【北京特级教师 二轮复习精讲辅导】2015届高考数学 探究型、探索型及开放型问题选讲经典精讲课后练习

探究型、探索型及开放型问题选讲经典精讲课后练习（二）
题一：从自然数1到2008中，最多可以选出个数，使得被选出的数中任意两个数的和都不能被3整除．
题二：对于实数x ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[π]=3，[
1.08]=2，定义函数f (x ) =x [x ]，则下列命题中正确的是_______（填题号）
①函数f （x ）的最大值为1； ②函数f （x ）的最小值为0；
③函数1()()2G x f x =-
有无数个零点；④函数f （x ）是增函数．
题三：无穷等差数列{a n }的各项均为整数，首项为a 1、公差为d ，3、21、15是其中的三项，给出下列命题；①存在满足条件的数列{a n }，使得对任意的n ∈N *，S 2n =4S n 成立．②对任意满足条件的d ，存在a 1，使得99一定是数列{a n }中的一项；③对任意满足条件的d ，存在a 1，使得30一定是数列{a n }中的一项；其中正确命题为_______．（写出所有正确命题的序号）
题四：已知数列{}n a 中,，31=a 前n 项和1)1)(1(21-++=
n n a n S ． （1）求证：数列{}n a 是等差数列；
（2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立？若存在，求M 的最小值；若不存在，试说明理由．
探究型、探索型及开放型问题选讲经典精讲
课后练习参考答案
题一： 671．
详解：这2008个数可以分成三类：
①被3整除的数，3，6，9，．，2007，共有669个；
②被3除余数是1的数，1，4，7，．，2008，共有670个；
③被3除余数是2的数，2，5，8，．，2006，共有669个．
从第2组（被3除余数是1的数，共有670个）中可取670个，再从第一组（被3整除的数）中取出一个，则最多可以选出670+1=671个数，使得被选出的数中任意两个数的和都不能被3整除．故答案为：671．
题二： ②③．
详解：∵函数f （x ）=x [x ]，∴函数f （x ）的最大值小于1，故①不正确；
函数f （x ）的最小值为0，故②正确；
函数每隔一个单位重复一次，所以函数1()()2
G x f x =-有无数个零点，故③正确； 函数f （x ）有增有减，故④不正确．故答案为：②③．
题三： ①②．
详解：根据条件等差数列的其中三项：3、15、21，可以得到一个信息，d ≤6；①如果有S 2n =4S n ，那么由等差数列求和公式有：11(1)2(21)4[]2n n d na n n d na -+-⋅=+
，化简得到，d =2a 1，所以只要满足条件d =2a 1的数列{a n }，就能使得对任意的n ∈N *，S 2n =4S n 成立，②99
21=78能被6整除，且78136
=，假设15和21之间有n 项，那么99和21之间有13n 项，所以99一定是数列{a n }中的一项，正确 ；③3021=9不能被6整除，如果d =6，那么30一定不是数列{a n }中的一项，错误．综上所述，①②正确，故答案为：①②．
题四： （1）见详解；（2）21n a n =+；（3）M 的最小值为6
1. 详解：①∵1)1)(1(2
1-++=n n a n S []1111112121111(2)(1)1(2)(1)(1)(1)22
(1)1(1)(2)1
(1)(2)(1)n n n n n n n n n n n n n n n
S n a a S S n a n a na n a n a n a n a na n a n a +++++++++++∴=++-∴=-=++-++=+-∴+=+-∴+-=+-+整理得， 12122(1)(1)()2n n n n n n n a n a a a a a ++++∴+=++∴=+∴数列{}n a 为等差数列.
②1)1(311-+==+n n a n na a ，21212152a a a a ∴=-=∴-=即公差为2
1(1)3(1)221n a a n d n n ∴=+-=+-⋅=+ ③)32)(12(111++=+n n a a n n 11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭
11111111111()()23557
212323236n n T n N T n n n *∴=-+-++-=-∈<+++又当时， 要使得M T n ≤对一切正整数n 恒成立,只要M ≥6
1， 所以存在实数M 使得M T n ≤对一切正整数n 都成立,M 的最小值为
6
1.。