等比数列(教案+例题+习题)

二、等比数列
1.等比数列的判断方法：定义法
1(n n
a q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠
或
11
n n n
n a a a a +-=(2)n ≥。

例1．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为
2
1的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c
三数成等比数列的充要条件是b 2
=ac ”；“a,b,c 三数成等差数列的充要条件是2b=a+c ”，以上四个命题中，正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：四个命题中只有最后一个是真命题。

命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；
命题2中可知a n+1=a n ×2
1，a n+1<a n 未必成立，当首项a 1<0时，a n <0，则
2
1a n >a n ，即a n+1>a n ，
此时该数列为递增数列；
命题3中，若a=b=0，c ∈R ，此时有ac b =2，但数列a,b,c 不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=ac ，则成为不必要也不充分条件。

点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。

（1）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为____；
（2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。

2.等比数列的通项：1
1n n
a a q
-=或n m n m a a q -=。

3.等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n
n a q S q
-=
-11n a a q q
-=
-。

例2．一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。

解析：设所求的等比数列为a ，aq ，aq 2
；
则2(aq+4)=a+aq 2，且(aq+4)2=a(aq 2+32)；
解得a=2，q=3或a=
9
2，q=－5；
故所求的等比数列为2，6,18或9
2，－
9
10，
9
50。

点评：第一种解法利用等比数列的基本量q a ,1，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁。

（1）设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和公比q .
（2）等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ ；
（3）)(10
1
∑∑==n n
k k n C 的值为__________；
特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。

4.等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。

提醒
：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。

如已知两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______
提醒：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及
n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，
即知3求2；
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，
2
2
,,,,a a a aq aq q q
…（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为…33,,,aq aq q a q a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q 。

如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的
和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。

5.等比数列的性质：
（1）当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a = ，特别地，当2m n p +=时，则有2
m n p a a a = .
练一练：在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___；
(2) 若{}n a 是等比数列，则{||}n a 、*
{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若{}{}n n a b 、
成等比数列，则{}n n a b 、{
}n n
a b 成等比数列； 若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列
232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列。

当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列.
练一练：在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则
20S 的值为___ ___；
(3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若
10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，
则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列. (4) 当1q ≠时，b aq
q
a q q
a S n
n
n +=-+
--=
1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是
等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据n S ，判断数列{}n a 是否为等比数列。

如若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝
(5) m n m n m n n m S S q S S q S +=+=+.
如设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为_____ ；
(6) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，
1S a q S =+奇偶
. (7)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列
{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

如设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）， 关于数列{}n a 有下列三个命题：①若
)(1
N ∈=+n a a n n ，则{}n a 既是等差数列又是等比数列；②若()R ∈+=b a n b n
a S n 、2
，
则{}n a 是等差数列；③若()n n S 11--=，则{}n a 是等比数列。

这些命题中，真命题的序号是
； 例3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（ ） （A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189
解析：解：设等比数列{a n }的公比为q(q>0)，由题意得:a 1+a 2+a 3=21,即3+3q+3q 2=21,q 2
+q-6=0，求得q=2(q =－3舍去)，所以a 3+a 4+a 5=q 2
(a 1+a 2+a 3)=4,8421=⨯故选C 。

等比数列课后练习
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a
20a 10＝( )
A.23
B.32
C.23或32
D ．－23或－3
2
2．在等比数列{a n }中a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( ) A ．2n ＋1－2
B ．3n
C ．2n
D ．3n －1
3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6 S 3＝1 2，则S 9 S 3等于( ) A ．1 2 B ．2 3 C ．3 4 D ．1 3
4．已知等比数列{a n }中，a n >0，a 10a 11＝e ，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20的值为( ) A ．12
B ．10
C ．8
D ．e
5．若数列{a n }满足a 1＝5，a n ＋1＝a 2
n ＋12a n ＋a n
2(n ∈N *)，则其前10项和是( )
A ．200
B ．150
C ．100
D ．50
6.在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n
－1(n ∈N *
)，则a 2
1＋a 2
2＋…＋a 2
n 等于( ) A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)2 C ．4n －1 D.1
3
(4n －1)
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．数列{a n }中，n 12(n )
2n 1(n .)
n a -⎧=⎨⎩-为正奇数为正偶数设数列{a n }的前n 项和为S n ，
则S 9＝________. 8．数列{a n }的前n 项之和为S n ，S n ＝1－2
3a n ，则a n ＝________.
9．{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝________. 10．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，关于数列{a n }有下列四个命题： ①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n ＝a n ＋1(n ∈N ＋) ②若S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)，则{a n }是等差数列 ③若S n ＝1－(－1)n
，则{a n }是等比数列
④若{a n }是等比数列，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m (m ∈N ＋)也成等比数列． 其中正确的命题是__________．(填上正确命题的序号)
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．) 11．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，对任意的自然数n ≥2，a n 是3S n －4与2－3
2
S n
－1
的等差中项．
(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n .
12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)，其中m 为常数，且m ≠－3.
(1)求证：{a n }是等比数列；
(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：{1b n }
为等差数列，并求b n .
13．已知{a n }是首项为a 1，公比q (q ≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4，设b n ＝q ＋S n . (1)求q 的值；
(2)数列{b n }能否是等比数列？若是，请求出a 1的值；若不是，请说明理由。