九年级数学上册 24.1.3 弧,弦,圆心角市级公开课课件 人教新课标版

24.1.3 弧、弦、圆心角
第一页，编辑于星期五：十三点 三十五分。
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船能过拱桥吗
解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
由题设得 A B 7 .2 ,C D 2 .4 ,H N 1M 1 N .5 .
相等
因为AB=CD ，所以∠AOB=∠COD.
又因为AO=CO，BO=DO，
A
E
B
所以△AOB ≌ △COD.
又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高，
O·
D
所以 OE = OF.
F
C
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2.如图，AB是⊙O的直径，
⌒
BC
=
⌒
CD
= ,⌒ D∠ECOD=35°，
N'
N
O
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。
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二、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A
O·
B 如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
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三、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些
AB = A1B1 ABA'B'.
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四、定理
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆 心角____相_，等 所对的弦_______相_；等
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角
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一、思考
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心.
·
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把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N O
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把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
证明：∵AB=AC
∴ AB=AC, △ABC 等腰三角形．
又∠ACB=60°，
O·
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA.
B
C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
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六、练习
⌒ ⌒ 1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
〔1〕如果AB=CD，那么____A_B___=___C，D______ __A _O __B __ __ __C ．O D
等量关系？为什么？
A′ B
A′
B
B′
B′
·
O
A
·
O
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然∠AOB＝ ∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′， OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．
⌒ ⌒ 因此，弧AB与弧A1B1 重合，AB与A′B′重合．
N'
N O
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把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N
O
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把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
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把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， 由此可以看出，点N'仍落在圆上。
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 〔 〔23〕〕如如果果∠AAOBB==∠COCDD，，那那么么___________A_A__B_B_=__C___D=____，，C_D______ ___A __O ___B ___ ___ A__C _B_．O =_C．D D
〔4〕如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
O
D
求证：A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒A;
C
AB=BC=CD=DA.
证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径,
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º
∴
⌒⌒ ⌒ ⌒ AB=BC=CD=DA
AB=BC=CD=DA(圆心角定理)
点此继续
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小结圆的旋转ຫໍສະໝຸດ 变性求∠AOE的度数．E
D
解：
⌒
BC
=
⌒
CD
=
⌒
DE
B O C = C O D = D O E = 3 5
C
A O E 1 8 0 3 3 5
A
·
O
B
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∵把圆心角等分成360份,那么每一份的圆心角 是1º.同时整个圆也被分成了360份.
那么每一份这样的弧叫做1º的弧.
这样,1º的圆心角对着1º的弧, 1º的弧对着1º的圆心角. n º的圆心角对着nº的弧, n º的弧对着nº的圆心角.
n°弧
n°
1°
1°弧
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
小结
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判断
在两个圆中，分别有 AB 和 CD , 若 AB 的度 数和 CD 相等，则有 （1）AB 和 CD 相等 （2）AB 所对的圆心角和 CD 所对的圆
3.圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距.求证:在同圆或 等圆中,相等的圆心角所对的弦的弦心距相等.
结束
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例2：如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的
1 ，圆的半径为4cm，求AB的长 3
O
A
B
C
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A
知识延伸
B
如图，AC与BD为⊙O的两条互 相垂直的直径.
圆心角的定义
圆心角定理 圆心角定理的应用
弧的度数
学生练习
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心角相等
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试一试
1.在半径相等的⊙O和⊙O ´中,A⌒B和A ´⌒B 所´ 对的圆心 角都是60°. (1)A⌒B和A⌒ ´B各´ 是多少度? (2)A⌒B和A´⌒B´相等吗?
(3)在同圆或等圆中,度数相度的弧相等.为什么?
2.若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆8等分,那么 每一份弧是多少度?
______，所相对等的弧_________． 相等
同圆或等圆中， 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相 等．
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五、例题
⌒⌒
例1 如图在⊙O中，AB=AC ，∠ACB=60°，
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
⌒⌒
A
AD
1
AB
1
7.2
2 3.6,
2
2
OD O CDCR2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
O2AAD 2OD 2,
即 R 23.62(R2.4)2.
解得 R≈3.9〔m〕. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON2HN2, 即 O H3.921.523.6. D 3 .6 H 1 .5 2 .1 2 .∴此货船能顺利通过这座拱桥.