2011年上海闵行区高三数学二模试卷 理

闵行区2010学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、某某等填写清楚． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．
一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知集合{}
11M x x =+≤，{}1,0,1N =-，那么M N =.
2．线性方程组的{32521
x y x y +=+=-增广矩阵为. 3．已知1cos(
)43π
α-=，则sin()4
π
α
+=. 4．22
21
lim 1
n n n n →∞-=++. 5．若13z a i =+，234z i =+，且
1
2
z z 为纯虚数，则实数a =. 6．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2πcm ，则该圆锥的体积为
3cm .
7．经过点(2,0)A 且与极轴夹角为
2
π
的直线l 的极坐标方程为. 8．已知数列{}n a 是以15-为首项，2为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，则数列{}n S 的最小项为第项.
9
则ξ的方差D ξ=.
10．若直线)0,(022>=-+b a by ax 始终平分圆08242
2
=---+y x y x 的周长，
则
12
a b
+的最小值为.
11．如图，设P 是单位圆和x 轴正半轴的交点，M N 、 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，3
POM π
∠=
，
PON α∠=,[]0απ∈，,()f OM ON α=+，则
()αf 的X 围为.
12．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，
若
F 为正方形内（含边界）任意一点，则AE AF ⋅的最大
值
为.
13．已知双曲线22221x y a b
-=与抛物线2
8y x =有一个公共的
焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，5PF =，则该双 曲线的两条渐近线方程为.
14．已知等差数列{}n a ，对于函数()f x 满足：5
3
222(2)(2)(2)6f a a a -=-+-=，
53201020102010(4)(4)(4)6f a a a -=-+-=-，n S 是其前n 项和，则2011S =.
二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得5分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位. 15．“1arcsin
3
α=”是“1
sin 3α=”的 [答]（ ）
(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.
16．某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 [答]（ ） (A)16. (B)18.(C)27.(D)36.
17．设函数141()log ()4x
f x x =-、214
1()log ()4
x
f x x =-的零点分别为12x x 、，则
[答]（ ）
(A)1201x x <<. (B)121x x =.(C)1212x x <<.(D)122x x ≥
.
E
B
C
D
A 1
P
B 1
C 1
D 1
.
A
18．给出条件：①12x x <，②12x x >，③12x x <，④22
12x x <．函数22
()sin f x x x =+，
对任意12,22x x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
、，都使12()()f x f x <成立的条件序号是
[答]（ ）
(A)①③. (B)②④.(C)③④. (D)④.
三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）
如图，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的长方 体，1160AD A ∠=，14AD =，点P 是1AD 的中点，求
异面直线1AA 与1B P 所成的角（结果用反三角函数表示）．
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．
某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表:
污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：()204(1)f x x x =-≥，
220
()(4)(1)3
g x x x =
-≥，224017()log (1)114h x x x x =--≥，其中x 表示月数，()()()f x g x h x 、、分别表示污染度.
（1）问选用哪个函数模拟比较合理？并说明理由；
（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．
已知O 是线段AB 外一点，若OA a =，OB b =.
（1）设点1A 、2A 是线段AB 的三等分点，1OAA △、12OA A △及2OA B △的重心依次为
123G G G 、、，试用向量a 、b 表示123OG OG OG ++；
（2）如果在线段AB 上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论. 说明：第（2）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分、第3小题满分7分．
已知椭圆2
214
x y +=中心为O ，右顶点为M ，过定点(,0)(2)D t t ≠±作直线l 交椭圆于A 、B 两点.
（1）若直线l 与x 轴垂直，求三角形OAB 面积的最大值； （2）若6
5
t =
，直线l 的斜率为1，求证：90AMB ∠=； （3）在x 轴上，是否存在一点E ，使直线AE 和BE 的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点E 的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题
满分9分．
定义：对于任意*
n ∈N ，满足条件2
12
n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．
（1）若2
9n a n n =-+(*
n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；
（2）设数列{}n b 的通项为3502n
n b n ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值X 围；
E
P
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C B
A
（3）设数列1n p
c n
=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由．
闵行区2010学年第二学期高三年级质量调研考试
数学试卷参考答案与评分标准
一.填空题1.{}1,0-； 2.325121⎛⎫
⎪-⎝⎭
； 3.1
3； 4.2； 5.4-； 6.
3
π
； 7.理cos 2ρθ=，文220x y --=；8.8；9. 理4.3,
文 10.
理3+，文4； 11. 理[]1,2，文215； 12.32
； 13.
0y ±=，文29
arccos
35
； 14. 6033. 二.选择题15. A ； 16.B ； 17.A ； 18.D.
三.解答题 19.解：（1）解法一：过点P 作11PE A D ⊥，垂足为E ，连结1B E （如图），则
1PE AA ∥，1B PE ∴∠是异面直线1AA 与1B P 所成的角． （3
分）
在11Rt AA D △中 ∵1160AD A ∠= ∴1130A AD ∠
=
11111122A B A D AD ===,1111
12
A E A D ==，
1B E ∴==
．又11
2
PE AA =
=（8分） ∴在1Rt B PE △
中，11tan B E B PE PE ∠===
10分） ∴异面直线1AA 与1B P
所成的角为． （12分） 解法二：以1A 为原点，11A B 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标
系如图所示，则1(000)A ，
，
，(00A ，，1(200)B ，，
，(0P 4
分）1(0
0A A ∴=，
，1(B P =-（8分） ∴111111cos ||||A
A B P A A B P
A A
B P ⋅<>=
⋅
，==（10分） ∴异面直线1AA 与1B P 所成的角为arccos 4
． （12分） 20.解：（理）（1）
(2)40,(2)26.7,(2)27.3f g h =≈≈ （3分） (3)20,(3) 6.7,(3)10.9f g h =≈≈ （6分）
由此可得()h x 更接近实际值，所以用()h x 模拟比较合理. （7分）
（2）因224017
()log (1)114
h x x x x =
--≥在4x ≥上是增函数， 又因为(23)59.6,(24)60.9h h ≈≈（12分）
故整治后有23个月的污染度不超过60. （14分） （文）（1）
(2)40,(2)26.7,(2)30f g h =≈= （3分） (3)20,(3) 6.7,(3)12.5f g h =≈≈ （6分）
由此可得()h x 更接近实际值，所以用()h x 模拟比较合理. （7分） （2）因2()30log 2h x x =-在4x ≥上是增函数，又因为(16)60h =（12分）
故整治后有16个月的污染度不超过60. （14分） 21. 解：（理）（1）如图：点1A 、2A 是线段AB 的三等分点，
111211
()()323
OG OA OA OA OA ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦，同理可得：
2121()3OG OA OA =+，321
()3
OG OA OB =+，（2分）
则1231212
()()33
OG OG OG a b OA OA ++=+++
1212()()()3333a b a b a a b a ⎡⎤
=+++-++-⎢⎥⎣⎦
()a b =+（4分） （2）层次1：设1A 是AB 的二等分点，则12a b OA +=
；122
()3
OG OG a b +=+；设123A A A 、、
是AB 的四等分点，则()
12332
a b OA OA OA +++=
；或设121,,,n A A A -是AB 的n 等分点，
则OA OA OA OB k n k +=+-等等（结论2分，证明2分） 层
次
2
：
设
121
,,,n A A A -是
AB
的
n
等分点，
12321()
2
n n n a b OA OA OA OA OA --++++
++=
（结论2分，证明4分） 层次3：设121,,
,n A A A -是AB 的n 等分点，
则12321()
3
n n n a b OG OG OG OG OG --++++++=
； （结论3分，证明7分） 证：12112112
()()33
n n OG OG OG a b OA OA OA --++
+=++++
+
1212
1()()()()33n a b a b a a b a a b a n n n -⎡⎤
=+++-++-+++
-⎢⎥⎣⎦
1212112
1()(1)()()33n n a b n a b a n n
n n n
n --⎡⎤
=++-++++
-+++⎢⎥⎣⎦
12(1)()()()3323
n n
a b a b a b -=++⋅+=+ （文）（1）如图：点P 、Q 是线段AB 的三等分点OP OA AP =+
1()3OA OB OA =+-，则2133OP a b =+，同理12
33
OQ a b =+， （2分）
所以 OP OQ a b +=+（4分）
（2）层次1：设1A 是AB 的二等分点，则12
a b
OA +=设123A A A 、、是AB 的四等分点，则
()
12332
a b OA OA OA +++=等等（结论2分,证明2
层次2：设121,,
,n A A A -是AB 的n 等分点，
则OA OA OA OB k n k +=+-等；（结论2分，证明4分） 层次3：设121,,
,n A A A -是AB 的n 等分点，
则1211
()2
n n OA OA OA a b --∴+++=
+； （结论3分，证明7分） 证：121,,
,n A A A -是线段AB 的)3(≥n n 等分点，先证明这样一个基本结论:
k n k OA OA OA OB -+=+*(11,)k n n k ≤≤-∈N 、.
由=k k OA OA AA +,=n k n k OA OB BA --+,因为k AA 和n k BA -是相反向量， 则0k n k AA BA -+=, 所以 k n k OA OA OA OB -+=+. 记12321n n S OA OA OA OA OA --=+++
++，1221n n S OA OA OA OA --=++++
相加得1122112()()()(1)()n n n S OA OA OA OA OA OA n OA OB ---=++++++=-+
1211
()2
n n OA OA OA a b --∴+++=
+ 22.解：设直线l 与椭圆的交点坐标为1122(,)(,)A x y B x y 、.
（1）把x t =代入2214x y +=
可得：y = （2分）
则1
12
OAB S OD AD t ∆=⋅=
⋅
，当且仅当t =时取等号 （4分） （2）由22651
4
y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2
125240440x x -+=，1244125x x =，124825x x +=（6分）
所以 ()()()()
12
12121266552222AM BM
x x y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭==----()()1212121263652524x x x x x x x x -++=-++ 4464836
125525254448241255
-⋅+
=-⋅+64
164-=
=-⇒90AMB ∠=（9分） （3）（理）当直线l 与x 轴不垂直时，可设直线方程为：()y k x t =-，
由22
()
14
y k x t x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得22222
(41)8440k x k tx k t +-+-=
则2122
2212208414441k t x x k k t x x k ⎧
⎪∆>⎪
⎪
+=⎨+⎪
⎪-=
⎪+⎩
①又 1122()
()
y k x t y k x t =-⎧⎨
=-⎩② 若存在定点(,0)E m 符合题意，且则为非零常数),(s s k k BE AE =⨯
221212122121212(())
()()()AE BE
y y k x x t x x t k k s x m x m x x m x x m
-++===---++（11分） 把①、②式代入上式整理得
2222
4()(4)(4)0k s t m t s m ---+-=⎡⎤⎣⎦(其中m t s 、、都是常数)
要使得上式对变量(0)k k ≠恒成立，当且仅当
222
4()(4)0
(4)0(0)
s t m t s m s ⎧---=⎪⎨-=≠⎪⎩，解得2±=m （13分） 当2=m 时，定点E 就是椭圆的右顶点(2,0)，此时，2
4(2)
t s t +=
-；
当2m =-时，定点E 就是椭圆的左顶点(-2,0)，此时，2
4(2)
t s t -=
+； （15分）
当直线l 与x 轴垂直时，由22
14
x t x y =⎧⎪
⎨+=⎪⎩，解得两交点坐标为
((,A t B t ，可验证：24(2)AE BE t k k t +=
-或24(2)t t -+ 所以，存在一点E (2,0)（或(-2,0)），使直线AE 和BE 的斜率的乘积为非零常数
2
4(2)
t t +-（或
2
4(2)
t t -+）. （16分）
（文）直线AM 和BM 的斜率的乘积是一个非零常数. （11分） 当直线l 与x 轴不垂直时，可设直线方程为：()y k x t =-，
由22()14y k x t x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得22222(41)8440k x k tx k t +-+-=
则2122
2212208414441k t x x k k t x x k ⎧
⎪∆>⎪
⎪
+=⎨+⎪
⎪-=
⎪+⎩
①又 1122
()
()y k x t y k x t =-⎧⎨
=-⎩②（13分） 所以22121212121212(())2
()(2)(2)2()44(2)
AM BM
y y k x x t x x t t k k x x x x x x t -+++===---++-常数（15分） 当直线l 与x 轴垂直时，由22
1
4
x t
x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩
得两交点((,A t B t ，显然2
4(2)
AM BM t k k t +=
-.所以直线AM 和BM 的斜率的乘积是一个非零常数.（16分）
23.理：(1) 由2
9n a n n =-+，得
2)1(18)1(2)2(9)2(9222212-=+-+++++-+-=-+++n n n n n n a a a n n n
所以数列{}n a 满足
2
12
n n n a a a +++≤. （2分） 又2
98124n a n ⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭，当n =4或5时，n a 取得最大值20，即n a ≤20.
综上，数列{}n a 是T 数列. （4分）
(2)因为1
1331350(1)50502222n n n
n n b b n n ++⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫-=+--+=- ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭，
所以当1350022n
⎛⎫
-≥ ⎪⎝⎭
即11n ≤时，10n n b b +->，此时数列{}n b 单调递增（6分）
当12n ≥时，10n n b b +-<，此时数列{}n b 单调递减；故数列{}n b 的最大项是12b ，
所以，M 的取值X 围是 12
36002M ⎛⎫
≥- ⎪⎝⎭
（9分）
（3）①当12p <≤时， 当1n =时1231,1,1,23p p c p c c =-=-
=- 由13252203p c c c +-=
-≤得65p ≤， 即当615p <≤时符合122++≤+n n n c c c 条件. （11分） 若2n ≥，则1≤n
p ,此时1n p c n =- 于是 2122(1)(1)2(1)021(1)(2)n n n p p p p c c c n n n n n n ++-+-=-
+---=<++++ 又对于*n ∈N 有11n p c n =-<，所以当615
p <≤时数列{}n c 是T 数列； （13分） ②当23p <≤时，取1n =则：1231,1,1,23p p c p c c =-=
-=- 由0322231>-
=-+p c c c ，所以23p <≤时数列{}n c 不是T 数列. （15分） ③当3p >时，
取1n =则1231,1,1,23p p c p c c =-=
-=- 由1325206
p c c c +-=>，所以3p >时数列{}n c 不是T 数列. （17分） 综上：当615p <≤时数列{}n c 是T 数列；当65
p >时数列{}n c 不是T 数列.（18分） （文）：(1) 由2n a n =-得222212(2)2(1)20n n n a a a n n n +++-=--+++=-<
所以数列{}n a 满足212
n n n a a a +++≤. （2分） 2n a n =-(*n ∈N )单调递减,所以当n =1时，n a 取得最大值-1，即1n a ≤-.
所以，数列{}n a 是T 数列. （4分）
(2) 由243n n b n =-得()1124132432423n n n n n b b n n ++-=+--+=-⋅，
当24230n -⋅≥,即2n ≤时，10n n b b +->，此时数列{}n b 单调递增； （6分）
而当3n ≥时，10n n b b +-<，此时数列{}n b 单调递减；
因此数列{}n b 中的最大项是3b ，所以，M 的取值X 围是 3494
M b ≥=. （9分）
（3）假设数列{}n c 是T 数列，依题意有：
2111222(2)(1)()(1)(2)n n n c c c p n p n p n p n p n p n +++-=
+-=--+-+-----(11分） 因为*n ∈N ,所以当且仅当p 小于n 的最小值时,2102
n n n c c c +++-≤对任意n 恒成立， 即可得1p <. （14分） 又当1p <时，0n p ->,1
n c q q n p =-<-，故M q ≥
（16分） 综上所述：当1p <且M q ≥时，数列{}n c 是T 数列．（18分）
U。