2020-2021学年人教版数学九年级下学期中考总复习课件-专题06分母有理化
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3.因式分解要注意的几个问题： （1）每个因式分解到不能再分为止． （2）相同因式写成乘方的形式． （3）因式分解的结果不要中括号． （4）如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出“-”号，使括号内的第一项系数为正数． （5）因式分解的结果，如果是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前面．
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例题解析 【例 1】（2019•江苏无锡）分解因式 4x2－y2 的结果是（ C ） A．（4x+y）（4x﹣y） B．4（x+y）（x﹣y） C．（2x+y）（2x﹣y） D．2（x+y）（x﹣y）
C． (2a 1)2
D． (2a 1)2
【解析】运用公式法
4a2 1 (2a 1)(2a 1) ，故选：B．
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例题解析
【例 2】（2020 贵州黔西南）多项式 a3 4a 分解因式的结果是_a__（__a_+.2）（a-2）
【解析】先提出公因式 a，再利用平方差公式因式分解． 解：a3-4a=a（a2-4）=a（a+2）（a-2）．
B. （4x2﹣y2）﹣（2x+y）
C. 4x2﹣（2x+y2+y）
D. （4x2﹣2x）﹣（y2+y）
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B 3.（2019 广西贺州）把多项式 4a2 1分解因式，结果正确的是( )
A． (4a 1)(4a 1)
B． (2a 1)(2a 1)
C． (2a 1)2
D． (2a 1)2
4.（2019 四川泸州）把 2a2﹣8 分解因式，结果正确的是（ C ）
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强化训练
一、选择题
1.（2020•金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ C ）
A．a2+b2
B．2a﹣b2
C．a2﹣b2
D．﹣a2﹣b2
B 2.（2020 湖北荆州模拟）把多项式 4x2﹣2x﹣y2﹣y 用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（ ）
A. （4x2﹣y）﹣（2x+y2）
若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式 a2－b2＝(a＋b)(a－b), 完全平方公式 a2±2ab＋b2＝(a±b)2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.
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2.从多项式的项数来考虑用什么方法分解因式． （1）如果是两项，应考虑用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式来分解因式． （2）如果是二次三项式，应考虑用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法． （3）如果是四项式或者大于四项式，应考虑提公因式法，分组分解法．
【解析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用平方差公式
分解因式得出答案． 4x2－y2＝（2x）2－y2 =（2x+y）（2x﹣y）．
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对点练习 B 1.（2019 广西贺州）把多项式 4a2 1 分解因式，结果正确的是 ( )
A． (4a 1)(4a 1)
B． (2a 1)(2a 1)
am﹣an﹣bm+bn=（am﹣an）﹣（bm﹣bn）=a（m﹣n）﹣b（m﹣n）=（m﹣n）（a﹣b）．
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二、因式分解策略 1.因式分解的一般步骤： (1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法; (3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
专题06 分母有理化
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知识点概述
一、因式分解及其方法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个 有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中 学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、 换元、待定系数等等。 1．提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式 乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．比如：am+an=a（m+n）
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2．运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运 用公式法． （1）平方差公式
两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式： a2 b2 a ba b
（2）完全平方公式 两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和(或者差)的平方．
【解析】利用提取公因式法因式分解即可．
原式＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）．
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对点练习
3.（2019 齐齐哈尔）因式分解：a2+1﹣2a+4（a﹣1）
【解析】根据因式分解﹣分组分解法分解因式即可．
a2+1﹣2a+4（a﹣1）＝（a﹣1）2+4（a﹣1）＝（a﹣1）（a﹣1+4）＝（a﹣1）（a+3）．
A．2（a2﹣4）
B．2（a﹣2）2
C．2（a+2）（a﹣2） D．2（a+2）2
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5.（2020 山东潍坊模拟）下列因式分解正确的是（ D ）
A． x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B． x2+2x+1=x（x+2）+1
C． 3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D． 2x+4=2（x+2）
【点拨】本题考查提公因式
对点练习 2.（2019 宁夏）分解因式：2a3﹣8a＝ 2a（a．+2）（a﹣2）
【解析】先提取公因式，再利用二数平方差公式。
原式＝2a（a2﹣4）＝2a （a+2）（a﹣2）
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例题解析 【例 3】（2020•聊城）因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝（x﹣2）（x﹣．1）
字母表达式： a2 2ab b2 a b2
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3．十字相乘法分解因式：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做 十字相乘法.
（1）对于二次三项式
x2
bx
c
，若存在
pq c pq
b
，则 x2 bx c x px q
4.分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解 时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对 整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.比如：
3.因式分解要注意的几个问题： （1）每个因式分解到不能再分为止． （2）相同因式写成乘方的形式． （3）因式分解的结果不要中括号． （4）如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出“-”号，使括号内的第一项系数为正数． （5）因式分解的结果，如果是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前面．
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例题解析 【例 1】（2019•江苏无锡）分解因式 4x2－y2 的结果是（ C ） A．（4x+y）（4x﹣y） B．4（x+y）（x﹣y） C．（2x+y）（2x﹣y） D．2（x+y）（x﹣y）
C． (2a 1)2
D． (2a 1)2
【解析】运用公式法
4a2 1 (2a 1)(2a 1) ，故选：B．
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例题解析
【例 2】（2020 贵州黔西南）多项式 a3 4a 分解因式的结果是_a__（__a_+.2）（a-2）
【解析】先提出公因式 a，再利用平方差公式因式分解． 解：a3-4a=a（a2-4）=a（a+2）（a-2）．
B. （4x2﹣y2）﹣（2x+y）
C. 4x2﹣（2x+y2+y）
D. （4x2﹣2x）﹣（y2+y）
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B 3.（2019 广西贺州）把多项式 4a2 1分解因式，结果正确的是( )
A． (4a 1)(4a 1)
B． (2a 1)(2a 1)
C． (2a 1)2
D． (2a 1)2
4.（2019 四川泸州）把 2a2﹣8 分解因式，结果正确的是（ C ）
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强化训练
一、选择题
1.（2020•金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ C ）
A．a2+b2
B．2a﹣b2
C．a2﹣b2
D．﹣a2﹣b2
B 2.（2020 湖北荆州模拟）把多项式 4x2﹣2x﹣y2﹣y 用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（ ）
A. （4x2﹣y）﹣（2x+y2）
若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式 a2－b2＝(a＋b)(a－b), 完全平方公式 a2±2ab＋b2＝(a±b)2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.
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2.从多项式的项数来考虑用什么方法分解因式． （1）如果是两项，应考虑用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式来分解因式． （2）如果是二次三项式，应考虑用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法． （3）如果是四项式或者大于四项式，应考虑提公因式法，分组分解法．
【解析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用平方差公式
分解因式得出答案． 4x2－y2＝（2x）2－y2 =（2x+y）（2x﹣y）．
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对点练习 B 1.（2019 广西贺州）把多项式 4a2 1 分解因式，结果正确的是 ( )
A． (4a 1)(4a 1)
B． (2a 1)(2a 1)
am﹣an﹣bm+bn=（am﹣an）﹣（bm﹣bn）=a（m﹣n）﹣b（m﹣n）=（m﹣n）（a﹣b）．
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二、因式分解策略 1.因式分解的一般步骤： (1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法; (3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
专题06 分母有理化
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知识点概述
一、因式分解及其方法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个 有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中 学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、 换元、待定系数等等。 1．提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式 乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．比如：am+an=a（m+n）
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2．运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运 用公式法． （1）平方差公式
两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式： a2 b2 a ba b
（2）完全平方公式 两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和(或者差)的平方．
【解析】利用提取公因式法因式分解即可．
原式＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）．
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对点练习
3.（2019 齐齐哈尔）因式分解：a2+1﹣2a+4（a﹣1）
【解析】根据因式分解﹣分组分解法分解因式即可．
a2+1﹣2a+4（a﹣1）＝（a﹣1）2+4（a﹣1）＝（a﹣1）（a﹣1+4）＝（a﹣1）（a+3）．
A．2（a2﹣4）
B．2（a﹣2）2
C．2（a+2）（a﹣2） D．2（a+2）2
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5.（2020 山东潍坊模拟）下列因式分解正确的是（ D ）
A． x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B． x2+2x+1=x（x+2）+1
C． 3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D． 2x+4=2（x+2）
【点拨】本题考查提公因式
对点练习 2.（2019 宁夏）分解因式：2a3﹣8a＝ 2a（a．+2）（a﹣2）
【解析】先提取公因式，再利用二数平方差公式。
原式＝2a（a2﹣4）＝2a （a+2）（a﹣2）
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例题解析 【例 3】（2020•聊城）因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝（x﹣2）（x﹣．1）
字母表达式： a2 2ab b2 a b2
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3．十字相乘法分解因式：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做 十字相乘法.
（1）对于二次三项式
x2
bx
c
，若存在
pq c pq
b
，则 x2 bx c x px q
4.分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解 时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对 整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.比如：