2020版《3年高考2年模拟》(二轮)第4讲 算法、推理与证明、计数原理(可自主编辑word)

第4讲 算法、推理与证明、计数原理
一、选择题
1.给出下列四个类比结论:
①实数a,b,若ab=0,则a=0或b=0;类比复数z 1,z 2,若z 1z 2=0,则z 1=0或z 2=0. ②实数a,b,若ab=0,则a=0或b=0;类比向量a,b,若a ·b=0,则a=0或b=0.
③实数a,b,若a 2+b 2=0,则a=b=0;类比复数z 1,z 2,若z 12+z 22
=0,则z 1=z 2=0.
④实数a,b,若a 2+b 2=0,则a=b=0;类比向量a,b,若a 2+b 2=0,则a=b=0. 其中类比结论正确的个数是( ) A.0 B.1
C.2
D.3
答案 C 对于①,显然是正确的;对于②,若向量a,b 互相垂直,则a ·b=0,所以②错误;对于
③,取z 1=1,z 2=i,则z 12+z 22=0,所以③错误;对于④,若a 2+b 2=0,则|a|=|b|=0,所以a=b=0,故④是正确
的.综上可知,类比结论正确的个数是2.
2.甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛,其中只有一位获奖,有人走访了这四位同学,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”已知四位同学的话中只有一句是对的,则获奖的同学是( ) A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案 D 假设获奖的同学是甲,则甲、乙、丙、丁四位同学的话都不对,因此甲不是获奖的同学;假设获奖的同学是乙,则甲、乙、丁的话都对,因此乙也不是获奖的同学;假设获奖的同学是丙,则甲和丙的话都对,因此丙也不是获奖的同学.从前面的推理可得丁为获奖的同学,此时只有乙的话是对的,符合题意,故选D.
3.(2019安徽蚌埠一模,7)某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包,活动规定每人可以依次点击4次,每次都会获得三种红包中的一种,若集全三种即可获奖,但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同.员工甲按规定依次点击了4次,直到第4次才获奖.则他获得奖次的不同情形种数为( ) A.9 B.12 C.18
D.24
答案 C 根据题意,若员工甲直到第4次才获奖,则其第4次才集全“和谐”“爱国”“敬业”三种红包,则甲第4次获得的红包有3种情况,前三次获得的红包为其余的2种,有23-2=6种情况,则他获得奖次的不同情形种数为3×6=18,故选C. 4.若a=∫ π
0sin xdx,则(a √x √
)6
的展开式中的常数项是( )
A.160
B.-160
C.-20
D.20 答案 B a=(-cos x)
π0=-cos π-(-cos 0)=2,
则(a √x √
x )6
的通项公式为
C 6
r (2√x )6-r
(√
x )r
=C 6r 26-r (-1)r x 3-r ,r=0,1,2, (6)
令3-r=0,即r=3,
则常数项为C 6323×
(-1)3=-160. 5.(2019湖北武汉调研)执行如图所示的程序框图,若输入的n 的值为6,则输出的S 的值为( )
A.21
B.23
C.37
D.44
答案 C 第1次循环得到t=1,S=1,i=2;第2次循环得到t=4,S=5,i=3;第3次循环得到t=3,S=8,i=4;第4次循环得到t=8,S=16,i=5;第5次循环得到t=5,S=21,i=6;第6次循环得到t=16,S=37,i=7,7>6,跳出循环.S=37,故选C.
6.执行如图所示的程序框图,若输出的s=132,则判断框中可以填( )
A.i ≥10?
B.i ≥11?
C.i ≤11?
D.i ≥12?
答案 B 第一次循环s=12,i=11;第二次循环s=12×11=132,i=10;结束循环,输出s,s=132,所以判断框中应填“i ≥11?”.故选B.
7.(2019广东广州一模,6)(2-x 3)(x+a)5的展开式的各项系数和为32,则该展开式中x 4的系数是( )
A.5
B.10
C.15
D.20
答案 A 解法一:因为(2-x 3)(x+a)5的展开式的各项系数和为32, 所以(2-1)(1+a)5=32,所以a=1,
因为(x+1)5的展开式的通项为T r+1=C 5r ·x 5-r ,
所以原多项式的展开式中x 4的系数是2×C 51+(-1)×C 54=5,故选A. 解法二:因为(2-x 3)(x+a)5的展开式的各项系数和为32, 所以(2-1)(1+a)5=32,所以a=1, 因为(x+1)5=x 5+5x 4+10x 3+10x 2+5x+1,
所以(2-x 3)(x+a)5的展开式中x 4的系数是2×5+(-1)×5=5,故选A.
8.已知13
+23
=(62)2
,13+23+33
=(122)2
,13+23+33+43
=(202)2
,……,若13+23+33+43+…+n 3=3 025,则n=( ) A.8 B.9 C.10
D.11
答案 C 13
+23
=(62)2
=(2×32
)2,
13
+23
+33
=(122)2
=(
3×42
)2,
13
+23
+33
+43
=(202)2
=(4×52
)2,
……
由此归纳可得13+23+33+43+…+n 3
=[n(n+1)2
]2
,
因为13
+23
+33
+43
+…+n 3
=3 025,所以[
n(n+1)2
]2
=3 025,
所以n 2(n+1)2=(2×55)2,所以n=10,故选C.
9.(2019广东广州天河二模,7)安排5名学生去3个社区进行志愿服务,且每人只去一个社区,要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务,则不同的安排方式共有( ) A.360种
B.300种
C.150种
D.125种
答案 C 分2步分析:先将5名学生分成3组,有两种分组方法,若分成3、1、1的三组,则
有C 53=10种分组方法;若分成1、2、2的三组,则有C 51C 42C 22
A 22
=15种分组方法,则一共有10+15=25种分组方法.再将分好的三组全排列,对应三个社区,有A 33=6种情况,则有25×6=150种不同的安排方式,故选C.
10.(2019山东济南学习质量评估)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表,我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.
从第二行起,每一行中的数均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数a,则a 的值为( )
A.2 018×21 008
B.2 018×21 009
C.2 020×21 008
D.2 020×21 009
答案 C 解法一:当第一行有2个数时,最后一行为4=2×21, 当第一行有3个数时,最后一行为12=3×22, 当第一行有4个数时,最后一行为32=4×23, 当第一行有5个数时,最后一行为80=5×24,
依次类推,当第一行有1 010个数时,最后一行为a=1 010×21 009=2 020×21 008,故选C. 解法二:该三角形数表,从第一行开始,每行中间的数或中间两数的均值依次为1 010,2 020, 4 040,8 080,…,易知上述数列是一个首项为1 010,公比为2的等比数列.该三角形数表共有 1 010行,所以最后一行的数a=1 010×21 010-1=1 010×21 009=2 020×21 008,故选C.
二、填空题
11.(2x-1)6的展开式中,二项式系数最大的项的系数是(用数字作答).
答案-160
解析(2x-1)6的展开式中,二项式系数最大的项是T 4=C
3·(2x)3·(-1)3=-160x3,其系数为
6
-160.
12.将1,2,3,4,…这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组,则第10行自左向右第10个数为.
答案91
解析由三角形数组可推断出,第n行共有(2n-1)个数,且最后一个数为n2,所以第10行共19个数,最后一个数为100,自左向右第10个数是91.
(a1-2a2+3a3-4a4+…-2018a2018)=.
13.已知(4x+2)2018=a0+a1x+a2x2+…+a2018x2018,则1
a0
答案-4036
解析令x=0,得a 0=22018.
(4x+2)2018=a0+a1x+a2x2+…+a2018x2018,两边同时求导,
得4×2018×(4x+2)2017
=a1+2a2x+3a3x2+…+2018a2018x2017,
令x=-1,得4×2018×(-2)2017
=a1-2a2+3a3-4a4+…-2018a2018,
所以a1-2a2+3a3-4a4+…-2 018a2 018
a0
=4×2 018×(-2)2 017
=-4036.
22 018。