【常考题】高中必修二数学下期末一模试卷(附答案)

【常考题】高中必修二数学下期末一模试卷(附答案)
一、选择题
1．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，前n 项和是n S ，若9810S S S <<，则（ ）
A ．0d >，170S >
B ．0d <，170S <
C ．0d >，180S <
D ．0d >，180S >
2．已知集合{}
2
20A x x x =-->，则A =R ð
A ．{}
12x x -<< B ．{}
12x x -≤≤
C ．}{}{|12x x x x <-⋃
D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥
3．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
73 B ．
8π
3
- C ．8
3
D ．
7π
3- 5．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则•()PA PB PC +u u u v u u u v u u u v
的
最小值是（） A ．6-
B ．3-
C ．4-
D ．2-
6．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若
sin 5sin 2A c
B b
=，7sin 4B =
，574
ABC S =△，则b =（ ） A ．3B ．7
C 15
D 147．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m
D ．若//l α，//m α，则//l m
8．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则
(1)(2)f +f (3)(2020)f f +++=L （ ）
A ．50
B ．2
C ．0
D ．50-
9．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，
1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）
A ．1,4a +
B ．1,4a a ++
C ．1,4
D ．1,4a +
10．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．
45
B ．
35
C ．
25
D ．
15
11．若函数()(),1
231,1
x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )
A ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．3,14⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C ．23,34⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．2,3⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
12．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12-
B ．10-
C ．10
D ．12
二、填空题
13．在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为________． 14．不等式223
1
()
12
x x -->的解集是______．
15．已知函数())
ln
1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．
16．对于函数()f x ，()g x ，设(){}
0m x f x ∈=，(){}
0n x g x ∈=，若存在m ，n 使得1m n -<，则称()f x 与()g x 互为“近邻函数”.已知函数()()13log 2e
x
f x x -=+-与
()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是______.（e 是自然对数的
底数）
17．若(2,1)x ∃∈--，使不等式(
)
2
4210x x
m m -++>成立，则实数m 的取值范围为________.
18．函数()2
sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.
19．函数()f x 的定义域是__________．
20．在△ABC 中，85a b ==，，面积为12，则cos 2C =______．
三、解答题
21．已知函数31()log 1
a m x
f x x -=-（0a >，且1a ≠）的图象关于坐标原点对称．
（1）求实数m 的值；
（2）比较()2f 与()3f 的大小，并请说明理由．
22．已知：a b c v v v
、、是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =v
（1）若c =v ，且//c a v v ，求c v
的坐标；
（2）若b =
v
2a b +v v 与2a b -v v 垂直，求a v 与b v 的夹角θ. （3）若()1,1b =v ，且a v 与a b λ+v v
的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.
23．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，）
，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）
在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.
24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项．数列{}n b 中，12b =，点()1,n n P b b +在直线2y x =+上． （1）求1a 和2a 的值；
（2）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（3）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+． （1）求n a ； （2）设数列1
{
}n S 的前n 项和为n T ，求证：34
n T <． 26．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列{}n a 的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论. 【详解】
9810S S S <<Q ，90a ∴<，9100a a +>，100a ∴>，0d >. 179017S a =<∴，()1891090S a a =+>.
故选：D. 【点睛】
本题考查利用等差数列的前n 项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
2．B
解析：B 【解析】
分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}
|12A x x x =<->或，
所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意可知，(
)min 19a x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣
⎦，将代数式()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a 的不等式，解出即可. 【详解】
()11a ax y
x y a x y y x
⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭Q .
若0xy <，则0y
x
<，从而
1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意； 若0xy >，则
0y
x
>，0x y >.
①当0a <时，
1ax y
a y x
+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
≥不恒成立； ③当0a >时，
())
2
1
1111a ax y x y a a a x y y x
⎛⎫++=+++≥+=+=
⎪⎝⎭，
当且仅当=y 时，等号成立.
所以，
)
2
19≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.
故选：C. 【点睛】
本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】
由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为
21118222123233π
π-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=
.故选B. 【点睛】
本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解. 【详解】
由题意，以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则(0,(2,0),(2,0)A B C -，
设(,)P x y ，则(,),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =-=---=--u u u r u u u r u u u r
，
所以22()(2))(2)22PA PB PC x x y y x y •+=-⋅-+⋅-=-+u u u r u u u r u u u r
222[(3]x y =+-，
所以当0,x y ==()PA PB PC •+u u u r u u u r u u u r
取得最小值为2(3)6⨯-=-，
故选A.
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简
sin 5sin 2A c
B b
=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c ，由7
sin 4
B =
，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】 由于
sin 5sin 2A c B b
=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即5
2a c =
由于在ABC V 中，7sin 4B =
，574
ABC S =△157sin 2ABC S ac B ==V
联立521
57sin 247sin 4a c ac B B ⎧
=⎪⎪
⎪=
⎨⎪⎪=
⎪⎩
，解得：5a =，2c = 由于B 为锐角，且7sin B =
，所以2
3cos 1sin 4B B =-=
所以在ABC V 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=，故14b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．
7．B
解析：B 【解析】
利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断
C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断
D . 【详解】
l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；
l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，
//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】
本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合
(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，
()32f =-，()40f =，问题得解.
【详解】
因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数， 所以()()f x f x -=-且()00f = 又(1)(1)f x =f +x -
所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦ 所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦ 所以函数()f x 的周期为4，
在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==
在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=- 在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-= 所以(1)(2)f +f ()()()()2020
(3)(2020)12344
f f f f f f ⎡⎤+++=
⨯+++⎣⎦L 50500=⨯=
【点睛】
本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．
9．A
解析：A 【解析】
试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是
121012101210
(1101010)
y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据
i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数
据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．
10．C
解析：C 【解析】
选取两支彩笔的方法有2
5C 种，含有红色彩笔的选法为1
4C 种，
由古典概型公式，满足题意的概率值为142542
105
C p C ==
=. 本题选择C 选项. 考点：古典概型
名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】
当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，
当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23
a >， 且在1x =处，有：()1
2311a a -⨯+≥，解得：34
a ≤
， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤
⎥⎝⎦
.
本题选择C选项.
【点睛】
对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．
12．B
解析：B
【解析】
分析：首先设出等差数列{}n a的公差为d，利用等差数列的求和公式，得到公差d所满足的等量关系式，从而求得结果3
d=-，之后应用等差数列的通项公式求得
51421210
a a d
=+=-=-，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为d，
根据题中的条件可得
3243 3(32)2
242
22
d d d
⨯⨯
⨯+⋅=⨯++⨯+⋅，
整理解得3
d=-，所以
51
421210
a a d
=+=-=-，故选B.
点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a与1a d
和的关系，从而求得结果.
二、填空题
13．【解析】概率为几何概型如图满足的概率为
解析：
1
4
【解析】
概率为几何概型，如图，满足20
x y
-<的概率为
2
11
11
22
=
14
OAB
S
S
∆
⨯⨯
=
正方形
14．【解析】【分析】先利用指数函数的单调性得再解一元二次不等式即可【详解】故答案为【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法属中档题
解析：()1,3-
【解析】 【分析】
先利用指数函数的单调性得2230x x --<，再解一元二次不等式即可． 【详解】
22321 ()1230132
x x x x x -->⇔--<⇔-<<． 故答案为()1,3- 【点睛】
本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题．
15．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-
【解析】 【分析】
发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果. 【详解】
因为()()))()2
2
f x f x ln
x 1ln
x 1ln 122x x +-=+++=+-+=，
()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.
故答案为-2 【点睛】
本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.
16．【解析】【分析】先求出的根利用等价转换的思想得到在有解并且使用分离参数方法可得结果【详解】由令所以又已知函数与互为近邻函数据题意可知：在有解则在有解即在有解令又令所以当时当时所以所以则故答案为：【点
解析：10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
.
【解析】 【分析】
先求出()0f x =的根，利用等价转换的思想，得到()0g x =在1m n -<有解，并且使用分离参数方法，可得结果 【详解】
由()()13log 2e
x
f x x -=+-，令()0f x =
所以1x =，又已知函数()()13log 2e x
f x x -=+-
与()1
42
2x
x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”
据题意可知：()0g x =在11x -<有解，则
()0g x =在02x <<有解
即1224x x
a +-=在02x <<有解， 令()122
4
x x
h x +-=， 又令2x t =，()1,4t ∈，11,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
所以2
222111222
t y t t -⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭ 当112
t =
时max 12y =
当1
1t
=时0y = 所以10,2y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
所以()10,2h x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦，则10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
故答案为：10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
【点睛】
本题考查对新定义的理解，以及分离参数方法的应用，属中档题.
17．【解析】【分析】令将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题即可求得参数范围【详解】令由可得则问题等价于存在分离参数可得若满足题意则只需令令则容易知则只需整理得解得故答案为：【点睛】本题考查由存在性问题 解析：()4,5-
【解析】 【分析】
令2x t =，将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题，即可求得参数范围. 【详解】
令2x
t =，由(2,1)x ∃∈--可得11,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，()
24210x x m m -++> 则问题等价于存在11,42t ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，()
2210m m t t -++>，
分离参数可得2
2
1
t m m t +->-
若满足题意，则只需2
21min
t m m t +⎛⎫->- ⎪⎝⎭，
令()2
2111t h x t t t +⎛⎫
=-=-- ⎪⎝⎭
，令1m t =，()2,4m ∈
则()2
,2,4y m m m =--∈，容易知41620min y =--=-，
则只需220m m ->-，整理得2200m m --<， 解得m ∈()4,5-. 故答案为：()4,5-. 【点睛】
本题考查由存在性问题求参数值，属中档题.
18．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值； 解析：134
-
【解析】 【分析】
利用换元法，令sin x t =，[]
1,1t ∈-，然后利用配方法求其最小值． 【详解】
令sin x t =，[]
1,1t ∈-，则2
113324
y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 当12
t =-
时，函数有最小值134-，故答案为13
4-.
【点睛】
求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2
sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x b
y c x d
+=
+的可化为sin ()x y φ=的形式性求最值；③
sin cos y a x b x =+
型，可化为)y x φ=+求最值；④形如
()sin cos sin cos y a x x b x x c =±++可设sin cos ,x t ±=换元后利用配方法求最值. 19．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为 解析：(],0-∞
【解析】
由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.
20．【解析】【分析】利用面积公式即可求出sinC 使用二倍角公式求出cos2C 【详解】由题意在中面积为12则解得∴故答案为【点睛】本题考查了三角形的面积公式二倍角公式在解三角形中的应用其中解答中应用三角形 解析：
725
【解析】 【分析】
利用面积公式即可求出sinC ．使用二倍角公式求出cos2C ． 【详解】
由题意，在ABC ∆中，8a =，5b =，面积为12， 则120122S absinC sinC =
==，解得35
sinC =． ∴2
97
212122525
cos C sin C =-=-⨯=． 故答案为725
． 【点睛】
本题考查了三角形的面积公式，二倍角公式在解三角形中的应用，其中解答中应用三角形的面积公式和余弦的倍角公式，合理余运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
三、解答题
21．（1）1m =-；（2）当1a >时， ()()23f f >；当01a <<时， ()()23f f <，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）将图象关于坐标原点对称转化为函数为奇函数，从而有()()f x f x -=-在函数的定义域内恒成立，进而求得m 的值，再进行检验； （2）根所在（1）中求得的m 值，得到1
()log 1
a
x f x x +=-，再求得()()2,3f f 的值，对 a 分两种情况讨论，从而得到()()2,3f f 的大小关系.
【详解】
解：（1）31()log 1a m x f x x -=-Q ，31()
()log 1
a m x f x x -⋅-∴-=--．
又Q 函数()f x 的图象关于坐标原点对称，()f x ∴为奇函数，
()()f x f x ∴-=-在函数的定义域内恒成立，
331()1log log 11a a
m x m x
x x -⋅--∴=----， 331()1111
m x m x
x x -⋅--∴⋅=---，
()6210m x ∴-=在函数的定义域内恒成立，
1m ∴=-或1m =．
当1m =时，函数的真数为1-，不成立，
1m ∴=-．
（2）据（1）求解知，1
()log 1
a
x f x x +=-， (2)log 3a f ∴=，(3)log 2a f =．
当1a >时，函数()log a g x x =在(0,)+∞上单调递增，
23<Q ，log 2log 3(3)(2)a a f f ∴<⇒<；
当01a <<时，函数()log a g x x =在(0,)+∞上单调递减，
23<Q ，log 2log 3(3)(2)a a f f ∴>⇒>．
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性求解析式中参数值、对数函数的单调性比较大小，考查数形结合思想、分类讨论思想的运用，在比较大小时，注意对a 分1a >和01a <<两种情况讨论. 22．（1）（2,4）或（-2，-4） （2）π （3）()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）设(,)c x y =r
，根据条件列方程组解出即可；
（2）令(2)(2)0a b a b +⋅-=r r
r r 求出a b ⋅r r ，代入夹角公式计算；
（3）利用()
0a a b λ+>⋅r r r ，且a r 与a λb +r r 不同向共线，列不等式求出实数λ的取值范围.
【详解】 解：设(,)c x y =r
，
∵c =r //c a r r
，
∴22
2020y x x y -=⎧⎨+=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩
或24x y =-⎧⎨=-⎩， ∴(2,4)c =r 或(2,4)c =--r
；
（2）∵2a b +r r 与2a b -r r
垂直，
∴(2)(2)0a b a b +⋅-=r r
r r ，
即222320a a b b +⋅-=r r r r ，
∴52
a b ⋅=-r r ，
∴5cos 1||||
a b
a b θ-⋅==
=-r r r r ，
∴a r
与b r
的夹角为π；
（3）a r Q 与a λb +r r
的夹角为锐角
则()0a a b λ+>⋅r r r ，且a r 与a λb +r r 不同向共线，
()2
5(12)0a a
a a
b b λλλ+==+>∴⋅++⋅r r r r r
r ，
解得：53λ>-
， 若存在t ，使()
a b a t λ=+r r r
，0t > ()()1,21,1(1,2)a b λλλλ+=+=++r r
Q
则()1,2(1,2)t λλ=++，
122t t t t λλ+=⎧∴⎨+=⎩，解得：10t λ=⎧⎨=⎩
， 所以5
3
λ>-
且0λ≠， 实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫
-⋃+∞ ⎪⎝⎭
．
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算，利用数量积研究夹角，注意夹角为锐角，数量积大于零，但不能同向共线，夹角为钝角，数量积小于零，但不能反向共线，本题是中档题． 23．（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8. 【解析】 【分析】
(1) 直线AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线AD 斜率，又T 在AD 上，利用点斜式求直线AD 方程；（2）由AD 和AB 的直线方程求得A 点坐标，以M 为圆心，以AM 为半径的圆的方程即为所求. 【详解】
(1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3． 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0． (2)由360320x y x y --=⎧⎨
++=⎩,得0
2
x y =⎧⎨=-⎩,
∴点A 的坐标为(0，－2)，
∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)， ∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |
=
∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8． 【点睛】
本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题.
24．（1）12a =，24a = （2）2n
n a =，2n b n = （3）()2124n n T n +=-+
【解析】 【分析】
（1）根据题意得到22n n a S =+，分别令1n =，2n =，得到1a ，2a ；（2）当2n ≥时，1n n n a S S -=-，再验证1n =时，得到n a 的通项，根据点()1,n n P b b +在直线
2y x =+上，得12n n b b +=+，得到n b 为等差数列，从而得到其通项；（3）根据
n n n c a b =⋅，得到n c 的通项，然后利用错位相减法，得到前n 项和n T .
【详解】
解：（1）由22n n a S =+
当1n =时，得1122a S =+，即1122a a =+，解得12a =； 当2n =时，得2222a S =+，即21222a a a =++，解得24a =. （2）由22n n a S =+…① 得1122n n a S --=+…②；（2n ≥） 将两式相减得1122n n n n a a S S ---=-， 即122n n n a a a --=， 所以()122n n a a n -=≥， 因为120a =≠，所以10n a -≠，
所以()1
22n
n a n a -=≥， 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以1112222n n n
n a a --==⨯=.
数列{}n b 中，12b =，点()1,n n P b b +在直线2y x =+上， 得12n n b b +=+，
所以数列{}n b 是首项为2，公差为2的等差数列， 所以()2212n b n n =+-=.
（3）1
2n n n n c a b n +==⋅，
所以()2
3
4
1
122232122
n
n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅
()345122122232122n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅
上式减下式得
23412122222n n n T n ++-=⨯+++⋅⋅⋅+-⋅
()22212212
n n n +-=
-⋅-
22242n n n ++=--⋅
所以()2
124n n T n +=-+.
【点睛】
本题考查由n a 和n S 的关系求数列通项，等差数列基本量计算，错位相减法求和，属于中档题.
25．（1）21n a n =+；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）设公差为d ，由28S =，385
22a a a +=+可得11
12829282a d a d a d +=⎧
⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =，从而可得结果；（2） 由（1），21n a n =+，则有
()2
32122n n S n n n =
++=+，则()11111222n
S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求解即可. 【详解】
（1）设公差为d ，由题1112829282a d a d a d +=⎧
⎨+=++⎩，
，解得13a =，2d =．
所以21n a n =+．
（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122
n n
S n n n =
++=+． 则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
． 所以n T 1111111
1111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111112212n n ⎛⎫=
+-- ⎪++⎝⎭ 34
<． 【点睛】
本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的
方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭；（2）
1
k
=
； （3）()()1
111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭
；（4）
()()11
122
n n n =
++()()()11
112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦
；此外，需注意裂项之后相消的过程中
容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 26．（1）a n =2n –9，（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】
分析：（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n 项和公式得n S 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.
详解：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．
所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．
点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.。