山东省济宁邹城市第一中学2020届高三数学下学期3月自测试题含解析

山东省济宁邹城市第一中学2020届高三数学下学期3月自测试题（含
解析）
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数133i
z i
-=+，i 为虚数单位，则（ ） A. z i = B. z i = C. 21z = D. z 的虚部为i -
【答案】B 【解析】 【分析】
计算化简出复数z ，即可得出虚部，再依次求出模长，共轭复数，平方即可选出选项
【详解】由题：2
2
13(13)(3)3103=3(3)(3)9i i i i i z i i i i i ----+=
==-++--， 所以：1z =，z i =，22
()1z i =-=-，z 的虚部为1-.
故选：B
【点睛】此题考查复数的基本运算和基本概念的辨析，对基础知识考查比较全面，易错点在于虚数单位的平方运算和虚部的辨析.
2. 已知集合(){}
|10A x x x =-≤，(){}
|ln B x y x a ==-，若A B A =，则实数a 的取
值范围为（ ） A. (),0-∞ B. (],0-∞
C. ()1,+∞
D. [)1,+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
分别求出集合A 集合B 范围，根据A
B A =得到A 是B 子集，根据范围大小得到答案.
【详解】(){}
|1001A x x x x =-≤⇒≤≤
(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>
A B A A B ⋂=⇒⊆
所以0a < 故答案选A
【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.
3. 已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫
-=+ ⎪⎝⎭
，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（）
A. -7
B. 7
C. 1
D. -1
【答案】B 【解析】 【分析】
由了诱导公式得sin 2cos αα=-，由同角三角函数的关系可得tan 2α，
再由两角和的正切公式()tan αβ+=
tan tan 1tan tan αβ
αβ
+-，将tan 2α
代入运算即可.
【详解】解：因为()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭
，
所以sin 2cos αα=-，即tan 2α，
又()1tan 3
αβ+=
， 则
tan tan 1
1tan tan 3
αβαβ+=-， 解得tan β= 7， 故选B.
【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题. 4. “1x <”是“ln(1)0x +<”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
根据对数不等式的性质解得()ln 10x +<，利用充分条件和必要条件的定义进行判断.
【详解】∵ln （x +1）＜0⇔0＜x +1＜1⇔﹣1＜x ＜0，
∴﹣1＜x ＜0 1x ⇒<，但1x <时，不一定有﹣1＜x ＜0，如x=-3， 故“1x <”是“()ln 10x +<”的必要不充分条件， 故选B.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，考查对数不等式的性质，属于基础题． 5. “总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ） A.
5
9
B.
49
C.
716
D.
916
【答案】B 【解析】 【分析】
有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n ＝34
＝81，他们中有且仅有2人领取的礼品种类
相同包含的基本事件个数m 23
43C A ==36，则可得他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的
概率．
【详解】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件， 有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n ＝34＝81，
他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m 23
43C A ==36，
则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p 364819
m n ===． 故选：B ．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合中的分组分配等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6. 已知0.5log 5a =、3log 2b =、0.32c =、2
12d ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，从这四个数中任取一个数m ，使函数()3
2123
x mx x f x =
+++有极值点的概率为（ ）
A.
14
B.
12
C.
34
D. 1
【答案】B 【解析】 【分析】
求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出m 的范围，通过判断a ，b ，c ，d 的范围，得到满足条件的概率值即可． 【详解】f ′（x ）＝x 2+2mx +1， 若函数f （x ）有极值点，
则f ′（x ）有2个不相等的实数根， 故△＝4m 2
﹣4＞0，解得：m ＞1或m ＜﹣1，
而a ＝log 0.55＜﹣2，0＜b ＝log 32＜1、c ＝20.3
＞1，0＜d ＝（12
）2
＜1， 满足条件的有2个，分别是a ，c ， 故满足条件的概率p 2142
==， 故选：B ．
【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及对数、指数的性质，是一道中档题．
7. 已知定义在[]5,12m m --上的
奇函数()f x ，满足0x >时，()21x
f x =-，则()f m 的
值为（ ） A. -15 B. -7
C. 3
D. 15
【答案】A 【解析】 【分析】
根据奇函数定义域关于原点中心对称,可求得m 的值.根据奇函数性质,即可求得()f m 的值. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点中心对称 则5120m m -+-=,解得4m =-
因为奇函数()f x 当0x >时,()21x
f x =-
则()()()
4
442115f f -=-=--=-
故选:A
【点睛】本题考查了奇函数的定义域关于原点对称,奇函数的性质应用,属于基础题. 8. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线
24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，
再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为（ ）
A.
71
12
+ B. 9+
C.
83
12
+ D. 9【答案】D 【解析】
抛物线方程中：令1y =可得1
4x =
，即1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 结合抛物线的光学性质，AB 经过焦点F ，设执行AB 的方程为()1y k x =-， 与抛物线方程联立可得：(
)
22
2
2
220k x k x k -++=， 据此可得：1
1,4A B B A
x x x x =∴==， 且：254
A B AB x x p =++=
， 将4x =代入2
4y x =可得4y =±，故()4,4B -，
故MB =
=
故△ABM 的周长为125
3944
MA AB BM ⎛⎫++=-+
+=+ ⎪⎝
⎭, 本题选择D 选项.
二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列判断正确的是（ ） A. 若随机变量ξ服从正态分布(
)2
1,N σ
，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；
B. 已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件；
C. 若随机变量ξ服从二项分布：414,
B ξ⎛⎫
~ ⎪⎝⎭
,则()1E ξ=； D. 22am bm >是a b >的充分不必要条件. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】
由随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），则曲线关于x ＝1对称，即可判断A ；结合面面平行性质定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．可判断B ；
运用二项分布的期望公式E ξ＝np ，即可判断C ；可根据充分必要条件的定义，注意m ＝0，即可判断D ．
【详解】A ．已知随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），P （ξ≤4）＝0.79，则曲线关于x ＝1对称，可得P （ξ＞4）＝1﹣0.79＝0.21，P （ξ≤﹣2）＝P （ξ＞4）＝0.21，故A 正确；
B ．若α∥β，∵直线l ⊥平面α，∴直线l ⊥β，∵m ∥β，∴l ⊥m 成立．
若l ⊥m ，当m ∥β时，则l 与β的位置关系不确定，∴无法得到α∥β． ∴“α∥β”是“l ⊥m ”的充分不必要条件．故B 对；
C ．由于随机变量ξ服从二项分布：ξ～B （4，
1
4
），则E ξ＝4×0.25＝1，故C 对； D ．“am 2>bm 2”可推出“a >b ”，但“a >b ”推不出“am 2>bm 2”，比如m ＝0，故D 对；
故选：ABCD ．
【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，考查随机变量的二项分布的期望公式及正态分布的对称性，属于基础题．
10. 由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测．结合图，下列说法不正确的是（ ）
A. 5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加
B. 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 【答案】C 【解析】 【分析】
由柱状图观察信息服务商逐年增长并
后续2029年开始超过设备制造商GDP.
【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C 项表达错误． 故选：C
【点睛】本题考查观察柱状图得出相关信息，属于基础题. 11. 关于函数()2
ln f x x x
=
+，下列判断正确的是（ ） A. 2x =是()f x 的极大值点
B. 函数()y f x x =-有且只有1个零点
C. 存在正实数k ，使得()f x kx >成立
D. 对任意两个正实数12,x x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>. 【答案】BD
【解析】 【分析】
根据导数解决函数的的极值，零点，不等式等问题依次讨论选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，函数的的定义域为()0,∞+，函数的导数()22212
'x f x x x x
-=-+= ， ∴()0,2x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，
()2,x ∈+∞时，()'0f x <，函数()f x 单调递增，
∴2x =是()f x 的极小值点，故A 错误； 对于B 选项，()2
ln y f x x x x x
=-=
+-， ∴222
212
'10x x y x x x
-+-=-+-=<， ∴ 函数在()0,∞+上单调递减，
又∵ ()112ln1110f -=+-=>，()221ln 220f -=+-<， ∴ 函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确； 对于C 选项，若()f x kx >，可得()22ln f x x
k x x x
<=+
， 令()22ln x g x x x =
+，则()34ln 'x x x
g x x
-+-=， 令()4ln h x x x x =-+-，则()'ln h x x =-， ∴在()0,1x ∈上，()'0h x >，函数()h x 单调递增，
()1,x ∈+∞上，()'0h x <，函数()h x 单调递减，
∴()()130h x h ≤=-<， ∴()'0g x <， ∴()22ln x g x x x
=
+在()0,∞+上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ，使得()f x kx >成立，故C 错误；
对于D 选项，由12x x >，()()12f x f x =可知122,02x x ><<，
要证124x x +>，即证124x x >-，且1242x x >->， 由函数()f x 在()2,x ∈+∞是单调递增函数， 所以有()()124x f f x >-，
由于()()12f x f x =，所以()()224x f f x >- 即证明()()()4,0,2f x f x x >-∈， 令()()()()()224ln ln 4,0,24m x f x f x x x x x x
=--=--+-∈-， 则()()()
2
2
2
82'04x m x x x --=
<-，所以()m x 在()0,2是单调递减函数，
所以()()20m x m >=，即()()()4,0,2f x f x x >-∈成立， 故124x x +>成立，所以D 正确. 综上，故正确的是BD . 故选：BD ．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点，零点，不等式等问题，考查数学运算能力与分析解决问题的能力，是难题.
12. 已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同 B. 把函数()f x 的图象向右平移
2
π
个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C. 函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上都增函数
D. 若0x 为是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点 【答案】CD 【解析】 【分析】
()f x 求导得()g x 解析式，利用辅助角公式化简整理成()sin y A ωx φ=+形式，利用函数求
值域、单调性逐一判断选项即可.
【详解】
()sin cos 4f x x x x π⎛
⎫=-=- ⎪
⎝
⎭，
()()
cos sin 4x x g x f x x π⎛
⎫+=+'= ⎝
=⎪⎭
函数()f x 的值域与()g x 的值域均为⎡⎣，故A 错误；
函数()f x 的图象向右平移
2π个单位长度，得3244y x x πππ⎛⎫⎛
⎫
=--=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
，
不是()4g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像，故B 错误；
,44x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时,042x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 是单调递增函数，0,42x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()g x 是单调
递增函数，故C 正确；
0x 为是函数()f x 的极值点，则00()()0g x f x '==，即0x 是函数()g x 的零点，故D 正确.
故选：CD.
【点睛】本题考查了三角函数的性质，属于常考题. 三、填空题：本题共4小题.
13. 若非零向量a 、b ,满足a b =,()
2+⊥a b b ,则a 与b 的夹角为___________. 【答案】120
【解析】 【分析】
设a 与b 的夹角为θ，由题意得22
222cos 0a b b a a θ⋅+=+=，由此求得cos θ的值，即可得到a 与b 的夹角θ的大小.
【详解】设a 与b 的夹角为θ，由题意a b =,()
2a b b +⊥,， 可得2
(2)2cos 0a b b a b b
θ+⋅=+=，所以1
cos 2
θ=-，
再由0180θ≤≤可得，120θ=， 故答案是120.
【点睛】该题考查的是有关向量夹角的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量垂直的条件为向量的数量积等于零，向量数量积的运算公式，向量夹角余弦公式，特殊角的是哪家函数值，正确应用公式是解题的关键.
14. 双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为()12,0F -、()22,0F ，M 是
C 右支上的一点，1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若
2=PQ ，则C 的离心率为____.
【答案】2 【解析】 【分析】
根据切线长定理求出MF 1﹣MF 2，即可得出a ，从而得出双曲线的离心率． 【详解】设△MPF 2的内切圆与MF 1，MF 2的切点分别为A ，B ， 由切线长定理可知MA ＝MB ，PA ＝PQ ，BF 2＝QF 2， 又PF 1＝PF 2，
∴MF 1﹣MF 2＝（MA +AP +PF 1）﹣（MB +BF 2）＝PQ +PF 2﹣QF 2＝2PQ ，
由双曲线的定义可知MF 1﹣MF 2＝2a ， 故而a ＝PQ 2=
，又c ＝2，
∴双曲线的离心率为e 2c
a
==． 故答案为：2．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查
学生的计算能力，利用双曲线的定义进行转化是解决本题的关键．
15. 设()()201
x a x f x x x x ⎧-≤⎪
=⎨+⎪⎩
，，＞． （1）当1
2
a =
时，f （x ）的最小值是_____； （2）若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围是_____． 【答案】 (1). 1
4
(2). [0
【解析】 【分析】
（1）先求出分段函数的每一段的最小值，再求函数的最小值；（2）对a 分两种情况讨论，若
a ＜0，不满足条件．若a ≥0，f （0）＝a 2≤2，即0≤
a ≤
.
【详解】（1）当1
2a =
时，当x ≤0时，f （x ）＝（x 12-）2≥（12
-）214=，
当x ＞0时，f （x ）＝x 1x +
≥
=2，当且仅当x ＝1时取等号， 则函数的最小值为
14
， （2）由（1）知，当x ＞0时，函数f （x ）≥2，此时的最小值为2，
若a ＜0，则当x ＝a 时，函数f （x ）的最小值为f （a ）＝0，此时f （0）不是最小值，不满足条件．
若a ≥0，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数， 则当x ≤0时，函数f （x ）的最小值为f （0）＝a 2， 要使f （0）是f （x ）的最小值，则f （0）＝a 2
≤2，即0≤
a ≤
即实数a 的取值范围是[0
【点睛】本题主要考查分段函数的最值的求法，考查分段函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16. 已知函数()()()212ln f x a x x =---.若函数()f x 在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上无零点，则a 的最小值为________.
【答案】24ln 2- 【解析】 【分析】
因为f （x ）＜0在区间（0，12）上恒成立不可能，故要使函数f （x ）在（0，1
2
）上无零点，只要对任意的x ∈（0，
12
），f （x ）＞0恒成立，然后利用参变量分离，利用导数研究不等式另一侧的最值即可求出a 的最小值．
【详解】因为()0f x <在区间10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能，故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上无零点，
只要对任意的10,
2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，()0f x >恒成立，即对任意的10,2⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
x ，2ln 21x a x >--恒成立. 令()2ln 21x l x x =--，10,2⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
x ，则()()
22
2ln 2'1x x l x x +-=-， 再令()22ln 2m x x x =+
-，10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，则()()22
212'20x x x x
m x ---==+<， 故()m x 在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫
>=->
⎪⎝⎭
， 从而()'0l x >，于是()l x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上为增函数，所以()124ln 22l x l ⎛⎫
<=- ⎪⎝⎭
， 故要使2ln 21
x
a x >-
-恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞， 综上，若函数()f x 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上无零点，则a 的最小值为24ln 2-.
故答案为：24ln 2-
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了转化的思想和参变量分离的方法以及运算求解的能力，属于中档题． 四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+. （1）若4a =，ABC ∆
b ，
c 的值；
（2）若()sin sin 0B k C k =>，且角C 为钝角，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）4b =，2c =或2b =，4c =（2）10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
先由正弦定理和三角恒等变换，同角的三角函数基本关系求出cosA 、sinA 的值； （1）利用余弦定理和三角形的面积公式列出方程组，求出b 、c 的值； （2）利用正弦定理和余弦定理，结合角C 为钝角，求出k 的取值范围． 【详解】△ABC 中，4acosA ＝ccosB +bcosC ，
∴4sinAcosA ＝sinCcosB +sinBcosC ＝sin （C +B ）＝sinA ， ∴cosA 14
=
，
∴sinA ==； （1）a ＝4，
∴a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cosA ＝b 2+c 21
2
-
bc ＝16①； 又△ABC 的面积为：
S △ABC 12=
bc •sinA 12
=bc •=， ∴bc ＝8②；
由①②组成方程组，解得b ＝4，c ＝2或b ＝2，c ＝4； （2）当sinB ＝ksinC （k ＞0），b ＝kc ， ∴a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cosA ＝（kc ）2+c 2﹣2kc •c •14=（k 21
2
-k +1）c 2； 又C 为钝角，则a 2+b 2＜c 2，
即（k 212-
k +1）+k 2＜1，解得0＜k 1
4
＜； 所以k 的取值范围是10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
．
【点睛】主要考查了同角三角函数的基本关系式，三角恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用问题，是综合性题目．
18. 近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:
（1）求出相关系数r 的大小，并判断管理时间y 与土地使用面积x 是否线性相关？ （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？
（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x ,求x 的分布列及数学期望． 参考公式：
1
()()
n
i x
x y y r --=
∑2
2
(),()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++
其中n a b c d =+++．临界值表：
25.2≈
【答案】（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析.
【解析】 【分析】
（1）分别求出3x =，16y =，从而
5
2
1
()
10i
i x x =-=∑，
5
2
1
()254i i y y =-=∑，5
1
()()47i i i x x y y =--=∑
，求出()()
0.933n
i
i
x x y y r --=
=
≈∑，从而
得到管理时间y 与土地使用面积x 线性相关．
（2）完善列联表，求出218.7510.828K =>，从而有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．
（3）x 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性
村民的概率为1
6
，由此能求出X 的分布列和数学期望． 【详解】解：依题意：12345810132524
3,1655
x y ++++++++=
=== 故
5
1
()()(2)(8)(1)(6)192847i x x y y =--=-⨯-÷-⨯-+⨯+⨯=∑
5
5
2
21
1
()
411410,()643698164254i i x x y y ==-=+++=-=++++=∑∑
则5
5
2
1
()()
0.933)
(x x y y r x y
--=
=
=≈-∑∑，
故管理时间y 与土地使用面积x 线性相关． （2）依题意，完善表格如下：
计算得2k 的观测值为
22
300(150505050)3005000500018.7510.828200100200100200100200100
k ⨯⨯-⨯⨯⨯===>⨯⨯⨯⨯⨯⨯
故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．
（3）依题意，x 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为1
6
， 故35125(0)(),6216P X
===1
235125(1)(),6672
P X C ==⨯⨯=
23333
2515(2)(11(3)62),72166
6P P X X C C ⎛⎫=== ⎪⎭⨯⎝==⨯= 故x 的分布列为
则数学期望为12525511
()012321672722162
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯= （或由1(3,)6X B ~，得11
()362
E X =⨯=
【点睛】本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等．
19. 已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满足
()()1
126
n n n S a a =
++，并且2a ，4a ，9a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()
1
11n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .
【答案】（1）32n a n =-，*n ∈N （2）2186n n --
【解析】 【分析】
（1）根据n a 与n S 的关系，利用临差法得到13n n a a --=，知公差为3；再由1n =代入递推关系求1a ；
（2）观察数列{}n b 的通项公式，相邻两项的和有规律，故采用并项求和法，求其前2n 项和. 【详解】（1）
对任意*n ∈N ，有()()1
126
n n n S a a =
++，① ∴当1a =时，有()()11111
126
S a a a ==
++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有()()1111
126
n n n S a a ---=
++.② ①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. 而数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=. 当11a =时，()13132n a n n =+-=-， 此时2
429a a a =成立；
当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2
429a a a =，不成立，舍去.
32n a n ∴=-，*n ∈N .
（2）2122n n T b b b =++
+=12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+-
()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+=-+-+
+-
242666n a a a =---
-
()2426n a a a =-++
+
()
246261862
n n n n +-=-⨯
=--.
【点睛】已知n S 与n a 的递推关系，利用临差法求n a 时，要注意对下标与n 分两种情况，即
1,2n n =≥；数列求和时要先观察通项特点，再决定采用什么方法.
20. 如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为 AOC ∆的垂心
（1）求证：平面OPG ⊥平面 PAC ；
（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）51
17
. 【解析】
试题分析：（1）延长OG 交AC 于点M ，由重心性质及中位线性质可得//OM BC ，再结合圆的性质得OM AC ⊥，由已知PA OM ⊥，可证OM ⊥ 平面PAC ，进一步可得平面OPG ⊥　
平面PAC ；（2）以点C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用二面角与二个半平面的法向量的夹角间的关系可求二面角的余弦值．
试题解析：（1）如图，延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点.
因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以
OM AC ⊥.
因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥.又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面,PAC PA AC ⋂=A ，所以OM ⊥ 平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC .
（2）以点C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系
C xyz -，则()0,0,0C ，()0,1,0A ，)
3,0,0B
，31,02O ⎫⎪⎪⎝⎭
，()0,1,2P ，10,,02M ⎛⎫
⎪⎝⎭，则3OM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，31,22OP ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
.平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一
个法向量为(),,n x y z =，则3
0,2
{31
20,
2
n OM x n OP x y z ⋅=-
=⋅=-++=令1z =，得()0,4,1n =-.过点
C 作CH AB ⊥于点H ，
由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A ⋂=，所以CH ⊥平面PAB ，即CH 为平面PAO 的一个法向量.
在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，13
2CH CB =
=
. 所以3cos H x CH HCB =∠=3sin 4H y CH HCB =∠=.所以33,,044CH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
. 设二面角A OP G --的大小为θ，则cos CH n CH n
θ⋅=
=⋅2233
041044
251
39
411616
⨯
-⨯+⨯=
+⨯+. 点睛：若12,n n 分别二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足
12cos ,cos n n θ=〈〉，二面角的平面角的大小是12,n n 的夹角(或其补角，需根据观察得出结
论)．在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键．
21. 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12||2F F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.
（1）求C 的离心率及方程；
（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得·PM PB 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）12,22
143
x y +=； （2）存在点P ，且0118x =. 【解析】
【分析】
（1）由已知条件得1c =，2a =，即可计算出离心率和椭圆方程
（2）假设存在点P ，分别求出直线BM 的斜率不存在、直线BM 的斜率存在的表达式，令其相等，求出结果
【详解】（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =，
又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =，
则12
c e a ==，2223b a c =-=. 故C 的方程为22
143
x y +=. （2）假设存在点P ，使得·PM PB 为定值.
若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，
则()209·14
PM PB x =--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为()1y k x =-，
设点()11,B x y ，()22,M x y ，联立()22
1431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，得()22224384120k x k x k +-+-=， 根据韦达定理可得：2
122843
k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 由于()202,PM x x y =-，()101,PB x x y =-，
则()2
12120012•PM PB x x x x x x y y =-+++ ()()()()
2
2200022221201202485312143x x k x k x x x k x x k x k --+-=+-++++=+
因为·PM PB 为定值，所以2200048531243
x x x ---=， 解得0118x =，故存在点P ，且0118
x =. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及定值问题，在解答定值问题时先假设存在，分别求出斜率不存在和斜率存在情况下的表达式，令其相等求出结果，此类题型的解法需要掌握
22. 设函数()()ln 1f x ax bx =++，()()2
g x f x bx =-. （1）若1a =，1b =-，求函数()f x 的单调区间；
（2）若曲线()y g x =在点()1,ln3处的切线与直线1130x y -=平行.
①求a ，b 的值；
②求实数()3k k ≤取值范围，使得()()
2g x k x x >-对()0,x ∈+∞恒成立. 【答案】（1）单调增区间为()1,0-，单调减区间为()0,∞+；（2）①23a b =⎧⎨=-⎩
；②[]1,3. 【解析】
【分析】
（1）求出()f x '后讨论其符号可得函数的单调区间.
（2）根据函数在()1,ln3处切线的斜率可得23
a b =⎧⎨=-⎩，构建新函数()()()2F x g x k x x =--，就1,13k k <≤≤分类讨论()F x 的单调性后可得k 的取值范围.
【详解】（1）当1a =，1b =-时，()()ln 1f x x x =+-，()1x >-，
则()1
111x
f x x x -'=-=++.
当()0f x '>时，10x -<<；当()0f x '<时，0x >；
所以()f x 的单调增区间为()1,0-，单调减区间为()0,∞+.
（Ⅱ）（ⅰ）因为()()()()22ln 1g x f x bx ax b x x =-=++-，
所以()()121a
g x b x ax '=+-+.
依题设有()(
)()1ln 11113g a g ⎧=+='⎪⎨⎪⎩，即()ln 1ln 3
1113
a a
b a ⎧+=⎪⎨-=⎪+⎩.
解得2
3a b =⎧⎨=-⎩.
（ⅱ）由（ⅰ）得()()()2ln 123g x x x x =+--，1,2x ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭.
()()2g x k x x >-对()0,x ∈+∞恒成立即()()20g x k x x -->对()0,x ∈+∞恒成立. 令()()()2F x g x k x x =--.则有()()2431
12k x k F x x -+-'=+.
①当13k ≤≤时，当()0,x ∈+∞时，()0F x '>，
所以()F x 在()0,∞+上单调递增.
所以()()00F x F >=，即当()0,x ∈+∞时，()()2g x k x x >-恒成立；
②当1k <
时，当x ⎛∈ ⎝时，()0F x '<，
所以()F x
在⎛ ⎝上单调递减，
故当x ⎛∈ ⎝时，()()00F x F <=，
即当()0,x ∈+∞时，()()
2g x k x x >-不恒成立. 综上，[]1,3k ∈.
【点睛】本题考查含参数的函数的单调性以及不等式的恒成立，前者利用导数的符号的正负来说明，后者需构造新函数，通过新函数的最值来讨论，本题属于难题.。