红山区民族中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

红山区民族中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10
元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于
，且获得一等奖
的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ）
A ．最多可以购买4份一等奖奖品
B ．最多可以购买16份二等奖奖品
C ．购买奖品至少要花费100元
D ．共有20种不同的购买奖品方案2． 在△ABC 中，若2cosCsinA=sinB ，则△ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
3． 已知实数x ，y 满足约束条件，若y ≥kx ﹣3恒成立，则实数k 的数值范围是（ ）
A ．[﹣
，0]B ．[0
，
]C ．（﹣∞，0]∪[
，+∞）D ．（﹣∞，﹣
]∪[0，+∞）
4． 设函数f （x ）=，则f （1）=（
）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5． 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数的图象，)63sin(2)(π+=x x f 4
π
)(x g 则的解析式为（ ）
)(x g A ． B ．3)43sin(
2)(--=π
x x g 343sin(
2)(++=πx x g C ．
D ．312
3sin(2)(+-=π
x x g 3
)12
3sin(2)(--=π
x x g 【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度.6． 若，，则不等式成立的概率为（
）
[]0,1b ∈2
2
1a b +≤A ．
B ．
C ．
D ．
16
π
12
π
8
π
4
π
7． 已知△ABC 是锐角三角形，则点P （cosC ﹣sinA ，sinA ﹣cosB ）在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限8． 对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出两个判断：
①（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2≠0；②a ≠b ，b ≠c ，c ≠a 不能同时成立，下列说法正确的是（ ）
A ．①对②错
B ．①错②对
C ．①对②对
D ．①错②错
9． 在△ABC 中，若A=2B ，则a 等于（
）A ．2bsinA B ．2bcosA
C ．2bsinB
D ．2bcosB 10．函数的定义域是（ ）
A ．[0，+∞）
B ．[1，+∞）
C ．（0，+∞）
D ．（1，+∞）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
11．在中，角，，的对边分别是，，，为边上的高，，若
ABC ∆A B C BH AC 5BH =，则到边的距离为（ ）
2015120aBC bCA cAB ++=u u u r u u u r u u u r r
H AB A ．2 B ．3
C.1 D ．4
12．在中，、、分别为角
、
、
所对的边，若
，则此三角形的形状一定是
（ ）A ．等腰直角B ．等腰或直角C ．等腰
D ．直角
二、填空题
13．设抛物线C ：y 2=3px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为 ．　
14．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC=5，CD=5，BD=2AD ，则AD 的长为 ．
　15．log 3
+lg25+lg4﹣7
﹣（﹣9.8）0= ．
16．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数的单调递减区间为__________.()2
1ln 2
f x x x =-17．函数f （x ）=log
（x 2﹣2x ﹣3）的单调递增区间为 ．
18．数列{ a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c （c 为常数），{a n }的前10项和为S 10＝200，则c ＝________．
三、解答题
19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点，求证：
（1）直线EF ∥平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD ．
20．（本小题满分12分）已知．1
()2ln ()f x x a x a R x
=-
-∈
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
3a =()f x （Ⅱ）设，且有两个极值点，其中，求的最小值．()()2ln g x f x x a x =-+()g x 1[0,1]x ∈12()()g x g x -【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归思想和综合分析问题、解决问题的能力．
21．如图所示，已知+=1（a ＞＞0）点A （1，）是离心率为的椭圆C ：上的一点，斜率为的直
线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求△ABD 面积的最大值；
（Ⅲ）设直线AB 、AD 的斜率分别为k 1，k 2，试问：是否存在实数λ，使得k 1+λk 2=0成立？若存在，求出λ的值；否则说明理由．
22．如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC=，M 为BC 的中点．
（Ⅰ）证明：AM ⊥PM ； （Ⅱ）求点D 到平面AMP 的距离．
23．A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|ax﹣2=0}，若B⊆A，求a．
24．已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4．
（I）求p的值；
（II）若经过点D（﹣2，﹣1），斜率为k的直线m与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围．
红山区民族中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】【知识点】线性规划
【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x，y，
则根据题意有：，作可行域为：
A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（2，16），（3，9），（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。

其中，x最大为4，y最大为16．
最少要购买2份一等奖奖品，6份二等奖奖品，所以最少要花费100元。

所以A、B、C正确，D错误。

故答案为：D
2．【答案】D
【解析】解：∵A+B+C=180°，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA，
∴sinCcosA﹣sinAcosC=0，即sin（C﹣A）=0，
∴A=C 即为等腰三角形．
故选：D．
【点评】本题考查三角形形状的判断，考查和角的三角函数，比较基础．
3． 【答案】A
【解析】解：由约束条件作可行域如图，
联立，解得B （3，﹣3）．
联立，解得A （
）．
由题意得：
，解得：
．
∴实数k 的数值范围是．故选：A ．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．　
4． 【答案】D 【解析】解：∵f （x ）=，
f （1）=f[f （7）]=f （5）=3．故选：D ．　
5． 【答案】B
【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得，将的图象向左平移个单位得到函数的图
)(x f 4
π
4
(π
+
x f 象，再将的图象向上平移3个单位得到函数的图象，因此
)4
(π
+
x f 3)4
(++
π
x f =)(x g 3)4
(++
π
x f .
3)4
3sin(23]6)4(31sin[2++=+++=π
ππx x 6． 【答案】D 【
解
析
】
考点：几何概型．
7．【答案】B
【解析】解：∵△ABC是锐角三角形，
∴A+B＞，
∴A＞﹣B，
∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，
∴sinA﹣cosB＞0，
同理可得sinA﹣cosC＞0，
∴点P在第二象限．
故选：B
8．【答案】A
【解析】解：由：“a，b，c是不全相等的正数”得：
①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2中至少有一个不为0，其它两个式子大于0，
故①正确；
但是：若a=1，b=2，c=3，则②中a≠b，b≠c，c≠a能同时成立，
故②错．
故选A．
【点评】本小题主要考查不等关系与不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力．属于基础题．
9．【答案】D
【解析】解：∵A=2B，
∴sinA=sin2B，又sin2B=2sinBcosB，
∴sinA=2sinBcosB，
根据正弦定理==2R得：
sinA=，sinB=，
代入sinA=2sinBcosB 得：a=2bcosB ．故选D
10．【答案】A
【解析】解：由题意得：2x ﹣1≥0，即2x ≥1=20，因为2＞1，所以指数函数y=2x 为增函数，则x ≥0．所以函数的定义域为[0，+∞）故选A
【点评】本题为一道基础题，要求学生会根据二次根式的定义及指数函数的增减性求函数的定义域．　
11．【答案】D 【解析】
考
点：1、向量的几何运算及平面向量基本定理；2、向量相等的性质及勾股定理.
【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理、向量相等的性质及勾股定理，属于难题，平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，注意两个向量的差
，这是一个易错点，两个向量的和（点是的中点）,另外，要选好基底
OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r 2OA OB OD +=u u u r u u u r u u u r
D AB 向量，如本题就要灵活使用向量，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几
,AB AC u u u r u u u r
何意义等.12．【答案】B 【解析】因为，所以由余弦定理得
，
即
，所以
或
，
即此三角形为等腰三角形或直角三角形，故选B 答案：B
二、填空题
13．【答案】　y 2=4x 或y 2=16x ．
【解析】解：因为抛物线C方程为y2=3px（p＞0）所以焦点F坐标为（，0），可得|OF|=
因为以MF为直径的圆过点（0，2），所以设A（0，2），可得AF⊥AM
Rt△AOF中，|AF|=，
所以sin∠OAF==
因为根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
所以∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，
因为|MF|=5，|AF|=，
所以=，整理得4+=，解之可得p=或p=
因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故答案为：y2=4x或y2=16x．
【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．
14．【答案】　5　．
【解析】解：如图所示：延长BC，过A做AE⊥BC，垂足为E，
∵CD⊥BC，∴CD∥AE，
∵CD=5，BD=2AD，∴，解得AE=，
在RT△ACE，CE===，
由得BC=2CE=5，
在RT△BCD中，BD===10，
则AD=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查平行线的性质，以及勾股定理，做出辅助线是解题的关键，属于中档题．　
15．【答案】 ．
【解析】解：原式=+lg100﹣2﹣1=+2﹣2﹣1=，
故选：
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
0,1
16．【答案】()
【解析】
17．【答案】　（﹣∞，﹣1）　．
【解析】解：函数的定义域为{x|x ＞3或x ＜﹣1}
令t=x 2﹣2x ﹣3，则y=
因为y=在（0，+∞）单调递减
t=x 2﹣2x ﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增
由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1）
故答案为：（﹣∞，﹣1）
18．【答案】
【解析】解析：由a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c ，知数列{a n }是以2为首项，公差为c 的等差数列，由S 10＝200得10×2＋×c ＝200，∴c ＝4.10×92答案：4
三、解答题
19．【答案】
【解析】证明：（1）在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD ．
又因为EF 不在平面PCD 中，PD ⊂平面PCD
所以直线EF ∥平面PCD ．
（2）连接BD ．因为AB=AD ，∠BAD=60°．
所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ．
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，
平面PAD ∩平面ABCD=AD ，所以BF ⊥平面PAD ．
又因为BF ⊂平面EBF ，所以平面BEF ⊥平面PAD ．
【点评】本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域),0(+∞，
当时，，3a =1()23ln f x x x x
=--2'2213231()2x x f x x x x -+=+-=令得，或；令得，，'()0f x >102x <<1x >'()0f x <112
x <<
故的递增区间是和；()f x 1
(0,)2
(1,)+∞的递减区间是．()f x 1(,1)2
（Ⅱ）由已知得，定义域为，x a x
x x g ln 1)(+-=),0(+∞，令得，其两根为，222111)(x
ax x x a x x g ++=++='0)(='x g 012=++ax x 21,x x 且，
21212
40010a x x a x x ⎧->⎪+=->⎨⎪⋅=>
⎩21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵
，∴a=c ，∴b 2=c 2
∴椭圆方程为+=1又点A （1，
）在椭圆上，∴
=1，∴c 2=2
∴a=2，b=，
∴椭圆方程为
=1 …
（Ⅱ）设直线BD方程为y=x+b，D（x1，y1），B（x2，y2），
与椭圆方程联立，可得4x2+2bx+b2﹣4=0
△=﹣8b2+64＞0，∴﹣2＜b＜2
x1+x2=﹣b，x1x2=
∴|BD|==，
设d为点A到直线y=x+b的距离，∴d=
∴△ABD面积S=≤=
当且仅当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为…
（Ⅲ）当直线BD过椭圆左顶点（﹣，0）时，k1==2﹣，k2==﹣2
此时k1+k2=0，猜想λ=1时成立．
证明如下：k1+k2=+=2+m=2﹣2=0
当λ=1，k1+k2=0，故当且仅当λ=1时满足条件…
【点评】本题考查直线与椭圆方程的综合应用，考查存在性问题的处理方法，椭圆方程的求法，韦达定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：取CD的中点E，连接PE、EM、EA
∵△PCD为正三角形
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
∵平面PCD⊥平面ABCD
∴PE⊥平面ABCD
∵四边形ABCD是矩形
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形
由勾股定理得EM=，AM=，AE=3
∴EM2+AM2=AE2，∴∠AME=90°
∴AM⊥PM
（Ⅱ）解：设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则V P﹣ADM=V D﹣PAM
∴
而
在Rt△PEM中，由勾股定理得PM=
∴
∴
∴，即点D到平面PAM的距离为
23．【答案】
【解析】解：解：集合A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}
∵B⊆A，
∴（1）B=∅时，a=0
（2）当B={1}时，a=2
（3））当B={2}时，a=1
故a值为：2或1或0．
24．【答案】
【解析】解：（I）由题意可知，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为，准线方程为．所以，直线l的方程为…
由消y并整理，得…
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2=3p，
又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，
所以，3p+p=4，所以p=1…
（II）由（I）可知，抛物线的方程为y2=2x．
由题意，直线m的方程为y=kx+（2k﹣1）．…
由方程组（1）
可得ky2﹣2y+4k﹣2=0（2）…
当k=0时，由方程（2），得y=﹣1．
把y=﹣1代入y2=2x，得．
这时．直线m与抛物线只有一个公共点．…
当k≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k（4k﹣2）．
由△＞0，即4﹣4k（4k﹣2）＞0，亦即4k2﹣2k﹣1＜0．
解得．
于是，当且k≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这时，直线m与抛物线有两个不同的公共点，…
因此，所求m的取值范围是．…
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。