最大值及相应的P点坐标．21．已知⊙M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．（1）若|AB|=，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；（2）求证：直线AB恒过定点．22．在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；（2）若k＞0，P（6，0）且△PAB的面积为6，求k的值；（3）当k（k≠0）变化时，是否存在一点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年河北省邢台一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为( ) A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且c=1，e==，从而可得a=2，b=，从而写出椭圆的标准方程．【解答】解：由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且c=1，e==，故a=2，b=，则椭圆的标准方程为，故选A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程的求法，属于基础题．2．设命题p和命题q，“p∨q”的否定是真命题，则必有( )A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】由于“p∨q”的否定是真命题，可得p∨q是假命题，即可判断出p与q的真假．【解答】解：∵“p∨q”的否定是真命题，∴p∨q是假命题，因此p与q都是假命题．故选：B．【点评】本题考查了复合命题的真假判断方法，属于基础题．3．入射光线沿直线x﹣2y+3=0射向直线l：y=x被直线反射后的光线所在的方程是( ) A．x+2y﹣3=0 B．x+2y+3=0 C．2x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y+3=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】光线关于直线对称，y=x是对称轴，直线x﹣2y+3=0在x、y轴上的截距互换，即可求解．【解答】解：∵入射光线与反射光线关于直线l：y=x对称∴反射光线的方程为y﹣2x+3=0，即2x﹣y﹣3=0故选C．【点评】光线关于直线对称，一般用到直线到直线的角的公式，和求直线的交点坐标，解答即可．本题是一种简洁解法．4．下列说法正确的是( )A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”B．命题“若x=2，则x2﹣5x+6=0”的否命题是“若x=2，则x2﹣5x+6≠0”C．已知a，b∈R，命题“若a＞b，则|a|＞|b|”的逆否命题是真命题D．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分条件【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】A，B，D利用定义可直接判断；C利用原命题和逆否命题为等价命题可判断；【解答】解：A命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆命题是“若x=2，则x2﹣5x+6=0”，故错误；命题“若x=2，则x2﹣5x+6=0”的否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”，故错误；命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题，故逆否命题也是假命题；∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，故正确．故选D．【点评】考查了四种命题和命题间的等价关系，属于基础题型，应牢记．5．已知两个平面垂直，下列命题中：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数有( )A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，对①、②、③、④四个选项逐一判断即可【解答】解：对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面α∩平面β=m，n⊂α，l⊂β，∵平面α⊥平面β，∴当l⊥m时，必有l⊥α，而n⊂α，∴l⊥n，而在平面β内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故④正确；故选B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于中档题6．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2=﹣2y+3，直线l经过点（1，0）且与直线x﹣y+1=0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为( )A．1 B．C．2 D．2【考点】直线与圆的位置关系；三角形的面积公式．【专题】计算题；直线与圆．【分析】将圆C化成标准方程，得到圆心为C（0，﹣1）、半径为2．由垂直的两直线斜率的关系算出直线l的斜率为1，可得l的方程为x+y﹣1=0，进而算出圆心C到l的距离d=，再根据垂径定理算出l被圆C截得的弦长|AB|=2．最后由点到直线的距离公式算出原点O 到AB的距离，根据三角形的面积公式即可算出△OAB的面积．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2=﹣2y+3，∴化成标准方程，可得x2+（y+1）2=4，由此可得圆的圆心为C（0，﹣1）、半径为2．∵直线x﹣y+1=0的斜率为1且与直线l垂直，直线l经过点（1，0），∴直线l的斜率为k=﹣1，可得直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即x+y﹣1=0．因此，圆心C到直线l的距离d==．∴直线l被圆C截得的弦长|AB|=2=2=2，又∵坐标原点O到AB的距离为d'==，∴△OAB的面积为S=|AB|×d'==1．故选：A【点评】本题给出满足条件的直线与圆，求直线被圆截得的弦AB与原点O构成三角形的面积．着重考查了点到直线的距离公式、直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．7．已知椭圆，则以点为中点的弦所在直线的方程为( )A．8x﹣6y﹣7=0 B．3x+4y=0 C．3x+4y﹣12=0 D．4x﹣3y=0【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；方案型；转化思想；设而不求法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设以点为中点的弦与椭圆交于M（x1，y1），N（x2，y2），利用点差法能求出结果．【解答】解：设以点为中点的弦与椭圆交于M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=3，分别把M（x1，y1），N（x2，y2）代入椭圆方程，可得，再相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴4（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，∴k==﹣，∴点为中点的弦所在直线方程为y﹣=﹣（x﹣2），整理，得：3x+4y﹣12=0．故选：C．【点评】本题考查直线方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．8．设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为( )A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件推导出PF2⊥x轴，PF2=，PF2=，从而得到=，由此能求出椭圆的离心率．【解答】解：∵线段PF1的中点在y轴上设P的横坐标为x，F1（﹣c，0），∴﹣c+x=0，∴x=c；∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴，∵∠PF1F2=30°，∴PF2=，∵PF1+PF2=2a，∴PF2=，tan∠PF1F2===，∴=，∴e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的灵活运用．9．如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4} D．（4，+∞）【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，抓住两个关键点，当圆O 与两射线相切时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，由三角形AOB为等腰直角三角形，利用三线合一得到OC为斜边AB的一半，利用勾股定理求出斜边，即可求出OC的长，平方即可确定出此时λ的值；当圆O半径为2时，两函数图象有3个公共点，半径大于2时，恰好有2个公共点，即半径大于2时，满足题意，求出此时λ的范围，即可确定出所有满足题意λ的范围．【解答】解：根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，如图所示，当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，∵OA=O B=2，∠AOB=90°，∴根据勾股定理得：AB=2，∴OC=AB=，此时λ=OC2=2；当圆O半径大于2，即λ＞4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数λ的取值范围是{2}∪（4，+∞）．故选A【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键．10．四面体ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为( )A．25π B．45π C．50π D．100π【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z 长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，则有（2R）2=x2+y2+z2=50（R为球的半径），得R2=，所以球的表面积为S=4πR2=50π．故选：C．【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一．11．下列命题正确的个数是( )①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】（1）根据特称命题的否定是全称命题来判断是否正确；（2）化简三角函数，利用三角函数的最小正周期判断；（3）用特例法验证（3）是否正确；（4）根据向量夹角为π时，向量的数量积小于0，来判断（4）是否正确．【解答】解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，∴（1）正确；（2）f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，最小正周期是=π⇒a=±1，∴（2）正确；（3）例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，∴（3）不正确；（4）∵，当θ=π时，•＜0．∴（4）错误．∴正确的命题是（1）（2）．故选：B【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查命题的否定、向量的数量积公式、三角函数的最小正周期及恒成立问题．12．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长和长周长，再根据椭圆的性质a2﹣b2=c2，和离心率公式e=，计算即可．【解答】解：设正视图正方形的边长为m，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b=m，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径m，得到俯视图中椭圆的长轴长2a=m，则椭圆的焦距c==m，根据离心率公式得，e==故选：C．【点评】本题主要考查了椭圆的离心率公式，以及三视图的问题，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13．已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C被直线x+y+3=0所截得的弦长为4，则圆C的方程为（x+1）2+y2=6．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】欲求圆的方程则先求出圆心和半径，根据圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，求出圆心；圆C被直线x+y+3=0所截得的弦长为4，求出半径，即可求出圆C的方程．【解答】解：令y=0得x=﹣1，所以直线x﹣y+1=0，与x轴的交点为（﹣1，0）所以圆心到直线的距离等于=，因为圆C被直线x+y+3=0所截得的弦长为4，所以r==所以圆C的方程为（x+1）2+y2=6；故答案为：（x+1）2+y2=6．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程等基础知识，属于容易题．14．设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且满足，则△F1PF2的面积等于1．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=4，又|F1F2|=2 ，∠F1PF2=，利用余弦定理可求得|PF1|•|PF2|，从而可求得△F1PF2的面积．【解答】解：∵P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=，∴|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2 ，在△F1PF2中，由勾股定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|PF1|•|PF2|=16﹣2|PF1|•|PF2|=16﹣2|PF1|•|PF2|=12，∴|PF1|•|PF2|=2，∴S△F1PF2=|PF1|•|PF2|=1故答案为：1【点评】本题考查椭圆的简单性质与标准方程，考查勾股定理与三角形的面积，属于中档题．15．已知直线ax+by+c=0与圆：x2+y2=1相交于A、B两点，且，则=．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；综合题．【分析】直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定∠AOB的大小，即可求得•的值．【解答】解：依题意可知角∠AOB的一半的正弦值，即sin =所以：∠AOB=120°则•=1×1×cos120°=．故答案为：．【点评】初看题目，会被直线方程所困惑，然而看到题目后面，发现本题容易解答．本题考查平面向量数量积的运算，直线与圆的位置关系．是基础题．16．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B 两点，则||+||的最大值为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆方程求得椭圆的半焦距，结合椭圆定义求得|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=12，再求出当AB垂直于x轴时的最小值，则|AF2|+|BF2|的最大值可求．【解答】解：由椭圆，得a=3，b=2，c==，由椭圆的定义可得：|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=12，∵当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值，把x=﹣代入，解得：y=±，∴|AB|min=，∴|AF2|+|BF2|的最大值为12﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆的简单几何性质，关键是明确当AB垂直于x轴时焦点弦最短，是基础题．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设条件p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a≠0）；条件q：实数x满足x2+2x﹣8＞0，且命题“若p，则q”的逆否命题为真命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别求出关于集合A，B的x的范围，结合“若p，则q”为真命题，得到p是q的充分条件，解出a的范围即可．【解答】解：设A={x|x2﹣4ax+3a2＜0}当a＞0时，A=（a，3a）；当a＜0时，A=（3a，a），B={x|x2+2x﹣8＞0}={x|x＜﹣4，或x＞2}由于命题“若p，则q”的逆否命题为真命题，所以命题“若p，则q”为真命题，∴p是q的充分条件，∴A⊆B，∴a≥2或a≤﹣4，所以实数a的取值范围是a≥2或a≤﹣4．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查集合的包含关系，是一道基础题．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．（1）求三棱锥A1﹣B1C1F的体积；（2）求异面直线BE与A1F所成的角的大小．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）利用直三棱柱ABC﹣A1B1C1中的性质，及三棱锥A1﹣B1C1F的体积==即可得出．（2）连接EC，∵A1E∥FC，A1E=FC=4，可得四边形A1ECF是平行四边形，利用其性质可得A1C∥EC，可得∠BEC是异面直线A1F与BE所成的角或其补角，在△BCE中求出即可．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，FC1⊥平面A1B1C1，故FC1=2是三棱锥A1﹣B1C1F的高．而直角三角形的===2．∴三棱锥A1﹣B1C1F的体积===．（2）连接EC，∵A1E∥FC，A1E=FC=4，∴四边形A1ECF是平行四边形，∴A1C∥EC，∴∠BEC是异面直线A1F与BE所成的角或其补角．∵AE⊥AB，AE⊥AC，AC⊥AB，AE=AB=AC=2，∴EC=EB=BC=2．∴△BCE是等边三角形．∴∠BEC=60°，即为异面直线BE与A1F所成的角．【点评】熟练利用直三棱柱的性质、三棱锥的体积及等体积变形、平行四边形的判定及性质、异面直线所成的角是解题的关键．19．已知圆O：x2+y2=1与圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0相切于M点，求以M为圆心，且与圆C的半径相等的圆的标准方程．【考点】圆与圆的位置关系及其判定；圆的标准方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】利用圆O：x2+y2=1与圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0相切，求出m，设M（x，y），由题知，=4或=6，求出M的坐标，即可求以M为圆心，且与圆C的半径相等的圆的标准方程．【解答】解：圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，可化为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m∵圆O：x2+y2=1与圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0相切，∴|OC|=1+=5或|OC|=﹣1=5∴m=9或m=﹣11∴圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=16或C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=36设M（x，y），由题知，=4或=6，故M（，）或M（﹣，﹣）故所求圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2=16或（x+）2+（y+）2=36．【点评】本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M（2，1），N（2，0）两点．（1）求椭圆E的方程；（2）已知定点Q（0，2），P点为椭圆上的动点，求|PQ|最大值及相应的P点坐标．【考点】梅涅劳斯定理；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设椭圆E的方程为：mx2+ny2=1，m＞0，n＞0，m≠n．利用方程组求解即可．（2）设P（x，y）为椭圆上任意一点，由Q（0，2），求出|PQ|的最大值，推出结果．【解答】解：（1）设椭圆E的方程为：mx2+ny2=1，m＞0，n＞0，m≠n．将M（2，1），N（2，0）代入椭圆E的方程，得…解得m=，n=，所以椭圆E的方程为…（2）设P（x，y）为椭圆上任意一点，由Q（0，2），得，∵，∴时，此时P点坐标为【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．已知⊙M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．（1）若|AB|=，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；（2）求证：直线AB恒过定点．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】直线与圆．【分析】（1）问利用平面几何的知识，根据勾股定理、射影定理可以解决；（2）问设点Q的坐标，由几何性质，可知A、B两点在以QM为直径的圆上，线段AB是此圆与已知圆的公共弦，即可得出结论．【解答】解：（1）设直线MQ交AB于点P，则|AP|=，又|AM|=1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|==，∵|MQ|=，∴|MQ|=3．设Q（x，0），而点M（0，2），由=3，得x=±，则Q点的坐标为（，0）或（﹣，0）．从而直线MQ的方程为2x+y﹣2=0或2x﹣y+2=0．（2）证明：设点Q（q，0），由几何性质，可知A、B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x（x﹣q）+y（y﹣2）=0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，即为qx﹣2y+3=0，∴直线AB恒过定点（0，）．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查平面几何的知识，考查学生的计算能力，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；（2）若k＞0，P（6，0）且△PAB的面积为6，求k的值；（3）当k（k≠0）变化时，是否存在一点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；直线的一般式方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据椭圆方程，算出右焦点F坐标为（3，0），结合椭圆上位于x轴上方的点A 满足算出A（0，3），由此可得直线l的斜率k=﹣1，即可求出直线l的方程；（2）设直线l：y=k（x﹣3），与椭圆方程联解消去y得（1+2k2）y2+6ky﹣9k2=0，由根与系数的关系算出AB的纵坐标之差的绝对值关于k的式子，再根据△PAB的面积为6建立关于k的方程，化简整理得k4﹣k2﹣2=0，解之得k=1（舍负）；（3）设直线l方程为y=k（x﹣3）与椭圆方程联解消去y得（1+2k2）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）=0，由根与系数的关系得到，然后化简k AD+k BD=0为关于x1、y1、x2、y2和x0的等式，化简整理得2kx1x2﹣k（x0+3）（x1+x2）+6kx0=0，再将前面算出的x1+x2和x1x2的表达式代入化简可得x0=6，由此可得存在一点C（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．【解答】解（1）∵椭圆方程为∴a2=18，b2=9，得c==3，可得F（3，0）…∵且点A在x轴的上方，…∴可得A在椭圆上且，得A是椭圆的上顶点，坐标为A（0，3）由此可得l的斜率k=﹣1，…因此，直线l的方程为：，化简得x+y﹣3=0…（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l：y=k（x﹣3）…将直线与椭圆方程联列，…消去x，得（1+2k2）y2+6ky﹣9k2=0…由于△＞0恒成立，根据根与系数的关系可得…∴…因此，可得S△PAB=化简整理，得k4﹣k2﹣2=0，由于k＞0，解之得k=1…（3）假设存在这样的点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，根据题意，得直线l：y=k（x﹣3）（k≠0）由消去y，得（1+2k2）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）=0…由于△＞0恒成立，根据根与系数的关系可得…（*）…（13分）而，，…（14分）∴=由此化简，得2kx1x2﹣k（x0+3）（x1+x2）+6kx0=0，…将（*）式代入，可得，解之得x0=6，∴存在一点C（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．…（16分）【点评】本题给出椭圆方程，在直线l经过椭圆的右焦点F且交椭圆于A、B两点且满足的情况下求直线l的方程，并且讨论了x轴上是否存在一点C使得直线AC和BC 的斜率之和为0的问题．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、一元二次方程根与系数的关系和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于中档题．。