2015年10月北京市西城区重点中学初一数学 人教版七年级下册(新) 第八章 二元一次方程组 教材分析

2015年10月北京市西城区重点中学初一数学人教版七年级下册（新）
第八章二元一次方程组教材分析
一. 本章内容的地位与作用
方程与方程组的有关知识, 作为数学的一个重要分支, 是刻画现实世界的一个有效的数学模型. 涉及求多个未知数的问题是普遍存在的, 方程组更是解决这些问题的重要工具. 本章的学习是在学生对一元一次方程已有认识的基础上, 进一步研究二元一次方程组的有关概念、解法和应用等, 并在二元一次方程组的基础上, 学习三元一次方程组及解法. 它是一元一次方程的继续和发展, 也是今后学习线性方程组及平面解析几何等知识的基础.本章的学习将使学生进一步体会方程的模型思想, 感受代数方法的优越性, 同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识, 更是为今后进一步学习不等式组以及二次函数奠定基础.
二. 本章的主要内容
1. 二元一次方程、二元一次方程的解及其相关概念;
2. 二元一次方程组、二元一次方程组的解等概念,
3. 二元一次方程组的两种解法（代入消元法和加减消元法）;
4. 实际问题与二元一次方程组;
5. 简单三元一次方程组的解法．
三. 课程学习目标
1. 以含有多个未知数的实际问题为背景, 经历“分析数量关系, 设未知数, 列方程组, 解方程组和检验结果”的过程, 体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型.
2. 了解二元一次方程组及其相关概念, 能设两个未知数, 并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系.
3. 了解二元一次方程组的基本目标: 使方程组逐步转化为x=a, y=b的形式, 体会“消元”思想, 掌握解二元一次方程组的代入法和加减法, 能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法.
4. 了解三元一次方程组及其解法, 进一步体会“消元”思想, 能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.
5. 通过探究实际问题, 进一步认识利用二（三）元一次方程组解决实际问题的基本过程, 体会数学应用的价值, 提高分析问题、解决问题的能力.
四. 本章知识结构
五. 本章的主要内容及重点、难点
重点: 二元一次方程组的解法——消元法（代入消元法和加减消元法）; 以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题.
难点: 二元一次方程的解的不确定性; 二元一次方程组解的意义; 以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题.
关键点: 了解消元的思想方法; 灵活运用消元法熟练求解.
正确的找出实际问题中的两个（多个）独立的等量关系, 正确列出相应的方程.
六. 课时安排
本章教学时间约需12课时, 具体分配如下（仅供参考）:
8.1 二元一次方程组1课时
8.2 消元——二元一次方程组的解法 4课时
8.3 实际问题与二元一次方程组 3课时
*8.4 三元一次方程组解法举例2课时
数学活动
小结2课时
七. 有关教学的几点想法
1. 在二元一次方程组的解法的教学中, 注重解法背后的算理, 强调消元思想, 帮助学生归纳常规步
骤、注意事项等.
方程组中含有多个未知数时, 消元思想的本质是——解方程组时“化多为少, 由繁至简, 各个击破, 逐一解决”的基本策略, 是产生具体解法的重要基础, 而代入法和加减法则是落实消元思想的具体措施. 在教学中, 应不断加深对消元思想方法的领会, 从整体上认识问题的本质.
数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的, 而对于它们的认识需要一个较长的过程, 既需要教材的渗透, 也需要教师的点拨, 最后还需要学生自身的感受和理解. 解方程组时要有策略意识: 观察结构特点、用什么方法、消谁; 关注易错点等等. 因此, 帮助学生归纳常规步骤、反思注意事项等非常重要和必要.
例如: 用代入消元法解题时, 常规的步骤是:
（1）从方程组中选一个系数比较简单的方程, 将这个方程中的系数较为简单的未知数用含另一个未知数的代数式表示出来;
（2）将变形后的关系式代入另一个方程, 消去被表示的未知数, 得到一个一元一次方程;
（3）解这个一元一次方程, 求出x（或y）的值;
（4）将求得的未知数的值代入（1）中的关系式中, 求出另一个未知数的值;
（5）把求得的x, y的值用“大括号”联立起来, 得到方程组的解.
再如: 用加减消元法解题时应注意以下几点:
（1）两个方程中, 如果有相同的未知数的系数的绝对值相等, 那么只要将两个方程的两边相加或相减, 就可以消去一个未知数.
（2）两个方程中, 如果某个相同未知数的系数成整数倍, 可以在系数绝对值小的方程两边乘以倍数, 使这个未知数的两个系数的绝对值相等, 然后再将两个方程两边分别相加或相减, 就可消去这个未
知数.
（3）当方程组中两个未知数的系数均不成整数倍时, 一般选择系数较简单的未知数消元, 将两个方程分别乘以某个数.使该未知数的系数的绝对值相等, 再加减消元求解.
2.三元一次方程组的解法, 可类比二元一次方程组的代入消元法及加减消元法, 强调“消元”是关键, 要把“三元”变为“二元”再变为“一元”以求解. 同时, 为二次函数中利用待定系数法确定解析式做一定的基础.
3. 注重知识的实际背景, 利用好教材, 突出建模思想.
在本章教科书中, 实际问题情境贯穿全章, 对二（三）元一次方程组及其相关概念的引入和对二（三）元一次方程组解法的讨论, 都是在解决实际问题的过程中进行的,应充分注意这些现实背景, 通过大量丰富的实际问题, 反映出方程组来自实际又服务于实际, 加强对方程组是解决现实问题的一种重要数学模型的认识. 本章明确提出“方程组是解决含有多个未知数问题的重要数学工具”, 并在多处体现方程组在解决实际问题中的工具作用, 渗透建立模型的思想. 在提取问题信息, 分析问题时, 应注意从多种角度思考, 借助图形、表格、式子等进行分析, 寻找数量关系.
（1）列方程组解应用题的基本思想
一般来说, 有几个未知量就必须列出几个方程, 所列方程必须满足:
①方程两边表示的是同类量:
②同类量的单位要统一;
③方程两边的数值要相等.
（2）列方程组解应用题应在“四会”上给学生以学法指导:
①会分析题意, 重视对题意的分析和理解;
②会抓住关键性词语, 以及它所蕴含的数量关系;
③能抓出“两个表示等量关系的句子”, 会抓住“不变量”和“等值量”进行列方程;
④一题多解, 可以从不同角度, 对不同的解题方法加以比较, 在有的应用题中, 虽然问题的提法不同, 但实质一样的, 会举一反三.
（3）梳理出解二元一次方程组解应用题的一般步骤, 并落实规范书写的要求
审: 审题, 弄清题意及题目中的数量关系;
设: 用两个字母表示问题中的两个未知数;
列: 列出方程组（分析题意, 找出两个等量关系, 根据等量关系列出方程组）;
解: 解方程组, 求出未知数的值;
验: 检验求得的值是否正确且符合实际情形;
答: 写出答案.
4. 关注数学文化.
人们运用方程组解决含有多个未知数的问题已有很长的历史, 这个问题对于代数学的发展起了重要的促进作用. 本章的“阅读与思考: 一次方程组的古今表示及解法”中, 从《九章算术》中有关一次方程组的算筹表示和解法说起, 联系现代的矩阵表示和解法, 介绍了中国古代数学的光辉成就. 可以引导学生阅读分析, 渗透数学科学中蕴涵的文化. 八. 典型例题 (一) 二元一次方程
一般形式: 0=++c by ax 其中a ≠0, 且b ≠0.
1. 下面方程中, 是二元一次方程的有 ( ) 个. ①
326y x -=; ② 45
254
x y +=-; ③ 212x y -=+; ④ xy + x = 4 ; ⑤ x + y = 0 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
2. 已知方程 (m 2 - 4)x 2 + (m +2)x + (m +1)y = m + 5, 当m = ________ 时, 该方程为一元一次方程; 当m = ________ 时, 该方程为二元一次方程.
（二）二元一次方程组 一般形式: 111
222
a x
b y
c a x b y c +=⎧⎨
+=⎩（其中a 1, a 2, b 1, b 2不同时为零）.
3.
在方程组
,
,
,
,
,
中, 是
二元一次方程组的有（ ）
A . 2个
B . 3个
C . 4个
D . 5个
4.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里, 一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的, 为看图方便, 我们把它改为横排, 如图1、图2, 图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x , y 的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用
我们现在所熟悉的方程组形式表述出来, 就是3219,423.
x y x y ⎧⎨⎩+=+=类似地, 图2所示的算筹图我们可以表
述为（ ）.
图2
图
1
A ．211,4327.
x y x y ⎧⎨
⎩+=+= B ．211,4322.
x y x y ⎧⎨
⎩+=+=
C ．3219,423.x y x y ⎧⎨⎩+=+=
D ．26,4327.x y x y ⎧⎨⎩
+=+=
（三）二元一次方程的解
特点: (1) 二元一次方程的解是一对未知数的值, 即x a
y b =⎧⎨=⎩
;
(2) 一个二元一次方程有无数多解, 但非任意一对数值都适合.
5. 若关于x , y 的二元一次方程组⎩
⎨⎧=+=-k y x k
y x 24的解也是二元一次方程x - 2y = 10的解, 则k 的值为
( ) (根据问题灵活转化, 例如问x , y 的值和问k 的值处理方法就不同)
A ．2
B ．-2
C ．0.5
D ．-0.5 6. 若二元一次方程
有正整数解, 则的取值应为（ ）
A . 正奇数
B . 正偶数
C . 正奇数或正偶数
D . 0
7. 某球迷协会组织72名球迷拟租乘汽车赴比赛场地, 为首次打进世界杯决赛圈的国家足球队加油助威. 可租用的汽车有两种: 一种每辆可乘8人, 另一种每辆可乘4人, 要求租用的车子不留空座, 也不超载.
① 请你给出不同的租车方案（至少三种）;
② 若8个座位的车子的租金是300元/天, 4个座位的车子的租金是200元/天, 请你设计出费用最少的租车方案, 并说明理由.
（四）二元一次方程组的解 8. 已知x 2y 1=⎧⎨
=⎩是关于x , y 的二元一次方程组()2x+m-1y 2nx+y 1
⎧=⎪
⎨=⎪⎩的解, 试求（m +n ）2004的值.
9. 已知x 2
y 3=⎧⎨=⎩
是一个二元一次方程组的解, 试写出一个符合条件的二元一次方程组.
（五） 三元一次方程组的解法 10 . 解方程组: 3213272312x y z x y z x y z ++=⎧⎪
++=⎨⎪+-=⎩
11. 在等式c bx ax y ++=2
中, 当1-=x 时, 0=y ; 当2=x 时, 3=y ; 当5=x 时, 60=y .
求c b a ,,的值.
（六） 消元
解一次方程组的基本思路——消元, 实施方法——代入法, 加减法.
解二元一次方程组: “二元”→“一元”, 以求解. 解三元一次方程组: “三元”→“二元”→“一元”, 以求解.
灵活运用消元思想解决数学问题.
12. 解下列方程组(结合解题思考的基本流程, 加强分辨题目的特征寻找相应的解题思路, 设计操作流程, 反思解题技巧, 优化解题策略)
(1)x y 33x 2y 5-=⎧⎨-=⎩ （选代入法） (2)
3x 6y 3
3x 2y 1+=⎧⎨
-=⎩
（选加减法） (3) 2x 3y 53x 4y 1+=⎧⎨-=⎩（选加减法） (4) ()1130%25
1491
420+⎧--=⎪⎪⎨-+⎪=-⎪⎩x y y x （先化简成一般形式）
(5) 73766
189825-=⎧⎨+=⎩
x y x y （注意解题技巧） (6)
()()48840
49840
⎧++=⎪⎨
++=⎪⎩x x y y x y （注意解题技巧） (7) 2x 3y 2(x 2y)
145
3(2x 3y)x 2y 4045-+⎧+=⎪⎪⎨-+⎪-+=⎪⎩
（换元）
(8) 3x 4y z 14x 5y 2z 17
2x 2y z 3++=⎧⎪
++=⎨⎪+-=⎩
(9) x y z 11y z x 5z x y 1+-=⎧⎪
+-=⎨⎪+-=⎩
（注意解题技巧）
（七）构造方程组, 求代数式的值或未知数的值.
13. 隐含二元一次方程组的几种形式
(1) 已知6x -5y =16, 且2x +3y =6, 则4x -8y 的值为 . (2) 若2(2x 3y 5)x y 20-+++-=, 则x ＝ , y ＝ .
(3) 若x 1y 2=⎧⎨=-⎩
是关于x 、y 的方程ax by 1-=的一个解, 且a +b = -3, 则5a 2b -＝ .
(4) 若二元一次方程3x -y =7, 2x +3y =1, y =kx -9有公共解, 则k 的取值为（ ） A . 3 B . －3 C . －4 D . 4
(5) 已知方程组2x 3y 9ax by 1+=⎧⎨+=⎩与3x y 8
2ax 3by 7
-=⎧⎨-=⎩同解, 求a b 、的值. (灵活性, 关注重组)
(6) 已知关于、
的二元一次方程组
的解满足二元一次方程
, 求
的值.
(7) 解方程组时, 一学生把看错而得, 而正确的解是那么、b 、c
的值是（ ）(结合概念, 代数中的分析推理) A .不能确定 B .＝4,
＝5,
＝－2 C . a 、b 不能确定,＝－2 D .＝4,＝7,＝2
(8) 已知对于任意有理数a 、b , 关于x 、y 的方程(a b)x (a b)y 5a b --+=+有一组公共解.试求出这组公共解.
(关注审题环节, 题目特征中的关键词:“任意”, 并带领学生先思考再分析如何利用“任意”二字解题)
(9) 若代数式2ax bx c ++无论x 取什么值, 它的值都为10, 则2a ＋b ＋c ＝ .
(关注审题环节, 题目特征中的关键词:“无论取什么值”, 并带领学生先思考再分析如何利用“无论”二字解题)
（八）灵活运用消元思想解决数学问题, 提高分析能力
消参是更广义、更普适的提法和用法; 明确参数个数, 根据题目特征如何想到需要消参, 以及如何实现消参
14. (1) 已知x = -3+t , y =3-t , 那么用x 的代数式表示y 为 .
(2) 已知
是方程组
的解, 则a 、b 间的关系是（ ）
A .
B.
C .
D .
(3) 已知3a + b + 2c = 3 且a + 3b + 2c = 1, 求 2a + c 的值.
(（2）（3）本质相同, a 、b 、c 三个未知数的两个关系, 不可求值可消参得到两个字母的关系) (4) 已知12=-ab a , 2342-=-b ab , 求56922-+-b ab a 的值.
(此题可以一题多解, 不同的解题切入点, 基于从什么角度观察到的题目特征——找到什么样的入手点——设计什么样的"消参"流程, 而且去"凑"想要的结果, 这个过程也很好地体现了转化的思想. 其中整体代入的方法比消参更具一般性, 例如: 观察到要求的代数式中的26b 想到需要…; 再观察到第二个条件式中的23b 想到可以….）
（九）一次方程组的应用
（首先可以对题目类型进行适当的归类. 其次建议与“方程的应用”进行整合, 突出能列二元一次方程组解答方便的题目的特征, 而对于列出其中一个方程为x y a +=或x y b -=的问题, 其实建议列一元一次方程更为简洁, 没必要再消元求解）
列方程组解应用题, 关键是把已知量和未知量联系起来, 找出题目中的等量关系. 一般来说, 有几个未知量就必须列出几个方程, 所列方程必须满足: ①方程两边表示的是同类量; ②同类量的单位要统一; ③方程两边的数值要相等.
15.（1）为保护生态环境, 响应国家“退耕还林”号召, 某区现打算将一部分耕地改为林地. 改变后, 林地面积和耕地面积共有180平方千米, 且耕地面积是林地面积的25%, 求: 改变后, 林地面积和耕地面积各多少平方千米? 设改变后耕地面积x 平方千米, 林地地面积y 平方千米, 根据题意, 列出如下四个方程组, 其中正确的是( )
A ．⎩⎨⎧⋅==+%25180x y y x
B ．⎩⎨⎧⋅==+%25180y x y x
C ．⎩⎨⎧=-=+%25180y x y x
D ．⎩
⎨⎧=-=+%25180x y y x
（2）某中学新建了一栋4层的教学大楼, 每层楼有8间教室, 进出这栋大楼共有4道门, 其中两道正门大小相同, 两道侧门大小也相同. 安全检查中, 对4道门进行了测试: 当同时开启一道正门和两道侧门时, 2分钟内可以通过560名学生; 当时开启一道正门和一道侧门时, 4分钟内可以通过800名学生.
①求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
②检查中发现, 紧急情况时因学生拥挤, 出门的效率将降低20%, 安全检查规定, 在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离. 假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生, 问: 建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由.
（3）某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机, 已知该厂家生产三种不同型号的电视机, 出厂价分别为甲种每台1500元, 乙种每台2100元, 丙种每台2500元.
①若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台, 用去9万元, 请你研究一下商场的进货方案;
②若商场销售一台甲种电视机可获利150元, 销售一台乙种电视机可获利200元, 销售一台丙种电视机可获利250元. 在同时购进两种不同型号电视机的方案中, 为使销售时获利最多, 你选择哪种进货方案？
③若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台, 请你设计进货方案.
（4）某水果批发市场香蕉的价格如下表:
张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次）, 共付款264元, 请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？
（5）某玩具工厂广告称: “本厂工人工作时间: 每天工作8小时, 每月工作25天; 待遇: 熟练工人按计件付工资, 多劳多得, 计件工资不少于800元, 每月另加福利工资100元, 按月结算; ……”该厂只生产两种玩具: 小狗和小汽车. 熟练工人晓云一月份领工资900多元, 她记录了如下表的一些数据:
一月份做小狗和小汽车的数目没有限制, 从二月分开始, 厂方从销售方面考虑逐月调整为:
k月份每个工人每月生产小狗的个数是生产小汽车的个数的k倍（k＝2, 3, 4, ……, 12）, 假设晓云的工作效率不变, 且服从工厂的安排, 请运用所学数学知识说明厂家广告是否有欺诈行为?
本章二元一次方程组的基本概念和消元解法是基础知识, 通过列、解二元一次方程组分析解决实际问题是基本能力, 它们对于解三元一次方程组以及今后进一步学习有重要作用. 教学中应注意打好基础, 切实让学生掌握基本方法, 力求能够较灵活地运用, 逐步培养提高学生的基本能力. 由于教材多以分析解决实际问题为线索展开, 将基础知识寓于分析解决问题的过程之中, 所以教学中应注意对基础知识进行提炼、归纳、整理, 通过必要的练习途径来掌握基础知识和提高基本能力。