高三年级数学(理科)调研测试试题(doc 16页)

高三年级数学(理科)调研测试试题(doc 16页)
试卷类型：B
广州市2012届高三年级调研测试
数学（理科）
2011.12
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或
签字笔将自己的姓名和考生号、试室
号、座位号填写在答题卡上，并用2B
铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生
号。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在
答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔
把答题卡上对应题目选项的答案信息
点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案．答案不能答在试卷
上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔
作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束
后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：锥体体积公式13
V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h
为锥体的高．
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．
1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}1,2A =，{}2,1,2B =-，则()
U
A B 等
于
A ．∅
B ．{}1
C ．{}1,2
D ．{}1,0,1,2-
2．设复数1
13i z =-，2
32i z =-，则2
1
z z 在复平面内对应的点在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3．已知向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a+b 等于
A ．()2,1--
B ．()2,1
C ．()3,1-
D ．()3,1-
4．等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，已知8
5
=a
，6
3
=S
，则7
10
S S
-的值是
A ．24
B ．48
C ．60
D ．72
5．设随机变量()2
~1,5X N ，且()()02P X P X a ≤=>-，则实数a 的
值为
A ． 4
B ． 6
C ． 8
D ．10
6．在正四棱锥V ABCD -中，底面正方形ABCD 的边长为1，
侧棱长为2，则异面直线VA 与BD 所成角的大小为
A ．6π
B ．4π
C ．3
π
D ．2
π 7．已知函数3()sin 2()2
f x x x π
⎛⎫
=+∈
⎪⎝
⎭
R ，给出下面四个命题：①
函数)(x f 的最小正周期为π；
②函数)(x f 是偶函数；③函数)(x f 的图象关于直线
4x π=
对称；④函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上是增函数，其中正确命题的个数是
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．定义：若函数)(x f 的图像经过变换T 后所得图像对应
函数的值域与)(x f 的值域相同，则称变换T 是)(x f 的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于)(x f 的同值变换的是
A ．2
)1()(-=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于y 轴对称
B ．1
2
)(1
-=-x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于x 轴对称
C ．32)(+=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,1-对称
D ．()sin 3
f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,0-对称
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．
5
21⎪
⎭⎫
⎝
⎛+x x 展开式中4
x 的系数为 (用数字作答).
10．向面积为S 的三角形ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积小于3
S
的概率是 ． 11．已知程序框图如右，则输出的
i
= ．
12．已知实数y x ,满足
0,1,
2210.x y x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪-+≤⎩
若目标
开始
1S =结束
3
i =100?
S ≥i 输出2
i i =+*S S i
=是
否
函数y ax z +=
()0≠a 取得最小值时的最优解有无数个，则实数a 的
值为_____．
13．已知直线()2y k x =-()0k >与抛物线2
8y
x
=相交于A 、B 两 点，F 为抛物线的焦点，若2FA FB
=，则k 的值
为 ．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题） 如右图，AB 是圆O 的直径，
直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥
于点D ，若圆O 的面积为4π，30ABC ∠=，则AD 的长为 ．
15．（极坐标与参数方程选做题）
在极坐标系中，点A 的坐标为2
2,4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，曲线C 的方程
为θρcos 2=，则OA （O 为极点）所在直线被曲线C 所截弦的长度为 ．
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，33AD =，5
sin 13BAD
∠=，
3cos 5
ADC ∠=
．
（1）求sin ABD ∠的值； （2）求BD 的长．
17．（本小题满分12分）
某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举
办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制，若设“社区服务”得分为x 分，“居民素质”得分为y 分，统计结果如下表：
y
社区数居民素质
1分 2分 3分 4分 5分
量
x
社区服务1分 1 3 1 0 1 2分 1 0 7 5 1 3分 2 1 0 9 3 4分a b 6 0 1 5分0 0 1 1 3
（1）若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3
x≥且3
y≥）的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一
个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概
率；
（2）若在50个社区中随机选取一个社区，这个社区的“居民素质”得分y的均值（即数学期
望）为167
50
，求a、b的值．
18.（本小题满分14分）
已知正方形ABCD的边长为2，AC BD O=．将正方形
ABCD沿对角线BD折起，使AC a=，得到三棱锥A BCD
-，如图所示．
（1）当2
a=时，求证：AO BCD
⊥平面；
（2）当二面角A BD C --
A BC D
--的正切值．
19．（本小题满分14分）
设椭圆
22
2:12
x y M a +=(
)2
a >的右焦点为1
F ，直线2
:22-=
a a x l 与x 轴交于点A ，若1
1
2OF AF +=0（其中O 为坐标原点）．
（1）求椭圆M 的方程；
（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，
EF
为圆
()1
2:2
2=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的
两个端点），求PF PE ⋅的最大值．
20.（本小题满分14分）
已知数列{}n
a 中，1
1a =，2
3
a
=，且1
12n n n a
a a +-=+()
2n ≥．
（1）设1n
n n
b
a a λ+=+，是否存在实数λ，使数列{}n
b 为等
比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，
A
B
C
O
请说明理由；
（2）求数列{}n
a 的前n 项和n
S ．
21．（本小题满分14分）
已知函数()3
2
()ln 2123x f x ax x
ax =++--()
a ∈R ．
（1）若2x =为)(x f 的极值点，求实数a 的值； （2）若)(x f y =在[)3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；
（3）当12a =-时，方程()()3
11+3x b f x x
--=
有实根，求实数b 的最大值．
广州市2012届高三年级调研测试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的
主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一
步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的
解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本
大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．
9．10 10．5
9 11．9 12．1-
13. 22
14．1 152
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
解：（1）因为3
cos 5ADC ∠=，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A B A D C B
所
以
24sin 1cos 5
ADC ADC ∠=-∠=
．……………………………………
……………………2分
因为5
sin 13BAD ∠=，
所
以
212
cos 1sin 13
BAD BAD ∠=-∠=
．…………………………………
………………………4分
因为ABD ADC BAD ∠=∠-∠， 所以()sin sin ABD ADC BAD ∠=∠-∠
sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD
=∠∠-∠∠ ………
………………………6分
412353351351365
=⨯-⨯=．…………………………………………
………………8分
（2）在△
ABD
中，由正弦定理，得
sin sin BD AD
BAD ABD
=
∠∠，………………………………10分
所
以
5
33sin 132533sin 65
AD BAD
BD ABD
⨯⨯∠=
=
=∠．…………………………………
…………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）的社区数
量
为
24
个．…………………………………………………………………………………2分
设这个社区能进入第二轮评比为事件A ，则
()P A =
2412
5025
=．
所以这个社区能进入第二轮评比的概率为
1225
．……………………………………………………4分 （2）由表可知“居民素质”得分y 有1分、2分、3分、4分、5分，其对应的社区个数分别为()4a +个、
()
4b +个、
15
个、
15
个、9
个．…………………………………………………………6分
所以“居民素质”得分y 的分布列为：
y 1 2 3 4
5 p 504+a 504+b 5015 1550 50
9 …………………………………8分
因为“居民素质”得分y 的均值（数学期望）为16750
，
所
以
50
167
5095501545015350425041=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯
b a ．………………………
…………10分
即25a b +=．
因为社区总数为50个，所以4750a b ++=． 解
得
1
a =，
2
b =．……………………………………………………
……………………………12分
18．（本小题满分14分）
（1）证明：根据题意，在AOC ∆中，2==a AC ，
2==CO AO ， 所
以
222
AC AO CO =+，所以
CO
AO ⊥.……………………………………………………
…2分
因为AC BD 、是正方形ABCD 的对角线， 所
以
AO BD
⊥．…………………………………………………
……………………………………3分
因为BD CO O
=，
所
以
AO BCD
⊥平面.………………………………………………
………………………………4分
（2）解法1：由（1）知，CO OD ⊥，如图，以O 为原点，OC ，OD 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图
的空间直角坐标系
O xyz
-，………………………………………………
…………5分 则有()0,0,0O ，()2,0
D ，(
)2,0,0
C ，()0,2,0
B -
．
设
()00,0,A x z ()
00x <，
则
()
00,0,OA x z =，
()0,2,0
OD =．………………………………6分
又设面ABD 的法向量为()1
1
1
,,x y z =n ， 则
0,0.
OA OD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即
010110,
20.
x x z z +=⎧⎪=
所以1
y
=，令1
x z =，则1
z
x =-．
所以()0
,0,z x =-n ．………………………8分 因为平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)=m ， 且
二面角
A BD C
--的
大
小
为
120
，………………………………………………………………9分
所以1
cos
,cos1202
==
m n ，得2
20
3x z
=．
因为2=OA ，所以22
02
0=+z x ．
解
得
2
6
,2200=-
=z x ．
所
以
26A ⎛ ⎝⎭
． (10)
A
B C D O
y
x
z
分
设平面
ABC
的法向量为
()
222,,x y z =l ，因为
(
)26,2,,2,2,0
22BA BC ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝
⎭，
则
0,
0.BA BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩l l ，即
22222
26
20,22220.x z x ⎧-+=⎪⎪+=⎩
令2
1
x =，则3
,122
=-=z y
．
所
以
(1,3)
=-l ．………………………………………………
…………………………………12分
设二面角A BC D --的平面角为θ， 所
以
2
315
cos cos ,11(3)
θ==
==
++l m ．……………………………
………………13分
所以6tan θ=
．
所以二面角
A BC D
--的正切值为
6．………………………………………………………
…14分
解法2：折叠后在△ABD 中，BD AO ⊥，
在△BCD 中，BD CO ⊥．……………………………5分
所以AOC ∠是二面角A BD C --的平面角，
A
B C
O
H
K
即120AOC ∠=．………………………………………6分
在△AOC 中，2==CO AO ， 所
以
6
AC =．…………………………………………………
……………………………………7分
如图，过点A 作CO 的垂线交CO 延长线于点H ， 因为BD CO ⊥，BD AO ⊥，且CO AO O
=，
所
以
BD ⊥
平
面
AOC
．………………………………………………………………………………8分
因为AH ⊂平面AOC ，所以BD AH ⊥． 又
CO AH
⊥，且
CO BD O
=，所以
AH ⊥
平面
BCD
．……………………………………9分
过点作A 作AK BC ⊥，垂足为K ，连接HK ， 因为
BC AH
⊥，
AK AH A
=，所以
BC ⊥
平面
AHK
．…………………………………10分
因为HK ⊂平面AHK ，所以BC HK ⊥． 所以AKH
∠为二面角
A BC D
--的平面
角． (11)
分
在△AOH 中，60AOH ∠=，2AO =，则62
AH =
，22
OH =
，
所
以
232222
CH CO OH =+==．…………………………………
……………………12分 在
Rt
△
CHK
中，
45
HCK ∠=，所以
2
3
2=
=
CH HK ………………………………………13分
在Rt △AHK 中，tan AKH ∠=
36
2
326
==KH AH ．
所以二面角
A BC D
--的正切值为
6…14分 19．（本小题满分14分）
（
1）由题设知，
22
2A a ⎛⎫
⎪
-⎭
，
(
)21
2,0
F a -，……………………………………………1分
由
112OF AF +=0
，得
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=-222222
22
a a a a ． (3)
分
解得6
2
=a ． 所
以椭
圆
M
的方程为
1
2
6:2
2=+y x M ．………………………………………………
…………4分
（2）方法1：设圆()1
2:2
2
=-+y x N 的圆心为N ，
则
()()-⋅-=⋅ ……………………………………
…………………………6分
()()NF NP NF NP
=--⋅-……………………………………………………………7分
2
2
2
1NP NF NP =-=-．………………………
………………………………………8分
从而求⋅的最大值转化为求2
的最大值．………………………………………………9分
因为P 是椭圆M 上的任意一点，设()0
0,y x P ，…………………………………………………10分
所
以
12
62
020=+y
x ，即
2
2
036y x -=．………………………………………………
…………11分
因
为
点
()
2,0N ，所以
()()12
1222
02
02
02
++-=-+=y y x ． (12)
分
因为0
2,2y ⎡∈-⎣，所以当10
-=y 时，2
NP 取得最大值
12．……………………………13分
所以⋅的最大值为
11．………………………………………………………………………14分
方法2：设点1
1
2
2
(,),(,),(,)E x y F x y P x y ，
因为
,E F
的中点坐标为
(0,2)
，所以
2121,4.
x x y y =-⎧⎨
=-⎩ ………………………………………………6分
所
以
10201020()()()()
PE PF x x x x y y y y ⋅=--+--………………………………
……………7分
1
1
1
1
()()()(4)x x x x y y y y =---+---
2222010110
44x x y y y y =-+-+-
22
220001114(4)
x y y x y y =+--+-．……………………………………
……………9分 因为点
E
在圆N
上，所以
2211(2)1
x y +-=，即2211143
x y y +-=-．………………………10分
因为点
P
在椭圆
M
上，所以
22
00
162
x y +=，即
2200
63x y =-．…………………………………11分
所
以
PE PF ⋅2
0249y y =--+202(1)11y =-++．……………………………
………………12分
因为0
[2,2]y ∈-，所以当0
1y =-时，()min
11PE PF ⋅=．………………………………14分
方法3：①若直线EF 的斜率存在，设EF 的方程为2y kx =+，………………………………6分
由
⎩⎨⎧=-++=1
)2(22
2y x kx y ，解得
1
12
+±
=k x ．………………………………………………
………7分
因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()0
,y x P ，
所
以
12
62
020=+y
x ，即
2
2
036y x -=．………………………………………………
…………8分
所
以
002
2211PE x y k k ⎛⎫=-+-⎪
++⎭
，
0022,211PF x y k k ⎛⎫=-- ⎪
++⎝⎭
……………………………………………………9分
所
以
11)1(21)2(1
)2(11202020222022
++-=--+=+--++-=⋅y y x k k y k x ．
……………………………………………………10分
因为0
2,2y ⎡∈-⎣，所以当10
-=y 时，PF PE ⋅取得最大值
11．…………………………11分
②若直线EF 的斜率不存在，此时EF 的方程为0x =， 由22
(2)1x x y =⎧⎨+-=⎩
，解得1y =或3y =．
不
妨设，
()
0,3E ，
()
0,1F ．………………………………………………………………………12分
因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()0
,y x P ，
所以
12
62
02
0=+y
x ，即2
2
36y x
-=．
所以()0
,3PE x y =--，()0
,1PF x y =--． 所以222
0000
432(1)11PE PF x y y y ⋅=+-+=-++．
因为02,2y ⎡∈-⎣，所以当10
-=y 时，PF PE ⋅取得最大值
11．…………………………13分
综上可知，⋅的最大值为11．………………………………………………………………14分
20．（本小题满分14分）
（1）方法1：假设存在实数λ，使数列{}n
b 为等比
数列，
则
有
2213
b b b =． ①
……………………………………1分 由1
1
a =，2
3
a =，且1
1
2n n n a
a a +-=+，得3
5
a =，4
11
a
=．
所
以
1213b a a λλ=+=+，
23253b a a λλ
=+=+，
343115b a a λλ
=+=+，………………2分
所以()()()
2
533115λλλ+=++，
解
得1
λ=或
2λ=-．……………………………………………………
……………………………3分 当1λ=时，1n
n n
b a a +=+，1
1
n n n b
a a --=+，且1
2
14
b a
a =+=，
有
()11111
22n n n n n n n n n n n a a a b a a
b a a a a -+---+++===++()2n ≥．……………………………
…………………4分 当2λ=-时，12n
n n
b a a +=-，1
1
2n n n b
a a --=-，且1
2
121
b a
a =-=，
有
()11111
222122n n n
n n n n n n n n a a a b a a b a a a a -+---+--===---()2n ≥．…………………………
………………5分
所以存在实数λ，使数列{}n
b 为等比数列．
当1λ=时，数列{}n
b 为首项是4、公比是2的等比数列；
当2λ=-时，数列{}n
b 为首项是1、公比是1-的等比数
列．……………………………………6分
方法2：假设存在实数λ，使数列{}n
b 为等比数列，
设
1
n
n b q b -=()2n ≥，………………………………………………
……………………………………1分
即
()
11n n n n a a q a a λλ+-+=+，…………………………………………
……………………………2分
即
()11
n n n a q a q a λλ+-=-+．………………………………………………………………………3分
与
已
知
11
2n n n a a a +-=+比较，令
1,2.
q q λλ-=⎧⎨
=⎩……………………………………………………
…4分 解
得
1
λ=或
2λ=-．……………………………………………………
……………………………5分
所以存在实数λ，使数列{}n
b 为等比数列．
当1λ=时，数列{}n
b 为首项是4、公比是2的等比数列；
当2λ=-时，数列{}n
b 为首项是1、公比是1-的等比数
列．……………………………………6分
（2）解法1：由（1）知
111422n n n n a a -+++=⨯=()
1n ≥，……………………………………7分 当n
为
偶
数时，
()()()()
1234561n n n S a a a a a a a a -=++++++
++ (8)
分
2462222n
=+++
+……………………………………………
……………9分
()22414124143
n
n +⎛⎫- ⎪
⎝⎭==--．…………………………………………
………10分 当n
为
奇数时，
()()()
123451n n n S a a a a a a a -=+++++
++………………………………
11分
351222n
=+++
+………………………………………………
…………12分
()1228141125143
n n -+⎛⎫- ⎪
⎝⎭=+=--．………………………………………
……13分 故
数
列
{}
n a 的前
n
项和
()()2
2124,3
125,3
n n n n S n ++⎧-⎪⎪=⎨
⎪-⎪⎩为偶数，为奇数.
………………………………………
14分
注：若将上述和式合并，即得()()2
1112432n
n n S +⎡⎤--=-+⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
． 解
法
2：由（1）
知
()
1
121n n n a a ++-=-()1n ≥，………………………………………
…………7分 所
以
()1
1
111112222n n n n n n n a a +++++-⎛⎫
-==- ⎪⎝⎭
()1n ≥，…………………………………
…………………8分
当2n ≥时，3112121213212
2222222n n n n
n
n a
a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
23
11112222n
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
2
11111221111112
26212n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤
⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=
+=+--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪
⎝⎭
．
因
为
11122
a =也适合
上
式，……………………………………………………………………………10分
所以2n n
a =1
1111262n -⎡⎤
⎛⎫+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
()1n ≥．
所
以
()11213n
n n a +⎡⎤
=+-⎣
⎦．……………………………………………
……………………………11分 则
()()()()()(
)1
2
3
23411
222211113n
n n S +⎡⎤
=+++
++-+-+-+
+-⎣
⎦
，
………………12分
()()()(
)()111412131211n
n ⎡⎤----⎢
⎥=+⎢⎥
---⎢⎥⎣
⎦
……………………………
………………………………13分
()()2
1112432n
n +⎡⎤--=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
．………………………………………
…………………………14分 解
法
3
：
由
（
1
）
可
知
，
()1111
42,211.n n n n n n a a a a -+-+⎧+=⨯⎪⎨-=⨯-⎪⎩……………………………………………
……7分 所
以
()11213n n n a +⎡⎤
=+-⎣
⎦．……………………………………………
……………………………8分
则
()()()()()
(
)()(
)1
234511
2121212121213n n
n n n S -+⎡⎤
=-+++-+++
++-++-⎣
⎦
， (9)
分 当
n
为
偶数
时
，
()
2
345112222223
n n n S +=
++++++…………………………………
……10分
()()2
41211243123
n
n +-=⨯=--．……………………………………………11分 当
n
为
奇数时，
()23451122222213n n n S +⎡⎤=++++++-⎣
⎦
………………………………
12分
()()2
412111253123
n
n +⎡⎤-⎢⎥=⨯-=--⎢⎥⎣⎦
．………………………………………13分 故
数
列
{}
n a 的前
n
项和
()()2
2124,3
125,3
n n n n S n ++⎧-⎪⎪=⎨
⎪-⎪⎩为偶数，为奇数.
………………………………………
14分
注：若将上述和式合并，即得()()2
1112432n
n n S +⎡⎤--=-+⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
．
21．（本小题满分14分）
解：（1）
22()2221
a
f x x x a ax '=
+--+()()22
2144221
x ax a x a ax ⎡⎤+--+⎣⎦
=
+．……………1分
因为2x =为()f x 的极值点，所以
()20f '=．…………………………………………………2分
即22041a
a a -=+，解得0
a =．……………………………………………………………………3分
又当0=a 时，()(2)f x x x '=-，从而2()x f x =为的极值点成立．……………………………4分
（2）因为()f x 在区间[)3,+∞上为增函数，
所以()()()22
214420
21
x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦
'=
≥+在区间[)3,+∞上恒成
立．…………………5分
①当0=a 时，()(2)0f x x x '=-≥在[3,)+∞上恒成立，所以()[3,)f x +∞在上为增函数，故0=a
符合题
意．………………………………………………………………………………………………6分
②当0a ≠时，由函数()f x 的定义域可知，必须有10ax +>2对3x ≥恒成立，故只能0a >，
所以2
2
2(14)(42)0[3,)ax a x a x +--+≥∈+∞对上恒成立．…………………………………7分
令2
2
()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为
1
14x a
=-，……………………………8分 因为0a >所以1114a -<，从而()0[3,)g x ≥+∞在上恒成立，只要(3)0
g ≥即可，
因为()3g =2
4610a a -++≥， 解得313313
a -+≤≤．………………………………………………………………………9分 因为0a >，所以31304a +<≤． 综上所述，a 的取值范围为
313⎡+⎢⎣⎦
．…………………………………………………
……10分
（3）若12
a =-时，方程3
(1)
(1)+
3x b f x x
--=可化为，
x
b
x x x =
-+--)1()1(ln 2．
问题转化为2
2
3
ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在()0,+∞上有解，
即求函数3
2
ln )(x x x x x g -+=的值
域．…………………………………………………………11分
以下给出两种求函数()g x 值域的方法：
方法1：因为()()2ln g x x x x x =+-，令2
()ln (0)h x x x x x =+->，
则x
x x x x x h )
1)(12(211)(-+=-+=' ，………………………………………………………
…12分
所以当01,()0x h x '<<>时，从而)1,0()(在x h 上为增函数， 当0)(,1<'>x h x 时，从而),1()(+∞在x h 上为减函
数，…………………………………………13分 因此()(1)0h x h ≤=． 而0x >，故()0b x h x =⋅≤，
因此当1x =时，b 取得最大值
0．…………………………………………………………………14分
方法2：因为()()2
ln g x x x x x =+-，所以2
321ln )(x x x x g -++='．
设2
()ln 123p x x x x =++-，则2
1621
()26x x p x x x x
--'=+-=-
． 当1706x <<时，()0p x '>，所以()p x 在170,6
⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭
上单调递增； 当17x +>()0p x '<，所以()p x 在176⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪
⎝⎭
上单调递减；
因为
()10
p =，故必有
1706p ⎛⎫
+> ⎪ ⎪⎝⎭
，又
22441233210
p e e e e ⎛⎫
=-++-<-< ⎪⎝⎭
，
因此必存在实数
02117,6x e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪
⎝⎭
使得0
'()0g x =，
0,()0x x g x '∴<<<当时，所以()0
()0,g x x 在上单调递减；
当0)(,10
>'<<x g x x 时，所以()0
(),1g x x 在上单调递增； 当()1,'()0,()1,x g x g x ><+∞时所以在上单调递减； 又因为)4
1(ln )(ln ln )(2
32+≤-+=-+=x x x x x x x x x x x g ， 当1
0,ln 04
x x →+<时，则()0g x <，又(1)0g =． 因此当1x =时，b 取得最大值
0. …………………………………………………………………14分。