高二下学期数学期末考试试卷理科

高二下学期数学期末考
试试卷理科
Revised as of 23 November 2020
高二下学期数学期末考试试卷(理科)
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单选题(每小题5分，共60分)
1．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P 的轨迹方程是()
－y2
9＝1(x≤－4) －
y2
16＝1(x≤－3)
－y2
9＝1(x≥4)－
y2
16＝1(x≥3)
2．用秦九韶算法计算f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=时的值,需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为( )
A. 6,6
B. 5,6
C. 6,5
D. 6,12
3．下列存在性命题中，假命题是( )
A. x∈Z，x2-2x-3=0
B. 至少有一个x∈Z，x能被2和3整除
C. 存在两个相交平面垂直于同一条直线
D. x∈｛x是无理数｝，x2是有理数
4．将甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a、b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数．若点P(a，b)落在直线x＋y＝m(m为常数)上，且使此事件的概率最大，则此时m的值为 ()
A. 6
B. 5
C. 7
D. 8
5．已知点P 在抛物线24x y =上，则当点P 到点()1,2Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为(
)
A. ()2,1
B. ()2,1-
C. 11,4⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
D. 11,4⎛⎫
⎪⎝⎭
6．按右图所示的程序框图，若输入81a =，则输出的i =( )
A. 14
B. 17
C. 19
D. 21
7．若函数()[)∞+-=，在12x k
x x h 在上是增函数，则实数k 的取值范围是( )
A. B. C.
D.
8．空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)
是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0~50为优，51~100为良。

101~150为轻度污染，151~200为中度污染，201~250为重度污染，251~300为严重污染。

一环保人士记录去年某地某月10天的AQI 的茎叶图。

利用该样本估计该地本月空气质量状况优良(AQI≤100)的天数(这个月按30计算) ( )
A. 15
B. 18
C. 20
D. 24
9．向量()()2,,2,4,4,2x b a -=-=，若b a ⊥，则x 的值为( )
A. B. C. D.
10．已知e 为自然对数的底数，则曲线x y xe =在点()1,e 处的切线方程为( )
A. 21y x =+
B. 21y x =-
C. 2y ex e =-
D. 22y ex =-
11．已知双曲线22
221x y a b
-=(0,0a b >>)的一条渐近线被圆
22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为( )
A. 2 3 C.
52
D.
62
12．已知函数()x x x f ln 1+=
在区间()032,>⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+a a a 上存在极值，则实数
a 的取值范围是( )
A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21
B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32
C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31
D. ⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,31 二、填空题(每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)=lnx ，在区间(0,3)上任取一个实数x 0，则使得f(x 0)≥0的概率为____________．
14．直线3y x =与曲线2y x =围成图形的面积为________
15．设经过点()2,1M 的等轴双曲线的焦点为12,F F ，此双曲线上一点N 满足12NF NF ⊥，则12NF F ∆的面积___________
16．函数()2sin f x x x =-，对任意[]12,0,πx x ∈，恒有
()()12f x f x M -≤，则M 的最小值为________.
三、解答题
17．(本小题10分)已知命题p ：实数x 满足x 2-5ax +4a 2＜0，其中a ＞0，
命题q ：实数x 满足22
280
{ 3100
x x x x --≤+->． (1)若a =1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若￢p 是￢q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
18．(本小题12分)某公司近年来科研费用支出x 万元与公司所获利润y 万元之间有如表的统计
数据：参考公式：用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为：ˆˆˆy
bx a =+， 其中： 12
2
1
ˆn
i i i n i i x y nx y b
x nx
==-⋅=-∑∑， ˆˆa y bx
=-， 参考数值： 218327432535420⨯+⨯+⨯+⨯=。

(Ⅰ)求出,x y ；
(Ⅱ)根据上表提供的数据可知公司所获利润y 万元与科研费用支出x 万
元线性相关，请用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； (Ⅲ)试根据(Ⅱ)求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万
元时公司所获得的利润。

19．(本小题12分)已知棱长为的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是BC 的中点，F 为11B A 的中点.
(1)求证：F C DE 1⊥；
(2)求异面直线C A 1与F C 1所成角的余弦值.
20．(本小题12分)已知抛物线2:2C y x =和直线:1l y kx =+， O 为坐标原点．
(1)求证： l 与C 必有两交点；
(2)设l 与C 交于,A B 两点，且直线OA 和OB 斜率之和为1，求k 的值．
21．(本小题12分)已知椭圆C ： 22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分
别为 12,F F 且离心率为2
，过左焦点1F 的直线l 与C 交于,A B 两点，
2ABF ∆的周长为(1)求椭圆C 的方程；
(2)当2ABF ∆的面积最大时，求l 的方程.
22．(本小题12分)已知函数()()2ln f x ax x a R =-+∈ .
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)若存在()()1,,x f x a ∈+∞>-，求a 的取值范围.
2017年下学期期末考试试卷 高二数学(理科)参考答案
1. D
2．A
【解析】改写多项式()()()()()()3456781f x x x x x x x =
++++++，则需进
行6次乘法和6次加法运算，故选A. 3．C
【解析】∃x=-1，x 2-2x-3=0； x=6时x 能被2和3整除；两个平面垂直于同
一条直线则这两个平面必平行； 时x 2是有理数，所以假命题是C. 4．C
【解析】由题意易知将甲、乙两枚骰子先后各抛一次，点(a ，b)共有36种情况，其中当a ＋b ＝7时，共有6种情况，即(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，此时概率最大，故当m ＝7时，事件的概率最大．选C 。

5．D
【解析】根据抛物线的定义P 到焦点的距离等于P 到准线的距离，所以点P 到点()1,2Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和最小，只需点P 到点
()1,2Q 的距离与点P 到准线的距离之和最小，过点()1,2Q 作准线的垂线，
交抛物线于点P ，此时距离之和最小，点P 的坐标为11,4⎛⎫
⎪⎝⎭
.
6．A
【解析】执行程序，可得程序框图的功能是计算S=1+2+3+ i +的值，当S ＞81时，输出i+1的值．
由于S=1+2+3+…+i=()
12
i i +，
当i=12时，S=1213
2
⨯=78＜81，
当i=13时，S=
1314
2
⨯=91＞81，满足退出循环的条件，故输出i 的值为13+1=14． 故选：A ．
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7．A
【解析】因为函数
在(],0-∞上是增函数，所以
在(],0-∞上恒成立，所以
，故选A.
考点：由函数在区间上的单调性求参数范围. 8．B
【解析】从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2, 空气质量良的天数为4,
∴ 该样本中空气质量优良的频率为610=3
5 , 从而估计该月空气质量优良的天数为30×3
5=18 9．D
【解析】由，可得，解得，故选D. 考点：空间向量坐标形式的运算. 10．C
【解析】因为x y xe =，所以‘x x y e xe =+，曲线x y xe =在点()1,e 处的切线斜率k e 12e e =+⨯=，切线方程为21y e e x -=-（），化简得2y ex e =-，故选C. 11．D
【解析】由题意得圆方程即为22(3)4x y -+=，故圆心为(3,0)，半径为2.
双曲线的一条渐近线为b
y x a
=，即0bx ay -=，
故圆心到渐近线的距离为22223b d a b a b
==
++。

∵渐近线被圆截得的弦长为2，
∴2
222212a b ⎛⎫+=+，整理得2212b a =。

()3
22330
3
193|232S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰∴22222
161122c a b b e a a a +===+=+=。

选D 。

点睛：
双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率是双曲线的重要性质，求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量
,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a ＝－和e=c
a
转化为关于e 的方程或不等
式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． 12．D 【解析】
，令
，得x=1，当
，
，当
，
，所以2x =是函数的极大值点，又因为
函数在区间上存在极值，所以，解得
，故选
D ．
考点：导数的应用，极值.
13．2
3
【解析】当f (x 0)=Inx 0≥0时，x 0≥1 ∴概率P =
3−13
=2
3
故答案为23。

14 .，
15．3
【解析】设双曲线的方程为22x y λ-= ，代入点21M （，）
，可得3λ= ， ∴双曲线的方程为2
2
3x y -= ，即22
133
x y -=，
设12,NF m NF n ==，则22
23
{ 24
m n m n -+＝，＝ 6mn ∴= ，
12NF F ∴的面积为1
32
mn =．
即答案为3
16．2π 3.3
+
【解析】∵()2sin f x x x =-， ∴()12cos f x x =-'， ∴当03
x π
<<
时， ()()0,f x f x '<单调递减；当
3
x π
π<<时，
()()0,f x f x '>单调递增。

∴当3x π
=
时， ()f x 有最大值，且()min 2sin 333
33f x f ππ
ππ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭。

又()()00,f f ππ==， ∴()max f x π=。

由题意得()()12f x f x M -≤等价于
()()max min 23333
M f x f x ππ
π⎛⎫≥-=--=+ ⎪⎝⎭。

∴M 的最小值为233
π
+。

答案： 233
π
+
17．(1)()2,4；(2)(]1,2
【解析】试题分析：(1)命题p ：实数x 满足x 2-5ax+4a 2＜0，解集A=(a ，
4a)．命题q ：实数x 满足22280
{ 3100
x x x x --≤+-> 解集B=(2，4]．a=1，且p ∧q 为
真，求A∩B 即可得出．
(2)￢p ：(-∞，a]∪[4a ，+∞)．￢q ：(-∞，2]∪(4，+∞)．利用￢p 是￢q 的充分不必要条件，即可得出． 试题解析：
（1）命题p ：实数x 满足x 2-5ax+4a 2＜0，其中a ＞0，a ＜x ＜4a ，解集A=(a ，4a)，命题q ：实数x 满足，解得2＜x≤4．解集
B=(2，4]，a=1，且p ∧q 为真，则A∩B=(1，4)∩(2，4]=(2，4)，∴实数x 的取值范围是(2，4)．
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分
(2)￢p ：(-∞，a]∪[4a ，+∞)，￢q ：(-∞，2]∪(4，+∞)．
若￢p 是￢q 的充分不必要条件，则，解得1≤a≤2． 又当a=1时不成立∴实数a 的取值范围是(1，2]．
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分
18．19．(1)，28(2) 5.6.4ˆ8y
x =+(3)万元 【解析】试题分析：(1)利用平均值公式与所给参考数值求解即可；(2)利用公式求得()122214204 3.528 5.ˆ6544 3.5
n i i
i n i i x y nxy b x n x ==--⨯⨯===-⨯-∑
∑，将样本中心点的坐标代入回归方程，求得28ˆ 5.6 3.58ˆ.4a
y bx =-=-⨯=，从而可得结果；(3)利用第二问的回归方程进行求值，预测即可
试题解析：(1)2345182732353.5,2844
x y ++++++====。

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
(2) 4
1218327432535420i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
4222221234554i i x ==+++=∑，
()1222
14204 3.528 5.ˆ6544 3.5
n i i
i n i i x y nxy b x n x ==--⨯⨯===-⨯-∑
∑。

28ˆ 5.6 3.58ˆ.4a
y bx =-=-⨯=， 所以回归方程为 5.6.4ˆ8y
x =+。

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
(3)当10x =时， 5.6108. 4.ˆ464y
=⨯+=(万元)， 故预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润为万元。

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
【方法点晴】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算
2
11,,,n n
i
i i i i x y x x y ==∑∑的值；③计算回归系数ˆˆ,a b ；④写出回归直线方程为ˆˆˆy
bx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
19．(1)详见解析(2)
【解析】(1)证明：以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，，所以，所以．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分 (2)，则，又， ，所以异面直线与所成角的余弦值是．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分
考点：空间向量的坐标运算，垂直的证明，异面直线所成角．
20．(1)见解析；(2)1k =
【解析】试题分析：把直线方程和抛物线方程联立方程组，代入消元后得出一元二次方程，证明l 与C 必有两交点，只需证明判别式大于零，利用设而不求思想先设出点A 、B 的坐标，根据直线OA 和OB 斜率之和为1，列出两点坐标的关系，由于两点坐标满足直线的方程，所以把12,y y 代入化为12,x x 的关系，把根与系数关系代入后求出斜率k 的值．
试题解析：
(1)证明:联立抛物线2:2C y x =和直线:1l y kx =+,可得2210x kx --=, 280k ∴∆=+> , ∴ l 与C 必有两交点;
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分
(2)解:设()11,A x y , ()22,B x y ,则1212
1y y x x += ①，因为111y kx =+,221y kx =+ ,代入①,得121121k x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭
②，因为1212x x k +=,1212x x =- ,代入②得1k =.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分
【点睛】证明l 与C 必有两交点，只需联立方程组，代入消元后得出一元二次方程，证明判别式大于零，利用设而不求思想先设出点A 、B 的坐标，根据直线OA 和OB 斜率之和为1，列出两点坐标的关系，由于两点坐标满足直线的方程，所以把12,y y 代入化为12,x x 的关系，把根与系数关系代入后求出斜率k 的值．
21．(1) 2
212
x y +=；(2) 1x =-. 【解析】试题分析： ()1根据椭圆定义及2ABF ∆
的周长为
得出a =利用c e a
= 知1c ea ==，求出21b =，进而得到椭圆C 的方程；
()2将三角形分割，以12F F 为底， A B 、两点的纵坐标差的绝对值为高表示三角形面积，运用基本不等式求得结果
解析：(1)
由椭圆的定义知4a =，
a =由c e a
=知1c ea == 2221b a c =-=
所以椭圆C 的方程为
2
212
x y +=┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分
(2)由(1)知()()121,0,1,0F F -， 122F F =
设()()1122,,,A x y B x y ， :1l x my =-
联立1x my =-与2
21
x y +=得到()
222210m y my +--=，
122
2
y y m -=+ 2ABF
S ==当211,0m m +==时， 2ABF S ∆， :1l x =-┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分
点睛：在求过焦点的弦与另一个焦点构成的三角形面积时可以对其分割，转化为两点纵坐标差的绝对值，为简化计算，由于直线过横坐标上一定点，故设直线方程1x my =-
22．(1)()f x 在
⎛ ⎝上递增，在⎫+∞⎪⎭
上递减.；(2)1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：(1)对函数()f x 求导，再根据a 分类讨论，即可求出()f x 的单调性；(2)将()f x a >-化简得()21ln 0a x x --<，再根据定义域()1,x ∈+∞，对a 分类讨论， 0a ≤时，满足题意， 0a >时，构造()()
21ln g x a x x =--，求出()g x 的单调性，可得()g x 的最大值，即可求出a 的取值范围.
试题解析：(1)()2
1122ax f x a x x
-='=-+， 当0a ≤时， ()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上递增，
当0a > 时，令()0f x '=，得
x =， 令()0f x '>，得
x ⎛∈ ⎝；令()0f x '<，得x ⎫∈+∞⎪⎭
， 所以()f x 在
⎛ ⎝上递增，在⎫+∞⎪⎭
上递减.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分
(2)由()f x a >-，得()
21ln 0a x x --<，因为()1,x ∈+∞，所以2ln 0,10x x --，
当0a ≤时， ()21ln 0a x x --<满足题意， 当12
a ≥时，设()()
()22211ln (1),0ax g x a x x x g x x -'=-->=>， 所以()g x 在()1,+∞上递增，所以()()10g x g >=，不合题意， 当10
2a <<时，令()0g x '>，得x ⎫∈+∞⎪⎭
，令()0g x '<，得
⎛ ⎝， 所以()()
max 10g x g g =<=，则()()1,0x g x ∃∈+∞<， 综上， a 的取值范围是
1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分
点睛：本题考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则.一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。