§12 怎样求电容器的电容和能量

§12 怎样求电容器的电容和能量
一、电容的计算
电容的计算一般有三种方法： 1、 利用电容的定义式Q Q C U U
∆=
=∆来计算，具体步骤如下： 先计算电场强度，进而计算电势差。

在电势差U ∆的表达式中，已经包含了电量Q 与电势差U 的比值，因此，对电势差表达式进行整理，即可由电容的定义Q Q C U U
∆==∆算得电容。

2、 通过电容器的储能公式()22
1122e Q W C U C
=∆=来计算；由U ∆→W e →C ； 或者是
Q →W e →C.
3、 对于串联、并联、混联，可用前面两种方法，但往往直接用电容的串、并联计算公式
更为方便。

即：
串联时： 111
n
i i
C C ==∑
并联时： 1
n
i i C C ==∑
二、电容器储能的计算 电容器的储能公式为：
()22
2
211(1)
222111(2)
222Q W Q U CU C D W EDV E V V
εε
=∆==
===
式中 U ∆---电容主板间电势差
V--------电容器极板间电场所占的空间
因为,S
C U Ed d
ε=
∆=故式(1)、(2)是一致的。

储能计算时要注意L 是维持电量Q 不变(电容器充电后与电源断开), 还是维持电压U ∆不变(电容器充电后，不与电源断开)，否则就会把题做错。

例如：有人问：如增大C ，由
()2
2C W U =∆可知W 应增加；但从22Q W C
=看，W 又应减小。

究竟应该是增加还是减小？
同一习题之所以出现矛盾的结果 ，是因为问题本身不够明确：没有说明是Q 不变，还是U
∆不变。

如在Q 不变下增大C ，则由22Q W C
=看，W 应该减小；因Q C U =∆，C 增大时U ∆将
减小，故从看，W 也应减小。

［例1］球形电容器由半径为R 1的导体球和与它同心的导体球壳构成，其间有两层同心的均匀介质球壳，介质常数分别为1ε、2ε，两介持的分界面的半径为R 2，导体球壳的内半径为R 3 (图2-12-1) 。

已知球壳不带电，内球带电+Q ，求球形电容器的电容。

［分析］球壳的带电总量为零，但在内球的静电感应的情况下，其内表面带负电()Q -，外表面带正电
()Q +，电场具有对称性，电位移矢量D 垢方向沿半径向外。

［解］利用电容的定义式Q
C u
=∆来计算。

1、 计算各场区的场强：
Ⅰ区：以半径为r 的同心球面为高斯面，利用有介质时的高斯定理得：
21112
,
4,4s
Q
D ds Q D r Q D r
ππ⋅===
⎰⎰ 11D E ε= 1
12
1
14D Q
E r επε∴=
=
Ⅱ区：同理可知： 12
24Q E r
πε=
2、 计算内球与球壳间的电势差U ∆
()()23
1
1
2
2
3
1
2
122
2
12112223*
2321113212123
441111444R
R R R R R R R R R U E dl E dr E dr
Q Q dr dr
r r Q Q R R R R Q R R R R R R R R R πεπεπεπεεεπεε∆=⋅=+=+⎛⎫⎛⎫=-+
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+-⎡⎤⎣⎦
=
⎰⎰⎰⎰
⎰
*式中已包含了
Q
U
∆，故易得： ()()12123232111324R R R Q
C U R R R R R R πεεεε=
=
∆-+-⎡⎤⎣⎦
3、 利用电容的定义求电容
［例2］五个电容连接如图2-12-2所示，在AB 间加30V ，求各电容器上的电量以及AB 间的总电容，设123451,2,2,1,3C F C F C F C F C F μμμμμ=====五个电容器上的电量以Q 1、Q 2、Q 3、、Q 4、Q 5表示。

［解］由：3510Q Q Q +-= 4520Q Q Q --= 得：
315Q Q Q =- 425Q Q Q =+ 就电势差而言：
沿APB 支路： 15
13012Q Q Q -+= 沿ARB 支路： 2
5
23023Q Q Q ++= 沿APRA 支路： 512132
Q Q Q
+=
由上列方程可以解得：
12531542570404070
,,10,,3333
Q c Q c Q c Q Q Q c Q Q Q c μμμμμ=
===-==+=
上述结果是可信的，因为电路与相应的电势方程具有对称性，1Q 与4Q 、2Q 与3Q 分别相等，是理所当然的。

为了求总电容，让我们看A 侧、B 侧的电量。

在A 侧：121103Q Q c μ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
； 在B 侧：()()3412110
3
Q Q Q Q c μ-+=-+=-
，根据电容的定义，合电容为：
()110113309
Q C F U μ⎛⎫ ⎪⎝⎭===∆ ［例3］一厚度为b 之铜板，插入平行板电容器的两极中央。

求电容 (图2-12-3)。

［分析］设平行板电容器极板的面积为S ，板间距离为d ，则电容为：
0S
C d
ε=
铜板插入后，铜 板在静电场的作用下在表面产生感应电荷，它与极板上的电荷面密度相等(因为这时才达到静电平衡)。

因此铜板插入后，等于两个电容 (极板间
的距离为
2
d b
-)的串联。

,或者说，等于电容(极板间距离为2
d b
-)的串联，或者说等于电容器两板间距由d 缩短为d-b 。

［解］铜板插入后，形成两电容器C 1、C 2的串联：
0122
S
C C d b ε==
-
故总的等效电容为： 1211212C C S
C C C C d b
ε=
==
+- 将题目化一下：如铜板不是正好插在平板电容器的中央，结果又将如何变化(图2-12-3)？ ［分析］设铜板与上极板距为1d ，则与下极板间距为d-b-d 1，铜板插入后仍看为两个电容的串联：
00121
1
,S
S
C C d d b d εε=
=
--
总的等效电容为C ：
111200111
d d b d C C C S S
εε--==== 0S
C d b
ε∴=
-
可见，结果没有变化。

为什么等效电容与铜板在两极板间的位置无关呢？因为这种插入方式，相当于把电容器
极板间距缩短。

不管铜板是否插在中央，极板间距由d 缩短为d-b ，因而结果不发生变化。

将题目再化一下：如以相对介电系数为r ε的介电介质板代替铀板，结果是否仍然相同？ ［分析］电介质插入后，表面要产生束缚电荷，但束缚电荷总是比极板上的自由电荷要少。

这时不能如上述一样，把它看为两个电容器的串联，因为：①电介质板表面的电荷不是自由电荷；②介质的场强不为零。

有一点是肯定的，若电容需增大。

这时可根据电容的公式
Q
C V
=
，将介质板插入后的电容求出来。

要求V ， 先求E 。

［计算］设极板的电荷面密度为σ，则在真空中的场强为00
E σ
ε=
；在介质中的场强为0r
E σ
εε=
，故檄板间的电势差为： ()00
0r d b b
V E d b Eb σεεε⎛⎫
-=-+=+
⎪⎝⎭
因此总电容为：
0r
S S C b V d b εσε=
=-+
插入介质板前后电容的比值为：
01C d
C d b b
==-+ 如r ε→∞，即相当于插入的不是介质板，而是金属板，则：
0C d
C d b
=
- 与前面的结果一致。

［例4］半径分别为R 1、R 2的同心导体球壳(图2-12-4)。

求内球壳接地时的总电容。

［解］设内球带电+Q ，则根据高斯定理可知，外球的内表面带电-Q ，它的外表面带电
21
1
R R Q Q R -'=-
，这样内球壳的外表面与外球壳的内表面构成一个电容器，同时，外球壳的外表面与无限远处也形成一个电容器。

假设它们的电容分别为C 1、C 2。

球形电容器的电容为12
10
21
4R R C R R πε=-。

由此可见，当2R →∞时，即得弧立球的电容，按题设条件，2024C R πε=，故总电容为：
2
122
12020
1221
44R R R C C C R R R R R πεπε⎛⎫=+=+= ⎪+-⎝⎭ ［讨论］此题要求的总电容是按并联计算的。

也就是说，内球
接地后，把大地与无限远- 处都作为电势零点，不然是不可以按并联而论的。

有人说，把内球接地后作为电势零点，则在无限远处，就不可能再作为电势零点了。

因此，此题要求的总电容是按串联公式来计算。

两种说法哪一种对呢？请思考的。

［例5］一同心球形电容器内外径分别为R 1=5.00cm ，r 2=6.00cm ，电容器中有一半空间充有7.00r ε=电解质(图2-12-5)，求电容(不计电场在两半球交界面上的弯曲。

) ［解法一］设两球间的电势差为U ，在两球面间无电介质部分，内球面的半个上有电量为0Q ，在有电介质部分内球的半个上的电荷为Q '，电容器中各部分电场沿半径方向，故在每一部分用12R R <的一部分球面和11r R <的一部分球面以及与半径平行的侧面构成之闭合面为高斯面，由于侧面上的通量为0，半径为 r 的部分球面上D 为0，则通过此闭合面之总的通量为：
Dds DS =⎰⎰
高斯面中的自由电荷为：10
2
1
2R S Q R
π或121
2R S Q R
π'
而12
2
2::R P S S R r =，故在电容器的两部分各得：
1100
022122
12222R r R r S Q Q D R S r S Q Q D R S r ππππ==
'''==
两部分的场强为：
02
02
0022r r D Q E r D Q E r επεεεπεε=
=
'''==
再分别求电势差：
2
12
1
002
00122001211221122R R R R r r Q Q U dr r R R Q Q U dr r R R πεπεπεεπεε⎛⎫
==
- ⎪⎝⎭
⎛⎫
'
'
==- ⎪
⎝⎭
⎰⎰
于是得电量：
12
002112021
22r R R Q U
R R R R Q U
R R πεπεε=-'=-
内球面上的总电量为：
()
12
0021
21r R R Q Q Q U R R πεε'=+=+-
故总的电容量为：
()()()12021
2222
102151061028.8510176105101.3310133()
r R R Q
C U R R F PF πεεπ-----=
=+-⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯-⨯=⨯=
［解法二］把整个电容器看作两个电容并联，一个是没有充介质的，一个是充有介质的半球形电容。

其电容是同心球形电容的一半：
1210
21
122021
22r
R R C R R R R C R R πεπεε=-=-
两者并联电容为：()()12
12021
21133r R R C C C pF R R πεε=+=+=-
［例6］如图2-12-6所示，求A 障总电容。

［解］从左向右不易算，应该从右向左逐步合成。

P 1R 1间的电容()
1C
：
()
1111111113
C C C C C =++= ()
113
C C ∴= 22P R 间的电容()
2C ：
()
()211223
C
C C C C =+=+
33P R 间的电容()3C
： ()
()()
()311232*********,56C C C C C C C C C C
+=++∴=+ 44P R 间的电容()4
C ：
()
()
22
431122
212
8656C C C C C
C
C C C ++=+=
+ AB 间的总电容C ：
()22
1112222
4111122
(86)1111
,72212C C C C C C C C C C C C C C ++=++∴=++ ［例7］平板电容器的极板面积为S ，间距为x ，现将其间距从x 增大到x dx +，①当极板间电势差U ∆不变时；③当极板上电量Q 不变时，电容器的能量变化多大？ ［解］平行板电容器的电容0S
C x
ε=，其能量为()2
12
W C U =
∆ (1) 在()2
11W =
U dC 2
U cont d ∆=∆时
02
S
dC dx x ε=-
()()2
200122
122S U S dW U dx dx x x εε∆⎛⎫
∴=∆-=- ⎪⎝⎭
(2) 在Q=cont 时：
2
212Q W C
=
22
2122Q Q dW d dC C C
⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭
1
图2-12-6
设极板间距离为x ，电为Q 时，其间电势差为U ∆，则()Q C U =∆
()()
()()2
22
222
20022122
122C U dW dC U dC C S U S U dx dx x x εε∆∴=-=-∆∆⎛⎫=-
∆-= ⎪⎝⎭
［讨论］当0dx >时，0dC <。

于是120,0dW dW <>而。

平行板电容器极板上，一块正电，一块带负电，正、负电荷互相吸引，要将两板距离拉开一段距离，就得克服吸引力作功，于是电容器能量增加，即1dW 和2dW 一样应该都是正的。

为什么dW 1小于零呢？ 这是因为：()2
12
W C U =
∆，当间距增大dx 时，C 减小了。

电容器的储能随之减少，于是10dW <。

或者说当极板间距离增大dx 时，为了维持U ∆不变，只得减弱电场强度，即减少极板上的电量。

虽然储能决定于E 和体积V ，V 随x 的增大而线性地增大，E 随x 增大线性地减弱，但它对能量的作用不是一镒方而是二次方，因此，总的来说储能还是减少了。

在Q=常数的情况下，极板间距离增大时，体积增大了，而电场强度不是减小而是不变，因此，总的来说能量增加了。

就1dW 和2dW 的数值而言，为什么两者又却好相等呢？请读者思考。

［例8］容量为C 1、C 2、……、C n 个电容器，其上电压为U 1、U 2、……、U n ，连成如图2-12-7a 所示然后将其两个端点A 、A '闭合成图2-12-7b ，求此时的电量的变化和残留的全部能量。

［分析］假设AA /连接前后，各电容器的电量分别为q 1、q 2、……、q n 与1q '、2q '、……、n
q '，则AA /连接后，由于AA / 这两点原来的电势不同，电容器C 1与C n 上的电量要发生变化，进而涉及其它全部电容器上的电量发生变化。

变化量分别为11
q q '-、22
q q '-、……、n n q q '-。

根据题设条件q 1、q 2、……、q n 是已知的，则
a)
111222(1)n n n
q CU q C U q C U ===、、、
1
q '、2q '、……、n q '怎么求呢？ 假设AA '连接后，各电容器上的电压分别为1
U '、2U '、……、n U '，则根据题设条件可知， AA ' 连接后，其间的电势差为零，则：
1
21212
0(2)n
n
n
q q q U U U C C C ''''''+++=+++
=
要将1
q '、2q '、……、n q '全部解出，还缺 n-1个独立方程。

这又从何下手呢？解决问题的办法往往孕育在问题本身中，让我们从电路本身的特点来寻找并建立(n-1)个独立方程。

在AA '连接前后，C 1的阳极与C 2的阴极及其连接导线自成一个封闭系统产(注意：因为
AA '连接后形成的闭合回路中没有电源；如有，则情况就不同了)根据电荷守恒定律可知：
/12121122
(3)q q q q CU C U '-=-=-
同理可得：
/
23
232233(4)q q q q C U C U '-=-=-
……
/
1111
(5)n n n n q q q q C U CU '-=-=-
由(3)式得：(6)式
/
211122q q CU C U '=-+
式(3)+式 (4)得： 311133q q CU C U ''=-+
……
同理可得： 111n n n q q CU C U ''=-+
这样就找到了(n-1)个独立方程。

它与(2)式结合，就可得到1
q '、2q '、……、n q '。

至此，电量的变化量11q q '-、22q q '-、……、n n q q '-可经求出来了。

11q q '-、22q q '-、……、n n
q q '-可以求出来了。

［解］据题意设有：
111,222,,
(1)n n n q CU q C U q C U ===
10(2)n
i i i
q C ='=∑
根据守恒定律有：
/
211122q q
C U C U '=-+ 311133q q CU C U ''=-+
……
111n n n q q CU C U ''=-+
把(3)代入(2)式，经过整理：
111212110n
n n i i i i q C U U U C C =='-+++=∑∑
1111211110n n n i i i i
q CU U U U C C =='-++++=∑∑
111(4)q CU CU
'∴=-
其中 111
n i i
C C ==∑
1
n
i
i U U
==
∑
同理可得：
2
22(5)(6)
n
n n q C U CU q C U CU '=-'=-
故电量的变化为：
11
11122
222n n
n n n q q C U q CU q q C U q CU q q C U q CU ''-=-=''-=-=''-=-
= (7)
由此可见，AA '两点连接后，渡过的电量是相等的，即：
1
11n
i
i n
i i
U
CU C ===
∑∑
这个结果如何解释？
为了方便起见，我们讨论最简单的情况：n
个电容器的电容、电压、电量都相同，设每
(3)
个电容 的电容、电压、电量分别为000U Q C 、、，现将 n 个电容串联成一直线，再将AA '短接。

这时将发生什么情况呢？由于AA '间的总电压U 为
0nU ，总电容0
C C n
=
，电量为000Q CU C U ==，即为每个电容器上的电量。

AA '短接后，第一个电容器负极上的电荷与第n 个电容器上正极上的电荷就要发生定向流动，从而影响相邻正负极间电荷同样发生定向流动，一直流到相邻两极之间没有电势差为止，这时，总的电量虽都为CU 。

其实，也就是每个电容器上的电量都放完了。

当然，如果每个电容的C 、U 、Q 不尽相同，渡过的电量虽然都是CU ，但是电量都没有全部放完。

由式(4)、(5)、(6)可得电容器中残留的能量为：
()()2
2
2221112211122
12
12
11121122111()2211
2
211
2
21112
2n
n n
i i i i i i i i i i i i i n
n n i i i i i i i n
i i i n i i i n i n
i i i n i i i
C U CU C U C U CU CU q C C C C U U CU C U
C C U CU CU C U CU U C U C ===========--+==⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭=-+=-⎛⎫
⎪⎝⎭=-
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
［例9］两上同轴圆柱，长度都为l ，半径分别为a 、b 。

这两个圆柱带有待求量异号电荷Q ，二圆柱之间充满介电常数为ε的电介质，试从总储能量来求圆柱形电容器的电容。

［解］圆柱间的电场强度，由高斯定理知：
2Q E rl
πε=
能量密度为： 2
2222
128Q E r l ωεπε==
总储能： 22ln 44b
a
V
Q Q b
W dV dr lr l a
ωπεπε=
==⎰⎰
根据公式 2
12Q W C
=得：
2
22ln Q C W l b a
πε=
=。