通州市高三数学第二次综合测试_9

通州市高三数学第二次综合测试
一、填空题：本大题共14题，每小题5分共70分，请将正确答案填写在题后横线上．
1．复数z=1
2i +,则|z|= ． 2．已知函数
()()223
f x x m x =+++是偶函数，则=m ．
3．从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：
则这堆苹果中，质量小于120克的苹果数约占苹果总数的 ％． 4．若点（
1,1）到直线xcosα+ysinα＝2的距离为d ，则d 的最大值是 ．
5．函数f(x)=2x3－6x2＋7的单调减区间是 ． 6．若函数
)10(log )(<<=a x x f a 在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =
7．在约束条件：x+2y≤5,2x+y≤4,x≥0,y≥0下，z=3x+4y 的最大值是 ．
8．若cos 2π2sin 4αα=-⎛
⎫- ⎪
⎝⎭，则cos sin αα+的值为 ．
9．设等差数列
{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ．
10．已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为mx －y=0，若m 在集合｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝中
任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是 ．
11．已知函数
22(1),00,0(1),0x x y x x x ⎧->⎪
==⎨⎪+<⎩
，右图是计算函数值y 的流程图，在空白框
中应该填上 ．
12．在直角坐标系xOy 中，,i j
分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB i j =+ ，2AC i m j =+
，则实数m= ．
13．已知两圆
0822:,024102:2
22221=-+++=-+-+y x y x C y x y x C ，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是 .
14．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题： ①若m ∥β，n ∥β，m 、n
⊂α，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，α⊥β，
m ∥n ，则n ∥β； ④若n ∥α，n ∥β，α∩β＝m ，那么m ∥n ； 其中所有正确命题的序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分）某学校拟建一块周长为400m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？
16．（本小题满分13分）如图已知在三棱柱ABC ——A1B1C1中，AA1⊥面ABC ，AC=BC ，M 、N 、P 、Q 分别是AA1、BB1、AB 、B1C1的中点．
（1）求证：面PCC1⊥面MNQ ； （2）求证：PC1∥面MNQ ．
17．（本小题满分15分）某单位在抗雪救灾中，需要在A 、B 两地之间架设高压电线，测量人员在相距6000m 的C 、D 两地（A 、B 、C 、D 在同一平面上），测得∠ACD=45°，∠ADC=75°，∠BCD=30°，∠BDC=15°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A 、B 距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？
2.6≈≈≈）
18．（本小题满分16分）倾斜角为60°
椭圆的中心为原点，较长的对称轴为x 轴，建立平面直角坐标系． （1）求椭圆的标准方程；
A1 A B
C P M N Q B1 C1
30
75
15
D
C
45 A
（2）若球的某一条直径的两个端点在地面上的投影恰好分别落在椭圆边界的A 、B 两点上，且已知C （－4，0），求CA → ·CB →
的取值范围． 19．（本小题满分16分）第一行是等差数列0，1，2，3，…，2008，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2008行． 0，1，2，3，…，2005，2006，2007，2008 1，3，5， …， 4011， 4013， 4015 4，8， …， 8024， 8028 ……
（1）由等差数列性质知，以上数表的每一行都是等差数列。

记各行的公差组成数列
{}(1,2,3,,2008)i d i = ．求通项公式
i d ；
（2）各行的第一个数组成数列{}(1,2,3,,2008)i b i = ，求数列{}i b 所有各项的和。

20．（本小题满分18分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设
m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=
（1）用
0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ；
（2）证明：当
)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；
（3）是否存在实数a ，使得若关于x 的不等式2
2
3131[0,)
22x ax x +≥+≥+∞在上恒成立？若存在，求出a 的范围，若
不存在说明理由。

第二部分（附加题）
一．选做题：本大题共4道解答题，每题10分，共20分。

供选修物理的考生选做其中两题，如果解答超过两题，按所做题目的序号取前两题给分．
1．(几何证明选讲)已知：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，连结DB 、DE 、OC 。

若AD ＝2，AE ＝1
，求
CD的长。

2．（矩阵与变换）运用旋转矩阵，求直线2x＋y－1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程。

3．（坐标系与参数方程）
已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值。

4．（不等式选讲）
证明不等式：1111
2 112123123n
++++<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
二．必做题：本大题共2道解答题，每题10分，共20分，供所有选修物理的考生做．
5．某人在水池中养了10条金鱼，其中4条为白色，6条为红色，他每天随机地从水池中取出3条放入水箱中进行观察，观察后又把这3条放回水池中，连续5天的观察。

（1）问一天中，他取出两种颜色鱼的概率是多少？
（2）设随机变量X是取出两种颜色鱼的天数，求X的概率分布。

6．设A、B是抛物线y=2x2上两点，求证：AB的垂直平分线l经过抛物线焦点的充要条件是线段AB的中点落在y 轴上。

参考答案与评分标准
1
．2．－2 3．30 4．2＋ 2 5．[0，2] 6
．47．11 8．
1
2 9．4
10．7
911．x=0 12．0或－2 13．5
)1
(
)2
(2
2=
-
+
+y
x14．②④
15．解：设矩形的长为xm，半圆的直径是d，中间的矩形区域面积为Sm2．由题知：S=dx，且2x+πd=4002′
∴S=
1
()(2)
2
d x
π
π
5′2
1220000
()
22
d x
π
ππ
+
≤=
10′
当且仅当πd=2x=200，即x=100时等号成立
设计矩形的长为100m宽约为63.7m时，矩形面积最大．12′16．主要得分步骤：（1）AB⊥面PCC1；4′MN∥AB，故MN⊥面MNQ
MN在平面MNQ内，∴面PCC1⊥面MNQ；7′（2）连AC1、BC1，BC1∥NQ，AB∥MN
面ABC1∥面MNQ 11′PC1在面ABC1内．
∴PC1∥面MNQ．13′17．解：在△ACD中，∠CAD=180°－∠ACD－∠ADC=60°
CD=6000，∠ACD=45°
根据正弦定理
AD=
sin45
sin60
CD︒
=
︒5′
在△BCD中，∠CBD=180°－∠BCD－∠BDC=135°CD=6000，∠BCD=30°
根据正弦定理
BD=
sin30
sin1352
CD︒
=
︒10′
又在△ABD中，∠ADB=∠ADC＋∠BDC=90°根据勾股定理有
AB==
13′实际所需电线长度约为1.2AB≈7425.6（m）15′
18．解：（1）设椭圆方程是
x2
a2+
y2
b2= 1 ，由题知
2a=，a=2
所求椭圆的标准方程是
x2
4+
y2
3= 1 ．6′（2）设A（x1,y1），B（x2,y2），A、B关于坐标原点O对称，
CA
→
=（x1＋4,y1），CB
→
=（x2＋4,y2），
CA
→
·CB
→
=（x1＋4,y1）·（x2＋4,y2）=x1x2＋4(x1＋x2)＋16＋y1y2
= x1x2＋16＋y1y2 9′
AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程是y=kx ，代入椭圆方程x24 + y2
3 = 1 得：
2
1212221212,3434k x x y y k k --==
++
CA → ·CB → =
23
1334k -+ 12′ 由于k 可以取任意实数，故CA → ·CB →
∈[12，13）， 14′
AB 与x 轴垂直时，|CA → |=|CB →
|=cos ∠
2=13
19
CA → ·CB → =13
∴CA → ·CB → ∈[12，13]． 16′ 19． （1）
1(1)(1)(1)(1)(2)(1)(2)2i i k i k i k i k i k i k i k i k i
d a a a a a a a a d ++⋅++⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅=-=+--=-=，
1
2i i d d +∴
=，则{}i d 是等比数列，11
122i i i d d --=⋅=． 6′
（2）
1
1
11211122
22i i i i i i i i i i b a a a a d a b --+⋅=+=++=+=+，
111
224i i i i b b ++∴
=+
．
∴数列{}2i i b 是等差数列，1(1)24i i
b i =-，所以21(1)2(1)24i i i b i i -=⋅-⋅=-⋅ 12′ 数列
{}i b 所有各项的和S
S=0＋1＋2×2＋3×22＋……＋2007×22006
用错位相减法，得到S=1003×22008－1 16′ 20．解：（1）
).()(000x f x x f m '-= 5′
（2）证明：令
.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则
因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当
0)(,0>'>x h x x 时； 当
0)(,0<'<x h x x 时.所以0x 是)(x h 唯一的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的
最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥ 11′
（3）0a >是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
2211
1,0
22x ax x ax +≥+-+≥即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是
a 14′
令
2313()22x ax x φ=+-，于是2
3
1322ax x +≥对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .0)(≥x φ 由.0)(33
1
--
==-='a x x
a x 得φ
当30-<<a x 时;0)(<'x φ当3->a x 时，0)(>'x φ，所以，当3-=a x 时，)(x φ取最小值.因此0)(≥x φ成立的充要
条件是
0)(3
≥-a φ，即1a ≥ 17′
综上所述，当
不等式2
2
3131[0,)
22x ax x +≥+≥+∞在成立． 18′
第二部分（附加题）
1．主要步骤：
AD2=AE ·AB ，AB=4，EB=3 4′ △ADE ∽△ACO ， 8′ CD=3 10′ 2．主要步骤：
旋转矩阵cos 45sin 45sin 45cos 45︒-︒⎡⎤⎢⎥︒︒⎣
⎦
=1111-⎤⎥
⎣⎦ 4′ 直线2x ＋y －1=0上任意一点（x0,y0）旋转变换后（x0′，y0′）
11112-⎡
⎤⎢⎥⎣⎦00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=00x y ⎡⎤
'⎢⎥⎢⎥'⎣⎦
000000x x y y x y ⎧
'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩
0000002222x x y y x y ⎧''=
+⎪⎪⎨
⎪''=-+⎪⎩ 8′
直线2x ＋y －1=0绕原点逆时针旋转45
1022x y -
+-=
即：1022x y +-=
10′
3．主要步骤：
将极坐标方程转化成直角坐标方程：
ρ=3cos θ即：x2＋y2=3x,(x －32)2＋y2=9
4 3′
ρcos θ=1即x=1 6′ 直线与圆相交。

所求最大值为2， 8′ 最小值为0。

10′
4．证明：1111112123123n ++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ＜
21111
1222n -+
+++ 6′
=2－1
12n -
＜2 10′ 5．解：（1）取出两种鱼有两种可能，即1条白色鱼，2条红色鱼；或.2条白色鱼，1条红色鱼。

取出1条白色鱼，2条红
色鱼的方法数为12
46C C ；
取出2条白色鱼，1条红色鱼的方法数为2146C C 。

而从10条鱼中取出3条鱼的方法数为310C 。

故所求的概率为：
1221
46463
104
=5C C C C C +； 5′
（2）
10′
6．证明：设A （x1,y1）,B(x2,y2)，AB 的中点落在y 轴上即x1＋x2=0；
∵抛物线y=2x2的焦点
1(0,)
8F 3′ 充分性：当AB 的中点落在y 轴上即x1＋x2=0时，y1=y2，A 、B 关于y 轴对称，直线l 即为y 轴，经过抛物线的焦点。

6′
必要性：
（1）直线l 的斜率不存在且经过
1(0,)
8F 时，直线l 即为y 轴，A 、B 关于y 轴对称，AB 的中点落在y 轴上。

（2）直线l 经过1(0,)
8F 且斜率存在，设斜率为k （显然k≠0），截距为1
8， 即直线l ：y=kx+1
8
由已知得：
1212121
2()y y x x x x k -=+=--≠0
即l 的斜率存在时，AB 的中点不可能落在y 轴上即题设A 、B 点不存在。

9′ 综上所述，l 经过抛物线焦点的充要条件是线段AB 的中点落在y 轴上。

10′。