福建农林大学最新线性代数期末卷及答案

福建农林大学最新线性代数期末复习卷及答案 一、选择题
1.设A 是四阶方阵，*A 是其伴随矩阵，且2A =-，则*
A = ( ) （A ）－２ （
B ）－４ （
C ）－８ （
D ）４
２.向量组12,,,m ααα 线性无关的充分必要条件是 （ ）
（A ）存在不全为零的常数12,,,m k k k ，使得11220m m k k k ααα++= （B ）若11220m m k k k ααα++= ，则常数12,,,m k k k 全为零
（C ）存在全不为零的常数12,,,m k k k ，使得11220m m k k k ααα++= （D ）该向量组的秩小于m
３.若非齐次线性方程组AX b =的导出组为0AX =有无穷多解， 则方程AX b = ( ) （A ）必有唯一解 （B ）必有无穷多解
（C ）必定无解 （D ）可能有解，也可能无解 4.若可逆矩阵A 有个特征值2λ=，则矩阵2
1
A A A --+必有一个特征值
( )
（A ）
5
2 （B ）2- （C ）5
2
- (D) 2
5.n 阶方阵A 可以相似对角化的充分必要条件是 ( )
（A ）0A ≠ （B ）0A =
（C ）A 有n 个不同的特征值 （D ）A 有n 个线性无关的特征向量 二、填空题
1.多项式41
()3
322
x
f x x x x
x
=--中2x 项的系数是 .
2.设A 与B 均为4阶方阵，且2A =-，3B =，则1
3T A B
--= .
3．A 为三阶方阵，若存在可逆方阵,P 使得1
100010001P AP --⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,
其中2102
13411P -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪--⎝⎭
，则2010A = . 4.二次型2
2
12341123(,,,)223f x x x x x x x x =--+的秩为 .
5.若三阶方阵20000101x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000001y ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪-⎝⎭
相似,则x y -= ；
三、计算题
1．计算四阶行列式
2
141312112325
62
-.
2．设矩阵41123
0113A -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
，且32AX A X +=,求矩阵X .
3．求向量组1(2,0,2,2)α=-，2(2,1,1,2)α=-，3(4,2,2,0)α=-，
4(4,3,1,5)α=-，5(2,1,3,7)α=---的秩及其一个最大无关向量组．
4．写出二次型2
2
2
12313(1)42f x k x x kx x =++++的矩阵．求k 的取值范围，使得f 为正定二次型.
四、讨论题
讨论a，b为何值时，线性方程组
123
123
123
30 3231
4
x x x
x x x
x x ax b
++=
⎧
⎪
++=-⎨
⎪-++=⎩
（1）无解？（2）有唯一解？（3）有无穷多解？并求通解（用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.
答案解析
一、选择题
1.C .
2.B .
3.D .
4.A .
5. D . 二、填空题
1. -9；
2. -54；
3. 100010001⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
； 4. 3； 5.-1。

三、计算题
1．
2
141312112325
062-=
123221413121
5
62
-=
1232
03230
7
75
01098
---------
=3
23
7751098
-023*******
=-=.
2．由32AX A X +=，得(2)3A E X A -=-．
因为211(2)21
0111A E -⎛⎫ ⎪
-= ⎪ ⎪-⎝⎭
，230A E -=≠，(2)A E -可逆， 故1
(2)(3)X A E A -=--． 由
211100(2)210010111001A E E -⎛⎫ ⎪
-=→ ⎪ ⎪-⎝⎭
111000
3322010133001110⎛
⎫ ⎪
⎪ ⎪-
- ⎪ ⎪- ⎪
⎪⎝
⎭，
得1
1103322(2)133110A E -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭， 故11033411502223123049433113663110X ⎛⎫ ⎪---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭
.
3
．
由
)(1232201,
,
,
2122
ααα⎛⎫ ⎪- ⎪=
⎪---
-
- ⎪-
⎝⎭
→
2240120040
⎛⎫ ⎪-
⎪ ⎪-
-
-
⎪⎝⎭
得向量组的秩3r =； 又因为，行阶梯非零行第一个非零元素在第一、二、三列，所以123
,,ααα即为一个极大无关组
4．二次型的矩阵为1001004k A k k ⎛⎫ ⎪
=+ ⎪ ⎪⎝⎭
，
要使得f 是正定二次型，只要各阶顺序主子式全部大于零，即
10>，
10
1001
k k =+>+，2(4)(1)0A k k =-+>，
联立上述不等式，解得12k -<<． 四、讨论题
增广阵1310()323114A b a b ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 13
1007
010011a b ⎛⎫ ⎪
→ ⎪ ⎪+-⎝⎭
（1）当1a =-，1b ≠时，因为()2()3R A R A b =≠=，方程组无解 （2）当1a ≠-时，因为()()3R A R A b ==，方程组有唯一解
（3）当1a =-，1b =时，
因为()()23R A R A b ==<，方程组有无穷解，. 1310()07010000A b ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭1013/70101/70000-⎛⎫
⎪
→ ⎪ ⎪⎝⎭
，
方程组同解于13237
17x x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所求通解是
12331110701x x C x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭。