多级火箭的发射问题

多级火箭发射卫星的数学思想
随着科技的发展，我国的航事业有着巨大的进步，有关资料表明，我们一般都是用三级火箭系统发射各种科学卫星，那么我们为什么不用单级火箭来发射呢？
一、单级火箭发射卫星的可能性
卫星应在预定高度的轨道上运动，为克服地球引力和大气阻力的影响，必须保证发射 火箭具有足够高的速度。

基本假设
1）地球是半径为R 的均匀球体。

2）卫星的质量为m ，在高度为h 的平面轨道上做匀速圆周运动。

1、火箭速度 地球对卫星的引力为22
r
R mg F =，又由卫星所受引力也是它作圆周运动的向心力，所以又有r m v F 2=，故得出h
g g R v +=，由此可知，当h 增大时，v 减少。

据有关资料表明，提高质量比成为提高速度的关键。

对于火箭系统的质量，其由三部分组成，即卫星质量，燃料质量和火箭结构质量，分别为S F p m m m ,,。

在单级火箭发射过程中，燃料质量是递减的，星箭分离瞬间的剩余质量为S p m m +，由于载荷质量p m 固定，提高质量比值等价于减少比值F
S S m m m +=λ，从而我们得出 p
m m m u v )1(ln 00λλ-+=，其中一般s km u 3≈。

由上式可知，此时火箭的最高速度也只能达到s km u v 7ln 1≈=-λ
所以，单级火箭发射卫星肯定不能达到第一宇宙速度，故我们要采用多级火箭系统。

二、多级火箭系统
在人们日常生活中，我们发现二踢脚通常比一般的单级鞭炮要窜的更高。

这与多级火箭递推发射原理十分相似，在发射过程中需要逐点燃，即丢掉该级运载火箭，加速下一级运载工具，直至最后一级火箭达到预定高度时才释放出卫星。

在我们理想的n 级火箭系统中，各级的比值λ和相对喷射速度u 相同。

设第i 级火箭质量为i m ，则其结构质量为i m λ，燃料质量为i m )1(λ-，并约定荷载卫星为第1+n 级，通过
计算得出第i 级速度n i w w u v v i i i i ,2,1,ln 1='+=-，其中∑+==1n i
k k i m w 。

我们要使载荷尽可能
高，等价于比值n n p u u u w w m m 211
10==+最小。

最后，此问题归结为优化问题n u u u 21min 故最优化设计应满足条件n u u u === 21。

要此基础上，我们取1.0,3,5.10,1≈≈==λs km u s km v t m p 通过计算我们得到下表 多级火箭的质量
火箭级数
2 3 4 5 火箭质量 149 77 65 60
由于三级火箭系统要比二级火箭系统质量减少近一半，且其造价、可靠性又要比三级以上的火箭系统优越。

随着人类逐渐进入深空探测和空间飞行器的功能增多，要求火箭具有更大的运载能力，因而出现了多级火箭。

多级火箭的优点是每过一段时间就把不再有用的结构抛弃掉，无需再消耗推进剂来带着它和有效载荷一起飞行。

火箭在某个确定的起飞质量下并非级数越多越好，它与起飞质量之间有着某种对应关系。

本文通过研究多级火箭的质量，级数和速度的关系，说明理想状态与实际过程的联系和理论运用。