必修一基本初等函数章末复习

基本初等函数章末复习知识框架：
学习内容：
1．指数与指数幂的运算
1）整数指数幂的概念．
(1)正整数指数幂的意义：
(2)零指数幂：a0＝1(a≠0)．
(3)负整数指数幂：
a－n＝1
a n(a≠0，n∈N
*)．
2）整数指数幂的运算性质：
①a m·a n＝a m＋n；②(a m)n＝a mn；③(ab)n＝a n b n.
3）如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞0，且n∈N*.
(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时a的n次方根用符号n
a表示．
(2)方根的性质：①当n是奇数时，n
a n＝a；
②当n是偶数时，n
a n＝|a|＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧a(a≥0)，
－a(a＜0).
4）分数指数幂．
(1)正数的分数指数幂的意义：设a＞0，m，n∈N*，n＞1，规定
(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
5）有理指数幂的运算性质：
①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．
2．指数函数及其性质
1）函数y＝a x(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．2）指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质(见下表)：
R R
3．对数与对数运算
1）如果a x＝N(a＞0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数．记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．对数式的书写格式：
(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数log10N简记为lg N；
(2)以无理数e＝2.718 28……为底的对数，叫自然对数，并把自然对数log e N简记为ln N.
2）指数与对数的关系：设a＞0，且a≠1，则a x＝N⇔log a N＝x.
3）对数的性质．
(1)在指数式中N＞0，故0和负数没有对数，即式子log a N中N必须大于0；
(2)设a＞0，a≠1，则有a0＝1，所以log a1＝0，即1的对数为0；
(3)设a＞0，a≠1，则有a1＝a，所以log a a＝1，即底数的对数为1.
4）对数恒等式．
(1)如果把a b＝N中的b写成log a N形式，则有
(2)如果把x＝log a N中的N写成a x形式，则有log a a x＝x.
5）对数的运算性质．
设a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则有：
(1)log a(MN)＝log a M＋log a N，简记为：积的对数＝对数的和；
(2)log a M
N＝log a M－log a N，简记为：商的对数＝对数的差；
(3)log a M n＝n log a M(n∈R)．
4．对数函数及其性质
1）函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
2）对数函数的图象、性质(见下表)：
R＋R＋
(1)当a＞1时，若x＞1，则log a x＞0，若0＜x＜1，则log a x＜0；
(2)当0＜a＜1时，若0＜x＜1，则log a x＞0，若x＞1，则log a x＜0.
3）函数y＝a x与y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
5．幂函数
1）形如y ＝x α(α∈R)的函数叫做幂函数，其中α为常数．只研究α为有理数的情形．
2）函数y x =2
y x =3
y x =1
2
y x =1
y x -=的图像如下图
3）幂函数的性质．
(1)幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)．
(2)当α＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸；当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸．
(3)当α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．
4）图象形状：当α＞0(α≠1)时，图象为抛物线型；当α＜0时，图象为双曲线型；当α＝0,1时，图象为直线型．
题型一 指数、对数的运算
1．指数、对数的运算应遵循的原则：
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
2.对于底数相同的对数式的化简，常用的方法：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
例1 (1)
化简
4133
2233
3
842a a b b ab a
-++÷(1－23b a
)×3
ab ；
(2)计算：2log 32－log 3329
＋log 38－5log 325.
解析：(1)原式
＝
111111
11
3
3
3
33
3331111112
2
33
3
33
3
(8)(8)8(2)2()
2a a b a
a a
b a b a a b a b
b a b a a b
--⨯
⨯=⨯⨯=-++-
(2)原式＝log 34－log 3329
＋log 38－52log 3
5＝log 3⎝⎛⎭⎫4×932×8－5log 95＝log 39－9＝2－9＝－7.
巩固 计算80.25×42＋(3
2×3)6＋log 32×log 2(log 327)的值为________．
解析 ∵log 32×log 2(log 327)＝log 32×log 23＝lg 2lg 3×lg 3
lg 2
＝1，
∴原式＝34
2×14
2＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111.
题型二 数的大小比较
数的大小比较常用方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．
例2 比较下列各组数的大小：
(1)40.9，80.48，⎝⎛⎭⎫12－1.5
；
(2)log 20.4，log 30.4，log 40.4.
解 (1)40.9＝21.8，80.48＝21.44，⎝⎛⎭⎫12－1.5＝21.5
， ∵y ＝2x 在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴40.9>⎝⎛⎭⎫12－1.5>80.48
.
(2)∵对数函数y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 0.44<log 0.43<log 0.42<log 0.41＝0.
又幂函数y ＝x －
1在(－∞，0)上是减函数，
所以1log 0.42<1log 0.43<1
log 0.44，
即log 20.4<log 30.4<log 40.4.
巩固 比较下列各组数的大小：(1)27，82；(2)log 0.22，log 0.049；(3)a 1.2，a 1.3；(4)0.213,0.233.
解 (1)∵82＝(23)2＝26，
由指数函数y ＝2x 在R 上单调递增知26<27即82<27.
(2)∵log 0.049＝lg 9lg 0.04＝lg 32lg 0.22＝2lg 32lg 0.2＝lg 3
lg 0.2＝log 0.23. 又∵y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上单调递减， ∴log 0.22>log 0.23， 即log 0.22>log 0.049.
(3)因为函数y ＝a x (a >0且a ≠1)，
当底数a 大于1时在R 上是增函数； 当底数a 小于1时在R 上是减函数， 而1.2<1.3，
故当a >1时，有a 1.2<a 1.3； 当0<a <1时，有a 1.2>a 1.3.
(4)∵y ＝x 3在R 上是增函数，且0.21<0.23， ∴0.213<0.233.
题型三 复合函数的单调性
1.一般地，对于复合函数y ＝f (g (x ))，如果t ＝g (x )在(a ，b )上是单调函数，并且y ＝f (t )在(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，那么y ＝f (g (x ))在(a ，b )上也是单调函数．
2.对于函数y ＝f (t )，t ＝g (x )．
若两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，即“同增异减”，但一定要注意考虑复合函数的定义域．
例3 已知a >0，且a ≠1，试讨论函数f (x )＝x x a
2617
＋＋的单调性．
解 设u ＝x 2＋6x ＋17＝(x ＋3)2＋8， 则当x ≤－3时，其为减函数， 当x >－3时，其为增函数， 又当a >1时，y ＝a u 是增函数， 当0<a <1时，y ＝a u 是减函数，
所以当a >1时，原函数f (x )在(－∞，－3]上是减函数，在(－3，＋∞)上是增函数． 当0<a <1时，原函数f (x )在(－∞，－3]上是增函数，在(－3，＋∞)上是减函数．
巩 固 求下列函数的单调区间：
(1)y ＝log 0.2(9x －2×3x ＋2)； (2)y ＝log a (a －a x )．
解 (1)令t ＝3x ， u ＝9x －2×3x ＋2＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1≥1>0. 又y ＝log 0.2u 在定义域内递减，
∴当3x ≥1(t ≥1)，即x ≥0时，u ＝9x －2×3x ＋2递增， ∴y ＝log 0.2(9x －2×3x ＋2)递减． 同理，当x ≤0时，y ＝log 0.2(9x －2×3x ＋2)递增． 故函数y ＝log 0.2(9x －2×3x ＋2)的递增区间为(－∞，0]，递减区间为[0，＋∞)．
(2)①若a >1，则y ＝log a t 递增，且t ＝a －a x 递减， 而a －a x >0，即a x <a ，
∴x <1，∴y ＝log a (a －a x )在(－∞，1)上递减．
②若0<a <1，则y ＝log a t 递减，且t ＝a －a x 递增，而a －a x >0，即a x <a ， ∴x >1，
∴y ＝log a (a －a x )在(1，＋∞)上递减．
综上所述，函数y ＝log a (a －a x )在其定义域上递减．
题型四 幂、指数、对数函数的综合应用
指数函数与对数函数性质的对比：
指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、图象、性质、运算既有区别又有联系．
(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)，对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)的图象和性质都与a 的取值有密切的联系．a 变化时，函数的图象和性质也随之变化．
(2)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点(0,1)，对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)的图象恒过定点(1,0)． (3)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)具有相同的单调性．
(4)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)互为反函数，两函数图象关于直线y ＝x 对称．
例4 已知函数f (x )＝lg 1＋2x ＋a ·4x
3
在x ∈(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．
解 因为f (x )＝lg 1＋2x ＋a ·4x
3
在(－∞，1]上有意义，
所以1＋2x ＋a ·4x >0在(－∞，1]上恒成立．
因为4x >0，所以a >－⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ，x ∈(－∞，1]． 由y ＝－⎝⎛⎭⎫14x 与y ＝－⎝⎛⎭
⎫12x 在(－∞，1]上均为增函数， 可知g (x )在(－∞，1]上也是增函数，
所以g (x )max ＝g (1)＝－⎝⎛⎭⎫14＋12＝－34
. 因为a >－⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，1]上恒成立， 所以a 应大于g (x )的最大值，即a >－3
4
.
故所求a 的取值范围为⎝⎛⎭
⎫－3
4，＋∞.
巩 固 已知函数f (x )＝lg(1＋x )＋lg(1－x )．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若f (x )＝lg g (x )，判断函数g (x )在(0,1)上的单调性并用定义证明．
解 (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋x >0
1－x >0，得－1<x <1，
∴x ∈(－1,1)，
又f (－x )＝lg(1－x )＋lg(1＋x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．
(2)g (x )在(0,1)上单调递减． 证明如下：
∵f (x )＝lg(1－x 2)＝lg g (x )， ∴g (x )＝1－x 2， 任取0<x 1<x 2<1，
则g (x 1)－g (x 2)＝1－x 21－(1－x 2
2)＝(x 1＋x 2)(x 2－x 1)， ∵0<x 1<x 2<1，
∴x 1＋x 2>0，x 2－x 1>0， ∴g (x 1)－g (x 2)>0，
∴g (x )在(0,1)上单调递减．
章末测试卷
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a ∈⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为( )
A ．1,3
B ．－1,1
C ．－1,3
D ．－1,1,3
答案：A
2．(2013·江西卷)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]
答案：B
3．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 等于( ) A.14 B.22 C.24 D.12
答案：C
4．函数f (x )＝2－
|x |的值域是( )
A ．(0,1]
B ．(0,1)
C ．(0，＋∞)
D ．R
解析：f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2－x ，x ≥0，
2x ，x ＜0，作图象如下：
故所求值域为(0,1]．
答案：A
5．设0.2
1
312
1log 3,,23a b c ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭,则( )
A ．
a ＜
b ＜
c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．b ＜a ＜c
答案：A
6．函数f (x )＝|log 1
2
x |的单调递增区间是( )
A.⎝⎛⎭⎫0，1
2 B ．( 0,1) C ．(0，＋∞) D ．[1，＋∞)
解析：画y ＝|log 1
2
x |的图象如下：
由图象知单调增区间为[1，＋∞)． 答案：D
7．函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )
解析：因为当x ＝2或4时，2x －x 2＝0，所以排除B 、C ；当x ＝－2时，2x －x 2＝1
4
－4＜0，故排除D ，所以选A.
答案：A
8.log 2716log 34
的值为 ( ) A ．2 B.32 C ．1 D.2
3
答案：D
9．(2013·浙江卷)已知x ，y 为正实数，则( )
A ．2lg x ＋lg y
＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg y
C ．2lg x ·lg y
＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y
答案：D
10．当0＜x ≤1
2时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫0，22
B.⎝⎛⎭⎫2
2，1 C.()1，2 D.()2，2
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．图中一组函数图象，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：
情境A ：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度(将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻)；
情境B ：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值(它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好)； 情境C ：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把它排掉这段时间浴缸里水的高度； 情境D ：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润；
其中情境A 、B 、C 、D 分别对应的图象是__________(填序号)．
答案：①③④②
12．设f (x )是定义在区间(－1,1)上的奇函数，它在区间[0,1)上单调递减，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，则实数a 的取值范围是________．
解析：∵f (x )是(－1,1)的奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )，且在[0,1)上递减． ∴f (1－a )＋f (1－a 2)＜0即等价于 f (1－a )＜f (a 2－1)，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
1－a ＞a 2－1，
－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2
＜1
⇒0＜a ＜1.
答案：(0,1)
13．已知a ＞0且a ≠1，则函数f (x )＝a x －
2－3的图象必过定点________．
答案：(2，－2)
14．函数y ＝f (x )的图象与g (x )＝log 2x (x ＞0)的图象关于直线y ＝x 对称，则f (－2)的值为________．
解析：∵y ＝f (x )与y ＝log 2x (x >0)的图象关于y ＝x 对称， ∴f (x )＝2x ，
∴f (－2)＝2－2＝1
4
.
答案：14
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)计算：(1)2lg 2＋lg 3
1＋12lg 0.36＋13lg 8；
(2)23×6
12×33
2
.
解析：(1)原式＝lg (4×3)
1＋lg 0.6＋lg 2
＝lg 121＋lg 1.2
＝lg 12lg 10＋lg 1.2
＝1. (2)原式＝2627×6
12×694＝2627×12×94
＝2627×27＝2636＝2×3＝6. 或原式＝2×312×1216×⎝⎛⎭⎫3213
＝2×312×316×(22)16×313×2－13 ＝21＋2×16－13×312＋16＋13
＝2×3＝6.
16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1
. (1)判断f (x )的奇偶性；
(2)判断并用定义证明f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性．
解析：（1）f (x )的定义域为R ，
故f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递减的.
17.(本小题满分14分)若f (x )＝x 2－x ＋b 且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)．
(1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值．
(2)x 取何值时，f (log 2x )＞f (1)且log 2f (x )＜f (1)．
解析：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b
∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b
∴(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b
∴log 2a (log2a －1)＝0
∵a ≠1，∴log 2a －1＝0，∴a ＝2.
又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4，∴a 2－a ＋b ＝4，
∴b ＝4－a 2＋a ＝2，故f (x )＝x 2－x ＋2
从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2
＝⎝
⎛⎭⎫log 2x －122＋74 ∴当log 2x ＝12即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74
. (2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧
(log 2x )2－log 2x ＋2＞2，
log 2(x 2－x ＋2)＜2， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＞2或0＜x ＜1，
－1＜x ＜2，∴0＜x ＜1.
18．(本小题满分14分)已知n ∈N *，f (n )＝n ·0.9n ，比较f (n )与f (n ＋1)大小，并求f (n )的最大值．
解析：f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋1)·0.9n ＋1－n ·0.9n ＝0.9n (0.9n ＋0.9－n )＝9－n 10
·0.9n ， ∵0.9n >0，∴当0<n <9时，f (n ＋1)>f (n )；
当n ＝9时，f (n ＋1)＝f (n )，即f (10)＝f (9)；
当n >9时，f (n ＋1)<f (n )．
综上所述，f (1)<f (2)<…<f (9)＝f (10)>f (11)>…
∴当n ＝9或n ＝10时，f (n )最大，
最大值为f (9)＝9×0.99.
19.(本小题满分14分)一片森林面积为a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐面积的百分比相等，且砍伐到原面积的一半时，所用时间是T 年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的25%.已知到今年止，森林剩余面积为原来的22
. (1)问：到今年止，该森林已砍伐了多少年？
(2)问：今后最多还能砍伐多少年？
解析：设每年砍伐面积的百分比为b (0<b <1)，
则a (1－b )T ＝12
a ， ∴(1－
b )T ＝12，lg(1－b )＝lg 12T
. (1)设到今年为止，该森林已砍伐了x 年，
∴a (1－b )x ＝22a ⇒x lg(1－b )＝lg 22
. 于是x ·lg 12T ＝lg 22⇒x ＝T 2
. 这表明到今年止，该森林已砍伐了T 2
年． (2)设从开始砍伐到至少保留原面积的25%，需y 年．
∴a (1－b )y ≥14a ⇒y lg(1－b )≥lg 14
， ∴y ·lg 12T ≥lg 14
⇒y ≤2T . 因此今后最多还能砍伐的年数为 2T －T 2＝3T 2
.
20．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(其中a ＞1＞b ＞0)．
(1)求函数y ＝f (x )的定义域；
(2)在函数f (x )的图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线行于x 轴．
解析：(1)a x －b x ＞0⇒a x ＞b x ⇒⎝⎛⎭⎫a b x ＞1，
∵a ＞1＞b ＞0，∴a b
＞1. ∴⎝⎛⎭⎫a b x ＞⎝⎛⎭⎫a b 0.
∴x ＞0.即函数定义域为(0，＋∞)．
(2)一方面，x ＞0，a ＞1，y ＝a x 在(0，＋∞)上为增函数，另一方面，x ＞0,0＜b ＜1，y ＝－b x 在(0，＋∞)上也是增函数．
∴函数y ＝a x －b x 在(0，＋∞)上为增函数．
∴f (x )＝lg(a x －b x )在(0，＋∞)上为增函数．
故不存在这样的点，使过这两点的直线平行于x 轴．。