高三上学期12月联考数学试卷(理科)

高三上学期12月联考数学试卷（理科）
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.
1．（4分）复数z=1+在复平面上对应的点到原点的距离为．
=1
|OP|==
故答案为
2．（4分）已知全集U=R，集合A={x|x2+3x≥0}∪{x|2x＞1}，则C u A=（﹣3，0）．
3．（4分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，）．则tan2α的值为﹣．
，
求出tan2α
解：依题意可知tanα==﹣
=
．
4．（4分）在（x﹣）10的展开式中，x8的系数为135．（结果用数字表示）
﹣
﹣（
令10﹣r=8得r=2，
∴（1﹣）10的展开式中，x8的系数等于（）2•C102=135．
故答案为：135．
点评：本题考查二项式定理的应用，解决二项展开式的特定项问题的工具是利用二项展开式的通项公式．
5．（4分）已知无穷数列{a n}中a1=1，且满足从第二项开始每一项与前一项的比值为同一个常
数﹣，则无穷数列{a n}的各项和．
考点：数列的求和．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：由题设知数列{a
n}是首项为1，公比为﹣的等比数列，由此能求出无穷数列{a n}的各项和．
解答：解：∵无穷数列{a n}中a1=1，
且满足从第二项开始每一项与前一项的比值为同一个常数﹣，
∴数列{a n}是首项为1，公比为﹣的等比数列，
∴S n=，
∴无穷数列{a n}的各项和S====．
故答案为：．
点评：本题考查数列的各项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和极限思想的合理运用．6．（4分）已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.3，18.7，20．且
总体的中位数为10.5，则总体的平均数为10．
考点：众数、中位数、平均数．
专题：概率与统计．
分析：根据中位数的定义得到a与b的关系式，再由平均数的定义可解决．
解答：解：由题意知=10.5，
∴a+b=21
∴平均数为=10
∴总体的平均数为10
故答案为：10
点评：本题考查数据的平均数、中数、方差，其次要掌握平均数、中数、方差的计算公式，属于基础题．7．（4分）已知数列{a n}满足a n=，且f（n）=a1+a2+a3+…+a2n﹣1，（n∈N*），
则f（4）﹣f（3）的值为139．
考点：数列的求和．
专题：计算题．
分析：由已知先求出f（4），f（3），然后代入数列的通项公式即可求解
解：∵a n=，f（n）=a1+a2+a3+…+a2n﹣1，
8．（4分）（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为1．
解：因为==1
9．（4分）我们可以从“数”和“形”两个角度来检验函数的单调性．从“形”的角度：在区间I上，若函数y=f（x）的图象从左到右看总是上升的，则称y=f（x）在区间I上是增函数．那么从“数”的角度：对任意的x1、x2∈I，若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称y=f（x）在区间I
10．（4分）数列{a n}中，如果存在a k，使得“a k＞a k﹣1且a k＞a k+1”成立（其中k≥2，k∈N*），则称a k为{a n}的一个峰值．若a n=﹣6n2+22n，且{a n}的峰值为a k，则正整数k的值为2．
+22n，可以令f（n）=﹣6n+22n，图象开口向下，
可得f（n）=﹣6n2+22n=﹣6（n﹣）2+
11．（4分）函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是[﹣2，
1]．
考点：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：利用三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性即可得出．
解答：解：∵f（x）==，
由得，
∴，∴，
函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是[﹣2，1]．
故答案为[﹣2，1]．
点评：熟练掌握三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性是解题的关键．12．（4分）近年来，孩子的身体素质越来越受到人们的关注，教育部也推出了“阳光课间一小
时”活动．在全社会关注和推进下，孩子们在阳光课间中强健体魄，逐渐健康成长．然而也有
部分家长对该活动的实际效果提出了质疑．对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调
查的家长中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：
支持保留不支持
30岁以下800 450 200
30岁以上（含30岁）100 150 300
在“不支持”态度的家长中，用分层抽样的方法抽取5个人看成一个总体，从这5个人中任意选
取2人，则至少有1人在30岁以下的概率为．
考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：由题意可得这5个人中，有2个人在30岁以下，3人30岁以上，所有的抽法有=10种，求出恰
有1人在30岁以下的概率和恰有2人在30岁以下的概率，相加，即得所求．
解答：解：在“不支持”态度的家长中，用分层抽样的方法抽取5个人看成一个总体，则这5个人中，有2个人在30岁以下，3人30岁以上．
从这5个人中任意选取2人，则所有的抽法有=10种，恰有1人在30岁以下的概率为=
恰有2人在30岁以下的概率为=，故至少有1人在30岁以下的概率为=，
故答案为．
点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，分层抽样的定义和方法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
13．（4分）数列{a n}通项为a n=ncos（+）（n∈N*），S n为其前n项的和，则S2012=503
（1+）．
考点：数列的求和．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：由数列{a
n}通项为a n=ncos（+）（n∈N *），知{an}是以4为周期的周期函数，由此能求出S
2012．
解：∵数列{a n}通项为a n=ncos（+）（n∈N*），
n}是以4为周期的周期函数，
∵a1+a2+a3+a4=a5+a6+a7+a8=…=a2009+a2010+a2011+a2012=cos（+）+2cos（）+3cos（））
12
1+
1+
14．（4分）（2010•西城区一模）设函数f（x）的定义域为D．若存在非零实数l使得对于任
意x∈M．有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数，如果定义域是[﹣
1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的m高调函数．求实数m的取值范围．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个
结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.
15．（5分）记函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x）如果函数y=f（x）的图象过点（0，1），
﹣1
分）下列等式不成立的是（）
=+=
是奇数
=
专题：计算题；概率与统计．
分析：由组合数公式，分别对四个答案进行运算、化简，逐一进行证明后，找出错误的结论，即可得答案．解答：解：由于A、B分别为组合数公式的性质，故A、B正确；
当n=3，m=2时，=，故C错；
又由=，则
=•==，故D正确；
故答案为C．
点评：本题以命题的真假判断与应用，考查了组合数公式的性质，熟练掌握组合数公式的定义是解答的关键．
17．（5分）方程组共有（）组解．
A．1B．2C．3D．4
考点：根的存在性及根的个数判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：方程组中y=2x表示指数函数，y=|x（x﹣2）|表示绝对值函数，方程组有解即表示两个函数图象有交点，根据题意画出图形，找出交点情况，求出方程的解的个数．
解答：解：∵y=2x表示指数函数，y=|x（x﹣2）|表示绝对值函数，
∴方程组有解，即两个函数图象有交点，
根据题意画出图形如图所示：
可知，两个函数图象有一个交点，
∴方程组共有1组解．
故选A．
点评：此题考查了根的存在性及根的个数判断，利用了数形结合及转化的思想，其中把方程组中的两方程分别看做两个函数，画出相应的图形，根据两函数图象有交点可得方程组有解来解决问题．
18．（5分）已知两个非零向量=（a1，b1），=（a2，b2），若条件p：“”，条件q：“关
1122
A．充分必要条件B．非充分非必要条件
C．充分非必要条件D．必要非充分条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：证明题．
分析：先分别化简p、q，对q的a1、a2、b1、b2分类讨论即可得出结论．
解答：解：：∵两个非零向量，∴a
1与b1不全为0，a2与b2不全为0．
条件p：∵，∴a1b2﹣a2b1=0，即a1b2=a2b1，且a1与b1不全为0，a2与b2不全为0．
条件q：关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同．
，可得
，可得
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
19．（12分）在△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c．虚数x=2+ai是实系数方程x2
﹣cx+8=0的根．
（1）求边长a，c．
（2）若边长a，b，c成等比数列，求△ABC的面积．
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
b=
cosB==
sinB=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
=
属基础题．
20．（14分）已知函数f（x）=
（1）求f（x）的单调增区间．
（2 ）函数f（x）的图象F按向量=（，1）平移到F′，F′的解析式是y=f′（x）．求f′（x）
的零点．
考点：二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；复合三角函数的单调性．专题：函数的性质及应用．
分析：（1）利用二阶矩阵将函数f（x）转化为：y=2cos（x+），从而可求函数f（x）的单调增区间；
（2）根据函数f（x）的图象F按向量=（，1）平移到F′，从而得出F′的解析式，再令f（x）=0，解出x，即可得到x值，即函数的零点．
解答：
解：（1）∵f（x）=
=2cos（x+﹣a）cosa﹣sin（x+﹣a）•2sina
=2cos（x+），
由2kπ﹣π≤x+≤2kπ，得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
则f（x）的单调增区间[2kπ﹣，2kπ﹣]，k∈Z，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）∵函数f（x）的图象F按向量=（，1）平移到F′，
∴F′的解析式是y=f′（x）=2cosx﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
由2cosx﹣1=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
零点为：2kx±，k∈Z．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
点评：本题考查三角函数的单调性及零点，着重考查三角函数的图象与性质的灵活应用，属于基础题．21．（14分）如图，建立平面直角坐标系x0y，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长
度为1千米．某炮位于坐标原点．
已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方
向有关．炮弹的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）若规定炮弹的射程不小于6千米，设在此条件下炮弹射出的最大高度为f（k），求f（k）
的最小值．
（1）在y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，求出x，利用基本不等式，即可求得炮的最大射
围，即可求f（k）的最小值．
解：（1）在y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得kx﹣（1+k2）x2=0．﹣（2分）==10
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）﹣﹣
（
）
）在
∴f（k）的最小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
22．（16分）已知数列{a n}，S n为其前n项的和，S n=n﹣a n+9，n∈N*
（1）证明数列{a n}不是等比数列；
（2）令b n=a n﹣1，求数列{b n}的通项公式b n；
（3）已知用数列{b n}可以构造新数列．例如：{3b n}，{2b n+1}，{}，{}{}，{sinb n}…
请写出用数列{b n}构造出的新数列{p n}的通项公式，使数列{p n}满足①②两个条件，并说明
理由
①数列{p n}为等差数列；
②数列{p n}的前n项和有最大值．
考点：等差数列与等比数列的综合．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：（1）利用S n=n﹣a n+9，计算前三项，即可得到结论；
（2）再写一式，两式相减，可得数列{b n}为首项为4，公比为的等比数列，从而可求数列{b n}的通
项公式b n；
（3）利用对数函数的性质，构造数列即可．
解答：（1）证明：n=1时，S1=1﹣a1+9，∴a1=5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
n=2时，S2=2﹣a2+9，∴a2=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
n=3时，S3=3﹣a3+9，∴a3=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
∵32≠5×2，∴数列{a n}不是等比数列﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（2）解：∵S n=n﹣a n+9①，∴n≥2时，S n﹣1=n﹣1﹣a n﹣1+9②，
①﹣②得a n=1﹣a n+a n﹣1，即2a n=1+a n﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
∴2（a n﹣1）=a n﹣1﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
∵b n=a n﹣1，∴2b n=b n﹣1，
∴数列{b n}为首项为4，公比为的等比数列﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
∴b n=4•﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
（3）解：p n=log a b n，a＞1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
n≥2时，p n﹣p n﹣1=log a b n﹣log a b n﹣1==为常数
∴①数列{p n}为等差数列﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
∵a＞1，∴d=＜0，∴②数列{p n}的前n项和有最大值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣（16分）
点评：本题考查等比数列的判定，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．（18分）设g（x）=2x+，x∈[，4]．
（1）求g（x）的单调区间；（简单说明理由，不必严格证明）
（2）证明g（x）的最小值为g（）；
（3）设已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）
=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，
max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=sinx，x∈[﹣，]，则
f1（x）=﹣1，x∈[﹣，]，f2（x）=sinx，x∈[﹣，]，设φ（x）
=
+，不等式p≤φ1（x）﹣φ2（x）≤m恒成立，求p、
m的取值范围．
y=ax+
单调区间；
（2）利用（1）问g（x）的单调性可证明；
（3）先求定义域x∈[，2]．由定义求出φ（x），φ1（x），φ2（x），进而表示出φ1（x）﹣φ2（x），
由题设条件可得φ1（x）﹣φ2（x）的最小值及φ1（x）﹣φ2（x）的最大值问题即可解决．
解答：解：（1）∵g（x）=2x+为奇函数．奇函数在对称区间单调性相同，
g（x）在x∈[，]上递减，g（x）在x∈[，4]上递增；
（2）用最值的定义证明：
g（x）在x∈[，]上递减，
对任意x∈[，]，都有g（）≥g（x）≥g（）；
g（x）在x∈[，4]上递增，对任意x∈[，4]，都有g（4）≥g（x）≥g（）．
综上，g（x）的最小值为g（）．
（3）先求定义域x∈[，2]．
φ（x）=+=，
φ1（x）=，）=，
φ1（x）﹣φ2（x）=，
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