数学新高考第3节 不等关系与一元二次不等式

15
不等关系与一元二次不等式
《高考特训营》 ·数学 返 回
3．[学以致用]“穿根法”解不等式 如果分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般使用数轴 标根法(亦称穿针引线法)求解，具体步骤如下：
16
不等关系与一元二次不等式
《高考特训营》 ·数学 返 回
第3步 求根
―→
求标准化的不等式对应方程的根，并在数轴上表示出来
202不2届等关系与一元二次不源自式《高考特《训高营考》特·训数营学》 ·返数回学
第3节 不等关系与一元二次不等式
1 1
不等关系与一元二次不等式
《高考特训营》 ·数学 返 回
课标要求 1.通过具体情境，感受在现实世界和 日常生活中存在着大量的不等关系， 了解不等式(组)的实际背景； 2.经历从实际情境中抽象出一元二次 不等式模型的过程； 3.通过函数图象了解一元二次不等式 与相应函数、方程的联系，并会解一 元二次不等式
不等关系与一元二次不等式
《高考特训营》 ·数学 返 回
[思考] 比较大小还有别的方法吗？ (1)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小． (2)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出 结论．
6
不等关系与一元二次不等式
2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c； (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
命题方向
数学素养
1.不等式的性质 及应用
数据分析、逻辑推理
2.一元二次不等 式的解法
数学运算、数据分析
3.一元二次不等 式的恒成立问题
逻辑推理、数学抽象
2
不等关系与一元二次不等式
《高考特训营》 ·数学 返 回
01 02
知识特训 能力特训
3
不等关系与一元二次不等式
《高考特训营》 ·数学 返 回
01
17
不等关系与一元二次不等式
《高考特训营》 ·数学 返 回
18
不等关系与一元二次不等式
《高考特训营》 ·数学 返 回
19
不等关系与一元二次不等式
《高考特训营》 ·数学 返 回
1．[易错诊断]若 a>b>0，c<d<0，则一定有( D )
知识特训
知识必记 拓展链接 对点训练
4
不等关系与一元二次不等式
《高考特训营》 ·数学 返 回
1．两个实数比较大小的方法
关系
作差法
a>b
a－b>0
a＝b a－b＝0
a<b
a－b<0
5
方法 作商法
ab>1(a，b>0)或ab<1(a，b<0) ab＝1(b≠0)
ab<1(a，b>0)或ab>1(a，b<0)
8
不等关系与一元二次不等式
《高考特训营》 ·数学 返 回
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋ 有两相异实根 x1， bx＋c＝0(a>0)的根 x2(x1<x2)
有两相等实根 x1＝x2 没有实数
7
《高考特训营》 ·数学 返 回
不等关系与一元二次不等式
《高考特训营》 ·数学 返 回
(4)可乘性：a>b，c>0⇒___a_c>__b_c_； a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)；
(6)可开方性：a>b>0⇒n
n a>
b(n∈N，n≥2)．
《高考特训营》 ·数学 返 回
13
不等关系与一元二次不等式
《高考特训营》 ·数学 返 回
2．[思想方法]求范围中巧用方程思想 运用方程的思想，结合函数的性质，不等式的性质，可求解取值范围问题． 【例】已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，则 f(－2)的取值范围是________．
12
不等关系与一元二次不等式
提示：设 a＝lg x，b＝lg y， 则 lg(xy)＝a＋b，lgxy＝a－b， ∴lg(x4y2)＝3lg(xy)＋lgxy＝3(a＋b)＋(a－b)． ∵3≤3(a＋b)≤6，3≤a－b≤4， ∴6≤3(a＋b)＋(a－b)≤10， 即 lg(x4y2)的取值范围为[6，10]．
14
不等关系与一元二次不等式
《高考特训营》 ·数学 返 回
提示：设 f(x)＝ax2＋bx(a≠0)， 由ff（ （－1）1）＝＝a＋a－b，b，得ab＝ ＝1212[[ff（ （－1）1－ ）＋f（f（ －11） ）]]， ， 所以 f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． 又13≤ ≤ff（ （－1）1）≤≤4，2，所以 6≤3f(－1)＋f(1)≤10， 即 f(－2)的取值范围是[6，10]．
11
不等关系与一元二次不等式
《高考特训营》 ·数学 返 回
1．[知识外延]不等式的性质与函数的联系 由a<f(x，y)<b，c<g(x，y)<d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解 决． 【例】已知 x，y 为正实数，且满足 1≤lg(xy)≤2，3≤lgxy≤4，求 lg(x4y2)的取 值范围．
＝－ b
根
2a
ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集
___{_x|_x_<_x_1_或__x_>_x_2_}___
{x|x≠x1}
{x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0(a>0) 的解集
{x|x1<x<x2}
∅
∅
9
不等关系与一元二次不等式
《高考特训营》 ·数学 返 回
[思考] 如何解决一元二次不等式中的恒成立问题？ 解决一元二次不等式中的恒成立问题的方法： (1)一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 对任意实数 x 恒成立⇔ab＞2－04，ac＜0. (2)一元二次不等式 ax2＋bx＋c＜0 对任意实数 x 恒成立⇔ab＜2－04，ac＜0.
10
不等关系与一元二次不等式
《高考特训营》 ·数学 返 回
[常用结论] 1.倒数性质的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒1a<1b. (2)a<0<b⇒1a<1b. (3)a>b>0，0<c<d⇒ac>bd. (4)0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒b1<x1<a1. 2．两个重要不等式 若 a>b>0，m>0，则(1)ba<ba＋ ＋mm；ba>ba－ －mm(b－m>0)． (2)ba>ab＋ ＋mm；ba<ba－－mm(b－m>0)．