4.1.1圆的标准方程

(6 a) 2 (5 b) 2 r 2 , 则有 2 2 2 (0 a) (1 b) r , 3a 10b 9 0,
解得 a=7,b=-3,r= 65 . 故所求圆的标准方程是 (x-7)2+(y+3)2=65. 题后反思:求圆的标准方程的方法: (1)直接法(如本题解法一),直接求出圆心坐标和半径. (2)待定系数法(如本题解法二),步骤是: ①设圆的标准方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2; ②由条件列方程(组)解得 a,b,r 的值; ③写出圆的标准方程.
2 2
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三、新知建构，交流展示
题后反思: 1．圆的标准方程中含有三个参变数，必 须具备三个独立的条件；才能定出一个圆 的方程，当已知曲线为圆时，一般采用待 定系数法求圆的方程。 2．求圆的标准方程的一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为 (x－a)2+(y－b)2=r2；
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
圆上所有点的集合 y M(x,y) O
P = { M | |MC| = r }
( x a ) ( y b) r
2 2
C(a,b)
x
(x-a)2+(y-b)2=r2
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三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
圆心C(a,b),半径r
3x 10y 9 0, y 3.
∴圆心为 C(7,-3). ∴r=|CB|= 7 2 (1 3) 2 65 . ∴所求圆的标准方程是(x-7) 2+(y+3) 2=65.
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三、新知建构，交流展示
解法二:(待定系数法) 设圆的标准方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2(r>0).
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四、当堂训练，针对点评
变式训练 1-1： 已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点 P(3,2)( A.是圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外 解析:∵(3-2) 2+(2-3)2=2<4,∴点 P 在圆内. 答案:C 变式训练 2-1：圆心为(0,4),且过点(3,0)的圆的方程为( ) A.x2+(y-4)2=25 B.x2+(y+4) 2=25 C.(x-4)2+y2=25 D.(x+4)2+y2=25 解析:半径 r= (0 3) 2 (4 0) 2 =5,则圆的方程为 x2+(y-4)2=25. 答案:A )
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解：设点C（a，b）为直径 P P2 1 的中点，则
P121 练习 3
圆心坐标为（5，6）
9 3 4 6 6 a 5 b 2 2
P (4,9) 1
C
P2 (6,3)
r CP 1 （4 5） 9 6） 10 （
2 2
CM 10
圆的方程为
（x 5 y 6 10 ） （ ）
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四、当堂训练，针对点评
变式训练2-2：已知△ABC的三个顶点分别为A(1,1),B(1,4),C(5,1), 求它的外接圆的方程.
解法一:设△ABC 外接圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2,则
(1 a) 2 (1 b) 2 r 2 , a 3, (1 a) 2 (4 b) 2 r 2 , 解得 b 2.5, r 2.5, (5 a) 2 (1 b) 2 r 2 ,
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 ( 7 a ) 2 ( 3 b ) 2 r 2 (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2
所求圆的方程为
a2 b 3 r 5
待定系数法
( x 2) ( y 3) 25
(x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0)
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例1 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方 程，并判断点 M 1 (5,7) ， M 2 ( 5 ,1)是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准方 程是：
( x 2) 2 ( y 3) 2 25
补充练习：
(x-8)2+(y+3)2=25
3
写出圆的圆心坐标和半径： (1) (x+1)2+(y-2)2=9 (-1,2) (2)(x+a)2+y2=a2 (-a,0)
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|a|
三、新知建构，交流展示
圆心在原点: 圆心在x轴上: 圆心在y轴上: 圆过原点: x2 + y2 = r2 (r≠0) (x a)2 + y2 = r2 (r≠0) x2+ (y b)2 = r2 (r≠0)
待定系数法
a b 1 0 a 3 2 2 2 (1 a) (1 b) r b 2 (2 a)2 (2 b) 2 r 2 r 5
圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ( y 2)2 25.
故所求圆的方程为(x-3)2+(y-2.5)2=6.25. 解法二:线段 AB 的中垂线为 y=2.5, 线段 AC 的中垂线为 x=3,则圆心为(3,2.5), 半径 r= (1 3) 2 (1 2.5) 2 =2.5, 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-2.5)2=6.25.
( x 2) 2 ( y 3) 2 25 把 M 1 (5,7) 的坐标代入方程 左右两边相等，点M 1 的坐标适合圆的方程，所以点
M 1在这个圆上；
把点 M 2 ( 5 ,1) 的坐标代入此方程，左右两边 不相等，点M 2 的坐标不适合圆的方程，所以点 M 2不 在这个圆上． 8/14/2013
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一、导学提示，自主学习
2.本节主要题型 题型一 判断点与圆的位置关系 题型二 求圆的标准方程 3.自主学习教材P118-P120 4.1.1圆的标准方程
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二、课堂设问，任务驱动
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 定点 圆心 定长 半径 当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确 定了．
M ( x0 , y 0 ) O ( a, b)
O(a, b)
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O(a, b)
例2 ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
y
A(5,1) O C E C(2,-8) D
x
B(7,-3)
圆心：两条弦的中垂线的交点
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三、新知建构，交流展示
（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的
方程组；
（3）解此方程组，求出a、b、r的值；
（4）将所得的a、b、r的值代回所设的圆
的方程中，就得到所求的圆的标准方程.
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例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)， 且圆心C在直线上l：x －y +1=0，求圆心为C的圆的标 准方程．
半径：圆心到圆上一点
三、新知建构，交流展示
例2 ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－ 3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 (1)
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以 它们的坐标都满足方程（1）．于是
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三、新知建构，交流展示
题型二 求圆的标准方程 【例 2】 求经过 A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心在直线 l:3x+10y+9=0 上的圆的标准方程. 解法一:(直接法) 由题意,得 AB 的中垂线方程为 3x+2y-15=0, 由 3x 2y 15 0, 解得 x 7,
所以，圆心为C的圆的标准方程是
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( x 3) 2 ( y 2) 2 25
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程. 2 2 2 解法2:设圆C的方程为 ( x a) ( y b) r , ∵圆心在直线l:x-y+1=0上 圆经过A(1,1),B(2,-2)
三、新知建构，交流展示
探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关 系？ M M M
O
|OM|<r 点在圆内
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O
O
|OM|=r
点在圆上
|OM|>r
点在圆外
三、新知建构，交流展示
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外. M ( x0 , y 0 ) M ( x0 , y 0 )
4.1.1圆的标准方程
一、导学提示，自主学习 二、课堂设问，任务驱动 三、新知建构，交流展示 四、当堂训练，针对点评 五、课堂总结，布置作业
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一、导学提示，自主学习
1.本节学习目标
（1）明确圆的基本要素，能用定义推导圆的 标准方程； （2）会求圆的标准方程。能够判断点与圆的 位置关系。 学习重点: 圆的标准方程及应用 学习难点：圆的标准方程及应用
y 1 1 3 (x ) 2 3 2
即 x 3y 3 0 得
x 3, y 2.
解方程组
x 3y 3 0 x y 1 0
所以圆心C的坐标是 圆心为C的圆的半径长
(3,2)
r | AC | (1 3) 2 (1 2) 2 5
【例 1】 已知圆 C:(x-5)2+(y-6)2=10,试判断点 M(6,9),N(3,3),Q(5,3)与圆 C 的位置关系. 解:圆心 C(5,6),半径 r= 10 . |CM|= (6 5) 2 (9 6) 2 10 , |CN|= (3 5) 2 (3 6) 2 13 10 , |CQ|= (5 5) 2 (3 6) 2 =3< 10 . 因此点 M 在圆上,点 N 在圆外,点 Q 在圆内. 题后反思:判断点与圆的位置关系,可以判断该点与圆心的距离和圆的半径的 大小关系,如本题;也可将该点的坐标代入圆的方程判断.
因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．
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二、课堂设问，任务驱动
1.通过本节课的学习你能归纳出圆的 标准方程吗？
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三、新知建构，交流展示
1.新知建构 一. 圆的标准方程 二. 点与圆的位置关系 三. 圆的标准方程的应用
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思考：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
y A(1,1) O C 弦AB的垂 直平分线
D
x B(2,-2)
l : x y 1 0
圆心：两条直线的交点
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半径：圆心到圆上一点
三、新知建构，交流展示
解法1：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标 2 1 3 1 3 ( , ), 直线AB的斜率: k AB 2 1 2 2 ' 因此线段AB的垂直平分线 l 的方程是
2 2
CN 13 10 CQ 3 10
因此点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内。
圆心：直径的中点
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半径：直径的一半
三、新知建构，交流展示
2 .典例分析：
题型一 判断点与圆的位置关系 题型二 求圆的标准方程
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三、新知建构，交流展示
题型一 判断点与圆的位置关系
y
M(x,y) O x
( x a) ( y b) r
2 2
2
C
圆的标准方 程 若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x y r
2 2ห้องสมุดไป่ตู้
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2
三、新知建构，交流展示
练习：1、写出下列各圆的方程： (1)圆心在点C(3, 4 )，半径是
5 (x-3)2+(y-4)2=5
(2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)