2020年浙江高三数学总复习：解三角形课时训练

第二节解三角形
课时训练
【选题明细表】
一、选择题
1. 在厶ABC中,若sin 2A+sin2B<sin2C,则厶ABQ的形状是( C )
(A)锐角三角形(B)直角三角形
(C)钝角三角形(D)不能确定
解析：在厶ABC中,因为sin A+sin B<sin C,
所以由正弦定理知a2+b2<c2( / C最大).
a z + /j z - c2
所以cos C^ 1<0,
即C为钝角，△ ABC为钝角三角形.故选C.
2. △ ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且acos C, bcos B,ccos A 成等差数列，则角B等于(B )
(A)30 (B)60 (C)90 (D)120
解析:acos C+ccos A=2bcos B,由正弦定理得sin Acos C+sin C cos A=2s in Bcos B,si n( A+C)=2s in Bcos B,
即sin B=2sin Bcos B,
因为sin B 工0,则cos B=',
又因为0° <B<180 ,所以B=60° .故选B.
3. （2018 •全国皿卷）△ ABC勺内角A,B,C的对边分别为a,b,c若厶ABC
2+ b2^c2
的面积为1,则C等于（C ）
(A) (B)
n u
(C) ； (D)
1 a
2 + b2- c2 2abcosC
解析：因为S= absin C= 1= 1
=abcos C,
所以sin C=cos C,即tan C=1.
7T
因为C€ (0, n ),所以C=.故选C.
4. 已知△ ABC的面积为,AC= , / ABC=,则厶ABC的周长等于
(A )
M
(A)3+ (B)3 (C)2+ (D)
i &
解析：由题知AB- BC- sin B=',则AB- BC=2,
n
由余弦定理可得3二AB+Be2AB - BC- cos 二A B+B^2,所以AB+BC=5,
贝卩(AB+BC)二A B+B C+2AB・ BC=9,
所以AB+BC=3则△ ABC的周长为AB+BC+CA=3+.故选A.
5. 在厶ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比
3
数列，且sin Asin C= ',b=3,则厶ABC的面积最大值为(D )
5 4 9尊9厉
(A厂(B厂(C) (D)
解析:因为a,b,c成等比数列,则b2=ac.
由正弦定理得sin 2B=sin Asin C.
3 3
又sin As in C=:,所以sin 2B=.
因为sin B>0,贝卩sin B='.
因为B€ (0, n ),所以B=或：.
又b2=ac,则b< a或b< c,即b不是△ ABC的最大边，
故B=.
由余弦定理b2=a2+c2-2accos B 得
2 2 /1—I
9=a+c -ac > 2ac-ac,得ac< 9,
1_ 9締
所以S ABC= acsin B < :
5/3
当a=c=3时,△ ABC的面积取得最大值I .故选D.
6. 若6是厶ABC的重心,a,b,c 分别是内角A,B,C的对边，若a + T Q T
b + c，=0,则角A等于(D )
(A)90 (B)60 (C)45 (D)30
解析：因为G 是厶ABC 勺重心，所以，=-(+ ). T T Q T 又 a +b + c =0,
所以(a- c) +(b- ； c) ■ =0. 因为「与，不共线， 所以 a- c=0,b- ； c=0,
A /3
迥
即 a= c,b= ；c.
因为a,b,c 分别是内角A,B,C 的对边，由余弦定理,
+ c 1
又因为0° <A<180 ,所以A=30° 故选D. 二、填空题
7. △ ABC 的周长为20,面积为10・，A=60° ,则BC 边的长 为 _______ .
1
10. 在锐角三角形 ABC 中,tan A= ,D 为边BC 上的点，△ ABD <^ ACD 的面积分别为2和4.过D 作DEL AB 于E,DF 丄AC 于 F,则:=
得 cos A= ° = 2卫2
3
解析：设三角形三边长分别为a,b,c,
依题意知,a+b+c=20, 'bcsin A=10 ,
所以bc=40,根据余弦定理得
2 2 2 2 2
a =
b +
c -2bccos A=(b+c) -3bc=(20-a) -120,
解得a=7,即BC=7.
答案：7
8. （2018 •浙江卷）在厶ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若
a二,b=2,A=60 ° ,贝U sin B= ______ ,c= _______ .
a b b? * 0
解析：如图，由正弦定理宀’I ='；；,得sin B= • sin A=】x '='.
由余弦定理a2=b2+c2-2bc • cos A,
得7=4+C2-4C x cos 60 °,
即C2-2C-3=0,
解得c=3或c=-1(舍去).
亘
答案：.3
9. 在厶ABC中,已知2sin Acos B=sin C, 那么△ ABC的形状是 2 1解析:解析：在厶ABC 中,2si n Acos B=s in( A+B)=si n Acos B+cos As in B, sin Acos B-cos Asi n B=s in( A-B)=0.
可得A=B.
由题意得sin A二，cos A= , AB- AC・ sin A=6? AB- AC=12 ,
1 i
又AB- DE=2, AC- DF=4,
所以AB- DE- AC- DF=32,
32
所以DE- DF=：..
32
T T -----
因为D,E,A,F 四点共圆，因此…•=DE- DF- cos( n -A)= • X
2 16
(- )=-「•
16
答案:-_
11. 在厶ABC中,已知sin A：sin B= : 1,c2=b2+ bc,则三内角A,B,C 的度数依次是 ______________ .
解析:由题意知a二 b,a 2=b2+c2-2bccos A,
即2b2=b2+c2-2bccos A,
又c2=b2+ bc,
遇1
所以cos A= ,A=45 ° ,sin B= ,B=30 ° ,
所以C=105 .
答案:45 ° ,30 ° ,105
n
所以△ ABC是等腰三角形.
答案:等腰三角形
12. 在厶ABC中,a,b,c 分别是内角A,B,C的对边,B=,且sin A :
b
sin C=3 : 1,贝『的值为_______ .
解析:sin A : sin C=a : c=3 : 1,
所以a=3c.
rr u2 + c2 - b21
由余弦定理得cos =',
10c2-/J2i
所以" =,7c2=b2,
b2
所以，=7,
b
所以=.
答案:
13. 在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,
tanC tartC
+ =6cos C,
b a
解析:+ =6cos C? 6abcos C=a2+b2,
3c2
6ab 1 =a2+b2,a 2+b2=,
tanC tanC sinC cosRwin百 + sinBcosA
sinC sin(A + B)
-cosC . slnAsinB
1 sin^C
-cosC . smAsinl3
由正弦定理，得
答案：4 三、解答题
14. 锐角△ ABC 勺内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知cos(B-A)二
c
2sin 2 .
(1) 求 sin Asin B 的值；
⑵若a=3,b=2,求厶ABC 的面积.
c
解:(1)由 cos(B-A)=2sin 2 ,得 cos(B-A)=1-cos C=1+cos(B+A),
所以 cos Bcos A+sin Bsin A=1+cos Bcos A sin Bsi n A,
i
所以 sin As in B= .
sin A a 3
(2) 因为■■■■■■■'■=二，
I
sin Asi n B= ,
解得 sin A= ,sin B= ,
1
上式二 13c 2
=2 =4.
因为△ ABC是锐角三角形，
所以cos A= ,cos B= ,
f 2 + ^'3
sin C=si n( A+B)=s in Acos B+cos Asi n B= ' ,
1 I 卯 + 凋3^ + 73
S= absin C= x 3x2x 二
15. 已知△ ABC的三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m= (cos B,cos C),n=(2a+c,b), 且mil n.
(1) 求角B的大小；
⑵若b=,求a+c的取值范围.
解:(1)因为m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b), 且ml n.
所以(2a+c)cos B+bcos C=0,
所以cos B(2sin A+sin C)+sin Bcos C=0,
所以2cos Bsin A+cos Bsin C+sin Bcos C=0,
即2cos Bsin A=-sin(B+C)=-sin A,
因为sin A工0,
i
所以cos B=-.
因为0° <B<180 ,
所以B=120° .
(2) 因为b2=a2+c2-2accos 120 ° =a2+c2+ac=(a+c) 2-ac > (a+c) 2-
a + c 3
( )2= (a+c) 2,当且仅当a=c时取等号.
所以(a+c) 2<4,所以a+c< 2,
又a+c>b二，所以a+c€ (,2].。