钢疲劳极限的-缺口尺寸效应(翻译一)

钢疲劳极限的缺口尺寸效应
摘要
在这篇论文中，表面有沟槽的试样的疲劳行为已经被研究过。

它显示有两种与槽口相关的尺寸效应：统计的尺寸效应和几何的尺寸效应。

统计的尺寸效应是基于试样在变应力区域的起始裂纹的最大深度的分布而计算的，几何尺寸效应则是依靠应力梯度并且能够在线弹性力学的帮助下被估计。

在钝的刻痕上的尺寸效应可以用着两种要素来解释。

当裂纹变更剧烈时，在特定的极限之后，张力的塑形部分的大小开始在疲劳裂纹开裂上起重要作用，并且它的疲劳极限低于统计和几何尺寸效应的预测。

另外的估算方法可以被用在那种缺口。

1.介绍
被用在机器上的大多数部件都有缺口，例如肩部和小孔。

这种样本的疲劳极限高于缺口根部的最大应力,并将显示。

已经进行了很多尝试评估这一现象,这被称为缺口尺寸效应。

它的目的在于建立一个方程式，一些常用的方法在参考【1】中，刻痕尺寸效应的大小取决于材料，这可以用那种被称作材料的缺口灵敏度来解释。

现如今用来描述这种现象的公式包括材料因素，但是没有物理背景的公式来描述这一现象。

当应用与不同的材料时，所有的公式显示出相当大的分散。

这篇论文的目的是来显示缺口尺寸效应可以用这两种因素来解释：统计尺寸效应和一种被称作几何尺寸效应的应力梯度的影响。

统计尺寸效应可以进行如下描述：当一个组件遭受交变载荷时，在它的体积上将产生大量微裂隙，样本越大，起始裂缝也就越大。

因此，对
于大样本来说，更有可能出现大的起始裂纹和更小的疲劳极限。

Makkonen
[1,2]显示平板尺寸效应仅由统计尺寸效应引起。

几何尺寸效应得到切口试样的图片，在细槽、肩部和其他间断点的附近的应力分布变成非线性并且出现一个高的应力峰值。

应力梯度在小并成某种形状的试样上变得更加陡峭，如果同样大小的裂缝出现在应力峰值区域，在裂缝上的应力强度因子高于大尺寸试样。

这篇论文的另外的一个目的是展示一种通过比较裂纹发起的两种情况：实际峰值应力分布和线性压力来估算几何尺寸效应的方法。

2.统计方法
专业术语
a0 initated crack depth 起始裂纹深度
a crack depth 裂纹深度
c crack length 裂纹长度
d diameter 直径
d n notch depth 缺口深度
e constant 常量
f(x) probability density function 概率密度函数
fXn:n(x) probability density function of the maximum value of sample 样本最大值的概率密度函数
k g geometric size factor 几何尺寸因子
l0 material constant 材料常数
n sample size 样本尺寸
n cyclic hardening exponent 循环硬化指数
r radius 半径
sx standard deviation of a random variable 随机变量的标准偏差
x random variable, co-ordinate 随机变量坐标
x m mean value of a random variable 随机变量平均值
y co-ordinate y坐标
z co-ordinate z坐标
A surface area 表面积
Ai surface area of i th part of the surface 表面部分表面积
A eff effective stress area 有效压力区域
D diameter 直径
D o original bar diameter 原始条纹直径
F (x ) cumulative distribution function 累积分布函数
FXn:n (x ) cumulative distribution function of the maximum value of sample 样本最大值的累积分布函数
K stress intensity factor 应力强度因子
K cyclic hardening coefficient 循环硬化系数
K f notch size factor 缺口尺寸因子
K FATIGUE fatigue concentration factor 疲劳集中因子
K I stress intensity factor 应力强度因子
K t stress concentration factor 应力集中因子
K e strain concentration factor 张力集中因子
K s real (Neuber) stress concentration factor 实际应力集中因子
m (x,a ) weight function 重力函数
P S probability of survival 残余的可能性
R stress ratio 压比
R m ultimate strength 极限强度
0a s standard deviation of the initiated crack depth 起始裂纹深度的标准偏差 α scatter parameter of the lognormal distribution 对数正态分布的散射参数 β geometry factor 几何因子
e ε elastic strain 弹性张力
p ε plastic strain 塑形张力
lim ,p ε limit value of plastic strain 塑形张力的极值
tot ε total strain 全部张力
γ location parameter of the lognormal distribution 对数正态分布的位置参数 ρ notch root radius 缺口根部半径
σ stress 应力
)(x σ stress distribution function 应力分布函数
a σ stress amplitude 应力幅值
I ∆K stress intensity range 应力强度范围
th I ,∆K stress intensity range threshold 应力强度阈值范围
1∆K stress intensity range from linear stress 线性压力应力强度范围
1n ∆K stress intensity range from non-linear stress 非线性压力应力强度范围 σ∆ stress cycle 应力周期
nom σ∆ nominal stress cycle 名义应力周期
N σ∆ real (Neuber) stress cycle 实际应力周期
a R ,σ∆ mean fatigue limit 平均疲劳极限
kth R ,σ∆ fatigue limit based on stress intensity range threshold 基于疲劳极限应力强度阈值范围
nom R ,σ∆ fatigue limit based on nominal stress cycle 基于名义应力疲劳极限周期 G St R +∆,σ fatigue limit calculated using statistical and geometric size effects 疲劳极限使用统计计算和几何尺寸的影响
Makkonen [1,2]显示起始裂纹的深度可以假设服从对数正态分布，他有如下概率密度函数：
2))ln((2121 f (x)απαγ-=x e x (1)
样本最大值的可以在次序统计的帮助下定义【3】：
-累积分布函数
)()(:x F x F n x n n = （2） -概率密度函数 )
()()(1:x f x nF x f n x n n -= （3） F (x)和f （x ）分别是 起始裂纹总体的累积分布函数和概率分布函数，既然等式（1）解不开，那么我们必须用数值方法来解等式（2）和（3）。

例如样本大小n ，样本的起始裂纹量满足以上等式，当谈论缺口样本时，很明显危险裂纹将产生在样本表面，因为最大应力总是出现在那儿。

因此，样本大小是样本表面裂纹的数量，每单元面积的起始
裂纹的确切数量不知道，参考2显示数值的可能误差对计算结果不具有重大影响，这篇论文使用参考2中每平方毫米100个裂纹，进一步讨论看参考2。

如果应力分布不连续，我们需计算出有效应力区域，可以通过方程4来计算，我们的想法是，减少低应力等级的区域面积，这样用恒定应力计算的有效区域失效的可能性和原样本一样。

结构的有效应力区域包括j 个部分，每个部分有不同的应力等级，可以用下面的公式计算：
i j i i eff A Ps A A ∑=∆+=21)
5.0log())(log(σ （4） 区域A1具有最大应力，当在应力级1σ∆作用下，区域A1不发生
疲劳失效的概率为0.5时，)(i Ps σ∆项代表在循环应力i σ∆作用下，区域Ai 不失效的概率。

当应力分布是连续时，相应的等式得到以下形式：
⎰∆=A
eff dA z y x Ps A ))),,((log())5.0log(1(σ (5) 样本大小由等式（5）计算出来的区域面积决定。

样本的最大裂纹分布可以通过等式（1）和（3）来定义。

期望值和标准偏差可以通过下面公式计算：
⎰∞
=0dx
xf x nn m (6)
⎰
∞-=02)()(dx x f x x s m x
(7)
疲劳极限和起始裂纹的深度可以通过线性弹性断裂力学来建立联系：
)
(1
,,0a R th I K a σβπ∆∆= （8） 既然疲劳极限和裂纹深度的平方根成反比，那么令x=0a ，起始裂纹深度0a 不能再实验测试中测量，因此，平均疲劳极限和标准方差
应该另外被决定。

等式（9）用来转换裂纹深度的结果。

当平均起始裂纹深度0a 和标准偏差0a s 已知，我们可以定义散射参数和位置参
数的对数正态分布，任一样本大小的期望最大裂纹深度可以通过等式
（3）和（6）来计算，最后，目标样本的期望平均疲劳极限可以通过等式（9）来解决。

应予以说明，当做这些计算时，所有样本应当属于同一总体。

这种情况不一定满足即使样本疏远同一种材料，进一步讨论请看参考
（1）和（2）。

几何因子β取决于试样形状，裂纹形状以及应力分布。

我们可以假设，在裂纹前沿应力强度因子是常数的地方裂纹形状倾向于成形。

3.几何尺寸效应
图1：相同t K 的应力梯度和肩部裂纹
图1给出了应力梯效应的原理演示，它有两个相同形状但不同形状的肩部。

如果在所以样本中名义应力循环相同，那么应力峰值
nom t K σ∆同样也相同。

我们假设在两个缺口的应力峰值区域有一个深度为0a 的起始裂纹，我们很容易发现大试样在裂纹尖端的应力循环高于
小试样。

这意味着，在大试样中，应力强度因子范围同样比较大。

因次，我们可以得出结论，大试样中关键裂纹深度更小，这导致更小的疲劳极限，这种现象被称作几何尺寸效应。

我们可以得出应力梯度对疲劳极限的影响可以通过计算两试样的应力强度因子来估计，类似的，与光滑试样比较同样是可行的。

事实上，几何尺寸效应可以作如下估计：
1、应力强度因子范围1n K ∆是在假定起始裂纹深度0a 的前提下，为非
线性应力分布而设计的。

2、应力强度因子范围1K ∆是为常应力nom t K σ∆设计的。

3、几何尺寸效应获得的比率11/K K K n g ∆∆=
以下应该被记住：
1、以上用于计算的裂纹尺寸是在裂纹萌生阶段后的深度0a 。

裂纹深度的估计值可以通过公式（9）获得。

2、最好的假设长宽比a / c 是沿裂纹前缘的常应力强度因子，这意味着长宽比在非线性应力分布和假定常应力场是不同的。

3、光滑试样承受弯曲应力时有轻微几何尺寸效应。

不管怎样，遭受弯曲和常张力的应力强度因子变化很小，所以通常可以忽略。

几何尺寸效应的计算需要在非线性应力强度因子能够计算，这种应力分布的解决方法通常是不可用的。

幸运的是，在起始裂纹开始转变模式到稳定裂纹扩展的情况下，非常小的裂纹值是需要的，对于非常小的裂纹来说，试样形状的影响是微不足道的，当裂纹尺寸越来越小时，应力强度因子将接近在半无限体中表面裂纹值。

因此，平板的表面裂纹处理方法通常可以使用，Wang 和Lambert 已经发展出了基于权函数的计算方法。

应力强度因子可以通过积分来计算：
⎰=a
dx a x m x K 0
),()(σ （10）
权函数m(x,a)给出了最深点和表面点，这使得调整裂纹纵横比来使得两点处的应力强度因子相同变得可能，以函数)(x σ的形式来呈现应力分布，实际应力分布可以用例如有限元的方法来定义。

一个合适的函数适于计算应力点,这个函数必须从试样表面到深度0a 都很准
确。

在常应力作用下，应力强度因子的参考值可以在Isida等人【7】的论文中找到，当长宽比近似于0.8时，在最深处和表面有相同的应力强度因子，几何因子 为0.735。

图2.试样形状
4.试验结果
Bo¨hm【4】和Magin【13】的论文结果在这里被使用，他们使用了同样的试样形状，见图2。

即使他们使用了相同的材料34CrNiMo8，对每个原始钢筋尺寸的热处理都被单独选择，使得他们得到相同的极限强度。

在Bo¨hm的试验中，试样的极限强度从898兆帕到966兆帕，在Magin的试样中，极限强度从884兆帕到936兆帕（表1）。

试样表面都被仔细擦亮以避免不同表面粗糙度的影响。

初始裂纹的总体的统计参数必须在一个试样的帮助下定义，利用光滑试样做参考试样是最方便的，因为它摆脱了几何尺寸因子的影
响。

正如在第二段中解释的，试样的不同尺寸并不能假定属于同一样本。

事实上，Magin的一些结果显示他们并不属于同一个总体【2】。

因此，统计常量分别确定每个试样直径,使用相同大小的光滑棒作为参考。

注意Magin的试样7/1和10/1是由相同尺寸的原始条棒，因此属于同一总体。

作用载荷模式方面，Bo¨hm选择的是拉压载荷，Magin选择的是旋转弯曲载荷，因此，应力比R=-1。

Bo¨hm选择的样本的疲劳极限的周期是6
10。

疲劳极限用两点策略定义，测试样
2 ，Magin的是7
10
本被分成两组，第一组在仅仅低于假设疲劳极限的应力值下测试，另一组在高于假设疲劳极限的应力值下测试。

平均应力极限或者事实上裂纹的最大平均深度，标准偏差可以在两组试样的失效概率的帮助下确定。

现在的主要困难是假设初始裂纹尺寸服从（2）中的分布。

分布参数需要用来通过公式（4）来计算平均裂纹尺寸。

为了避免冗长的迭代过程，我们假设疲劳极限基本服从正态分布，通过这种简化，平均疲劳极限和标准偏差可以在概率纸或数字的帮助下确定。

每个试样尺寸的总体分布规律α和γ在属于同一总体的参考试样的帮助下定义。

裂纹深度的期望值可以通过公式（1）到（7）来计算。

当裂纹深度的预测值可以使用时，平均疲劳极限的估计值可以通过以下等式得到：
)(1
20,,a K th I a
R βπσ∆=∆ （11）
等式左边除以2是因为当计算应力强度范围时，只有应力循环的张力部分被假定有效的。

材料的应力强度范围th I K ,∆的准确值并不知
道，我们用6m MPa 。

测试结果和计算结果在表2中显示。

沿着缺口表面的应力分布通过有限元建模来计算，图3展示了应力分布的一个例子，Bo ¨hm 测试的外加载荷是张力，Magin 的试样是弯矩。

有效应力区域eff A 通过以下步骤计算:
-缺口区域被分成三段(Y 1–Y 3, 7/2–80/2)或六段(Z 1–Z 5, 10/5–80/5)。

-每个区域的表面面积通过公式（12）计算。

-段的应力取自有限元模型，应用值是段中心值。

-与应力级相应的不失效概率从正态分布表得到。

-段的有效应力区域通过公式（4）计算。

缺口段表面积计算公式：
])sin()sin([20
11022
0y x x a y x x a y A +--=ρρπρ （12） 1x 和2x 分别是每一段的起始和终止坐标，ρ+=2
0d y 。

这一步在公式（4）中展示，区域A1是缺口根部的第一段，每一单位面积的起始裂纹假设为1002m m 【1,2】，因此，样本大小为100⨯eff A 。

表面以下的应力分布利用非常好的网格来建模计算，为了能够利用公式（10）计算应力强度因子，应力分布必须以函数的形式呈现。

应力首先被分成恒定张力和峰值应力，峰值应力部分可以利用一下多项式来准确形容：
2)2
()2()2()(32d y y d d y d c y d
b a x <---+--=σ （13） 因子a 和d 确定使得曲线能最好地拟合比初始裂纹更深的点，图4展示了一个有限元模型的应力分布例子以及取a =525.2, b =8903, c=87070 和d =347000时的拟合函数。

总应力强度因子范围可以在公式（8）和（10）的帮助下记为恒定部分和峰值部分的总和：
⎰∆+∆=∆0
001),()(a nom n dy a y m y a K σπσβ （14）
恒定应力nom t K σ∆的强度因子范围是：
01a K K nom t πσβ∆=∆ （15）
几何尺寸可以从以下公式得到：
1
1K ∆∆K =n g k （16） 正如第三章所述，长宽比是0.8时，恒定应力的几何因子β是0.735，非线性应力的几何因子取决于啊应力梯度，计算中使用的长宽比由表2可查。

5.讨论
在过去无数的缺口尺寸效应的估计方法已经展示，他们中的一些结果也收集在表3中。

Bo ¨hm 的方法是另一种统计方法，他以最弱环
原理为基础，有兴趣的读者可以看参考【4】。

原始的皮特森公式是：
ρ
a t f +-K +=K 111 （17） 回火钢的材料常数a 等于0.0635毫米。

在断裂力学的基础上，最后的三个方法已经发展，Topper 和 El Haddad 【9】提出了以下等式：
)1(0
l d n f +=K （18） 变量n d 是缺口深度，材料参数0l 可以通过类似于（9）的公式计
算：
20
0)(1R th l σπ∆∆K = (19) Topper 和El Haddad 推断公式（18）适用于尖锐缺口，钝缺口f K 接近于t K 。

Smith 和Miller 【10】声明初始裂纹的最小应力可以在疲劳集中系数的帮助下计算：
5.0]69.71[ρn
FATIGUE d +=K （20）
Taylor 【14】发展出一种基于裂纹体和缺口部分的应力场的类比的方法，他给出三种可能：点，线，区域。

所有的方法得出的结果都相当接近，以下等式适用于点法：
4020,)2/(3)2(22l d d l d d n n n n nom
R R ++++∆=∆σσ （21）
表3显示统计方法是给出满意结果的唯一方法，由断裂力学发展出的方法对于测试试样一点都不起作用。

表2显示当今方法中作者对于缺口试样的疲劳极限的假设适用于所有试样，最大误差出现在具有陡峭应力梯度的尖锐试样。

尖锐缺口试样的不同习性的最大可能原因是缺口根部的塑形变形的增长，因此，缺口根部的张力部件紧接着被估计。

试样的弹塑性变形假设服从Neuber 定则：
εσK K =K 2t （22） Bo¨hm 和 Magin 在以上的等式中并没有定义常数，因此，他们使用了Boller 和Seeger 的手册的类似材料值：E=20600N/2m m ，085.0,/9722='N =K 'n mm 。

应该被指出的是，实际值的变化很可能取决于试样直径。

缺口试样的缺口根部的应力状态变成多向的，我们因此假设根据von Mises 准则，在等价应力超过循环屈服极限之前没有屈服发生。

在等式（22）和（23）的帮助下，我们现在可以计算弹性和塑形的张力部分的估计值以及缺口根部的真实Neuber 应力，结果显示在表
三中。

我们可以很容易发现，在估计疲劳极限偏离大多数实验值的试样上，塑形变形是最高的，除了Magin 的试样35/5。

因为塑形变形在尖锐缺口的疲劳行为上起重要作用，很明显没有单一的公式可以预测所有类型缺口的疲劳极限。

对于疲劳极限大大超过材料的循环屈服应力的试样，另一种规则应该被发展，下面将检测发展一种简单的工程近似法。

正如以前证明的，在统计和几何尺寸效效应的混合作用下，我们可以估计出疲劳极限的上限。

另一方面，Smith 和Miller[10]已经显示，下限通过循环应力给出，与材料的应力强度因子的临界值一致，当缺口根部的半径趋向于0时，这仍将有效。

在这种情况下，裂纹深度应该与缺口深度相同。

真实组件落到这两种情况之间。

现在我们假设这种试样额疲劳极限可以在基于塑形变形的大小的添加公式下估计。

例如满足以上条件的等式：
lim ,,p p G St R R when εεσσ≤∆=∆+
Kth R P
P t G St R nom R ,lim ,,,)(σεεσσ∆+K ∆=∆+ （24） lim ,lim ,)1(p p p
p when εεεε>- 等式的后面部分接近于应力循环，当塑形应变接近于无穷时，是基于应力强度因子临近范围计算的：
)(1
2,,n th I Kth
R d βπσ∆K =∆ （25）
这与等式（11）相同，除了初始裂纹0a 被缺口深度n d 代替。

注意，
这里同样假设只有应力循环的张力部分对应力强度因子范围起作用。

除了阈值th I ,K ，我们同样需要几何因子β值。

轴向对称槽的公式可以
在【12】中找到。

测试试样形状的β值大约从1.3到1.5。

lim ,p ε值应该在表4中应变估计值的帮助下估计，它看上去低于
07.1=p top εε，塑形变形对疲劳极限不具有重要影响。

因此，lim ,p ε是基
于这个值计算的，需要指出的是Ramberg –Osgood 公式（23）给出了任何应力梯度下塑性变形的一小部分。

对于指数e ，我们没有足够可靠的数据来定义一个可靠值，这篇论文选择e=1/3，因为相对于实验值，它给出了较好的结果。

公式（24）被用来计算试样缺口尺寸因子f K 的估计值，在计算疲劳极限时，塑
形张力大于极限值lim ,p ε，这些值显示在表三中。

最后，需要指出公式（9）初始裂纹深度的计算是自然近似的，而且，应力强度阈值的精确值不知道，并且当定义在长裂纹的值应用到非常小的初始裂纹时是有问题的。

参考【1】显示估计初始裂纹的可能问题在做统计尺寸效应的计算时是可以忽略的，几何尺寸效应的影响自然更大，这是通过增加预测应力强度因子阈值从6到9m MPa 来测试Bo¨hm 的试样Z3，得到的疲劳极限值增长了9.7%。

至于测试的缺口试样，初始裂纹的形状对应力强度因子的获得值同样有重要影响。

假设初始裂纹趋于成形，沿着裂纹前沿给出恒定应力强度因子，这对于极小裂纹可能是有问题的。

6.结论
1.单独的方法不能预测钝缺口和尖锐缺口的疲劳极限，在非常小的细节上，张力的塑形部分对于疲劳极限都是需要考虑的，并且这应该被解释。

2.钝缺口（塑形变形无关紧要的缺口）的疲劳极限可以在几何和统计效应的混合下被精确预测。

为了工业目的，统计尺寸效应单独就给出了充分精确的结果。

3.尖锐缺口（塑形变形超过极限值得缺口）的疲劳极限在进行估计时应该考虑当缺口根部半径变小时，疲劳极限接近于一个值，那个值通过以下得到：
（1）缺口假设作为初始裂纹；
（2）裂纹深度等于缺口深度；
（3）目的在于在线弹性断裂力学和应力强度因子阈值的帮助下计算裂纹的疲劳极限。

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