量子力学复习习题.doc

一、选择题（每小题3分，共15分〉
1.黑体辐射中的紫外灾难表明：C
A.黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；
B.黑体在紫外线部分不辐射能量；
C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；
D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。

2.关于波函数屮的含义，正确的是：B
A.屮代表微观粒子的几率密度；
B.屮归一化后，屮⑴代表微观粒子出现的几率密度；
C.屮一定是实数；
D.屮一定不连续。

3.对于一维的薛定谭方程，如果屮是该方程的一个解，贝山A
A.0 —定也是该方程的一个解；
B.『一定不是该方程的解；
C.屮与『一定等价；
D.无任何结论。

4.与空间平移对称性相对应的是：B
A.能量守恒；
B.动量守恒；
C.角动量守恒；
D.宇称守恒。

人人A
5.如果算符A、B对易，且A0 =A0,贝归B
A
A.屮一定不是B的本征态；
B.鸭一定是&的本征态；
伞A
C.屮一定是B的本征态；
人
D.|屮丨一定是B的本征态。

1、量子力学只适应于C A.宏观物体 C.宏观物体和微观物体 B.微观物体 D.高速物体
2、算符F 的表象是指C
A.算符F 是厄密算符
B.算符F 的本征态构成正交归一的完备集
C.算符F 是幺正算符
D.算符F 的本征值是实数
3、中心力场中体系守恒量有B
A.只有能量
B.能量和角动量
C.只有角动量
D.动量和角动量
4、Pauli 算符的x 分量的平方的本征值为（B ）
A 0
B 1
C i
D 2i
5、证明电子具有自旋的实验是
A
A.史特恩一盖拉赫实验
B.电子的双缝实验
C.黑体辐射实验
D.光电效应实验
1、量子力学只适应于C
A.宏观物体
B.微观物体
C.宏观物体和微观物体
D.高速物体
2、在与时间有关的微扰理论问题中，体系的哈密顿算符由两部分组成，即
和n
应满足的条件是（B ）
B 乩与时间无关,恥与时间 D 乩与时间有关，孙'与时间无
B 3/4 D 1/2
电子的双缝实验 光电效应实验
商⑴=身0 +勁 打 \
,其中
A 朮与时间无关，怜'与时间无关
有关C 乩与时间有关，力与时间有关 关
3、自旋量子数S 的值为（D ）
A 1/4 C /2
5、证明电子具有自旋的实验是A A ・史特恩一盖拉赫实验 B. C.黑体辐射实验
D.
二、简答(每小题5分，共15分〉
1.什么叫光电效应？
光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸岀金属表面的现象。

这些逸出的电子被称为光电子
用来解释光电效应的爱因斯坦公式：hv = A^--mv2
2
2.解释态叠加原理
3.厄密算符的定义？
1.解释光电效应的两个典型特点？
①存在临界频率vO：只有当光的频率大于一定值⑷时，才有光电子发射出来。

若
光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。

②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。

光的强度只决定光电子数目
的多少。

2.波函数的物理意义
某时刻t在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。

按照这种解释，描写粒子的波是几率波。

1.爱因斯坦光量子假说：
光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E=hv的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C传播，这种粒子叫做光量子，或光子。

爱因斯坦方程
2
2.设为归一化的动量表象下的波函数，写出如的物理意义
3.厄密算符的定义
7•定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。

定态波函数：描述定态的波函数称为定态波函数。

9•定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。

⑵粒子几率流密度不随时间改变。

⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变
2•厄密算符的定义：如果算符F"满足下列等式' dxFdxF
,则称F"为厄密算符。

式中巾和“为任意波函数，x代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。

推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。

3•厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。

厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。

三、填空题《每空2分，共20分》
1.微观粒子具有波粒二象性。

2.德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率V、波长九之间的关系，其表达
式为：E=hv, p= h / 入o
3.量子力学中力学量用厄米算符表示。

4.坐标的兀分量算符和动量的兀分量算符几的对易关系为:[x y p] = ih
5.量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数屮(x)所描写的状态时, 测量某力
学量F所得的数值，必定是算符户的本征值。

_ -E t
6.定态波函数的形式为：叭x,t) =(pC f，n°
7.根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性,费米子体系的波
函数是—反对称的一.玻色子体系的波函数是对称的。

8.每个电子具有自旋角动量用，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为：±2 o
2
1、波函数满足的三个基本条件是：单值; 连续性；有限性。

2、设粒子的波函数为％(耳0,则相应的概率密度p= ____________________ o
3、若两个力学量算符戶和。

的对易关系为[亢G] = ik ,则户和G的测不准关系式是。

4、7.对易关系[£2,4]=—，[：丄]=，[L x,y] = .
5、满足泡利不相容原理的全同粒子是__________________ 子；不满足泡利不相容
原理的全同粒子是_____________ 子。

1、索末非提出的广义量子化条件是
y<(x,z)= J— f c(p,f)尹dp (、
2、一粒子有波函数由册―描写，则。

("丿=
4、粒子在势场U(“中运动，则粒子的哈密顿算符为
5、量子力学中，态和力学量的具体表示方式称为____ 表象___ o
6、Pauli算符比比的反对易关系式是
7、满足泡利不相容原理的全同粒子是_________________ 子；不满足泡利不相容
原理的全同粒子是_____________ 子
O
四、证明题(每题10分，共20分〉
1.利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：
[L x9L y]=ihL z
[&, LJ = ihL x
戌，心虬
证明：
[L x,L y] = [yp z-zp y9zp x-xp z]
=[龙2,帀x-劝」一[巾”帀乂一帀」
= typ z^zp」一[“朴“」一[中八中」+[中护兀p」
= lyp z^p x]+[zp y,xp z]
=ylP z^zp x]+[y,zp」代 + z[p”w」+[z,xp」Py
=yip Z^P」+匕坊」玄
=jz[ p z , p.v 1 + y[p z ,z]p x + x[z,p z ]p y +[z,x]p z p y
=y(-ih)p x + x(ih)p y =i^[xp y - yp x ] =ihL
z
2、由 Schrodinger 方程
= [-—V 2 + V(r)W ，Z) dt
2/Z
证明几率守恒：a l 〒八
—+ J = 0 dt
其中几率密度a)(r,t) =屮*(力)屮(F) =1屮亿。

I 2 几率流密度 J = —[V PVT*-'F*V^]
2“
证明：考虑Schrodinger 方程及其共觇式:
耐？¥ + i 河——[WV 呻— WVW]
dt
dt 2“
= —V< [TV'P*
一 TT'P] dt 2“
将屮‘X⑴-屮x(2)式得:
滋2屮=1-兰沪+卩]屮 3/ L 2// 」
D 方2
-ih —屮’=[——V 2+V1 屮 dt L 2ju J
在空间闭区域T中将上式积分，则有:
or坐)dt=—\ v-rpv'T—wv'PM/
2“ ％
dt *
2“ "
壮+v ・J=o dt
2、证明在定态中，几率流与时间无关。

五、计算题(每题10分共30分〉 8, x v 0,
1、一粒子在一维势场U(x) = < 0,0<x<a 中运动，求粒子的能级和对应的波
8、x> a
函数。

2、证明 必=
V • JdT
K求在一维势场L 中运动的粒子的能级。

oo^x>a
0, x YG 对于宽度为2 a的对称一维无限深方势月井
力 2 Z 二E
在阱内体系满足的定态薛定涔方程是2m dx2卜V 为方便起见,
‘10 0
、
H o = 0 3
° 一2丿
<0 c 0>
H'= c 0 0
,0 0 j
^ = —,77 = 1,2,3....
E n - n
n -正整数
代入上式有： 2 同时综合I 丿式得 &7M
2、设氢原子处于状态
0（厂,&, °） = * /?21 （厂）丫10 ⑹ 0）--~~ 尺21 0）丫1一1 （&，0）
求氢原子能量E 、角动量平方I?、角动量Z 分量匚的可能值及这些可能值出 现的几率。

2、一维运动粒子的状态是
设c « 1,应用微扰论求H 本征值到二级近似。

解：c « 1,可取0级和微扰Ilam 订ton 量分别为：
引入符号
（*） ^- + a 2
i// = 0]x\<a I 丿则上式可简写为氏
它的解是. 屮=^sin ax+ Bcosax
将 0（±。

） = 0
其中兄>0,求：（1）粒子动量的几率分布函数; （2）粒子的平均动量。

3、某量子体系Ham 订ton 量的矩阵形式为：
H
当x>0 当x < 0
c
、
3 0
c
一
II 。

是对角矩阵，是Ilam 订ton lb 在自身表象中的形式。

所以能量的0级近似为:
巳⑹二1
E 2(O )二 3 E 畀)二-2
由非简并微扰公式
得能量一级修正:
耳1)=码=0 « 硏)=H ；2 = 0 砂)= H^=C
能量二级修正为:
F
（2） = V |H ；"
二 | 码 f I 码 f 二 |
1
/7（°）_ /7（°）
/7（°）_ J7（°）
2
k^n
Q] 一 W 匚 1 一 匚2 Q] 一 口3 I
矶 I' = I 比 2 f | 號 F =1
2 >7（0） i-（0）
>7<0） i-（0）卞 刃（0） 刃（0）
2C
即=I
k^n
毋=Z
k^n
上 2 一口k口 2 一口 1 口 2 —匚3
IE 二MF |
E（o）_ ^（0）_ E（°）
二级近似下能量本征值为:
3、设一体系未受微扰作用时有三个能级：现在受到微扰帀的作用,
(a b、
H =
微扰矩阵元为V。

丿，a和b都是实数，用微扰公式求能量耳疋2至二级修正值。