北京市通州区2019届高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
北京市通州区2019届高三上学期期末考试数学高三期末理科试题含答案
通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（理科）试卷2019年1月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2430A x x x =-+<,{}230B x x =->，则AB =A .33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B . 33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C . 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 332⎛⎫⎪⎝⎭，2. 设向量()3,4=-a ，()0,2=-b ,则与+a b 垂直的向量的坐标可以是A.B.C.D.3.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()2f -等于A . 3- B. 114-C. 34-D. 34.已知双曲线()222105x y a a -=>的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则a 等于A.1B . 2C. 3D. 4考生须知1.本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分．3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 4 .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．5. 已知x ,y 满足不等式组1,230,,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最大值等于A. 1B.2C.3 D . 66. 设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为A. 1 B . 2 C. 2 D. 58.设函数()y f x =图象上不同两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，规定(),A Bk k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数sin y x =图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和1-，则(),0A B ϕ=；②存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数； ③设A ,B 是抛物线2y x =上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设A ,B 是曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同的两点，则(),1A B ϕ>．其中真命题的个数为A. 1B.2C.3D. 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.复数i1iz =-的共轭复数是______． 10.设等比数列{a n }的公比2q =，前n 项和为n S ，则41S a =______ ． 11. 已知角α的终边与单位圆221x y +=的交点为3,2P x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin 2α= ．12.61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 的项的系数是______．13. 直线3x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）的公共点个数为______．14. 已知函数()()2,1,ln 1,x x f x x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩１．若关于x 的方程()2f x kx =-有且只有一个实数根，则实数k 的取值范围是______．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分） 如图，在△ABC 中，4A π∠=，4AB =，17BC =，点D 在AC 边上，且1cos 3ADB ∠=-．（Ⅰ）求BD 的长；（Ⅱ）求△BCD 的面积． 16．（本小题13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km ，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位:元）如下：四惠 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 四惠东 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 高碑店 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 传媒大学 3 3 3 4 4 4 4 5 5 双桥 3 3 3 4 4 4 4 4 管庄 3 3 3 3 4 4 4 八里桥 3 3 3 3 4 4 通州北苑 3 3 3 3 3 果园 3 3 3 3 九棵树 3 3 3 梨园 3 3 临河里 3 土桥四惠四惠东高碑店传媒大学双桥管庄八里桥通州北苑果园九棵树梨园临河里土桥（Ⅰ）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率； （Ⅱ）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X 元，求X 的分布列；（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为ξ元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为η元．试比较ξ和η的方差D ξ和D η大小．（结论不需要证明） 17．（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，13AA =，D ，E 分别为AB ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面11AA B B ；DC 1B 1A 1CE B A（Ⅱ）求二面角1B AE B --的余弦值；（Ⅲ）在线段11B C 上是否存在一点M ，使BM ⊥平面1AB E ？说明理由. 18．（本小题14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 过点()0,1A ，且椭圆的离心率为63． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >．若直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，求直线l 的方程． 19．（本小题13分）已知函数()2ln f x a x ax =-，其中0a >．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()2g x x m =-，若曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求m 的最大值．20．（本小题13分）一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列{}np 的前n 项和为n S ，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于np的项的和为()f n ．（Ⅰ）求5p 和()5f ；(Ⅱ) 判断n S 和()f n 的大小，不用证明； （Ⅲ）设()2k k N *Γ=∈，求证：n N*∀∈，∃Γ，使得1n n S S +<Γ<．通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（理科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCABDCBC第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．11i 22-- 10．15 11．32± 12．15 13．1 14．{}{}0322k k <<-三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．解：（Ⅰ）在ABD ∆中，因为1cos 3ADB ∠=-， 所以22sin 3ADB ∠=． ……………………………………………………………2分由正弦定理sin sin BD ABBAD ADB=∠∠， ……………………………………………3分 所以24s i 23s i 223AB BAD BD ADB ⨯∠===∠． …………………………………………5分（Ⅱ）因为ADB CDB π∠+∠=，所以()1c o 3CD π∠=． ……………………6分所以22sin 3CDB ∠=． ………………………………………7分在BCD∆中，由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠， ……8分得21179233CD CD =+-⨯⨯，解得4CD =或2CD =-（舍）． ………………………………………………11分 所以BCD ∆的面积1sin 2S BD CD CDB =⋅⋅∠ 122344223=⨯⨯⨯=．13分16．解：（Ⅰ）记两站间票价不足5元为事件A ，在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为213C =78个，事件A 中基本事件数为78-15=63．所以两站间票价不足5元的概率()2126P A =． 3分 （Ⅱ）记甲乙花费金额分别为a 元，b 元. X 的所有可能取值为6，7，8，9，10.4分()()163,39P X P a b =====， 5分()()()173,44,36P X P a b P a b ====+===， 6分()()()()4983,55,34,4144P X P a b P a b P a b ====+==+===， 7分()()()595,44,524P X P a b P a b ====+===，8分()()25105,5144P X P a b =====． 9分 所以X 的分布列为 X678 9 10P91 61 14449 245 14425 ............10分 （Ⅲ）D ξ=D η．13分17．（Ⅰ）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，因为1AA ⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以1A A ⊥． ………………………………………………1分又ABC ∆为等边三角形，D 为AB 的中点， 所以C ⊥． ………………………………………………2分因为1AB AA A =，所以CD ⊥平面11AA B B ； ……………………………………………………3分（Ⅱ）解：取11A B 中点F ，连结DF ，则因为D ，F 分别为AB ，11A B 的中点， 所以DF AB ⊥．由（Ⅰ）知CD AB ⊥，CD DF ⊥，如图建立空间直角坐标系D xyz -． …………4分 由题意得()1,0,0A ，()1,0,0B -，()0,0,3C ，()11,3,0A ,()11,3,0B -,()10,3,3C ,()0,0,0D ,13,0,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 33,0,22AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()12,3,0AB =-． ………………………………………5分设平面1AB E 法向量()1111,,x y z n =，则1110,0,AE AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即1111330,22230.x z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩ 令11x =，则123y =，13z =．即121,,33⎛⎫⎪⎝⎭n =． …………………6分平面BAE法向量zyxFC 1CE B D A A 1B 1()10,3,0AA =． ……………………………………………………7分因为()1120,3,01,,323AA ⎛⎫⋅=⋅= ⎪⎝⎭n ，13AA =，142101393=++=n ， 所以11111110cos ,10AA AA AA ⋅==n n n ． ………………………………………………8分由题意知二面角1B AE B --为锐角，所以它的余弦值为1010. ………………9分 （Ⅲ）解：在线段11B C 上不存在点M ，使BM ⊥平面1AB E ．理由如下． 假设线段11B C 上存在点M ，使BM ⊥平面1AB E ．则[]0,1λ∃∈，使得111B M B C λ=．因为()111,0,3B C =，所以()1,0,3B M λλ=． ……………………………………10分又()10,3,0BB =，所以()11,3,3BM BB B M λλ=+=． …………………………11分由（Ⅱ）可知，平面1AB E 法向量121,,33⎛⎫ ⎪⎝⎭n =，BM ⊥平面1AB E ，当且仅当1BMn ，即Rμ∃∈，使得1233BM μμμμ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，，=n ． ……………………………………12分所以23333λμμλμ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，，．解得[]9012λ=∉，． ……………………………………13分这与[]0,1λ∈矛盾．所以在线段11B C 上不存在点M ，使BM ⊥平面1A B E ． ………………………………14分18．解：（Ⅰ）由题意得2221,6,3.b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…………………………………………3分 解得23a =． 所以椭圆C的方程为2213x y +=． …………………………………………4分 （Ⅱ）设直线l的方程为y x m=+，(3,)P P y , ………………………………5分由2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2246330x mx m ++-=. ………………………………7分令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<． ………………………………8分1232x x m+=-，2123(1)4x x m =-． …………………………………………9分因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形， 所以NP平行于x轴． …………………………………………10分过M 做NP 的垂线，则垂足Q 为线段NP 的中点． 设点Q的坐标为(),QQ xy ，则2132Q M x x x x +===． ………………………12分 由方程组1221221323(1)432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，解得2210m m ++=，即1m =-． ……………13分而()122m =-∈-，， 所以直线l的方程为1y x =-． ………………………………………………14分19．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0+∞，． ……………………………………………1分 ()()2a a x a f x a x x-'=-=()0a >．………………………………………………2分 令()0f x '=，得x a =． ………………………………………………3分当(0,)x a ∈时，()0f x '>；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为(0,)a ，单调递减区间为(,)a +∞； ……………………5分（Ⅱ）设点P 的横坐标为00(0)x x >，则()2000ln f x a x ax =-，()200g x x m =-．因为2()a f x a x '=-，()2g x x '=，所以200()a f x a x '=-，00()2g x x '=．…………6分由题意得22000200ln 2a x ax x m a a x x ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩①②，． …………………………………7分 由②得02ax =或0x a =-（舍）． …………………………………………8分 所以223ln 42am a a =-()0a >． …………………………………………9分 设223()ln 0)42th t t t t =->（，则 1()14ln 0)22t h t t t '=->（）（． …………………………………………10分令()0h t '=，得142t e =． …………………………………………11分当1402t e <<时，()0h t '>，()h t 单调递增；当 142t e >时，()0h t '<，()h t 单调递减． 所以()h t 在0∞（，+)的最大值为1142(2)2h e e =， 即m 的最大值为122e ． …………………………………………13分20．解：(Ⅰ)511p =，()5135791136f =+++++=； …………………………………………2分(Ⅱ)当1n =时，12S =，()11f =，()11S f >；当2n =时，2235S =+=，()2134f =+=，()22S f >；当3n =时，323510S =++=，()31359f =++=，()33S f >； 当4n =时，4235717S =+++=，()4135716f =+++=，()44S f >．所以当4n ≤时，()n S f n >． 当5n =时，5235711S =++++=，()5135791136f =+++++=，()55S f <．不难看出，当5n ≥时，()n S fn <． ……………………………………6分（Ⅲ）因为12S =，25S =，310S =，417S =，528S =，所以当1n =时，22Γ=，使得12S S <Γ<； 当2n =时，23Γ=，使得23S S <Γ<； 当3n =时，24Γ=，使得34S S <Γ<； 当4n =时，25Γ=，使得45S S <Γ<所以4n ≤时，命题成立． ……………………………………………………8分当5n ≥时，设k 是使得2n k S ≤成立的最大自然数，只需证()211n k S ++<．……………………………9分因为()2122n k k S k +-≥=1k =， ……………………10分()135n f n p =++++，由(Ⅱ)可知，当5n ≥时，()n S f n <， ……………………………………11分 所以21n p k >-，从而121n p k +>+． ……………………………12分所以()221211n n S p k k k ++>++=+，即()211n S k +>+． ………………13分综上可知，命题成立．注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分．。
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通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（理科）试卷2019年1月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2430A x x x =-+<,{}230B x x =->，则AB =A.33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 错误！未找到引用源。
B. 33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭错误！未找到引用源。
C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭错误！未找到引用源。
D. 332⎛⎫⎪⎝⎭，错误！未找到引用源。
2. 设向量()3,4=-a ，()0,2=-b ,则与+a b 垂直的向量的坐标可以是A.B. C.D.3.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()2f -等于A . 3-B. 114-错误！未找到引用源。
C. 34- 错误！未找到引用源。
D. 3错误！未找到引用源。
4.已知双曲线()222105x y a a -=>错误！未找到引用源。
的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则a 等于A.1B . 2 C. 3 D. 错误！未找到引用源。
5. 已知x ,y 满足不等式组1,230,,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最大值等于A. 1B.2C.3 D . 66. 设(),1,a b ∈+∞，则“错误！未找到引用源。
”是“log 1a b <”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C . 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为A. 1 B . 2 C. 2 D. 58.设函数()y f x =错误！未找到引用源。
图象上不同两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线的斜率分别是A k ，B k 错误！未找到引用源。
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北京市通州区2019届高三上学期期末考试数学理科试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．设向量＝（﹣3，4），＝（0，﹣2），则与+垂直的向量的坐标可以是（）A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（4，6）D．（4，﹣6）3．已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（﹣2）等于（）A．3B．﹣3C．﹣D．﹣4．已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则a等于（）A．1B．2C．35．已知x，y满足不等式组，则z＝x+y的最大值等于（）A．1B．2C．3D．66．设a，b∈（1，+∞），则“a＞b”是“log a b＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为（）A．1B．C．2D．8．设函数y＝f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，规定（|AB|为线段AB的长度）叫做曲线y＝f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数y＝sin x图象上两点A与B的横坐标分别为1和﹣1，则φ（A，B）＝0；②存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数；③设A，B是抛物线y＝x2上不同的两点，则φ（A，B）≤2；④设A，B是曲线y＝e x（e是自然对数的底数）上不同的两点，则φ（A，B）＞1．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数z＝的共轭复数是．10．设等比数列{a n}的公比q＝2，前n项和为S n，则＝．11．已知角α的终边与单位圆x2+y2＝1的交点为，则sin2α＝．12．（x﹣）6的展开式中x2的系数为．（用数字作答）13．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为．14．已知函数若关于x的方程f（x）＝kx﹣2有且只有一个实数根，则实数k 的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，，AB＝4，，点D在AC边上，且．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．16．（13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位：元）如下：四惠333344455555四惠东33344455555高碑店3334444555传媒大学333444455双桥33344444管庄3333444八里桥333344通州北苑33333果园3333九棵树333梨园33临河里3土桥四惠四惠东高碑店传媒大学双桥管庄八里桥通州北苑果园九棵树梨园临河里土桥（Ⅰ）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；（Ⅱ）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X元，求X的分布列；（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为ξ元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为η元．试比较ξ和η的方差Dξ和Dη大小．（结论不需要证明）17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝3，D，E分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求二面角B﹣AE﹣B1的余弦值；（Ⅲ）在线段B1C1上是否存在一点M，使BM⊥平面AB1E？说明理由．18．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为1的直线l交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1＞x2．若直线x＝3上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，求直线l的方程．19．（13分）已知函数f（x）＝a2lnx﹣ax，其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）＝x2﹣m，若曲线y＝f（x），y＝g（x）有公共点P，且在点P处的切线相同，求m的最大值．20．（13分）一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列{p n}的前n项和为S n，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于P n的项的和为f（n）．（Ⅰ）求p5和f（5）；（Ⅱ）判断S n和f（n）的大小，不用证明；（Ⅲ）设Γ＝k2（k∈N*），求证：∀n∈N*，∃Γ，使得S n＜Γ＜S n+1．2018-2019学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝（1，3），B＝{x|2x﹣3＞0}＝（，+∞），∴A∩B＝（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．设向量＝（﹣3，4），＝（0，﹣2），则与+垂直的向量的坐标可以是（）A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（4，6）D．（4，﹣6）【分析】可求出，这样只需判断哪个选项的向量与（﹣3，2）的数量积是0即可得出答案．【解答】解：；可看出（4，6）•（﹣3，2）＝0；∴．故选：C．【点评】考查向量坐标的加法和数量积运算，以及向量垂直的充要条件．3．已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（﹣2）等于（）A．3B．﹣3C．﹣D．﹣【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得f（2）的值，又由函数为奇函数，可得f（﹣2）＝﹣f（2），即可得答案．【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（2）＝22﹣1＝3，又由函数f（x）为R上的奇函数，则f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣3；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质，关键是灵活运用函数的奇偶性的性质．4．已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则a等于（）A．1B．2C．3【分析】先求出抛物线的焦点坐标，可得出双曲线的半焦距c的值，然后根据a、b、c的关系可求出a的值．【解答】解：抛物线y2＝12x的焦点坐标为（3，0），所以，双曲线的焦点坐标为（±3，0），所以，a2+5＝32＝9，∵a＞0，解得a＝2，故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质，解决本题的关键在于对抛物线性质的理解，属于基础题．5．已知x，y满足不等式组，则z＝x+y的最大值等于（）A．1B．2C．3D．6【分析】画出不等式组表示的平面区域，求出平面区域中各顶点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后求得目标函数z＝x+y的最大值．【解答】解：由不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分；三个顶点坐标为A（1，2），B（1，1），C（3，3）；将三个代入得z的值分别为3，2，6；∴直线z＝x+y过点C（3，3）时，z取得最大值为6．故选：D．【点评】本题考查了线性规划的应用问题，常用“角点法”解答，步骤为：①由约束条件画出可行域，②求出可行域各个角点的坐标，③将坐标逐一代入目标函数，④验证求得最优解．6．设a，b∈（1，+∞），则“a＞b”是“log a b＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．【解答】解：∵a，b∈（1，+∞），∴a＞b⇒log a b＜1，log a b＜1⇒a＞b，∴a＞b是log a b＜1的充分必要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．7．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为（）A．1B．C．2D．【分析】由三视图画出该四棱锥的直观图，结合图形求出此四棱锥的四个侧面中面积最小的侧面面积．【解答】解：由三视图画出该四棱锥的直观图，如图所示；在此四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中，面积最小的侧面是Rt△PBC，它的面积为BC•PB＝×1×＝．故选：B．【点评】本题考查了利用几何体的三视图求面积的应用问题，是基础题．8．设函数y＝f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，规定（|AB|为线段AB的长度）叫做曲线y＝f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数y＝sin x图象上两点A与B的横坐标分别为1和﹣1，则φ（A，B）＝0；②存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数；③设A，B是抛物线y＝x2上不同的两点，则φ（A，B）≤2；④设A，B是曲线y＝e x（e是自然对数的底数）上不同的两点，则φ（A，B）＞1．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由新定义，利用导数求出函数y＝sin x、y＝x2在点A与点B之间的“弯曲度”判断①、③正确；举例说明②是正确的；求出曲线y＝e x上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，判断④错误．【解答】解：对于①，由y＝sin x，得y′＝cos x，则k A＝cos1，k B＝cos（﹣1）＝cos1，则|k A﹣k B|＝0，即φ（A，B）＝0，①正确；对于②，如y＝1时，y′＝0，则φ（A，B）＝0，②正确；对于③，抛物线y＝x2的导数为y′＝2x，y A＝x A2，y B＝x B2，∴y A﹣y B＝x A2﹣x B2＝（x A﹣x B）（x A+x B），则φ（A，B）＝＝＝≤2，③正确；对于④，由y＝e x，得y′＝e x，φ（A，B）＝，由不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），可得φ（A，B）＜＝1，∴④错误；综上所述，正确的命题序号是①②③．故选：C．【点评】本题考查了命题真假的判断与应用问题，也考查了新定义的函数应用问题，解题的关键是对题意的理解．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数z＝的共轭复数是．【分析】先由复数代数形式的除法运算化简复数，再由共轭复数的定义可得答案．【解答】解：z＝＝＝＝﹣，∴复数z＝的共轭复数是，故答案为：．【点评】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题．10．设等比数列{a n}的公比q＝2，前n项和为S n，则＝15．【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得．【解答】解：＝＝＝＝15．故答案是：15．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．11．已知角α的终边与单位圆x2+y2＝1的交点为，则sin2α＝．【分析】由任意角的三角函数的定义有，sinα＝，由平方关系sin2α+cos2α＝1，有：cosα＝±，由二倍角公式有sin2α＝2sinαcosα＝±，得解【解答】解：由三角函数的定义有：sinα＝，由sin2α+cos2α＝1，得：cosα＝±，由二倍角公式得：sin2α＝2sinαcosα＝±，故答案为：．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义及二倍角公式，属简单题12．（x﹣）6的展开式中x2的系数为15．（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．【解答】解：（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2，求得r＝2，故展开式中x2的系数为＝15，故答案为：15．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．13．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为1．【分析】化简参数方程为直角坐标方程，然后判断曲线交点个数．【解答】解：直线（t为参数）的直角坐标方程为：y＝x；与曲线（θ为参数）的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2＝1．圆的圆心（2，0）到直线y＝x的距离为：＝1；所以直线与圆相切，有1个交点．故选：1．【点评】本题考查直线的参数方程，圆的参数方程的求法，考查计算能力．14．已知函数若关于x的方程f（x）＝kx﹣2有且只有一个实数根，则实数k 的取值范围是（0，3）∪{﹣}．【分析】作出f（x）的函数图象，由直线y＝kx﹣2过（0，﹣2），联立，得x2﹣kx+2＝0，由△＝0，解得k值，求出过（1，1）与（0，﹣2）两点的直线的斜率k，数形结合即可得到实数k的取值范围．【解答】解：作出y＝f（x）与y＝kx﹣2的函数图象如图所示：直线y＝kx﹣2过（0，﹣2），联立，得x2﹣kx+2＝0．由△＝k2﹣8＝0，得k＝．又过（1，1）与（0，﹣2）两点的直线的斜率k＝3．有图可知，若关于x的方程f（x）＝kx﹣2有且只有一个实数根，则实数k的取值范围为（0，3）∪{﹣}．故答案为：（0，3）∪{﹣}．【点评】本题考查了方程解的个数与函数图象的关系，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，，AB＝4，，点D在AC边上，且．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．【分析】（1）运用正弦定理可解决此问题；（2）运用余弦定理和三角形的面积可解决此问题．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，因为，所以．由正弦定理得．（Ⅱ）因为∠ADB+∠CDB＝π，所以．所以．在△BCD中，由余弦定理BC2＝BD2+CD2﹣2BD•CD•cos∠CDB，得，解得CD＝4或CD＝﹣2（舍）．所以△BCD的面积＝．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的应用．16．（13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位：元）如下：四惠333344455555四惠东33344455555高碑店3334444555传媒大学333444455双桥33344444管庄3333444八里桥333344通州北苑33333果园3333九棵树333梨园33临河里3土桥四惠四惠东高碑店传媒大学双桥管庄八里桥通州北苑果园九棵树梨园临河里土桥（Ⅰ）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；（Ⅱ）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X元，求X的分布列；（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为ξ元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为η元．试比较ξ和η的方差Dξ和Dη大小．（结论不需要证明）【分析】（Ⅰ）记两站间票价不足5元为事件A，在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为＝78个，事件A中基本事件数为78﹣15＝63．由此能求出两站间票价不足5元的概率．（Ⅱ）记甲乙花费金额分别为a元，b元．X的所有可能取值为6，7，8，9，10，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅲ）Dξ＝Dη．【解答】解：（Ⅰ）记两站间票价不足5元为事件A，在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为＝78个，事件A中基本事件数为78﹣15＝63．所以两站间票价不足5元的概率．（3分）（Ⅱ）记甲乙花费金额分别为a元，b元．X的所有可能取值为6，7，8，9，10．（4分），，（6分），（7分），（8分）．（9分）所以X的分布列为X678910P…（10分）（Ⅲ）Dξ＝Dη．（13分）【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、方差的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝3，D，E分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求二面角B﹣AE﹣B1的余弦值；（Ⅲ）在线段B1C1上是否存在一点M，使BM⊥平面AB1E？说明理由．【分析】（Ⅰ）推导出AA1⊥CD，CD⊥AB，由此能证明CD⊥平面AA1B1B．（Ⅱ）取A1B1中点F，连结DF，如图空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣B1的余弦值．（Ⅲ）假设线段B1C1上存在点M，使BM⊥平面AB1E．则∃λ∈[0，1]，使得．求出平面AB1法向量，利用向量法能求出在线段B1C1上不存在点M，使BM⊥平面AB1E．【解答】证明：（Ⅰ）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD．又△ABC为等边三角形，D为AB的中点，所以CD⊥AB．……（2分）因为AB∩AA1＝A，所以CD⊥平面AA1B1B；…………（3分）解：（Ⅱ）取A1B1中点F，连结DF，因为D，F分别为AB，A1B1的中点，所以DF⊥AB．由（Ⅰ）知CD⊥AB，CD⊥DF，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz．…………（4分）由题意得A（1，0，0），B（﹣1，0，0），，A1（1，3，0），B1（﹣1，3，0），，D（0，0，0），，，．………………………………………设平面AB1E法向量n1＝（x1，y1，z1），则，即，令x1＝1，则，．即＝（1，，）．…………（6分）平面BAE法向量．………………………（7分）因为＝2，，||＝，所以cos＜，＞＝＝．………………………………（8分）由题意知二面角B﹣AE﹣B1为锐角，所以二面角B﹣AE﹣B1的余弦值为．………………（9分）解：（Ⅲ）在线段B1C1上不存在点M，使BM⊥平面AB1E．理由如下．假设线段B1C1上存在点M，使BM⊥平面AB1E．则∃λ∈[0，1]，使得．因为，所以．……………………………………（10分）又，所以．…………………………（11分）由（Ⅱ）可知，平面AB1法向量＝（1，，），BM⊥平面AB1E，当且仅当∥，即∃μ∈R，使得＝＝（）．……………………………（12分）所以，解得．……………………（13分）这与λ∈[0，1]矛盾．所以在线段B1C1上不存在点M，使BM⊥平面AB1E．……………………（14分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查学生的计算能力，是中档题．18．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为1的直线l交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1＞x2．若直线x＝3上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为，列方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，P（3，y P），由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0，利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为．所以由题意得…………………………………………（3分）解得a2＝3．所以椭圆C的方程为+y2＝1．…………………………………………（4分）（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，P（3，y P），………………………………由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0．………………………………（7分）令△＝36m2﹣48m2+48＞0，得﹣2＜m＜2．………………………………（8分），．…………………………………………（9分）因为△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，所以NP平行于x轴．…………………………………………（10分）过M做NP的垂线，则垂足Q为线段NP的中点．设点Q的坐标为（x Q，y Q），则．………………………（12分）由方程组，解得m2+2m+1＝0，解得m＝﹣1．……………（13分）而m＝﹣1∈（﹣2，2），所以直线l的方程为y＝x﹣1．………………………………………………（14分）【点评】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．19．（13分）已知函数f（x）＝a2lnx﹣ax，其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）＝x2﹣m，若曲线y＝f（x），y＝g（x）有公共点P，且在点P处的切线相同，求m的最大值．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对函数定义域分段，再由导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性；（Ⅱ）设点P的横坐标为x0（x0＞0），由题意得，得到（a ＞0）．设，利用导数求其最大值得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．（a＞0）．令f'（x）＝0，得x＝a．当x∈（0，a）时，f′（x）＞0；当x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0．∴f（x）的单调递增区间为（0，a），单调递减区间为（a，+∞）；（Ⅱ）设点P的横坐标为x0（x0＞0），则，．∵，g'（x）＝2x，∴，g'（x0）＝2x0．由题意得由②得或x0＝﹣a（舍）．把代入①，可得（a＞0）．设，则．令h'（t）＝0，得．当时，h'（t）＞0，h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0，h（t）单调递减．∴h（t）在（0，+∞）上的最大值为，即m的最大值为．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想方法，考查计算能力，是中档题．20．（13分）一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列{p n}的前n项和为S n，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于P n的项的和为f（n）．（Ⅰ）求p5和f（5）；（Ⅱ）判断S n和f（n）的大小，不用证明；（Ⅲ）设Γ＝k2（k∈N*），求证：∀n∈N*，∃Γ，使得S n＜Γ＜S n+1．【分析】（Ⅰ）由题意直接求得p5和f（5）；（Ⅱ）分别取n＝1，2，3，4，5．求得S n和f（n），比较大小得结论；（Ⅲ）取值验证n≤4时，命题成立．当n≥5时，设k是使得k2≤S n成立的最大自然数，只需证（k+1）2＜S n+1．可得＝1+3+5+…+（2k﹣1），f（n）＝1+3+5+…+p n，结合（Ⅱ）可知，北京市通州区2019届高三上学期期末考试数学理科试题及答案解析当n≥5时，S n＜f（n），得到p n＞2k﹣1，从而p n+1＞2k+1．进一步得到．【解答】解：（Ⅰ）p5＝11，f（5）＝1+3+5+7+9+11＝36；（Ⅱ）当n＝1时，S1＝2，f（1）＝1，S1＞f（1）；当n＝2时，S2＝2+3＝5，f（2）＝1+3＝4，S2＞f（2）；当n＝3时，S3＝2+3+5＝10，f（3）＝1+3+5＝9，S3＞f（3）；当n＝4时，S4＝2+3+5+7＝17，f（4）＝1+3+5+7＝16，S4＞f（4）．∴当n≤4时，S n＞f（n）．当n＝5时，S5＝2+3+5+7+11＝28，f（5）＝1+3+5+7+9+11＝36，S5＜f（5）．不难看出，当n≥5时，S n＜f（n）；证明：（Ⅲ）∵S1＝2，S2＝5，S3＝10，S4＝17，S5＝28，∴当n＝1时，Γ＝22，使得S1＜Γ＜S2；当n＝2时，Γ＝32，使得S2＜Γ＜S3；当n＝3时，Γ＝42，使得S3＜Γ＜S4；当n＝4时，Γ＝52，使得S4＜Γ＜S5∴n≤4时，命题成立．当n≥5时，设k是使得k2≤S n成立的最大自然数，只需证（k+1）2＜S n+1．∵＝1+3+5+…+（2k﹣1），f（n）＝1+3+5+…+p n，由（Ⅱ）可知，当n≥5时，S n＜f（n），∴p n＞2k﹣1，从而p n+1＞2k+1．∴，即．综上可知，命题成立．【点评】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．21。
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通州区2018-2019学年第一学期高三年级期中考试数学（理科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABDCBACB第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．i10．1322log 52e11．220x y 12．113．1f xx14．0,1三、15．解：（Ⅰ）图略； 3分函数f x 的单调增区间为1,0和1,；6分（Ⅱ）设0x，则0x ． 7分因为函数f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x时，22f xxx ，所以222fx． 10分所以222,2,xx f xx x x，．13分16．解：（Ⅰ）由21cos sin cos2222x x xf x，得11121cos sin cos 22224f xxxx．3分所以f x的最小正周期为2，最大值为22，最小值为22； 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，232cos 2410f，所以3cos 45．7分所以si28分cos2410分212cos412分18712525．13分17．解：（Ⅰ）在ABC 中，，由正弦定理sinsi na b A B ，得si n b A a B． 2分由3sin cos b Aa B ，得3sin cos 3b Aa B ．所以3s i 3BB ． 4分因为0B，所以sin 0B，因而cos 0B ．所以sin 3tan cos 3B B B，所以6B． 6分（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a c AC，而sin 3sin C A ，所以3c a①9分由余弦定理22cos b a c ac B ，得2292cos6acac ，即2239acac②12分把①代入②得3a ，33c .13分18．解：（Ⅰ）因为函数f x 图象的对称轴为2a x， 1分所以当02a ，即0a时，2m a x12g af xf aa ；3分当2a ，即a 时，2max12g a f x faa ． 5分所以222,2,a a g aaa a6分（Ⅱ）假设存在符合题意的实数,m n ，则由（Ⅰ）可知，当a R 时，2,g a ． 8分所以若,a m n ，有5,5ga m n ，则0mn ． 9分所以22g aa a ，且为单调递增函数． 11分所以2222g m gn12分所以22m n13分19.（Ⅰ）解：函数f x的定义域为0,． 1分因为11x f xxxx，2分所以在0,1内，0f x ，f x 单调递增；在1,内，0f x，f x 单调递减．所以函数f x 在1x 处取得唯一的极大值，即f x 的最大值1ln11f a ．因为函数f x的最大值为3，3分所以ln113a ，解得4a ． 4分（Ⅱ）因为当1,x时，3122f x k xf x a k x 恒成立，所以3ln 112x xak xax，所以ln 13x x k x ，即ln 130x x k x ． 5分令ln 13g x x x k x ，则ln 2g xx k ． 6分因为2k，所以0g x．所以g x 在1,单调递增． 7分所以1g x g 12k ，所以120k，所以12k．即实数k的取值范围是1,22；8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：10,1x ，21,x ．所以210,x ． 9分因为1x ，2x 是函数f x 的两个零点，所以120f x f x ． 10分因为122211f x f f x f x x 222211ln ln x x x x 22212ln x x x ． 11分令12ln h xxx x，则22222121211x xx h xxx xx．所以在1,，0h x ，h x 单调递减．所以10h xh ．所以1210fx fx ，即121fx f x ． 13分由（Ⅰ）知，f x 在0,1单调递增，所以121x x ，所以121x x ． 14分20．解：（Ⅰ）根据题意,数列n a 满足21nn S a ,当1n 时,111a S . 1分当2n时, 11nnna S S ,122nnn a a a ，即12n n a a ． 2分所以数列n a 是首项为1，公比为2的等比数列． 3分所以12n na ，n N ； 4分又由已知22log nn b a ，得122l o g 21n nb n． 5分（Ⅱ）依题意得1111122n n nn nb nc n a ，nN ． 6分因为11112122nn n nc c n n 11121102222n n n n n ，7分所以当1n 时，n c 取得最大值12c ． 8分因为221n c xx 对于一切的正整数n 恒成立，所以2221xx ． 9分解得1x 或3x ，所以实数x 的取值范围是13x xx或；10分（Ⅲ）假设存在,,,,,m n k a a a m n k m n kN，使,,m n k a a a 成等差数列，则2nmk a a a ，即1112222n m k ． 11分两边同时除以12m ，得1212n m k m①． 12分因为12n m 为偶数，12k m为奇数，这与①矛盾． 13分所以不存在,,,,,m n k a a a m nk m n k N，使,,m n k a a a 成等差数列． 14分注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分．。
2019年通州潞河中学高三上学期期中数学试题
）
sin2x+sinxcosx 在 x∈[
]的值域
为
．
பைடு நூலகம்
13．（ 5 分）能说明“若 f（ x）＞ g（ x）对任意的 x∈[0，2] 都成立，则 f（ x）在 [0，2] 上的最
小值大于 g（x）在 [0， 2]上的最大值”为假命题的一对函数可以是
f（ x）＝
，g
（ x）＝
．
14．（ 5 分）定义在 R 上的函数 f （x），满足 f（﹣ x）＝﹣ f（ x）且 f（x）＝ f（ 2﹣ x）．当 0
f（ x）﹣ f（ x﹣ 1）＜ 0 的解集为（
）
A ．（﹣ 1， 2）
B ．（﹣ 1， 3）
C．（﹣ 2， 3）
D．（﹣ 2，4）
【解答】 解：根据题意，设 x＞ 0，则﹣ x＜ 0，所以 f（﹣ x）＝﹣ x2+5x． 因为 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，所以 f（﹣ x）＝﹣ x2+5 x＝﹣ f （x），
＜ x≤ 1 时， f（x）＝ log2x，则方程 f（ x）＝ 1 在 [ ﹣6，6] 上的实数根之和为
．
三．解答题（共 6 小题，满分 53 分）
15．（ 13 分）设 { an} 是等比数列， Sn 为其前 n 项的和，且 a2＝ 2，a1+S2＝ 0． （Ⅰ）求 { an} 的通项公式； （Ⅱ）若 Sn≥ 80，求 n 的最小值．
f（ x）﹣ f（ x﹣ 1）＜ 0 的解集为（
）
A ．（﹣ 1， 2）
B ．（﹣ 1， 3）
C．（﹣ 2， 3）
D．（﹣ 2，4）
3．某人吃完饭后散步，在 0 到 3 小时内速度与时间的关系为 v＝ t3﹣3t2+2t（ km/h），这 3 小
北京通州区2019届高三上学期期末数学理科试卷解析
【答案】D 【解析】 【分析】
2
画出不等式组表示的平面区域，求出平面区域中各顶点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析 后求得目标函数 z＝x+y 的最大值． x≥1 【详解】解：由不等式组x − 2y + 3 ≥ 0表示的平面区域，如图所示的阴影部分； y≥x
三个顶点坐标为 A（1，2） ，B（1，1） ，C（3，3） ； 将三个代入得 z 的值分别为 3，2，6； ∴直线 z＝x+y 过点 C（3，3）时，z 取得最大值为 6． 故选：D． 【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，常用“角点法”解答，步骤为：①由约束条件画出可行域，② 求出可行域各个角点的坐标，③将坐标逐一代入目标函数，④验证求得最优解． 6.设 a,b ∈ 1, + ∞，则“a > b ”是“loga b < 1”的（ A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【详解】∵a，b∈（1，+∞） ， ∴a＞b⇒logab＜1， logab＜1⇒a＞b， ∴a＞b 是 logab＜1 的充分必要条件， 故选：C． B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ）
3
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键． 7.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为（ ）
A. 1
B.
2
C. 2
D.
5
【答案】B 【解析】 【分析】 由三视图画出该四棱锥的直观图，结合图形求出此四棱锥的四个侧面中面积最小的侧面面积． 【详解】解：由三视图画出该四棱锥的直观图，如图所示；
在此四棱锥 P﹣ABCD 的四个侧面中，面积最小的侧面是 Rt△PBC， 它的面积为2BC•PB= 2 ×1× 22 + 22 = 2． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用几何体的三视图求面积的应用问题，是基础题． kB ， 8.设函数 y = fx图象上不同两点 Ax1 ,y1 ， Bx2 ,y2 处的切线的斜率分别是kA ， 规定φA,B = 的长度）叫做曲线 y = fx在点 A 与点 B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：
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2019学年度第一学期期中考试高三理数一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 抛物线24y x =的焦点坐标是A. (0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(0,116) 2. 已知圆221236F x y ++=（:），定点220F （，），A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是A. 22143x y +=B.22195x y +=C.22134x y +=D.22159x y +=3.将函数y=3sin （2x+3π）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（12π-，0）中心对称 A. 向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C.向左平移6π个单位D.向右平移6π个单位4.函数21e xy x =-（）的图象是5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.83π B. 3π C.103π D.6π 6.已知A B P 、、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不同的三点，且A B 、连线经过坐标原点，若直线PA PB、的斜率乘积3PA PB k k =，则该双曲线的离心率为A. 7.已知抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为A.34 B.32C.1D.2 8. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为A. 9.在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，2CA =，点P 为三角形ABC 所在平面上一动点，且满足BP =1，则()BP CA CB +的取值范围是A. [-B. [0,C. [-2,2]D.[-10.已知12,F F 是椭圆2211612x y+=的左、右焦点，点M （2，3），则∠12F MF 的角平分线的斜率为A. 11.如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为下图中的12.已知球O 与棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的所有棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是△1ACB 的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是A. B. 2]C.D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2019届北京市高三上学期期中考试数学理试卷含解析
2019届北京市高三上学期期中考试数学理试卷数学试卷（理工类）第I卷（选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先把集合A解出来，然后求A∪B即可．【详解】因为集合合，所以，故选：B．【点睛】本题主要考查集合的交集，属于基础题．2.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. -10B. -2C. 2D. 10【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】模拟程序的运行过程，第一次运行：，第二次运行：第三次运行：第四次运行：此时，推出循环，输出输出.故选C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．3.设平面向量，，，，则实数的值等于（）A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出k的值．【详解】向量，，，∴=故选A.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．4.已知，则下列不等关系中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指函数的单调性得出结论．【详解】A. ，显然不成立；B. 错误，因为函数在上为增函数，由，可得；同理C. ，因为函数在上为增函数，由，可得；D. ，正确，因为函数在上为减函数，由，可得；故选D.【点睛】本题考查函数单调性的应用，属基础题.5.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】观察两条件的互推性即可求解．【详解】由“”可得到“”，但“”不一定得到“”，故“”是“”的充分而不必要条件.故応A.6.已知函数，若（），则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可知由可得根据基本不等式可求的取值范围.【详解】若由，则与矛盾；同理也可导出矛盾，故而即【点睛】本题考查分段函数的性质以及基本不等式的应用，属中档题.7.已知函数当时，方程的根的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】画出函数的图像，由图像可得结论.【详解】画出函数的图像，有图可知方程的根的个数为3个.故选C.【点睛】本题考查分段函数的性质、方程的根等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力，是中档题．8.将正奇数数列1,3,4,5,7,9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：，，，，…，称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中（）A. 第404组B. 第405组C. 第808组D. 第809组【答案】A【解析】【分析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.【详解】正奇数数列1,3,4,5,7,9，的通项公式为则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知，，则_________，__________．【答案】(1). (2). --【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式和诱导公式可解.【详解】由题，，则即答案为(1). (2).【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式和诱导公式，属基础题.10.已知，满足则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=1时，z=x+2y取得最大值为5．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（-2，-2），C（4，-2）设z= x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值= 3故答案为：3【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．11.已知函数满足下列条件：①定义域为；②函数在上单调递增；③函数的导函数有且只有一个零点，写出函数的一个表达式__________．【答案】【解析】【分析】利用已知条件，直接推出结果即可．【详解】①定义域为；②函数在上单调递增；③函数的导函数有且只有一个零点，满足条件一个函数可以为：．或+2等等．故答案为：．（答案不唯一）【点睛】本题考查函数的简单性质的应用，函数的解析式的求法，考查判断能力．12.如图，在平行四边形中，，分别为边，的中点，连接，，交于点，若（，），则__________．【答案】【解析】【分析】根据平行线分线段成比例解答即可.【详解】根据平行线分线段成比例可得而故即答案为.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属中档题.13.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮.港口的水深会随潮的变化而变化.某港口水的深度（单位：米）是时刻（，单位：小时）的函数，记作.下面是该港口某日水深的数据：经长期观察，曲线可近似地看成函数（，）的图象，根据以上数据，函数的近似表达式为__________．【答案】【解析】【分析】设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A；最大值与最小值和的一半为h；通过周期求出ω，得到函数解析式．【详解】根据已知数据数据可以得出A=3，b=8，T=12，φ=0，由，得ω=，所以函数的近似表达式即答案为【点睛】本题考查通过待定系数法求函数解析式、属基础题.14.从标有数字，，，（，且，，，）的四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，那么这4个小球上的不同的数字恰好有__________个；试写出满足条件的所有组，，，__________．【答案】(1). 3 (2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【解析】【分析】由，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得4个小球上的不同的数字恰好有3个，在逐一分析可得满足条件的所有组，，，.【详解】由，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得4个小球上的不同的数字恰好有3个，若两个相等的数为1，如1，1,2，4，则四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得3种不同的结果，不符合题意，若若两个相等的数为2，则符合题意的为1,2,2,4;推理可得1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9符合题意.即答案(1). 3 (2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【点睛】本题考查归纳推理，属难题.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设（）是各项均为正数的等比数列，且，.（I）求的通项公式；（II）若，求.【答案】（I），.（II）【解析】【分析】（I）设为首项为，公比为（），则依题意，，解得，，即可得到的通项公式；（II）因为，利用分组求和法即可得到.【详解】（I）设为首项为，公比为（），则依题意，，解得，，所以的通项公式为，.（II）因为，所以【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，以及分组求和法属基础题.16.已知函数.（I）求的最小正周期及单调递增区间；（II）若对任意，（为实数）恒成立，求的最小值.【答案】（I）最小正周期为,单调递增区间为，.（II）的最小值为2【解析】【分析】（I）根据二倍角公式及辅助角公式求得f（x）的解析式，根据正弦函数的性质即可求得f （x）的最小正周期及其单调递增区间；II）由.可得.由此可求的最小值.【详解】（I）由已知可得.所以最小正周期为.令，.所以，所以，即单调递增区间为，.（II）因为.所以，则，所以，当，即时，.因为恒成立，所以，所以的最小值为2【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的单调性及最值，考查转化思想，属于中档题．17.在中，角，，的对边分别为，，，，，.（I）求；（II）求的面积.【答案】证明见解析（II）【解析】【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式求得.，利用正弦定理可求；；（II）在中，由知为钝角，所以.利用，可求求的面积.【详解】证明：（I）因为，即，又，为钝角，所以.由，即，解得.（II）在中，由知为钝角，所以.，所以所以【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18.已知函数（）（I）当时，求在区间上的最大值和最小值；（II）求证：“”的“函数有唯一零点”的充分而不必要条件.【答案】（I）；.（II）“”是“有唯一零点”的充分不必要条件【解析】【分析】（Ⅰ）先求导，再由导函数为0，求出极值，列表解得即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）分类讨论，分别利用导数和函数的零点的关系以及充分不必要条件的定义即可证明．【详解】（I），当时，，当在内变化时，，的变化如下表：当时，；.（II）若，.当变化时，，的变化如下表：，因为，所以.即.且，所以有唯一零点.所以“”是“有唯一零点”的充分条件.又时，当变化时，，的变化如下表：又，，.所以此时也有唯一零点.从而“”是“有唯一零点”的充分不必要条件【点睛】本题考查了导数和函数的极值和零点的关系，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题．19.已知函数（）.（I）求曲线在点处的切线方程；（II）试判断函数的单调性并证明；（III）若函数在处取得极大值，记函数的极小值为，试求的最大值.【答案】（I）.（II）函数在和上单调递增，在上单调递减.（III）函数的最大值为.【解析】【分析】函数的定义域为，且.（I）易知，，代入点斜式即可得到曲线在点处的切线方程；（II）令，得，，分类讨论可得函数的单调性，（III）由（II）可知，要使是函数的极大值点，需满足.此时，函数的极小值为.，利用导数可求的最大值.【详解】函数的定义域为，且.（I）易知，所以曲线在点处的切线方程为.即.（II）令，得，①当时，.当变化时，，变化情况如下表：所以函数在和上单调递增，在上单调递减.②当时，恒成立.所以函数在上单调递增.③当时，.当变化时，，变化情况如下表：所以函数在和上单调递增，在上单调递减.（III）由（II）可知，要使是函数的极大值点，需满足.此时，函数的极小值为.所以.令得.当变化时，，变化情况如下表：所以函数的最大值为.【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．20.设，为正整数，一个正整数数列，，…，满足，对，定义集合，数列，，…，中的（）是集合中元素的个数.（I）若数列，，…，为5,3,3,2,1,1，写出数列，，…，；（II）若，，，，…，为公比为的等比数列，求；（III）对，定义集合，令是集合中元素的个数.求证：对，均有.【答案】（I）数列，，…，是6,4,3,1,1.（II）（III），【解析】【分析】（I）根据数列，，…，数列，，…，是6,4,3,1,1.（II）由题知，由于数列，，…，是项的等比数列，因此数列，，…，为，，…，2，利用反证法证明；（III）对，表示，，…，中大于等于的个数，首先证明.再证对，即可.【详解】（I）解：数列，，…，是6,4,3,1,1.（II）由题知，由于数列，，…，是项的等比数列，因此数列，，…，为，，…，2下面证明假设数列中有个，个，…，个2，个1，显然所以.由题意可得，，，…，，…，.所以故即（III）对，表示，，…，中大于等于的个数由已知得，，…，一共有项，每一项都大于等于1，故，由于故由于，故当时，即.接下来证明对，，则，即1,2，…，，从而故，从而1,2，…，，故，从而，故有设，即，根据集合的定义，有.由知，1,2，…，，由的定义可得，而由，故因此，对，【点睛】本题考查新定义数列的理解与求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意反证法的合理运用．属难题.。
2019-2020学年北京市通州区高三(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年北京市通州区高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设集合M ={x|x 2<36}，N ={2,4，6，8}，则M ∩N =( )A. {2,4}B. {4,6}C. {2,6}D. {2,4，6} 2. 在等比数列{a n }中，a 1a 3=a 4=4，则a 6=( )A. 6B. ±8C. −8D. 83. 函数f(x)是R 上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，则下列各式成立的是( )A. f(−2)>f(0)>f(1)B. f(−2)>f(1)>f(0)C. f(1)>f(0)>f(−2)D. f(1)>f(−2)>f(0) 4. x 2>0是x >0的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也必要条件5. 已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，在点P(2,1)处作抛物线的切线交y 轴于点M ，过点P 作准线ι的垂线，垂足为N ，则四边形MNPF 的面积为( )A. √22B. 1C. 2D. 46. 已知△ABC 中，a =2，sinA ：sinB =√3：3，则边b =( )A. √3B. 2√3C. 3√3D. 3 7. 函数f (x )=log 2(3x +1)的值域为( )A. (0,+∞)B. [0,+∞)C. (1,+∞)D. [1,+∞)8. 长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度v 1的大小为|v 1|=10km/ℎ，水流的速度v 2的大小为|v 2|=4km/ℎ.设v 1和v 2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A′在A 的正北方向，游船正好到达A′处时，cosθ=( )A. √215B. −√215C. 25D. −25二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 设a,b ∈R,i 为虚数单位，若(a +bi)⋅i =2−5i ，则ab 的值为__________． 10. 已知a =2−13，b =log 213，c =log 0.513，则a,b,c 的大小关系是________． 11. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 13=6，则3a 9−2a 10=______． 12. 已知函数f(x)在R 上单调递增，则f(a 2−a +1)_______f(34)． 13. 若函数f(x)=a−sinx cosx在区间(π6,π3)上单调递增，则实数a 的取值范围是__________14. 一个集合有8个元素，这个集合含有3个元素的子集有______ 个． 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f(x)=sin(2x+π6)−cos2x．(1)求f(x)的最小正周期及x∈[π12,2π3]时f(x)的值域；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且角C为锐角，S △ ABC=√3，c=2，f(C+π4)=√34−12，求a，b的值．16.在△ABC中，已知AB=2，cosB=13(Ⅰ)若AC=2√2，求sin C的值；(Ⅱ)若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=43√3，求BC的长．17.已知公比为q的等比数列{a n}的前6项和S6=21，且4a1，32a2，a2成等差数列．(1)求a n；(2)设{b n}是首项为2，公差为−a1的等差数列，求数列{|b n|}前n项和为T n．18.已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，∠BCD=90°，PA⊥底面ABCD，点M是线段BC上一点，△ABM是边长为2的等边三角形，PA=DM=2√3．(1)求证：平面PAM⊥平面PDM；(2)若点E为PC中点，求二面角P−MD−E的余弦值．19.已知f(x)=ax3+bx2+c的图象经过点(0,1)，且在x=1处的切线方程是y=x(1)求y=f(x)的解析式；(2)求y=f(x)的极值．20.设函数f(x)=lnx−ax2(a>0)．(1)讨论函数f(x)零点的个数；(2)若函数f(x)有极大值为−1，且存在实数m，n，m<n使得f(m)=f(n)，证明：m+n>4a．2-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：M={x|−6<x<6}；∴M∩N={2,4}．故选：A．可求出集合M，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：D解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1a3=a4=4，∴a12q2=a1q3=4，解得a1=q=±√2，则a6=a1q5=8．故选：D．3.答案：B解析：解：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(−2)=f(2)，又∵f(x)在[0,+∞)上递增，∴f(−2)>f(1)>f(0)．故选：B．利用函数f(x)是R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，即可比较大小．本题主要考查大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．4.答案：B解析：解：由x2>0得到：x≠0，而x≠0推不出x>0，不是充分条件，由x>0能推出x≠0，是必要条件，∴x2>0是x>0的必要不充分条件，故选：B．根据x2>0，得到x的范围和x>0比较即可．本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．5.答案：D解析：【分析】先利用导数确定切线的斜率，从而确定M，|PF|=|PN|=|FM|=|MN|=2，确定四边形MNPF为正方形，求出面积，本题属于容易题．【解答】解：P(2,1)在抛物线x2=4y上，，所以切线的斜率为1，切线为y=x−1，所以M(0,−1)，则y′=x2又F(0,1)，P(2,1)，纵坐标相同，|PF|=2，所以|PN|=2.所以|FM|=|MN|所以四边形MNPF为正方形．所以面积为4．故选D．6.答案：B，∴b=2√3，解析：解：已知△ABC中，a=2，sinA：sinB=√3：3，则a：b=√33故选B．△ABC中，根据a=2，sinA：sinB=√3：3，利用正弦定理可得a：b=√3，从而求得b的值．3本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．7.答案：A解析：【分析】本题考查的知识点是对数函数的值域，其中熟练掌握对数函数的单调性是关键，属于基础题．由指数函数的性质，易求出3x+1的值域，进而根据对数函数的性质，即可得到函数f(x)=log2(3x+1)的值域．【解答】解：∵令t=3x+1，其最小值小于1，∴函数f (x )=log 2(3x +1)∈(0,+∞)， 故函数f (x )=log 2(3x +1)的值域是(0,+∞)， 故选A ．8.答案：D解析：解：设船的实际速度为v⃗ ，v 1和v 2的夹角为θ， 北岸的点A′在A 的正北方向，游船正好到达A′处，则v ⃗ ⊥v 2⃗⃗⃗⃗ ，∴cosθ=−cos(π−θ)=−|v 2⃗⃗⃗⃗ ||v 1⃗⃗⃗⃗ |=−410=−25 故选：D ．用向量表示速度，由题意可得v ⃗ ⊥v 2⃗⃗⃗⃗ ，即可求出． 本题考查了平面向量的应用和解三角形，属于基础题．9.答案：10解析： 【分析】本题考查复数的四则运算及复数相等的充要条件，熟练掌握复数相等的充要条件是解答本题的关键． 【解答】∵(a +bi)⋅i =−b +ai =2−5i ， ∴{−b =2a =−5，解得：{a =−5b =−2．∴ab =(−5)×(−2)=10． 故答案为10．10.答案：c >a >b解析： 【分析】本题主要考查利用指数函数的性质与对数函数的性质比较大小． 【解答】解：∵0<a =2−13<1，b =log 213<0，c =log 0.513=log 23>1， ∴c >a >b ． 故答案为c >a >b ．11.答案：613解析：【分析】由已知求得a7，把3a9−2a10转化为a7得答案．本题考查等差数列的性质，考查等差数列的通项公式及前n项和，是基础的计算题．解析：由S13=6，得(a1+a13)×132=13a7=6，∴a7=613，则3a9−2a10=3(a1+8d)−2(a1+9d)=a1+6d=a7=613．故答案为：613．12.答案：≥解析：【分析】本题考查了函数单调性的概念，属于基础题．【解答】解：由a2−a+1−34=(a−12)2≥0可得a2−a+1≥34，已知函数f(x)在R上单调递增，则f(a2−a+1)≥f(34)．故答案为≥．13.答案：[2,+∞)解析：因为函数f(x)=a−sinxcosx 在区间(π6,π3)上单调递增所以f′(x)≥0在区间(π6,π3)恒成立，f′(x)=−cosx⋅cosx+sinx(a−sinx)cos2x =asinx−1cos2x因为cos2x>0，所以asinx−1≥0在区间(π6,π3)恒成立所以a≥1sinx因为x∈(π6,π3)，所以12<sinx<√32⇒2√33<1sinx<2所以a的取值范围是[2,+∞)．14.答案：56解析：解：含有8个元素的集合的全部子集数为S=28，由3个元素组成的子集数为T=C83=56．故答案是：56．利用集合元素子集的个数公式求解，含有n个元素的集合，它的子集个数为2n个．本题考查若一个集合含有n个元素，则其所有子集的个数为2n．15.答案：解：(1)f(x)=sin(2x+π6)−cos2x=√32sin2x+12cos2x−12(2cos2x−1)−12，=√32sin2x−12，f(x)的最小正周期π，x∈[π12,2π3]，2x∈[π6,4π3]，f(x)的值域[−54,√32−12]；(2)f(x)=√32sin2x−12，f(C+π4)=√32sin2(C+π4)−12=√34−12，∴sin(2C+π2)=12，cos2C=12，角C为锐角，C=π6，S=12absinC，S△ABC=√3，ab=4√3，由余弦定理可知：c2=a2+b2−2abcosC，a2+b2=16，解得b=2，a=2√3或b=2√3，a=2，解析：本题考查三角恒等变换，正弦函数图象及性质、余弦定理，过程较繁琐，属于中档题．(1)由两角和的正弦公式及二倍角公式，化简求得f(x)═√32sin2x−12，根据正弦函数的图象和性质，求出周期和f(x)的值域；(2)f(C+π4)=√34−12，求得C=π6，由三角形的面积公式求得ab=4√3，余弦定理求得a2+b2=16，联立求得a、b的值．16.答案：(本题满分为10分)解：(Ⅰ)∵cosB=13，∴sinB=√1−cos2B=2√23，…2分∵ABsinC =ACsinB，且AC=2√2，AB=2，∴sinC=AB⋅sinBAC =23…4分(Ⅱ)在△ABC中，设BC=a，AC=b，∵AB=2，cosB=13，∴由余弦定理可得：b2=a2+4−4a3，①…6分在△ABD 和△BCD 中，由余弦定理可得： cos∠ADB =4b 29+163−42×2b 3×4√33，cos∠BDC =b 29+163−a 22×b 3×4√33，…7分∵cos∠ADB =−cos∠BDC ， ∴4b 29+163−42×2b 3×4√33=b 29+163−a 22×b 3×4√33，解得：b 23−a 2=−6，②…9分∴由①②可得：a =3，b =3，即BC 的值为3…10分解析：(Ⅰ)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，利用正弦定理即可解得sin C 的值． (Ⅱ)在△ABC 中，设BC =a ，AC =b ，由余弦定理可得：b 2=a 2+4−4a 3，①，由于cos∠ADB =−cos∠BDC ，利用余弦定理可得b 23−a 2=−6，②，联立即可得解BC 的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.答案：解：(1)∵4a 1，32a 2，a 2成等差数列，∴4a 1+a 2=3a 2，即4a 1=2a 2=2a 1q ， 解得q =2， ∴S 6=a 1(1−26)1−2=21，解得a 1=13，∴a n =2n−13．(2)由(1)可知{b n }是首项为2，公差为−13的等差数列， ∴b n =−13n +73，由b n =−13n +73≥0，得n ≤7． 设S n 为{b n }的前n 项和，则S n =−16n 2+136n ，当n ≤7时，数列{|b n |}前n 项和为T n =S n =−16n 2+136n ，当n >7时，T n =2S 7−S n =16n 2−136n +14，∴T n ={−16n 2+136n,n ≤716n 2−136n +14,n >7．解析：本题考查数列的通项公式、前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的和等比数列的性质的合理运用．(1)由4a 1，32a 2，a 2成等差数列，求出公比q =2，再由等比数列{a n }的前6项和S 6=21，求出首项a 1=13，由此能求出a n ．(2)求出b n =−13n +73，设S n 为{b n }的前n 项和，当n ≤7时，数列{|b n |}前n 项和为T n =S n ，当n >7时，T n =2S 7−S n ，由此能求出数列{|b n |}前n 项和T n ． 18.答案：(1)证明：∵△ABM 是边长为2的等边三角形，底面ABCD 是直角梯形，∴CD =√3，又DM =2√3，∴CM =3，∴AD =4，∴AD 2=DM 2+AM 2，∴DM ⊥AM ．又PA ⊥底面ABCD ，，∴DM ⊥平面PAM ，∵DM ⊂平面PDM ，∴平面PAM ⊥平面PDM ．(2)解：以D 为原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，过D 且与PA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，则C(√3,0,0)，M(√3,3,0)，P(0,4,2√3)，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3,0)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,2√3)设平面PMD 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{√3x 1+3y 1=04y 1+2√3z 1=0，取x 1=3，∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(3,−√3,2)． ∵E 为PC 中点，则E(√32,2,√3)， 设平面MDE 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3,0),DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,2,√3) 则{√3x 2+3y 2=0√32x 2+2y 2+√3z 2=0,取x 2=3，∴n 2⃗⃗⃗⃗ =(3,−√3,12)．由cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=1314． 结合图形易知二面角为锐角，∴二面角P −MD −E 的余弦值为1314.解析：本题考查二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．(1)证明DM ⊥AM.DM ⊥PA ，推出DM ⊥平面PAM ，即可证明平面PAM ⊥平面PDM ．(2)以D 为原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，过D 且与PA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，求出平面PMD 的法向量，平面MDE 的法向量，利用向量的数量积求解二面角P −MD −E 的余弦值．19.答案：解：(1)f(x)=ax 3+bx 2+c 的图象经过点(0,1)，则c =1，…(2分)f′(x)=3ax 2+2bx ，k =f′(1)=3a +2b =1…(3分)切点为(1,1)，则f(x)=ax 3+bx 2+c 的图象经过点(1,1)得a +b +c =1，得a =1，b =−1…(5分)，故f(x)=x 3−x 2+1…(6分)(2)f ′(x)=3x 2−2x >0,得x >23,x <0，令f ′(x)=3x 2−2x <0,得0<x <23…(8分)函数f(x)在(−∞,0),(23,+∞)单调递增，在(0,23)单调递减 …(9分)所以函数f(x)在x =0取得极大值为1，在x =23取得极小值为2327．解析：(1)求出c 的值，求出函数的导数，计算f′(1)，得到关于a ，b 的方程组，求出函数的解析式即可；(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可． 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．20.答案：解：(1)f′(x)=1x −2ax =1−2ax 2x (x >0) 因为a >0，令f′(x)=0,得x =√12a ，f′(x)+0−f(x)单调递增最大值单调递减所以f(x)max=f(√2a )=ln√2a−2．①当a>12e时，f(x)max<0，f(x)在(0,+∞)上有没有零点；②当a=12e时，f(x)max=0，f(x)在(0,+∞)上有一个零点；③当0<a<12e时，f(x)max>0，当x趋近于0时，f(x)<0；当x趋近于正无穷大时，f(x)<0，所以f(x)在(0,+∞)上有两个零点．(2)由(1)知，即，解得a=12．∴f(x)=lnx−x22，∵f(m)=f(n),∴lnm−m22=lnn−n22,即m+n=2ln n mn−m，∴(m+n)2=2(1+nm)ln nmn m −1，由题意可知0<m<1<n，令nm=t,t>1，要证m+n>4a，即证m+n>2．只要证2(1+t)lntt−1>4，只要证lnt>2(t−1)1+t，只要证lnt−2(t−1)1+t>0．令ℎ(t)=lnt−2(t−1)1+t(t>1),ℎ′(t)=1t −4(1+t)2=(t−1)2t(1+t)2>0，∴ℎ(t)在(1,+∞)上单调递增，∴ℎ(t)>ℎ(1)=0．即m+n>4a得证．解析：(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出函数的零点的个数即可；(2)结合(1)可求出a的值，由f(m)=f(n)可知0<m<1<n，化简得出m+n，构造函数，利用函数最值结合分析法证明结论即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，不等式的证明，是一道综合题．。
【100所名校】2019届北京市第四中学高三第一学期期中考试数学(理科)试题(解析版)
2019届北京市第四中学高三第一学期期中考试数学（理科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．设函数y =√x −2018的定义域为M ，函数y =e x 的值域为P ，则M ∩P = A ．(0,+∞) B ．[2018,+∞) C ．[0,+∞) D ．(2018,+∞) 2．下列函数，其中既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的函数为A ．y =cosxB ．y =lgxC ．y =1xD ．y =x 23．函数y =cosx|tanx|（−π2<x <π2）的大致图象是A ．B ．C ．D ．4．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16，则判断框内的条件是A ．n >6?B ．n ≥7?C ．n >8?D ．n >9?5．函数y =A sin (ωx +φ)（ω>0,|φ|<π2,x ∈R ）的部分图像如图所示，则函数表达式为A ．y =−4sin(π8x −π4) B ．y =−4sin(π8x +π4)C ．y =4sin(π8x −π4)D ．y =4sin(π8x +π4)6．原命题：“a ，b 为两个实数，若a +b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是A ．逆命题为：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a +b ≥2，为假命题B ．否命题为：若a +b <2，则a ，b 都小于1，为假命题C ．逆否命题为：若a ，b 都小于1，则a +b <2，为真命题D ．“a +b ≥2”是“a ，b 中至少有一个不小于1”的必要不充分条件 7．设x ∈R ，定义符合函数sgn(x)={1,x >00,x =0−1,x <0 ，则下列等式正确的是A ．sinx ⋅sgn(x)=sin|x|B ．sinx ⋅sgn(x)=|sinx|C ．|sinx |⋅sgn(x)=sin |x |D ．sin |x |⋅sgn(x)=|sinx |8．已知函数f (x )=(x 2−3)e x ，设关于x 的方程f 2(x )−mf (x )−12e 2=0(m ∈R )有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或6此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号二、填空题9．i为虚数单位，计算(−3−i)i=_______________。
北京市通州区2019届高三第一学期期中数学(理)试题【精品推荐】
通州区2018-2019学年第一学期高三年级期中考试数学（理科）试卷2018年11月一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}31M x x =-≤<，{}3N x x =<-，则MN =A ．{}1x x < B ． {}1x x ≥C ． {}3x x ≥-D ．φ2. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为1，则输出的k 值为A ．3B ．4C ．5D ．6 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1326S =，61a =，则数列{}n a 的公差为A ．2-B ．1-C ．2D ． 14．最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的一个函数是A ．sin()26x y π=+B ．sin(2)6y x π=+ C ．sin(2)6y x π=-D ． cos(2)6y x π=- 5．在ABC ∆中，30b =，15c =，25C =︒，则ABC ∆解的情况是A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定6．设a ，b 是非零向量，则2=a b 是a 与b 共线的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.某人从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b ()a b <，其全程的平均速度为v ，则A ．2a bv +=B ．v =C ．a v <<D 2a bv +<<8. 已知函数()ln ,0,2ln ,,x x e f x x x e ⎧<≤=⎨->⎩ 若正实数a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是A ．()21,e B ．()2,e e C ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 21,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．) 9．复数12i=2i+- ． 10． 2log 5，32-，12e 三个数的大小关系是 ． 11．曲线21xy e-=+在点()0,2处的切线方程为 ．12．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC ⋅的最大值为 ． 13．能说明“若()f x 是奇函数，则()00f =”为假命题的一个函数是 ． 14．设函数()xf x x a=-，若()f x 在()1,+∞单调递减，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()22f x x x =+．现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．（Ⅰ）画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，并写出函数()f x 在R 上的单调递增区间； （Ⅱ）求函数()f x 在R 上的解析式．16．（本小题13分） 已知函数()21cossin cos 2222x x x f x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最值；（Ⅱ）若()10f α=，求sin 2α的值．17．（本小题13分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin cos A a B =． （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若3b =，sin C A =，求a ，c ．18．（本小题13分）已知函数()()221R f x x ax a a =+++∈，设()f x 在[]1,1-上的最大值为()g a ，（Ⅰ）求()g a 的表达式；（Ⅱ）是否存在实数,m n ，使得()g a 的定义域为[],m n ，值域为[]5,5m n ？如果存在，求出,m n 的值；如果不存在，请说明理由．19．（本小题14分）已知函数()()ln R f x x x a a =-+∈．（Ⅰ）若函数()f x 的最大值为3，求实数a 的值； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()()()3122f x k xf x a k x ⎛⎫'>-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，求证：121x x <．20．（本小题14分）已知数列{}n a 的前n 项和()n S n N *∈满足21n n S a =-，数列{}n b 满足22log n n b a =+． （Ⅰ）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令n n nb c a =，若221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，求实数x 的取值范围； （Ⅲ）数列{}n a 中是否存在(),,,,,m n k a a a m n k m n k N *<<∈且，使,,m n k a a a 成等差数列？若存在，求出,,m n k 的值；若不存在，请说明理由．。
北京市通州区2019届高三第一学期期中数学(理)试题(含答案)[精品]
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通州区2018-2019学年第一学期高三年级期中考试数学（理科）试卷2018年11月一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}31M x x =-≤<，{}3N x x =<-，则MN =A ．{}1x x <B ． {}1x x ≥C ． {}3x x ≥-D ．φ2. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为1，则输出的k 值为A ．3B ．4C ．5D ．6 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1326S =，61a =，则数列{}n a 的公差为 A ．2-B ．1-C ．2D ． 14．最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的一个函数是A ．sin()26x y π=+B ．sin(2)6y x π=+ C ．sin(2)6y x π=-D ． cos(2)6y x π=-5．在ABC ∆中，30b =，15c =，25C =︒，则ABC ∆解的情况是A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定 6．设a ，b 是非零向量，则2=a b 是a 与b 共线的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.某人从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b ()a b <，其全程的平均速度为v ，则A ．2a bv +=B ．v =C ．a v <<D 2a bv +<<8. 已知函数()ln ,0,2ln ,,x x e f x x x e ⎧<≤=⎨->⎩ 若正实数a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是A ．()21,e B ．()2,e e C ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 21,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．) 9．复数12i=2i+- ． 10． 2log 5，32-，12e 三个数的大小关系是 ．11．曲线21xy e-=+在点()0,2处的切线方程为 ．12．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC ⋅的最大值为 ．13．能说明“若()f x 是奇函数，则()00f =”为假命题的一个函数是 ． 14．设函数()xf x x a=-，若()f x 在()1,+∞单调递减，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()22f x x x =+．现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．（Ⅰ）画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，并写出函数()f x 在R 上的单调递增区间； （Ⅱ）求函数()f x 在R 上的解析式．16．（本小题13分）已知函数()21cossin cos 2222x x x f x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最值；（Ⅱ）若()10f α=，求sin 2α的值．17．（本小题13分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin cos A a B =． （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若3b =，sin C A =，求a ，c ．18．（本小题13分）已知函数()()221R f x x ax a a =+++∈，设()f x 在[]1,1-上的最大值为()g a ，（Ⅰ）求()g a 的表达式；（Ⅱ）是否存在实数,m n ，使得()g a 的定义域为[],m n ，值域为[]5,5m n ？如果存在，求出,m n 的值；如果不存在，请说明理由．19．（本小题14分）已知函数()()ln R f x x x a a =-+∈．（Ⅰ）若函数()f x 的最大值为3，求实数a 的值； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()()()3122f x k xf x a k x ⎛⎫'>-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，求证：121x x <．20．（本小题14分）已知数列{}n a 的前n 项和()n S n N *∈满足21n n S a =-，数列{}n b 满足22lo g n n b a =+．（Ⅰ）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令n n nb c a =，若221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，求实数x 的取值范围；（Ⅲ）数列{}n a 中是否存在(),,,,,m n k a a a m n k m n k N *<<∈且，使,,m n k a a a 成等差数列？若存在，求出,,m n k 的值；若不存在，请说明理由．通州区2018-2019学年第一学期高三年级期中考试数学（理科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．i10．1322log 52e ->> 11．220x y +-= 12．1 13．()1f x x= 14．(]0,1 三、 15．解：（Ⅰ）图略；3分函数()f x 的单调增区间为()1,0-和()1,+∞；6分 （Ⅱ）设x >，则0x -<． 7分因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+，所以()()()()()222fx=-． 10分 所以()2222x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩，．13分16．解：（Ⅰ）由()21cossin cos 2222x x x f x =--，得 ()()1111cos sin 2224f x x x x π⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭．3分所以()f x 的最小正周期为2π，最大值为，最小值为；6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()4f παα⎛⎫=+=⎪⎝⎭所以3c o 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 7分所以s i 2παα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭8分cos 24πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭10分212cos 4πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12分18712525=-=．13分17．解：（Ⅰ）在ABC ∆中，，由正弦定理sin sin a bA B=，得s i n b A a B =． 2分sin cos A a B =，得sin cos 3b A a B =．所以s i B B =． 4分因为0B π<<，所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠．所以sin tan cos B B B ==， 所以6B π=． 6分（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a cA C=，而sin C A =，所以c = ①9分由余弦定理22cos b a c ac B =+-，得2292cos 6a c ac π=+-，即229a c += ②12分把①代入②得3a =，c =.13分18．解：（Ⅰ）因为函数()f x 图象的对称轴为2ax =-， 1分所以当02a-≤，即0a ≥时，()()()2m a x 12g a f x f a a ===++； 3分当02a ->，即a <时，()()()2m a x 12g a f x f a a ==-=-+． 5分所以()222,2,a a g a a a a ⎧-+<=⎨++≥⎩ 6分（Ⅱ）假设存在符合题意的实数,m n ，则 由（Ⅰ）可知，当a R∈时，()[)2,g a ∈+∞． 8分所以若[],a m n∈，有()[]5,5g a m n ∈，则0m n <<． 9分所以()22g a a a=++，且为单调递增函数． 11分所以()()2222g m g n⎧=+⎪⎨=+⎪⎩12分所以22m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩13分 19.（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为()0,+∞． 1分因为()11xf x x x x-'=-=，2分所以在()0,1内，()0f x '>，()f x 单调递增；在()1,+∞内，()0f x '<，()f x 单调递减．所以函数()f x 在1x =处取得唯一的极大值，即()f x 的最大值()1ln11f a =-+．因为函数()f x 的最大值为3，3分所以ln113a --=， 解得4a =． 4分（Ⅱ） 因为当()1,x ∈+∞时，()()()3122f x k xf x a k x ⎛⎫'>-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以3ln 112x x a k x a x ⎛⎫-+>-+-+- ⎪⎝⎭， 所以()()ln 13x x k x +>-， 即()()ln 130x x k x +-->．5分令()()()ln 13g x x x k x =+--， 则()ln 2g x x k'=+-．6分因为2k ≤， 所以()0g x '>．所以()g x 在()1,+∞单调递增． 7分所以()()1g x g >=12k +， 所以 120k +≥， 所以12k ≥-．即实数k 的取值范围是1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：()10,1x ∈，()21,x ∈+∞．所以()210,x ∈． 9分因为1x ，2x 是函数()f x 的两个零点， 所以()()120f x f x ==． 10分因为()()122211f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()222211ln ln x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭22212ln x x x =+-． 11分 令()12ln h x x x x=+-，则()()22222121211x x x h x x x x x --+-'=--==-． 所以在()1,+∞，()0h x '<，()h x 单调递减． 所以()()10h x h <=． 所以()1210fx f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即()121fx f x ⎛⎫<⎪⎝⎭． 13分 由（Ⅰ）知，()f x 在()0,1单调递增， 所以121x x <， 所以121x x <． 14分20．解：（Ⅰ）根据题意,数列{}n a 满足21n n S a =-,当1n =时,111a S ==.1分当2n ≥时, 11n n n a S S -=-=,122n n n a a a -=-， 即12n n a a -=．2分所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列． 3分所以12n n a -=，n N *∈；4分又由已知22log n n b a =+，得122log 21n n b n -=+=+． 5分（Ⅱ）依题意得()1111122n n n n n b n c n a --+⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，n N *∈． 6分因为()()11112122n n n n c c n n -+⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11121102222n n n n n --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，7分所以当1n =时，n c 取得最大值12c =． 8分因为221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，所以2221x x ≤--．9分解得1x ≤-或3x ≥，所以实数x 的取值范围是{}13x x x ≤-≥或； 10分（Ⅲ）假设存在(),,,,,m n k a a a m n k m n k N *<<∈，使,,mn k aa a 成等差数列，则2n m k a a a =+，即1112222n m k ---⋅=+． 11分两边同时除以12m -，得1212n m k m-+-=+①． 12分 因为12n m -+为偶数，12k m-+为奇数，这与①矛盾． 13分所以不存在(),,,,,m n k a a a m n k m n k N *<<∈，使,,m n k a a a 成等差数列． 14分注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分．。
2019届高三上学期期中考试数学(理)试题答案
理科数学高三年级期中考试试题参考答案1-4、BDAD ；5-8、CBAC ；9-12、DCBC ；13、10-；14、3；15、1+=ex y ；16、]22[，-； 17．⑴ 易知：0,a ≠由题设可知()31,1,1122 1.2 2.1.n d a aa n n d d a ⎧+=⎪=⎧⎪∴∴=+-⋅=-⎨⎨=⎩⎪⋅=⎪⎩………6分⑵ 由（I ）知2232-+=n b nn ，∴)22420()333(242-++++++++=n T nnn n n n n n -+-=⨯-++--=2)19(89222091)91(9 ………12分 18.⑴)62sin(2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2ππ+=+-=-+-=x x x x x x f ； ∴)(x f 的最小正周期ππ==22T ； 由)(2236222z k k x k ∈+≤+≤+πππππ；解得)(326z k k x k ∈+≤≤+ππππ∴)(x f 的单调递减区间为)](32,6[z k k k ∈++ππππ。
………6分⑵由21)62sin()(=+=πx A f ，),0(π∈A ，得3π=A又9cos ||||=⋅=⋅A AC AB AC AB ，∴18=bc 又c a b ,,成等差数列，∴c b a +=2由余弦定理得bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+=，解得23=aABC ∆周长为29=++c b a ………12分 19.⑴由列联表可知，22200(70406030) 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.∵2.198 2.072>，∴能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关. …………4分 ⑵①依题意，可知所抽取的10名30岁以上网民中，经常使用共享单车的有60106100⨯=（人）， 偶尔或不用共享单车的有40104100⨯=（人）.则选出的3人中至少2人经常使用共享单车的概率为21364633101023C C C P C C =+=. …………8分 ②由22⨯列联表，可知抽到经常使用共享单位的频率为1301320020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用共享单车的市民的概率为1320. 由题意得)2013,10(~B X ，∴1313()10202E X =⨯=；13791()10202040D X =⨯⨯=. …………12分 20.⑴在直三棱柱中1CC AB ⊥，又1C F AB ⊥，11,C F C C ⊂平面11BCC B ，111CC C F C =，∴AB ⊥平面11BCC B ，又∵AB ⊂平面EBA ，∴平面ABE ⊥平面11B BCC ．· ……………………5分 ⑵由（1）可知AB BC ⊥，以B 点为坐标原点，BC 为X 轴正方向，BA 为Y 轴正方向，1BB 为Z 轴正方向，建立坐标系．设 1AA a =，()000B ，，，()200C ，，，()020A ，，，()100B a ，，，()120C a ，，，()102A a ，，， ()11E a ，，，()100F ，，，· ……………………6分 直线1FC 的方向向量()10a =，，a ，平面1ACC A 的法向量()110=，，m ，2a =，· ……………………·8分 ()020BA =，，，()112BE =，，，()200BC =，，， 设平面ABE 的法向量()1x y z =，，n ， ∴2020y x y z =⎧⎨++=⎩，∴()1201=-，，n ，· ……………………10分 设平面CBE 的法向量()2x y z =，，n ， ∴2020x x y z =⎧⎨++=⎩，∴()2021=-，，n ， ……………………11分 记二面角A BE C --的平面角为θ，1cos 5θ=，∴sin 5θ=∴二面角A BE C --． ……………………12分 21.⑴函数()f x 的定义域为()-∞+∞,， ()()()e 1e ee x x x xf x x k x x k x x k'=+--=-=-， ·········1分 ①当0k ≤时，令()0f x '>，解得0x >．∴()f x 的单调递减区间是()0-∞，，单调递增区间是[)0+∞,； ·········2分 ②当01k <<时，令()0f x '>，解得lnk x <或0x >．∴()f x 在()ln k -∞,和()0+∞,上单调递增，在[]ln 0k ,上单调递减； ·········3分 ③当1k =时，()0f x '≥，()f x 在()-∞+∞,上单调递增；· ········4分④当1k >时，令()0f x '>，解得0x <或ln x k >，所以()f x 在()0-∞，和()ln k +∞,上单调递增，在 []0l n k ,上单调递减． ·········5分 ⑵()01f =-， ①当01k <≤时，由（1）知，当()0x ∈-∞,时， ()()()()()22max ln ln 1ln ln 11022k k f x f x f k k k k k ⎡⎤≤==--=--+<⎣⎦，此时()f x 无零点， ·········6分 当[)0x ∈+∞,时，()222e 2e 20f k =-≥->．又∵()f x 在[)0+∞,上单调递增，∴()f x 在[)0+∞,上有唯一的零点，∴函数()f x 在定义域()-∞+∞,上有唯一的零点；· ········7分 ②当1k >时，由（1）知，当()lnk x ∈-∞,时，()()()max 010f x f x f ≤==-<，此时()f x 无零点；·········8分当[)ln x k ∈+∞,时，()()ln 010f k f <=-<，()()()2211111e e 22k k k k k f k k k ++⎡⎤+++=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦．令()21e 2tg t t =-，12t k =+>，则()e t g t t '=-，()e 1t g t ''=-，∵2t >，()0g t ''>，()g t '在()2+∞,上单调递增，()()22e 20g t g ''>=->，∴()g t 在()2+∞,上单调递增，得()()22e 20g t g >=->，即()10f k +>．∴()f x 在[)ln k +∞,上有唯一的零点，故函数()f x 在定义域()-∞+∞,上有唯一的零点．·········11分 综合①②知，当0k >时函数()f x 在定义域()-∞+∞,上有且只有一个零点． ……………·12分 22.⑴由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，化为直角坐标方程为224x y x +=， 所以圆C 的直角坐标系方程为2240x y x +-=．由122x y t=⎧⎪+⎨=⎪⎪⎪⎩消t 得102x y --=，所以直线l 的普通方程为2210x y --=．…………5分 ⑵显然直线l 过点102M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，将122x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入圆C 的直角坐标方程2240x y x +-=得27024t t --=， 根据直线参数方程中参数的几何意义知：47||||||21==⋅t t MB MA ． ……………………10分 23.⑴若不等式()1f x m ≥-有解，只需()f x 的最大值()1max f x m ≥-即可． 因为()()12123x x x x --+≤--+=，所以13m -≤，解得24m -≤≤，所以实数m 的最大值4M =． ……………………5分（2）根据（1）知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313a ba b ++≥+，所以，()2316a b +≤，因为a ，b 均为正实数，所以34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”)． ……………………10分。
2019年北京通州高级中学高三数学理模拟试卷含解析
2019年北京通州高级中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数又.若的最小值为，则正数的值为A. B. C. D.参考答案：B2. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则（）A．B．C．D．参考答案：D3. 设，则此函数在区间和内分别为A．单调递减，单调递增 B.单调递增，单调递增C.单调递增，单调递减D.单调递减，单调递减参考答案：A略4. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：D5. （5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44 B．3×44+1 C． 44 D． 44+1参考答案：A【考点】：等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【专题】：计算题．【分析】：根据已知的a n+1=3S n，当n大于等于2时得到a n=3S n﹣1，两者相减，根据S n﹣S n﹣1=a n，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1，a n+1=3S n，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．解：由a n+1=3S n，得到a n=3S n﹣1（n≥2），两式相减得：a n+1﹣a n=3（S n﹣S n﹣1）=3a n，则a n+1=4a n（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以a n=a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选A【点评】：此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题．6. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式。
北京市通州区2019届高三上学期期中考试数学(理)试题(精品解析)
2018-2019学年北京市通州区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用并集的定义求解即可．【详解】集合，，，，故选A．【点睛】本题主要考查并集的定义，是基础题．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2.执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】依次运行程序框图，可得，第一次：x=1+5=6，不满足条件，k=1；第二次：x=6+5=11，不满足条件，k=2；第三次：x=11+5=16，不满足条件，k=3；第四次：x=16+5=21，不满足条件，k=4；第五次：x=21+5=26，满足条件，程序终止。
输出k=4。
选B。
3.设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为A. B. C. 2 D. 1【答案】D【解析】【分析】根据等差数列中，，，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得结果．【详解】等差数列的前项和为，，，，解得，，数列的公差为1，故选D．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解．4.最小正周期为，且图象关于直线对称的一个函数是A. B. C. D.【答案】C【解析】利用三角函数的周期性以及图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】由于函数的最小正周期为，故排除；由于函数的最小正周期为，当时，，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故排除；由于函数的最小正周期为，当时，，是最大值，故函数的图象关于直线对称，故正确；由于函数的最小正周期为，当时，，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故排除，故选C．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性以及三角函数图象的对称性，属于基础题．由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.5.在中，，，，则解的情况是A. 一解B. 两解C. 无解D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】由正弦定理可得，根据大边对大角可知必为大于的角，故可以为锐角，也可以是钝角，从而可得结果．【详解】因为，，，所以由正弦定理可得，，，必为大于的角，故可以为锐角，也可以是钝角，此三角形有二解，故选B．【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，属于中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】“，”等价于大于等于的最大值，由的范围求得的范围，可得的取值范围，然后结合充分条件、必要条件的定义可得结果．【详解】因为“，”等价于大于等于的最大值，而，有，所以，由，可得成立，即，成立；反之，，成立，可得，不能推出．是命题“，”为真命题的充分而不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7.某人从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设从甲地到乙地距离为，其全程的平均速度为，利用基本不等式可得，由不等式的性质可得，从而可得结果．【详解】设从甲地到乙地距离为，往返的速度分别为，，其全程的平均速度为，因为,所以．，故选C．【点睛】本题考查了基本不等式的应用、不等式性质，属于基础题．比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）利用不等式性质；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.8.已知函数，若正实数互不相等，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c)，如图，不妨a<b<c，由已知条件可知：0<a<1<b<e<c<e2，∵−ln a=ln b，∴ab=1∵ln b=2−1nc∴bc=e2，∴,(1<b<e)，，故选A.点睛：对于连等问题，常规的方法有两个，一是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的变量，进而研究范围，二是数形结合，根据函数的集合特征建立变量间的关系进行运算.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.复数______．【答案】【解析】【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可．，故答案为.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．10.，，三个数的大小关系是______．【答案】【解析】【分析】利用对数函数的单调性、指数函数的单调性、幂函数的单调性分别比较三个数与1和2的大小，即可得结果．【详解】由对数函数的单调性可得，化简，由幂函数及指数函数的单调性可得．．故答案为．【点睛】本题主要考查对数函数的单调性、指数函数以及幂函数的单调性，比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题三个数分别在三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.11.曲线在点处的切线方程是______．【答案】【解析】【分析】求出，得到的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程．【详解】，，即曲线在点处的切线斜率，则对应的切线方程为，即，故答案为.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于简单题．求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.12.已知正方形的边长为1，若点是边上的动点，则的最大值为.【答案】1【解析】试题分析：设，，所以的最大值为1.考点：平面向量的线性运算和数量积.13.能说明“若是奇函数，则”为假命题的一个函数是______．【答案】答案不唯一【解析】【分析】由奇函数的性质分析：“若是奇函数，则”为假命题，必有函数的定义域不包含0，据此分析可得结果．【详解】根据题意，若是奇函数，且0在函数定义域中，则必有，“若是奇函数，则”为假命题，则0不在函数的定义域，则能说明“若是奇函数，则”为假命题，只需函数的定义域不包含0即可，故这个函数可以是，故答案为.【点睛】本题主要考查奇函数的定义与性质，属于基础题．对于奇函数的性质，一定要注意，只有函数定义域内包含时才能应用.14.设函数，若在单调递减，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】分离常数得出，分析得不合题意，必须，从而得出在上单调递减，令是的子集，从而可求出实数的取值范围．【详解】；时；在上单调递增，不合题意；所以；在上单调递减；又在上单调递减；所以是的子集，所以，的取值范围是，故答案为．【点睛】本题主要考查分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性．利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法① 求解的．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数是定义在上的偶函数，当时，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示．Ⅰ画出函数在轴右侧的图象，并写出函数在上的单调递增区间；Ⅱ求函数在上的解析式．【答案】Ⅰ和；Ⅱ.【解析】Ⅰ根据偶函数的图象关于轴对称，画出轴右侧的图象即可，根据图象即可写出函数在上的单调递增区间；Ⅱ可设，从而，根据时的解析式，求出，根据是上的偶函数即可求出时的解析式，从而得出在上的解析式．【详解】Ⅰ图象如下：函数的单调增区间为和；Ⅱ设，则；函数是定义在R上的偶函数，且当时，；；．【点睛】本题主要考查偶函数的定义，偶函数图象的对称性，以及根据图象写出函数单调区间，偶函数在对称区间上的函数解析式的求法，属于中档题．“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则当时，函数的解析式为．16.(本小题满分12分)已知函数。
北京市通州区2019届高三上学期期末考试数学高三期末理科试题(含答案)
通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（理科）试卷第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2430A x x x =-+<,{}230B x x =->，则A B =A .33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B . 33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C . 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 332⎛⎫ ⎪⎝⎭，2. 设向量()3,4=-a ，()0,2=-b ,则与+a b 垂直的向量的坐标可以是A.B.C.D.3.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()2f -等于A . 3- B. 114-C. 34-D. 34.已知双曲线()222105x y a a -=>的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则a 等于A.1 B . 2 C. 3 D. 45. 已知x ,y 满足不等式组1,230,,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最大值等于A. 1B.2C.3 D . 66. 设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为A. 1 B . 2 C. 2 D. 58.设函数()y f x =图象上不同两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，规定(),A B k k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数sin y x =图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和1-，则(),0A B ϕ=； ②存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数； ③设A ,B 是抛物线2y x =上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设A ,B 是曲线x y e =（e 是自然对数的底数）上不同的两点，则(),1A B ϕ>． 其中真命题的个数为 A. 1 B.2 C.3D. 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.复数i1iz =-的共轭复数是______． 10.设等比数列{a n }的公比2q =，前n 项和为n S ，则41S a =______ ． 11. 已知角α的终边与单位圆221x y +=的交点为P x ⎛ ⎝⎭，则sin 2α= ．12.61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 的项的系数是______．13.直线x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）的公共点个数为______．14. 已知函数()()2,1,ln 1,x x f x x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩１．若关于x 的方程()2f x kx =-有且只有一个实数根，则实数k 的取值范围是______．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题13分） 如图，在△ABC 中，4A π∠=，4AB =，BC =D 在AC 边上，且1cos 3ADB ∠=-．（Ⅰ）求BD 的长；（Ⅱ）求△BCD 的面积． 16．（本小题13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km ，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位:元）如下：（Ⅰ）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；（Ⅱ）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X 元，求X 的分布列；（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为ξ元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为η元．试比较ξ和η的方差D ξ和D η大小．（结论不需要证明） 17．（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A BC -中，1AA ⊥底面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，13AA =，D ，E 分别为AB ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面11AAB B ； （Ⅱ）求二面角1B AE B --的余弦值； （Ⅲ）在线段11BC 上是否存在一点M ，使BM ⊥平面1AB E ？说明理由.18．（本小题14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 过点()0,1A(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >．若直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，求直线l 的方程． 19．（本小题13分）已知函数()2ln f x a x ax =-，其中0a >．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()2g x x m =-，若曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求m 的最大值． 20．（本小题13分）一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列{}n p 的前n 项和为n S ，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于n p 的项的和为()f n ．（Ⅰ）求5p 和()5f ；(Ⅱ) 判断n S 和()f n 的大小，不用证明；D C 1B 11CE B A（Ⅲ）设()2k k N *Γ=∈，求证：n N *∀∈，∃Γ，使得1n n S S +<Γ<．通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（理科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．11i 22-- 10．15 11． 12．15 13．114．{}{03k k <<- 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．解：（Ⅰ）在ABD ∆中，因为1cos 3ADB ∠=-， 所以sin 3ADB ∠=． ……………………………………………………………2分 由正弦定理sin sin BD ABBAD ADB=∠∠， ……………………………………………3分所以4sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠． …………………………………………5分 （Ⅱ）因为ADB CDB π∠+∠=，所以()1cos cos cos 3CDB ADB ADB π∠=-∠=-∠=． ……………………6分所以sin 3CDB ∠=． ………………………………………7分 在BCD ∆中，由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠， ……8分 得21179233CD CD =+-⨯⨯， 解得4CD =或2CD =-（舍）． ………………………………………………11分 所以BCD ∆的面积1sin 2S BD CD CDB =⋅⋅∠13423=⨯⨯⨯=． 13分 16．解：（Ⅰ）记两站间票价不足5元为事件A ，在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为213C =78个，事件A 中基本事件数为78-15=63．所以两站间票价不足5元的概率()2126P A =． 3分 （Ⅱ）记甲乙花费金额分别为a 元，b 元.X 的所有可能取值为6，7，8，9，10. 4分()()163,39P X P a b =====， 5分 ()()()173,44,36P X P a b P a b ====+===， 6分()()()()4983,55,34,4144P X P a b P a b P a b ====+==+===， 7分()()()595,44,524P X P a b P a b ====+===， 8分()()25105,5144P X P a b =====． 9分所以X 的分布列为............10分（Ⅲ）D ξ=D η． 13分17．（Ⅰ）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，因为1AA ⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以1AA CD ⊥． ………………………………………………1分 又ABC ∆为等边三角形，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥． ………………………………………………2分 因为1AB AA A = ，所以CD ⊥平面11AAB B ； ……………………………………………………3分 （Ⅱ）解：取11A B 中点F ，连结DF ，则因为D ，F 分别为AB ，11A B 的中点， 所以DF AB ⊥．由（Ⅰ）知CD AB ⊥，CD DF ⊥，如图建立空间直角坐标系D xyz -． …………4分 由题意得()1,0,0A ，()1,0,0B -，(C ，()11,3,0A ,()11,3,0B -,(1C ,()0,0,0D,1,0,22E ⎛- ⎝⎭，32AE ⎛=- ⎝⎭，()12,3,0AB =-． ………………………………………5分设平面1AB E 法向量()1111,,x y z n =，则1110,0,AE AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n即111130,2230.x z x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩ 令11x =，则123y =，1z =121,3⎛ ⎝n =． …………………6分 平面BAE 法向量()10,3,0AA =． ……………………………………………………7分因为()1120,3,01,23AA ⎛⋅=⋅= ⎝ n ，13AA =，13==n ，所以111111cos ,AA AA AA ⋅==n n n ………………………………………………8分 由题意知二面角1B AE B --为锐角，所以它的余弦值为10………………9分 （Ⅲ）解：在线段11BC 上不存在点M ，使BM ⊥平面1AB E ．理由如下． 假设线段11BC 上存在点M ，使BM ⊥平面1AB E ．则 []0,1λ∃∈，使得111B M BC λ= ．因为(11B C =，所以()1B M λ=． ……………………………………10分又()10,3,0BB =，所以()11BM BB B M λ=+= ． …………………………11分由（Ⅱ）可知，平面1AB E法向量121,3⎛ ⎝n =，BM ⊥平面1AB E ，当且仅当1BMn ，即R μ∃∈，使得123BM μμμ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭ ，=n ． ……………………………………12分所以233λμμ⎧=⎪⎪=⎨=，，．解得[]9012λ=∉，． ……………………………………13分 这与[]0,1λ∈矛盾．所以在线段11BC 上不存在点M ，使BM ⊥平面1AB E ． ………………………………14分18．解：（Ⅰ）由题意得2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…………………………………………3分解得23a =． 所以椭圆C 的方程为2213x y +=． …………………………………………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，(3,)P P y , ………………………………5分由2213x y y x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2246330x mx m ++-=. ………………………………7分 令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<． ………………………………8分1232x x m +=-，2123(1)4x x m =-． …………………………………………9分因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP 平行于x 轴． …………………………………………10分 过M 做NP 的垂线，则垂足Q 为线段NP 的中点． 设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，则2132Q M x x x x +===． ………………………12分 由方程组1221221323(1)432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，解得2210m m ++=，即1m =-． ……………13分而()122m =-∈-，， 所以直线l 的方程为1y x =-． ………………………………………………14分19．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0+∞，． ……………………………………………1分()()2a a x a f x a x x-'=-=()0a >．………………………………………………2分令()0f x '=，得x a =． ………………………………………………3分 当(0,)x a ∈时，()0f x '>；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间为(0,)a ，单调递减区间为(,)a +∞； ……………………5分（Ⅱ）设点P 的横坐标为00(0)x x >，则()2000ln f x a x ax =-，()200g x x m =-．因为2()a f x a x '=-，()2g x x '=，所以200()a f x a x '=-，00()2g x x '=．…………6分 由题意得22000200ln 2a x ax x m a a x x ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩①②，． …………………………………7分 由②得02ax =或0x a =-（舍）． …………………………………………8分所以223ln 42a m a a =-()0a >． …………………………………………9分设223()ln 0)42th t t t t =->（，则1()14ln 0)22t h t t t '=->（）（． …………………………………………10分令()0h t '=，得142t e =． …………………………………………11分 当1402t e <<时，()0h t '>，()h t 单调递增；当 142t e >时，()0h t '<，()h t 单调递减．所以()h t 在0∞（，+)的最大值为1142(2)2h e e =， 即m 的最大值为122e ． …………………………………………13分20．解：(Ⅰ)511p =，()5135791136f =+++++=； …………………………………………2分(Ⅱ)当1n =时，12S =，()11f =，()11S f >；当2n =时，2235S =+=，()2134f =+=，()22S f >；当3n =时，323510S =++=，()31359f =++=，()33S f >； 当4n =时，4235717S =+++=，()4135716f =+++=，()44S f >． 所以当4n ≤时，()n S f n >．当5n =时，523571128S =++++=，()5135791136f =+++++=，()55S f <．不难看出，当5n ≥时，()n S f n <． ……………………………………6分 （Ⅲ）因为12S =，25S =，310S =，417S =，528S =，所以当1n =时，22Γ=，使得12S S <Γ<；当2n =时，23Γ=，使得23S S <Γ<；当3n =时，24Γ=，使得34S S <Γ<；当4n =时，25Γ=，使得45S S <Γ<所以4n ≤时，命题成立． ……………………………………………………8分 当5n ≥时，设k 是使得2n k S ≤成立的最大自然数，只需证()211n k S ++<．……………………………9分 因为()21212n k k S k +-≥=135(21)k =++++- ， ……………………10分 ()135n f n p =++++ ，由(Ⅱ)可知，当5n ≥时，()n S f n <， ……………………………………11分 所以21n p k >-，从而121n p k +>+． ……………………………12分所以()221211n n S p k k k ++>++=+，即()211n S k +>+． ………………13分 综上可知，命题成立．注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分．。
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2018-2019学年北京市通州区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用并集的定义求解即可．【详解】集合，，，，故选A．【点睛】本题主要考查并集的定义，是基础题．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2.执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】依次运行程序框图，可得，第一次：x=1+5=6，不满足条件，k=1；第二次：x=6+5=11，不满足条件，k=2；第三次：x=11+5=16，不满足条件，k=3；第四次：x=16+5=21，不满足条件，k=4；第五次：x=21+5=26，满足条件，程序终止。
输出k=4。
选B。
3.设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为A. B. C. 2 D. 1【答案】D【解析】【分析】根据等差数列中，，，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得结果．【详解】等差数列的前项和为，，，，解得，，数列的公差为1，故选D．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解．4.最小正周期为，且图象关于直线对称的一个函数是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的周期性以及图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】由于函数的最小正周期为，故排除；由于函数的最小正周期为，当时，，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故排除；由于函数的最小正周期为，当时，，是最大值，故函数的图象关于直线对称，故正确；由于函数的最小正周期为，当时，，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故排除，故选C．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性以及三角函数图象的对称性，属于基础题．由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.5.在中，，，，则解的情况是A. 一解B. 两解C. 无解D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】由正弦定理可得，根据大边对大角可知必为大于的角，故可以为锐角，也可以是钝角，从而可得结果．【详解】因为，，，所以由正弦定理可得，，，必为大于的角，故可以为锐角，也可以是钝角，此三角形有二解，故选B．【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，属于中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.6.是命题“，”为真命题的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】“，”等价于大于等于的最大值，由的范围求得的范围，可得的取值范围，然后结合充分条件、必要条件的定义可得结果．【详解】因为“，”等价于大于等于的最大值，而，有，所以，由，可得成立，即，成立；反之，，成立，可得，不能推出．是命题“，”为真命题的充分而不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7.某人从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设从甲地到乙地距离为，其全程的平均速度为，利用基本不等式可得，由不等式的性质可得，从而可得结果．【详解】设从甲地到乙地距离为，往返的速度分别为，，其全程的平均速度为，因为,所以．，故选C．【点睛】本题考查了基本不等式的应用、不等式性质，属于基础题．比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）利用不等式性质；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.8.已知函数，若正实数互不相等，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c)，如图，不妨a<b<c，由已知条件可知：0<a<1<b<e<c<e2，∵−ln a=ln b，∴ab=1∵ln b=2−1nc∴bc=e2，∴,(1<b<e)，，故选A.点睛：对于连等问题，常规的方法有两个，一是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的变量，进而研究范围，二是数形结合，根据函数的集合特征建立变量间的关系进行运算.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.复数______．【答案】【解析】【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可．【详解】由复数除法运算法则可得，，故答案为.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．10.，，三个数的大小关系是______．【答案】【解析】【分析】利用对数函数的单调性、指数函数的单调性、幂函数的单调性分别比较三个数与1和2的大小，即可得结果．【详解】由对数函数的单调性可得，化简，由幂函数及指数函数的单调性可得．．故答案为．【点睛】本题主要考查对数函数的单调性、指数函数以及幂函数的单调性，比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题三个数分别在三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.11.曲线在点处的切线方程是______．【答案】【解析】【分析】求出，得到的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程．【详解】，，则，即曲线在点处的切线斜率，则对应的切线方程为，即，故答案为.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于简单题．求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.12.已知正方形的边长为1，若点是边上的动点，则的最大值为.【答案】1【解析】试题分析：设，，所以的最大值为1.考点：平面向量的线性运算和数量积.13.能说明“若是奇函数，则”为假命题的一个函数是______．【答案】答案不唯一【解析】【分析】由奇函数的性质分析：“若是奇函数，则”为假命题，必有函数的定义域不包含0，据此分析可得结果．【详解】根据题意，若是奇函数，且0在函数定义域中，则必有，“若是奇函数，则”为假命题，则0不在函数的定义域，则能说明“若是奇函数，则”为假命题，只需函数的定义域不包含0即可，故这个函数可以是，故答案为.【点睛】本题主要考查奇函数的定义与性质，属于基础题．对于奇函数的性质，一定要注意，只有函数定义域内包含时才能应用.14.设函数，若在单调递减，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】分离常数得出，分析得不合题意，必须，从而得出在上单调递减，令是的子集，从而可求出实数的取值范围．【详解】；时；在上单调递增，不合题意；所以；在上单调递减；又在上单调递减；所以是的子集，所以，的取值范围是，故答案为．【点睛】本题主要考查分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性．利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法① 求解的．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数是定义在上的偶函数，当时，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示．Ⅰ画出函数在轴右侧的图象，并写出函数在上的单调递增区间；Ⅱ求函数在上的解析式．【答案】Ⅰ和；Ⅱ.【解析】【分析】Ⅰ根据偶函数的图象关于轴对称，画出轴右侧的图象即可，根据图象即可写出函数在上的单调递增区间；Ⅱ可设，从而，根据时的解析式，求出，根据是上的偶函数即可求出时的解析式，从而得出在上的解析式．【详解】Ⅰ图象如下：函数的单调增区间为和；Ⅱ设，则；函数是定义在R上的偶函数，且当时，；；．【点睛】本题主要考查偶函数的定义，偶函数图象的对称性，以及根据图象写出函数单调区间，偶函数在对称区间上的函数解析式的求法，属于中档题．“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则当时，函数的解析式为．16.(本小题满分12分)已知函数。
（Ⅰ）求函数的最小正周期和值域；（Ⅱ）若，求的值。
【答案】（1）2，；（2）【解析】（1）由已知，f（x）=所以f（x）的最小正周期为2，值域为。
…………………6分（2）由（1）知，f（）=所以cos（）。
所以，…………………12分[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化等数学思想.视频17.在中，内角的对边分别为，且．Ⅰ求；Ⅱ若，求．【答案】（1）；（2），.【解析】试题分析：（1）由已知利用正弦定理得,即可求得；（2）由已知利用正弦定理得，再利用余弦定理解得，从而得.试题解析：解：（1）∵bsinA=acosB，由正弦定理可得，即得，.（2）∵sinC=2sinA，由正弦定理得，由余弦定理，，解得，。
考点：正弦定理；余弦定理.18.已知函数，设在上的最大值为，Ⅰ求的表达式；Ⅱ是否存在实数，使得的定义域为，值域为？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．【答案】Ⅰ；Ⅱ.【解析】【分析】Ⅰ函数图象的对称轴为，然后通过讨论对称轴的位置，结合函数的单调性求解函数的最大值，得到函数的最大值的表达式；Ⅱ假设存在符合题意的实数，则可得若，有，即由此得，且为单调递增函数，从而列出方程组，即可求出结果．【详解】Ⅰ因为函数图象的对称轴为，所以当，即时，；当，即时，所以.Ⅱ假设存在符合题意的实数m，n，则由Ⅰ可知，当时，所以若，有，则所以，且为单调递增函数所以,所以.【点睛】本题主要考查二次函数的单调性及其应用，属于中档题．二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解，二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.19.已知函数．Ⅰ若函数的最大值为3，求实数的值；Ⅱ若当时，恒成立，求实数的取值范围；Ⅲ若，是函数的两个零点，且，求证：．【答案】Ⅰ4；Ⅱ；证明见解析.【解析】【分析】Ⅰ求出函数的定义域，利用导函数符号判断函数的单调性，由单调性求解函数的最大值，然后求出即可；Ⅱ化简恒成立的不等式为，得到令，利用函数的导数符号判断函数的单调性，得到，然后求解的范围；Ⅲ，是函数的两个零点，可得，构造函数，利用函数的导数的符号判断函数的单调性，推出，得到，即可证明结论．【详解】Ⅰ函数的定义域为因为，所以在内，，单调递增；在内，，单调递减．所以函数在处取得唯一的极大值，即的最大值．因为函数的最大值为3，所以，解得Ⅱ因为当时，恒成立，所以，所以，即．令，则因为，所以．所以在单调递增所以，所以，所以即实数k的取值范围是；Ⅲ由Ⅰ可知：，．所以因为，是函数的两个零点，所以．因为令，则．所以在，，单调递减．所以．所以，即．由Ⅰ知，在单调递增，所以，所以【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.20.已知数列的前项和满足，数列满足．Ⅰ求数列和数列的通项公式；Ⅱ令，若对于一切的正整数恒成立，求实数的取值范围；Ⅲ数列中是否存在，且使，，成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】Ⅰ，；Ⅱ或；Ⅲ不存在，理由见解析．【解析】【分析】Ⅰ利用已知条件通过，说明数列是首项为1，公比为2的等比数列，从而可求出的通项公式，然后求解的通项公式；Ⅱ求出，判断数列的单调性，结合对于一切的正整数恒成立，得到求解即可；Ⅲ假设存在，使，，成等差数列，推出说明是与条件矛盾，得到结论．【详解】Ⅰ根据题意，数列满足，当时，．当时，，，即．所以数列是首项为1，公比为2的等比数列所以，；又由已知，得Ⅱ依题意得，． 因为， 所以当时，取得最大值 因为对于一切的正整数n 恒成立， 所以解得或，所以实数x 的取值范围是或；Ⅲ假设存在，使，，成等差数列， 则，即两边同时除以，得因为为偶数，为奇数，这与矛盾． 所以不存在，使，，成等差数列【点睛】本题主要考查数列的应用，通项公式以及数列的单调性，反证法的应用，属于难题．反证法的适用范围：（1）否定性命题与存在性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．。