2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习高效演练分层突破：选修4-4 第2讲 参数方程 Word版解析版

[基础题组练]
1．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α为直线的倾斜角)． (1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 有唯一的公共点，求角α的大小． 解：(1)当α＝π
2时，直线l 的普通方程为x ＝－1；
当α≠π
2时，直线l 的普通方程为y ＝(x ＋1)tan α.
由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝2x ，
即为曲线C 的直角坐标方程．
(2)把x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α代入x 2＋y 2＝2x ，整理得t 2－4t cos α＋3＝0. 由Δ＝16cos 2α－12＝0，得cos 2α＝3
4，
所以cos α＝
32或cos α＝－32
， 故直线l 的倾斜角α为π6或5π
6
.
2．以极点为原点，以极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C 的极坐标方
程为ρ＝10，曲线C ′的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，
y ＝－4＋5sin α，(α为参数)．
(1)判断两曲线C 和C ′的位置关系；
(2)若直线l 与曲线C 和C ′均相切，求直线l 的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝10得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝100，
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α
得曲线C ′的普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝25. 曲线C 表示以(0，0)为圆心，10为半径的圆； 曲线C ′表示以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．
因为两圆心间的距离5等于两圆半径的差，所以圆C 和圆C ′的位置关系是内切．
(2)由(1)建立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，（x －3）2＋（y ＋4）2＝25， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－8，可知两圆的切点坐标为(6，－8)，且公切线的斜率为34，
所以直线l 的直角坐标方程为y ＋8＝3
4(x －6)，
即3x －4y －50＝0，
所以极坐标方程为3ρcos θ－4ρsin θ－50＝0.
3．(2020·成都市第二次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos β，y ＝2sin β(β为参数，β∈[0，π])．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 恰有一个公共点P ，求点P 的极坐标．
解：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos β
y ＝2sin β
，得(x －4)2＋y 2＝4.
因为β∈[0，π]，所以曲线C 的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4(y ≥0)．
因为直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，
所以直线l 的倾斜角为α，且过原点O (极点)． 所以直线l 的极坐标方程为θ＝α，ρ∈R . (2)由(1)可知，曲线C 为半圆弧．
若直线l 与曲线C 恰有一个公共点P ，则直线l 与半圆弧相切． 设P (ρ，θ)(ρ>0)．由题意，得sin θ＝24＝12，故θ＝π
6.
而ρ2＋22＝42，所以ρ＝2 3. 所以点P 的极坐标为⎝
⎛⎭⎫23，π
6. 4．(2020·陕西铜川模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝1＋35
t ，
y ＝1＋4
5
t (t
为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2
＝
21＋sin 2θ
，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4. (1)求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；
(2)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM |. 解：(1)由ρ2＝2
1＋sin 2θ得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2，①
将
ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ
代入①并整理得，曲线C 的直角坐标方程为x 22
＋y 2
＝1.
设点P 的直角坐标为(x ，y )，因为点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π
4， 所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π
4＝1.
所以点P 的直角坐标为(1，1)．
(2)将⎩⎨⎧
x ＝1＋35
t ，
y ＝1＋4
5
t 代入x 22
＋y 2
＝1，并整理得41t 2＋110t ＋25＝0，
Δ＝1102－4×41×25＝8 000>0，故可设方程的两根分别为t 1，t 2，
则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－110
41.
依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 2
2
， 所以|PM |＝⎪⎪
⎪⎪t 1＋t 22＝5541.
5．(2020·河南省六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝7－t ，
y ＝－2＋t (t
为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝42sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)设曲线C 与直线l 的交点为A ，B ，Q 是曲线C 上的动点，求△ABQ 面积的最大值．
解：(1)由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝7－t ，y ＝－2＋t 消去t 得x ＋y －5＝0，所以直线l 的普通方程为x ＋y －5＝0.
由ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4＝4sin θ＋4cos θ，得ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ， 化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，
所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.
(2)由(1)知，曲线C 是以(2，2)为圆心，22为半径的圆，直线l 过点P (3，2)，可知点P 在圆内．
将直线l 的参数方程化为⎩⎨⎧x ＝7－22t
y ＝－2＋2
2
t ，代入圆的直角坐标方程，得t 2
－9
2t ＋33＝0.
设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝92，t 1t 2＝33， 所以|AB |＝|t 2－t 1|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝30. 又圆心(2，2)到直线l 的距离d ＝|2＋2－5|2＝2
2，
所以△ABQ 面积的最大值为12×30×⎝⎛⎭⎫2
2＋22
＝515
2
. 6．(2020·吉林第三次调研测试)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
⎩⎨⎧x ＝1－22t ，
y ＝1＋2
2t
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2
的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.
(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；
(2)若C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，求1|P A |＋1|PB |
的值． 解：(1)曲线C 1
的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，
y ＝1＋2
2t ，
(t 为参数)，两式相加消去t 可得普通方程为
x ＋y －2＝0.由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ，可得曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .
(2)把曲线C 1的参数方程⎩
⎨⎧x ＝1－
22
t ，y ＝1＋2
2
t
(t 为参数)代入y 2＝4x ，得t 2＋62t －6＝0，
设t 1，t 2是A ，B 对应的参数，则t 1＋t 1＝－62，t 1·t 2＝－6， 所以1|P A |＋1|PB |＝|P A |＋|PB ||P A |·|PB |＝|t 1－t 2||t 1·t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1·t 2|t 1·t 2|
＝966＝26
3.
[综合题组练]
1．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方
程为⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α
⎝⎛⎭⎫t 为参数且t >0，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝cos β，y ＝1＋sin β
⎝⎛⎭⎫β为参数，且β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的
极坐标方程为ρ＝1＋cos θ⎝⎛⎭
⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，曲线C 4的极坐标方程为ρcos θ＝1. (1)求C 3与C 4的交点到极点的距离；
(2)设C 1与C 2交于P 点，C 1与C 3交于Q 点，当α在⎝⎛⎭⎫0，π
2上变化时，求|OP |＋|OQ |的最大值．
解：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1＋cos θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，ρcos θ＝1
得ρ2－ρ－1＝0，解得ρ＝1＋52
，即交点到极点的距离为1＋5
2
.
(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α⎝⎛⎭
⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，ρ>0， 曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，联立C 1，C 2的极坐标方程得ρ＝2sin α，α∈⎝⎛⎭
⎫0，π
2， 即|OP |＝2sin α，α∈⎝⎛⎭
⎫0，π
2， 曲线C 1与曲线C 3的极坐标方程联立得ρ＝1＋cos α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π
2， 即|OQ |＝1＋cos α，α∈⎝⎛⎭
⎫0，π
2， 所以|OP |＋|OQ |＝1＋2sin α＋cos α＝1＋5sin(α＋φ)，其中φ的终边经过点(2，1)， 当α＋φ＝π
2
＋2k π，k ∈Z 时，|OP |＋|OQ |取得最大值，为1＋ 5.
2．(2020·原创冲刺卷二)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＋y ＝4，曲线C 2：⎩⎨
⎧x ＝2cos α
y ＝3sin α
(α为参数)．在同一平面直角坐标系中，曲线C 2
上的点经过坐标变换⎩⎨⎧x ′＝1
2x ＋1，
y ′＝3
3y ，
得到曲线
C 3，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线C 1的极坐标方程和曲线C 3的极坐标方程；
(2)若射线l ：θ＝α(ρ>0)分别交C 1与C 3于A ，B 两点，求|OB |
|OA |的取值范围．
解：(1)由C 1：x ＋y ＝4，得直线C 1的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝4， 由曲线C 2的参数方程得其普通方程为x 24＋y 2
3
＝1，
由⎩
⎨⎧x ′＝1
2x ＋1，
y ′＝33
y
可得⎩⎨⎧x ＝2（x ′－1），y ＝3y ′，
将其代入x 24＋y 2
3＝1，
可得(x ′－1)2＋y ′2＝1，
所以曲线C 3的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (2)设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，则－π4<α<π
2，
由题可得ρ1＝
4
cos α＋sin α，ρ2
＝2cos α，
所以|OB ||OA |＝ρ2ρ1＝14×2cos α(cos α＋sin α)＝14(cos 2α＋sin 2α＋1)＝14⎣⎡⎦⎤2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋1， 因为－π4<α<π2，
所以－
2
2
<cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4≤1， 所以0<14⎣⎡⎦⎤2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋1≤14(2＋1)． 所以|OB |
|OA |的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，14（2＋1）.。