长郡中学2021届高三数学短卷训练14参考答案

f (sinq + cosq ) -1< -[ f (sin 2q - t) -1]，
即 g(sinq + cosq ) < -g(sin 2q - t) = g(t - sin 2q ) ，
( ) 当 x > 0 时 y = x2 +1 + x单调递增，可得 y = lg x2 +1 + x 单调递增，
所以 ÐAPG 即为直线 PA 与平面 PFD 所成的角.
3 因为!AFD 的面积为 2 ， FD =
5 ，所以 1 ´ 2
5
´
AG
=
3
，所以
AG
=
2
3
=3
5
，
55
所以 tan ÐAPG = AG = 3 5 . 故选：A AP 5
5．B 【详解】
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由题，因为
f
(
x)
在
éêë0,
g ( x)的定义域为 R ，
( ) ( ) g(-x) + g(x) = lg (-x)2 +1 - x + e-x - ex + lg x2 +1 + x + ex - e-x = 0 ，
所以 g (-x) = -g ( x)，所以 g ( x)是奇函数，
不等式 f (sinq + cosq ) < 2 - f (sin 2q - t)等价于
p 2
ù úû 有且仅有
2
个极小值点，所以
3T 2
£
p 2
<
5 2
T
，即
p <T £p ，
5
3
因为w = 2p ，所以 6 £ w < 10 ，故 A 正确； T
p
因为
< T £ p ，所以 p
<T
£p ，
5
3
10 2 6
因为
f
(
x
)
在
ห้องสมุดไป่ตู้
æ çè
T 2
,T
ö
T
÷ø 单调递增，只有当 2
=
p 6
时
f
(
x)
F ，D
四点共线，因为 P¢D = 4 ， DD¢ = 2，
CF
=
CD¢
，所以
CF
=
2
.
P¢D DD
过点 A 作 AG ^ FD ，垂足为 G ，连接 PG ，
因为 PA ^ 平面 ABCD ， FD Ì 平面 ABCD ，所以 PA ^ FD ，则 FD ^ 平面 PAG ，
所以平面 PAG ^ 平面 PFD ，过 A 作 AH ^ PG ，垂足为 H ，则 AH ^ 平面 PFD ，
y = ex 单调递增， y = e-x 单调递减，
( ) 所以 g(x) = lg x2 +1 + x + ex - e-x 在 (0, +¥ )单调递增， ( ) 又因为 g(x) = lg x2 +1 + x + ex - e-x 为奇函数， ( ) 所以 g(x) = lg x2 +1 + x + ex - e-x 在 R 上单调递增，
令
P(X =k P(X =
+1) k)
=
C k +1 20
æ çè
1 3
k
ö ÷ ø
+1
×
æ çè
2 3
20-k
ö ÷ ø
-1
C2k0
æ çè
1 3
k
ö ÷ ø
×
æ çè
2 3
20-k
ö ÷ ø
=
20 2k
-k +2
> 1，得 k
<
6
，
即当 k < 6 时， P(X = k +1) > P(X = k) ；
( ) 当 a ¹ ±1时，要使函数 y = lg éë a2 -1 x2 - 2(a -1)x + 3ùû 的值域为 R ， ( ) 则函数 u = a2 -1 x2 - 2(a -1)x + 3的值域 包含 (0, +¥)，
ìïa2 -1 > 0
( ) í
ïîD=4
(
a
-1)2
-12
a2 -1
，解得 -2 £ a < -1， ³0
当 k = 6 时， P(X = 7) = P(X = 6)；
当 k > 6 时， P(X = k +1) < P(X = k)，
所以 P( X = 6)和 P( X = 7) 的值最大.
故选：BC. 10．CD
( ) 【详解】令 g(x) = lg x2 +1 + x + ex - e-x ，则 f (x) = g ( x) +1，
所以 sinq + cosq < t - sin 2q ，即 t > sinq + cosq + sin 2q ，
=
2ÐPOQ
=
p 2
，!
OC1
=
OC2
= r，则
C1C2
=
2r ，
所以， !ABC 的周长为 AC + BC + AB = AC2 + BC1 + AB ³ C1C2 = 2r ，
当且仅当 C1 、 B 、 A 、 C2四点共线时，等号成立，但 ! ABC 的周长无最大值. 因此， ! ABC 的周长有最小值，无最大值.故选：C.
综上，实数 a 的取值范围是 [-2, -1].
故选：B
8．A
【详解】
由题意可得 a7
=
S13 13
， b3
+ b11
=
2b7
=
2T13 13
，则
a7 b3 + b11
=
S13 2T13
=
3´13 - t
2´(5´13+ 3)
=
1
，解
4
得 t = 5 .故选：A．
9．BC
【详解】
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2
个极
大值点，故 D 正确. 故选：B 6．C 【详解】
如下图所示，作出 C 关于 OQ 的对称点 C1 ，作出点 C 关于 OP 的对称点 C2，连接 BC1、
AC2 ，
由对称性可知 BC1 = BC ， AC = AC2 ，
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p 由于 ÐPOQ = 4 ，则 ÐC1OC2
7．B 【详解】
( ) 解：∵函数 y = lg éë a2 -1 x2 - 2(a -1)x + 3ùû 的值域为 R ， ( ) 令 u = a2 -1 x2 - 2(a -1)x + 3，
当 a = 1时， u = 3，不合题意；
当 a = -1时， u = 4x + 3，此时 y = lg(4x + 3)，满足题意；
在
æ çè
p 6
,p 4
ö ÷ 单调递增才成立，故 ø
B
错误；
因为
f
(
x
)
在
æ çè
0,
T 2
ö ÷ø 单调递减，所以
f
(
x
)在
æ çè
0,
p 12
ö ÷ø 上单调递减，故
C
正确；
因为
x
Î
æ çè
0,
p 2
ö ÷ ，两端点取不到，且 ø
3T 2
£
p 2
<
5T 2
，所以
f
(x)在
æ çè
0,
p 2
ö ÷ø至多有
高三数学 短卷训练 （ １４ ）
参考答案 1．B 2．A 3．A 4．A
4.【详解】把平面 PAB 展开到与平面 ABCD 共面的 P¢AB 的位置(如下图)，
延长 DC 到 D ，使得 CD¢ = 1，则 DF = D¢F ，
因为 PD 的长度为定值，故只需 PE + EF + FD = P¢E + EF + FD¢最小，只需 P¢ ， E ，