2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用课件新人教B版必修4

本题采用了求轨迹方程的方法，先在所求直线上设一动点 P(x，y)，再利用向量平行、垂直的充要条件建立 x，y 的关系．
已知△ABC 的三个顶点 A(0，－4)，B(4，0)， C(－6，2)，点 D、E、F 分别为边 BC、CA、AB 的中点． (1)求直线 DE、EF、FD 的方程； (2)求 AB 边上的高线 CH 所在的直线方程． 解：(1)由已知得点 D(－1，1)，E(－3，－1)，F(2，－2)， 设点 M(x，y)是直线 DE 上任意一点， 则D→M∥D→E，D→M＝(x＋1，y－1)，D→E＝(－2，－2)． 所以(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0， 即 x－y＋2＝0 为直线 DE 的方程． 同理可求，直线 EF，FD 的方程分别为 x＋5y＋8＝0， x＋y＝0.
因为A→F·D→E＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以A→F⊥D→E， 即 AF⊥DE.
用向量方法解决平面几何问题的步骤
1.已知 A，B，C，D 四点的坐标分别为(1，0)，
(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为( )
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
解析：选 A.A→B＝(3，3)，C→D＝(－2，－2)，
4．平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1，2)与动点 P(x，y)满 足O→P·O→A＝4，则 P 点的轨迹方程为______(x，y)·(1，2)＝x＋ 2y＝4，即为 P 点的轨迹方程．
答案：x＋2y＝4
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求力 F1 和 F2 的合力可按照向量加法的平行四边形法 则．( √ ) (2)若△ABC 为直角三角形，则有A→B·B→C＝0.( × ) (3)若向量A→B∥C→D，则 AB∥CD.( × )
2．在△ABC 中，若(C→A＋C→B)·(C→A－C→B)＝0，则△ABC( )
(2)设点 N(x，y)是 CH 所在直线上任意一点， 则C→N⊥A→B.所以C→N·A→B＝0. 又C→N＝(x＋6，y－2)，A→B＝(4，4)． 所以 4×(x＋6)＋4×(y－2)＝0， 即 x＋y＋4＝0 为所求直线 CH 的方程．
向量在物理中的应用
两个力 F1＝i＋j，F2＝4i－5j 作用于同一质点，使该质 点从点 A(20，15)移动到点 B(7，0)(其中 i，j 分别是与 x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求： (1)F1，F2 分别对该质点做的功； (2)F1，F2 的合力 F 对该质点做的功.
第二章 平面向量
2．4 向量的应用
2．4.1 向量在几何中的应用 2．4.2 向量在物理中的应用
第二章 平面向量
1.了解平面向量在解决几何、物理问题中的工具性作 用． 2.理解向量法解决几何、物理中的问题． 3．掌握两种基本方法——选择基向量法和坐标建系法．
1．向量在几何中的应用
(1)直线与向量平行的条件
(2)设 Q(x，y)为过点 A 且与 l 垂直的直线上的动点， 则A→Q＝(x＋1，y－2)． 所求直线与 l 垂直， 当且仅当 u·A→Q＝0，转化为坐标表示， 即为 1×(x＋1)＋43×(y－2)＝0. 整理，得 3x＋4y－5＝0， 则过点 A 且与直线 l 垂直的直线方程为 3x＋4y－5＝0.
A．是正三角形
B．是直角三角形
C．是等腰三角形
D．形状无法确定
答案：C
3．已知三个力 F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)和合力 F1＋F2＋F3＝0，则 F3 的坐标为________． 答案：(－5，1)
向量在平面几何中的应用 如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：AF⊥DE.
用向量方法解决物理问题的“三步曲”
1.已知两个力 F1，F2 的夹角为 90°，它们的合
力大小为 10 N，合力与 F1 的夹角为 60°，那么 F1 的大小为
()
A．5 3 N
B．5 N
C．10 N
D．5 2 N
解析：选 B.画出图形，如图，
由题意|F1＋F2|＝10 N， 所以|F1|＝|F1＋F2|cos 60°＝5 N， 故选 B.
【证明】 法一：设A→D＝a，A→B＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又D→E ＝D→A＋A→E＝－a＋b2，A→F＝A→B＋B→F＝b＋a2，所以A→F·D→E＝ b＋a2·－a＋b2＝－12a2－34a·b＋b22＝－12|a|2＋12|b|2＝0. 故A→F⊥D→E，即 AF⊥DE.
法二：建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为 2， 则 A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，A→F＝(2，1)， D→E＝(1，－2)．
所以A→B＝－32C→D，
A→B与C→D共线，
但|A→B|≠|C→D|，
故此四边形为梯形．
2．如图，平行四边形 ABCD 中，已知 AD＝1，AB＝2，对角 线 BD＝2，求对角线 AC 的长．
解：设A→D＝a，A→B＝b， 则B→D＝a－b，A→C＝a＋b， 而|B→D|＝|a－b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 1＋4－2a·b＝ 5－2a·b＝2， 所以 5－2a·b＝4， 所以 a·b＝12， 又|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6， 所以|A→C|＝ 6， 即 AC＝ 6.
设帆船行驶的速度为 v， 则 v＝v1＋v2.
由题意，可得向量 v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10，10 3)， 向量 v2＝(20，0)， 则帆船行驶速度 v＝v1＋v2＝(10，10 3)＋(20，0)＝(30，10 3)， 所以|v|＝ 302＋（10 3）2＝20 3 km/h. 设 v 与 v2 的夹角为 α， 则 tan α＝10303＝ 33， 又 α 为锐角， 所以 α＝30°. 所以帆船向东偏北 30°方向行驶， 速度大小为 20 3 km/h.
向量在解析几何中的应用 已知点 A(－1，2)，直线 l：4x－3y＋9＝0. 求：(1)过点 A 且与直线 l 平行的直线方程； (2)过点 A 且与直线 l 垂直的直线方程． 【解】 直线 l 的斜率 k＝43， 向量 u＝1，43与直线 l 平行．
(1)设 P(x，y)是过点 A 且与 l 平行的直线上的动点， 则A→P＝(x＋1，y－2)． 所求直线与 l 平行， 当且仅当 u∥A→P，转化为坐标表示， 即为 1×(y－2)－43×(x＋1)＝0. 整理，得 4x－3y＋10＝0. 则过点 A 且与直线 l 平行的直线方程为 4x－3y＋10＝0.
③法向量
如果表示向量的基线与一条直线__垂__直__，则称这个向量_垂__直___
于该直线．这个向量称为这条直线的法向量．
(2)特殊向量
设直线 l 的一般方程为 Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线
l__垂__直__，向量(－B，A)与 l__平__行__．
2．向量在物理中的应用 (1)力向量 力向量与自由向量不同，它包括_大__小___、_方__向___、_作__用__点___三 个要素．在不考虑_作__用___点__的情况下，可利用向量运算法则进 行计算． (2)速度向量 一质点在运动中每一个时刻都有一个速度向量，该速度向量可 以用_有__向__线__段___表示．
2．中国青岛世界杯帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离 内竞速的一项水上运动．如果一帆船所受的风力方向为北偏东 30°，速度大小为 20 km/h，此时水的流向是正东方向，流速 大小为 20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度．
解：如图建立平面直角坐标系 xOy，风的方向为北偏东 30°， 速度大小为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，流速大小为|v2| ＝20 km/h，
2．若向量O→F1＝(2，2)，O→F2＝(－2，3)分别表示两个力 F1，
F2，则|F1＋F2|为( )
A．(0，5)
B．(4，－1)
C．2 2
D．5
解析：选 D.|F1＋F2|＝|O→F1＋O→F2|＝|(2，2)＋(－2，3)|
＝|(0，5)|＝5.
3．通过点 A(3，2)且与直线 l：4x－3y＋9＝0 平行的直线方程 为________． 解析：法一：在所求直线上任取不同于点 A 的一点 P(x，y)， 则A→P∥l，所以 kAP＝xy－－23＝43， 整理可得，4x－3y－6＝0. 法二：设与直线 l 平行的直线为： 4x－3y＋D＝0. 将点 A(3，2)代入得，D＝－6， 所以所求的直线方程为 4x－3y－6＝0. 答案：4x－3y－6＝0
①直线的斜率与向量的关系
设直线 l 的倾斜角为 α，斜率为 k，A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，
y－y1
a2
若向量 a＝(a1，a2)平行于 l，则可得 k＝_x_－__x_1 _＝___a_1__＝tan α.
②平行条件
a2
如果直线 l 的斜率 k＝__a_1_，则向量(a1，a2)一定与该直线平行．
1．用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量 问题．对具体的问题选用向量几何法还是向量坐标法是解题的 关键． 2．利用向量法解决物理问题时，要认真分析物理现象，深刻 把握物理量之间的向量关系，通过抽象、概括把物理现象转化 为与之相关的向量问题．
失误防范 由于向量集数形于一身，用它来研究问题时可以实现形象思维 与抽象思维的有机结合，因而向量法是研究几何问题的一个有 效的工具，解题时一定注意用数形结合的思想．
【解】 A→B＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j. (1)F1 做的功 W1＝F1·s＝F1·A→B＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28. F2 做的功 W2＝F2·s＝F2·A→B＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23. (2)F＝F1＋F2＝5i－4j， 所以 F 做的功 W＝F·s＝F·A→B＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5.
1．过点 A(2，3)，且垂直于向量 a＝(2，1)的直线方程为( )
A．2x＋y－7＝0
B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0
D．x－2y－4＝0
解析：选 A.设 P(x，y)是所求直线上任一点，则A→P⊥a，
又因为A→P＝(x－2，y－3)，所以 2(x－2)＋(y－3)＝0，
即所求的直线方程为 2x＋y－7＝0.