天津大学物理化学教研室《物理化学》(下册)课后习题(量子力学基础)

第8章量子力学基础
8.1 同光子一样，实物粒子也具有波动性。

与实物粒子相关联的波的波长，即德布罗意波长由式（8.0.2）给出。

试计算下列波长。

（1）具有动能1 eV，100 eV的电子；
（2）具有动能1 eV的中子；
（3）速度为640 m/s、质量为15 g的弹头。

解：动能与动量的关系为
即，所以。

（1）电子的质量为，因此。

（2）中子的质量为，因此。

（3）。

8.2 在一维势箱问题求解中，假定在箱内V（x）＝c≠0（C为常数），是否对其解产生影响？怎样影响？
解：当时，一维势箱粒子的薛定谔方程为
即，其中，。

上述方程与一维势箱粒子C＝0时的方程相同，故有
即不影响波函数，能级整体改变C：。

8.3 一质量为m，在一维势箱0≤x≤a中运动的粒子，其量子态为：
（1）该量子态是否为能量算符的本征态？
（2）对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？
（3）处于该量子态粒子能量的平均值为多少？
解：对波函数的分析可知，。

一维势箱的能量算符
则。

（1）由于
因此，()xψ不是能量算符Hˆ的本征态。

（2）由于()xψ是能量本征态()x1ψ和()x3ψ的线性组合，而且是归一化的，因此，能量测量的可能值为。

其出现的概率分别为。

（3）能量测量的平均值为。

8.4 质量为1 g的小球在1 cm长的盒内，试计算当它的能量等于在300 K下的kT 时的量子数n。

这一结果说明了什么？k和T分别为玻耳兹曼常数和热力学温度。

解：一维势箱粒子的能级公式为
以上计算结果表明，宏观物体在一宏观箱中运动，出于大量子数状态，此时能级n和能级n+1间的间隔与物体本身能量相比完全可以忽略，即能量量子化效应不明显，也就是说在大量子数状态下，量子力学过渡到经典力学，这也成为玻尔对应原理。

8.5 有机共轭分子的性质如共轭能、吸收光谱中吸收峰的位置等，可用一维势箱模型加以粗略描述。

已知下列共轭四烯分子
解：基态时该分子的8个 电子占据能量最低的4个轨道，而最长波长的吸收对应于从最高占据轨道向最低空轨道的越迁，即n＝4向n＝5的跃迁，因此
即＝460nm。

8.6 在质量为m的单原子组成的晶体中，每个原子可看作在所有其他原子组成的球对称势场该模型称为三维各向同性谐振子模型，请给出其能级的表达式。

解：该系统的哈密顿算符为
即Hˆ为三个独立的哈密顿算符之和，根据量子力学基本规律，该振子的能级即为三个独立的振子能级之和，即
式中，为经典基频，因此，。

8.7 一维势箱[0，a]中两个α自旋的电子，如果它们之间不存在相互作用，试写出它们基态波函数ϕ（x 1，x 2）。

解：设一维势箱中[0，a]两个能量最低的波函数本别为21ψψ和，由于两个电子的自旋态均为α，因此两个电子只能分别占据21ψψ和，其基态波函数用斯莱特行列式表示为
8.8 在忽略电子间相互作用的情况下，H E 原子运动的哈密顿算符可近似表示为：
式中m 为电子的质量，r 1和r 2分别为电子1和电子2与核之间的距离。

（1）在上述近似下，写出He 原子的能量表达式并给出基态的能量值。

（2）如果1s 为He +的基态波函数（空间轨道），则He 原子基态波函数表示为
＝，这种说法正确吗？为什么？
解：（1）由于
，它是两个独立的Z ＝2类氢原子的哈
密顿算符之和，因此，其能级为两个类氢原子的能级之和
基态时
，因此，氦原子的基态能量为。

（2）泡利原理要求电子的完全波函数对于两电子的交换应是反对称的，而题设He 原
子基态波函数是非对称的，所以不正确。

He原子基态完全波函数应用斯莱特行列式表示
8.9 在金属有机化和物的合成中N2常被用作保护气体，写出基态的电子组态，并以此解释N2的特殊稳定性。

解：的分子轨道分别是
键级分别是3，2.5，2.5，因此无论N2得电子成N2－还是失电子成N2+，其键级均减小，说明稳定性都小于N2，即N2有很好的稳定性。