江苏省如皋市2019_2020学年高二数学上学期教学质量调研试题一含解析
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则只需要点 在椭圆上或椭圆内，
则 且
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直线与椭圆位置关系的判断，常见的判断方法是联立直线方程与曲线方程，但此类方法一般计算量比较大，而本题的这种解决灵活的应用了直线恒过定点的性质，但解题时容易漏掉焦点在 轴上的条件的考虑，误认为只有 ．
9.已知双曲线 ，过右焦点的直线交双曲线于 两点，若 中点的横坐标为4，则弦 长为（ ）
设直线 ： ，
联立 ，得
则 ，
∴
将 代入得
.
∴直线 与直线 的斜率之和为2.
【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对式子进行变形计算，对学生计算能力要求较高，难度比较大．
20.如图，马路 南边有一小池塘，池塘岸 长40米，池塘的最远端 到 的距离为400米，且池塘的边界为抛物线型，现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路 ，且 均与小池塘岸线相切，记 .
12.过点 的直线 与椭圆 交于 两点，若 则直线 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设直线 的方程为： ，与椭圆方程联立．由 ，可得 ，将其与韦达定理联立，即可解出直线 的斜率．
【详解】解：设直线 的方程为： ．
联立 ，化为： ， ，
．
，即
，
的向斜率 ．
【点睛】本题考查直线和双曲线相交，产生的弦的长度问题，属于基础题．
10.在平面直角坐标系 中，已知 是抛物线 的焦点，过点 作两条相互垂直的直线 ， 分别与抛物线交于点 和 ，记 的中点为 ， 的中点为 ，则 的最小值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
设出 的方程，分别与抛物线 联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出 ， 的坐标，进而可以求出 ，利用基本不等式求其最小值．
设双曲线的方程为 ，
则 ，可得 ，
所以双曲线的方程为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和点到直线的距离公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15.如图，已知 和 均为等边三角形，它们的边长分别 ，抛物线 恰好经过点 ，则 _________.
【答案】
【解析】
【答案】
【解析】
【分析】
设双曲线的右焦点，渐近线方程，由三角形 为等腰直角三角形，可得 ，可得 ，则可得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得 ，进而可得到所求双曲线的方程．
【详解】解：设双曲线 的右焦点为 ，双曲线的渐近线方程为 ，
由三角形 为等腰直角三角形，
可得 ，
则 ，即 ，
则双曲线的渐近线方程为 ，
【解析】
【分析】
通过椭圆的离心率列出方程，求解即可．
【详解】解：椭圆 的离心率为 ，
可得：椭圆的焦点坐标在 轴上时： ，
解得 ；
椭圆的焦点坐标在 轴上时： ，
解得 ．
故选：A．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，要注意焦点位置的讨论，是基本知识的考查．
5.若实数 满足 ，则曲线 与曲线 的（）
A. 离心率相等B. 虚半轴长相等C. 实半轴长相等D. 焦距相等
∴
∴
∴
∴ .
【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，灵活运用韦达定理，将形成等腰三角转化为斜率乘积为-1，是中档题．
19.已知 分别是椭圆 的左、右焦点，过 且不与 轴垂直的动直线 与椭圆交于 两点，点 是椭圆 右准线上一点，连结 ，当点 为右准线与 轴交点时，有 .
（1）求椭圆 的离心率；
（2）当点 的坐标为 时，求直线 与直线 的斜率之和.
【解析】
【分析】
求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离.
【详解】圆 的圆心为M(0,6)，半径为 ，
设 ，则 ，即 ，
∴当 时， ，故 的最大值为 .
故选C.
【点睛】本题考查了椭圆与圆的综合，圆外任意一点到圆的最大距离是这个点到圆心的距离与圆的半径之和，根据圆外点在椭圆上，即可列出椭圆上一点到圆心的距离的解析式，结合函数最值，即可求得椭圆上一点到圆上一点的最大值.
【答案】
【解析】
【分析】
依题意，在 中， ， ， ，利用余弦定理可求得 的值，从而可求得 面积．
【详解】解：∵椭圆 ，
．
又∵ 为椭圆上一点， ， 为左右焦点，
∴ ， ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查椭圆 简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．
14.在平面直角坐标系 中，过双曲线 的右焦点作垂直于 轴的直线 ， 与双曲线的渐近线交于 两点，且三角形 为等腰直角三角形，若双曲线的顶点到它的渐近线的距离为 ，则双曲线的标准方程为_________.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得 ，解方程可得 ，再由离心率公式，化简计算可得所求值．
【详解】解：椭圆 ( )与双曲线 ( )的焦点重合，
可得 ，即 ，①
若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，可得 ，②
由①②可得 ，
则 ．
故选：C．
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率的计算，以及方程思想和化简运算能力，属于基础题．
【详解】解：由 是抛物线 的焦点，得 ，
设 ，
联立 ，消去 得 ，
,
设 ，
联立 ，消去 得 ，
,
．
故选：C．
【点睛】本题考查直线和抛物型的位置关系，利用韦达定理解决中点坐标问题，中档题，注意计算的准确性．
11.设P，Q分别是圆 和椭圆 上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【答案】（1） （2）2
【解析】
【分析】
（1）由 ，建立关于 的关系式，变形即可求出离心率；
（2）先根据点 的坐标求出椭圆方程，设出直线 与椭圆联立，利用韦达定理和斜率公式，计算 ，整理可得结果．
【详解】解（1）由已知当 为右准线与 轴交点时，有
∴ ∴ ∴
又 ，∴ .
（2）∵ ，∴
又 ，∴ ，∴
∴椭圆 .
（1）求小路的总长，用 表示；
（2）若在小路与小池塘之间（图中阴影区域）铺上草坪，求所需铺草坪面积最小时， 的值.
【答案】（1） （2）当 时，所需铺草坪面积最小
，故选A.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，斜率公式的应用，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决..
故选：C．
【点睛】本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，其中将长度关系转化为向量关系，进而得到坐标关系是关键，属于难题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若椭圆 的左右焦点分别为 ，点 是椭圆上的一点， ，则 的面积为_________.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）将直线方程和抛物线方程联立，求出 ，利用弦长公式 即可求出结果；
（2）将直线方程和抛物线方程联立，求出 的中点为 的坐标，利用 ，斜率乘积为-1，列方程求解即可．
【详解】解（1）设
联立 ，得
则 ，
则 .
（2）设 ， 的中点为
联立 ，得
则 ，则
则 .
又 是以 为腰的等腰三角形
分析】
根据已知写出 坐标，代入抛物线方程，即可求出结果．
【详解】解：由已知 ，
得 ，
因为抛物线 恰好经过点 ，
，两式相除可得 ，
设 ，则 ，
解得： ，即 ．
故答案 ： ．
【点睛】本题考查抛物线的方程，考查学生方程的思想以及计算能力，其中的整体运算和换元法可以将复杂计算简单化，难度不大．
16.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 两点，当 到直线 的距离为1时，则 面积的最大值为_________.
（2）联立 得
设 ，
则 ，
∴ ．
【点睛】本题考查渐近线方程与双曲线方程的关系，以及方程的联立设而不求的方法的应用，注意，以 为渐进线的双曲线系方程可设为 ， 为参数且不为0．
18.已知抛物线 ，直线 与抛物线交于 两点， 是抛物线准线上的点，连结 .
（1）若 ，求 长；
（2）若 是以 为腰的等腰三角形，求 的值.
（1）求双曲线方程；
（2）求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据双曲线的渐进线方程设出双曲线方程，代入已知点，求出方程；
（2）方程联立韦达定理设而不求，求向量的数量积即可．
【详解】解：（1）由双曲线 的渐近线方程为 ，
设双曲线的方程为： ，
将点 代入双曲线方程得 ，
所以双曲线的方程为：
A. B. C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设出直线 ，与 联立，根据韦达定理，可求出 的值，再根据弦长公式 求得弦 的长．
【详解】解：双曲线 ，则 ，所以右焦点 ，
根据题意易得过 的直线斜率存在，设为 ，
联立 ，
化简得 ，
所以 ，
因为 中点横坐标为4，所以 ，
解得 ，所以 ，
则 ，
则 ．
故选：D．
8.已知直线 与焦点在 轴上的椭圆 总有公共点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意直线 恒过定点 ，要使直线 与焦点在 轴上的椭圆 总有公共点，则只需要点 在椭圆上或椭圆内，代入可求．
【详解】解：由题意直线 恒过定点
要使直线 与焦点在 轴上的椭圆 总有公共点，
把已知点的坐标代入双曲线方程，求得 ，则双曲线的渐近线方程可求．
【详解】解：∵双曲线 经过点 ，
∴ ，解得 ，
又 ，
∴该双曲线的渐近线方程是 ．
故选：D．
【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．
4.已知椭圆 的离心率为 ，则 的值为（ ）
A. 或 B. C. 或 D.
【答案】A
当 到直线 的距离 ，
整理得 ，
联立 ，消去 得 ，
，
设 ，则 ，
，
当 ，即 时， 取最大值4，
综上， 的最大值为2，
面积的最大值为 ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理求出弦长的最值，对学生计算能力要求较高，是中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共82分）
17.在平面直角坐标系 中，若双曲线 的渐近线方程为 ，且经过点 ，直线 交双曲线于 两点，连结 .
【答案】D
【解析】
【详解】 ，则 ， ，
双曲线 实半轴长为 ，虚半轴长为 ，焦距为 ，离心率为 ，
双曲线 的实半轴长为 ，虚半轴长为 ，
焦距为 ，离心率为 ，
因此，两双曲线的焦距相等，
故选：D.
6.已知椭圆 ( )与双曲线 ( )的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线 ， 的离心率分别为 ， ，则 的值为（ ）
【答案】1
【解析】
【分析】
首先由点到直线的距离公式求出变量的关系，然后将直线方程和椭圆方程联立，化为关于 的一元二次方程，由弦长公式求得 长度，利用二次函数求 长度最值，最后写出 的面积．
【详解】解：当直线 斜率不存在时，直线 的方程为： ，
不妨取 来计算，
将 代入椭圆方程得： ，
；
当直线 斜率存在时，设直线 的方程为： ，
7.已知抛物线 上一点 到抛物线焦点 的距离等于 ，则直线 的斜率为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义可求出 的横坐标，代入抛物线方程解出 的纵坐标，代入斜率公式计算斜率.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
点 到焦点 的距离等于 到准线 的距离，
所以 ，
代入抛物线方程解得 ，
【详解】解：双曲线E： 可得 ，
由双曲线的定义可得 ，
由 ，可得 ，
解得 （−2舍去）．
故选：B．
【点睛】本题考查双曲线的定义和方程，考查定义法的运用，以及运算能力，属于基础题．
3.在平面直角坐标系 中，若双曲线 经过点 ，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
江苏省如皋市2019-2020学年高二数学上学期教学质量调研试题（一）（含解析）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1.抛物线 的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据抛物线的标准方程得到焦点在 轴上以及 ，再直接求出其准线方程．
【详解】解：因为抛物线的标准方程为： ，焦点在 轴上；
所以： ，即 ，
所以： ，
所以准线方程 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
2.若双曲线E： 的左、右焦点分别为 ，点 是双曲线上的一点，且 则 （ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
求得双曲线的 ，由双曲线的定义可得 ，代入已知条件解方程即可得到所求值．
则 且
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直线与椭圆位置关系的判断，常见的判断方法是联立直线方程与曲线方程，但此类方法一般计算量比较大，而本题的这种解决灵活的应用了直线恒过定点的性质，但解题时容易漏掉焦点在 轴上的条件的考虑，误认为只有 ．
9.已知双曲线 ，过右焦点的直线交双曲线于 两点，若 中点的横坐标为4，则弦 长为（ ）
设直线 ： ，
联立 ，得
则 ，
∴
将 代入得
.
∴直线 与直线 的斜率之和为2.
【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对式子进行变形计算，对学生计算能力要求较高，难度比较大．
20.如图，马路 南边有一小池塘，池塘岸 长40米，池塘的最远端 到 的距离为400米，且池塘的边界为抛物线型，现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路 ，且 均与小池塘岸线相切，记 .
12.过点 的直线 与椭圆 交于 两点，若 则直线 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设直线 的方程为： ，与椭圆方程联立．由 ，可得 ，将其与韦达定理联立，即可解出直线 的斜率．
【详解】解：设直线 的方程为： ．
联立 ，化为： ， ，
．
，即
，
的向斜率 ．
【点睛】本题考查直线和双曲线相交，产生的弦的长度问题，属于基础题．
10.在平面直角坐标系 中，已知 是抛物线 的焦点，过点 作两条相互垂直的直线 ， 分别与抛物线交于点 和 ，记 的中点为 ， 的中点为 ，则 的最小值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
设出 的方程，分别与抛物线 联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出 ， 的坐标，进而可以求出 ，利用基本不等式求其最小值．
设双曲线的方程为 ，
则 ，可得 ，
所以双曲线的方程为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和点到直线的距离公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15.如图，已知 和 均为等边三角形，它们的边长分别 ，抛物线 恰好经过点 ，则 _________.
【答案】
【解析】
【答案】
【解析】
【分析】
设双曲线的右焦点，渐近线方程，由三角形 为等腰直角三角形，可得 ，可得 ，则可得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得 ，进而可得到所求双曲线的方程．
【详解】解：设双曲线 的右焦点为 ，双曲线的渐近线方程为 ，
由三角形 为等腰直角三角形，
可得 ，
则 ，即 ，
则双曲线的渐近线方程为 ，
【解析】
【分析】
通过椭圆的离心率列出方程，求解即可．
【详解】解：椭圆 的离心率为 ，
可得：椭圆的焦点坐标在 轴上时： ，
解得 ；
椭圆的焦点坐标在 轴上时： ，
解得 ．
故选：A．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，要注意焦点位置的讨论，是基本知识的考查．
5.若实数 满足 ，则曲线 与曲线 的（）
A. 离心率相等B. 虚半轴长相等C. 实半轴长相等D. 焦距相等
∴
∴
∴
∴ .
【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，灵活运用韦达定理，将形成等腰三角转化为斜率乘积为-1，是中档题．
19.已知 分别是椭圆 的左、右焦点，过 且不与 轴垂直的动直线 与椭圆交于 两点，点 是椭圆 右准线上一点，连结 ，当点 为右准线与 轴交点时，有 .
（1）求椭圆 的离心率；
（2）当点 的坐标为 时，求直线 与直线 的斜率之和.
【解析】
【分析】
求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离.
【详解】圆 的圆心为M(0,6)，半径为 ，
设 ，则 ，即 ，
∴当 时， ，故 的最大值为 .
故选C.
【点睛】本题考查了椭圆与圆的综合，圆外任意一点到圆的最大距离是这个点到圆心的距离与圆的半径之和，根据圆外点在椭圆上，即可列出椭圆上一点到圆心的距离的解析式，结合函数最值，即可求得椭圆上一点到圆上一点的最大值.
【答案】
【解析】
【分析】
依题意，在 中， ， ， ，利用余弦定理可求得 的值，从而可求得 面积．
【详解】解：∵椭圆 ，
．
又∵ 为椭圆上一点， ， 为左右焦点，
∴ ， ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查椭圆 简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．
14.在平面直角坐标系 中，过双曲线 的右焦点作垂直于 轴的直线 ， 与双曲线的渐近线交于 两点，且三角形 为等腰直角三角形，若双曲线的顶点到它的渐近线的距离为 ，则双曲线的标准方程为_________.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得 ，解方程可得 ，再由离心率公式，化简计算可得所求值．
【详解】解：椭圆 ( )与双曲线 ( )的焦点重合，
可得 ，即 ，①
若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，可得 ，②
由①②可得 ，
则 ．
故选：C．
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率的计算，以及方程思想和化简运算能力，属于基础题．
【详解】解：由 是抛物线 的焦点，得 ，
设 ，
联立 ，消去 得 ，
,
设 ，
联立 ，消去 得 ，
,
．
故选：C．
【点睛】本题考查直线和抛物型的位置关系，利用韦达定理解决中点坐标问题，中档题，注意计算的准确性．
11.设P，Q分别是圆 和椭圆 上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【答案】（1） （2）2
【解析】
【分析】
（1）由 ，建立关于 的关系式，变形即可求出离心率；
（2）先根据点 的坐标求出椭圆方程，设出直线 与椭圆联立，利用韦达定理和斜率公式，计算 ，整理可得结果．
【详解】解（1）由已知当 为右准线与 轴交点时，有
∴ ∴ ∴
又 ，∴ .
（2）∵ ，∴
又 ，∴ ，∴
∴椭圆 .
（1）求小路的总长，用 表示；
（2）若在小路与小池塘之间（图中阴影区域）铺上草坪，求所需铺草坪面积最小时， 的值.
【答案】（1） （2）当 时，所需铺草坪面积最小
，故选A.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，斜率公式的应用，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决..
故选：C．
【点睛】本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，其中将长度关系转化为向量关系，进而得到坐标关系是关键，属于难题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若椭圆 的左右焦点分别为 ，点 是椭圆上的一点， ，则 的面积为_________.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）将直线方程和抛物线方程联立，求出 ，利用弦长公式 即可求出结果；
（2）将直线方程和抛物线方程联立，求出 的中点为 的坐标，利用 ，斜率乘积为-1，列方程求解即可．
【详解】解（1）设
联立 ，得
则 ，
则 .
（2）设 ， 的中点为
联立 ，得
则 ，则
则 .
又 是以 为腰的等腰三角形
分析】
根据已知写出 坐标，代入抛物线方程，即可求出结果．
【详解】解：由已知 ，
得 ，
因为抛物线 恰好经过点 ，
，两式相除可得 ，
设 ，则 ，
解得： ，即 ．
故答案 ： ．
【点睛】本题考查抛物线的方程，考查学生方程的思想以及计算能力，其中的整体运算和换元法可以将复杂计算简单化，难度不大．
16.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 两点，当 到直线 的距离为1时，则 面积的最大值为_________.
（2）联立 得
设 ，
则 ，
∴ ．
【点睛】本题考查渐近线方程与双曲线方程的关系，以及方程的联立设而不求的方法的应用，注意，以 为渐进线的双曲线系方程可设为 ， 为参数且不为0．
18.已知抛物线 ，直线 与抛物线交于 两点， 是抛物线准线上的点，连结 .
（1）若 ，求 长；
（2）若 是以 为腰的等腰三角形，求 的值.
（1）求双曲线方程；
（2）求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据双曲线的渐进线方程设出双曲线方程，代入已知点，求出方程；
（2）方程联立韦达定理设而不求，求向量的数量积即可．
【详解】解：（1）由双曲线 的渐近线方程为 ，
设双曲线的方程为： ，
将点 代入双曲线方程得 ，
所以双曲线的方程为：
A. B. C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设出直线 ，与 联立，根据韦达定理，可求出 的值，再根据弦长公式 求得弦 的长．
【详解】解：双曲线 ，则 ，所以右焦点 ，
根据题意易得过 的直线斜率存在，设为 ，
联立 ，
化简得 ，
所以 ，
因为 中点横坐标为4，所以 ，
解得 ，所以 ，
则 ，
则 ．
故选：D．
8.已知直线 与焦点在 轴上的椭圆 总有公共点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意直线 恒过定点 ，要使直线 与焦点在 轴上的椭圆 总有公共点，则只需要点 在椭圆上或椭圆内，代入可求．
【详解】解：由题意直线 恒过定点
要使直线 与焦点在 轴上的椭圆 总有公共点，
把已知点的坐标代入双曲线方程，求得 ，则双曲线的渐近线方程可求．
【详解】解：∵双曲线 经过点 ，
∴ ，解得 ，
又 ，
∴该双曲线的渐近线方程是 ．
故选：D．
【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．
4.已知椭圆 的离心率为 ，则 的值为（ ）
A. 或 B. C. 或 D.
【答案】A
当 到直线 的距离 ，
整理得 ，
联立 ，消去 得 ，
，
设 ，则 ，
，
当 ，即 时， 取最大值4，
综上， 的最大值为2，
面积的最大值为 ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理求出弦长的最值，对学生计算能力要求较高，是中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共82分）
17.在平面直角坐标系 中，若双曲线 的渐近线方程为 ，且经过点 ，直线 交双曲线于 两点，连结 .
【答案】D
【解析】
【详解】 ，则 ， ，
双曲线 实半轴长为 ，虚半轴长为 ，焦距为 ，离心率为 ，
双曲线 的实半轴长为 ，虚半轴长为 ，
焦距为 ，离心率为 ，
因此，两双曲线的焦距相等，
故选：D.
6.已知椭圆 ( )与双曲线 ( )的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线 ， 的离心率分别为 ， ，则 的值为（ ）
【答案】1
【解析】
【分析】
首先由点到直线的距离公式求出变量的关系，然后将直线方程和椭圆方程联立，化为关于 的一元二次方程，由弦长公式求得 长度，利用二次函数求 长度最值，最后写出 的面积．
【详解】解：当直线 斜率不存在时，直线 的方程为： ，
不妨取 来计算，
将 代入椭圆方程得： ，
；
当直线 斜率存在时，设直线 的方程为： ，
7.已知抛物线 上一点 到抛物线焦点 的距离等于 ，则直线 的斜率为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义可求出 的横坐标，代入抛物线方程解出 的纵坐标，代入斜率公式计算斜率.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
点 到焦点 的距离等于 到准线 的距离，
所以 ，
代入抛物线方程解得 ，
【详解】解：双曲线E： 可得 ，
由双曲线的定义可得 ，
由 ，可得 ，
解得 （−2舍去）．
故选：B．
【点睛】本题考查双曲线的定义和方程，考查定义法的运用，以及运算能力，属于基础题．
3.在平面直角坐标系 中，若双曲线 经过点 ，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
江苏省如皋市2019-2020学年高二数学上学期教学质量调研试题（一）（含解析）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1.抛物线 的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据抛物线的标准方程得到焦点在 轴上以及 ，再直接求出其准线方程．
【详解】解：因为抛物线的标准方程为： ，焦点在 轴上；
所以： ，即 ，
所以： ，
所以准线方程 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
2.若双曲线E： 的左、右焦点分别为 ，点 是双曲线上的一点，且 则 （ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
求得双曲线的 ，由双曲线的定义可得 ，代入已知条件解方程即可得到所求值．