随堂优化训练数学人教a必修配套变量间的相关关系数学备课大师网为您整理.pptx

xiyi 620 1360 2250 3240 4450 5700 7140 8640 x2i 100 400 900 1600 2500 3600 4900 6400
8
xi yi 8x y
i1
x ＝45， y ＝85，b^＝
8
xi2
2
8x
≈0.667，a^＝－y －b^ x ≈55
i1
所以 y 关于 x 的回归方程为^y＝0.667x＋55.
(2)正相关、负相关的概念： 如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也是由小 变大，那么这种相关称为__正__相__关____；反之，如果一个变量的 值由小变大时，另一个变量的值是由大变小，那么这种相关称 为___负__相__关___. (3)回归直线方程： 定义：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线 附近，那么我们就称这两个变量之间具有__线__性__相__关__关__系__，这 条直线叫做___回__归__直__线___.
(3)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？
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思维突破：作散点图进行判断，若是线性相关，则利用公 式计算回归系数.
解：(1)散点图如图 D16.
图 D16
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(2)列表如下：
xi 10 20 30 40 50 60 70 80
yi 62 68 75 81 89 95 102 108
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解：(1)由所给数据，需求量与年份之间的关系是近似直线 上升，为此对数据处理如下表：
年份－2010 －4 －2 0 2 4
需求量－257 －21 －11 0 19 29 对处理后的数据计算，得
x ＝1n n xi ＝0， y ＝1n n yi ＝3.2.
i1
i1
n
b^＝
i1 n
xi yi nx y
xi2
2
nx
＝24600＝6.5，a^＝
y
－b^
x
＝3.2.
i1
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所求回归直线方程为 y－257＝b(x－2010)＋a＝6.5×(x－ 2010)＋3.2，即 y＝6.5(x－2010)＋260.2.
(2)当 x＝2016 时，y＝6.5×(2016－2010)＋260.2＝299.2(万
吨)，即该地 2016 年的粮食需求量为 299.2 万吨.
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【例 4】 观察下列变量 x，y 的散点图：
图 2-3-1
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图 2-3-1 所示的两个变量具有相关关系的是( )
A.(2)(3) C.(2)(4)
B.(1)(2) D.(3)(4)
易错分析：误认为(4)不具有相关关系，而误认为(3)具有相
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对一组具有线性相关关系的样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…， (xn，yn)，设其回归方程为^y＝b^x＋a^，其中
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
b^＝i＝1
n
xi－ x 2
i＝1
＝
，
n
xi2－n x 2
i＝1
i＝1
a^＝ y －b^ x .
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题型 1 相关关系的概念 【例 1】 下面两个变量之间的关系是相关关系的是( ) A.正四面体的棱长与体积 B.电压一定时，电流与电阻 C.两地距离一定，车辆运行的平均速度与运行的时间 D.数学成绩与物理成绩 思维突破：函数关系是确定性关系，是因果关系. 答案：D
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【变式与拓展】 1.下列关系不是相关关系的是( B ) A.日照时间与水稻亩产量 B.圆的半径与圆的内接正三角形的面积 C.父母的身高与子女的身高 D.降雪量与交通事故的发生率
关关系.
解析：(3)是严格地共线点，是确定的关系，即函数关系，
(4)的散点图大致在一抛物线上.
答案：C
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[方法·规律·小结] 1.两变量之间的关系分两类. (1)确定性的函数关系.例如以前学习过的一次函数、二次函 数等. (2)带有随机性的变量间的相关关系.例如：“身高者，体也 重”，我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系. 两者的相同点是均指两变量间的关系.不同点是函数关系 是一种确定关系，相关关系是一种不确定关系，具有随机性； 函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也 可能是伴随关系.
n
n
第二步：求xiyi，x2i 的值.
i＝1
i＝1
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
i＝1
i＝1
第三步：计算b^＝
＝
，a^＝ y －b^ x .
n
xi－ x 2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
第四步：写出回归方程^y＝b^x＋a^.
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2.根据散点图中变量的对应点的离散程度，可以准确地判 断两个变量是否具有相关关系.
如果散点图中变量的对应点分布在某条直线的周围，我们 就可以得出结论：这两个变量具有相关关系.如果变量的对应点 分布没有规律，我们就可以得出结论：这两个变量不具有相关 关系.
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3.求样本数据的线性回归方程的一般步骤. 第一步：计算平均数 x ， y .
过程中记录的产量 x(单位：吨)与相应的生产能耗 y(单位：吨标
准煤)的几组对照数据：
x/吨 3 4 5 6 y/吨 2.5 3 4 4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线 性回归方程^y＝b^x＋a^；
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(3)已知该厂技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨 标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程，预测技改后生产 100 吨 甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
x 014 5 68 y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3
从所得的散点图分析可知：y 与 x 线性相关，且^y＝0.95x＋
a，则 a＝( B )
A.1.30
B.1.45
C.1.65
D.1.80
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题型 3 利用回归直线对总体进行估计 【例 3】 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品
i1
a^＝ y －b^ x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
故所求的回归方程为^y＝0.7x＋0.35.
(3)当 x＝100 时，^y＝0.7×100＋0.35＝70.35(吨). 故预测技改后生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90－70.35＝19.65(吨标准煤).
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【变式与拓展】 3.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数 据：
年份/年 2006 2008 2010 2012 2014 需求量/万吨 236 246 257 276 286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 ^y＝b^x＋a^； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2016 年的粮食需 求量.
(3)由回归直线方程，可知：每增加 1 个零件，加工时间平
均增加 0.667 分钟.
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求回归直线方程的步骤：①列表；②计算 x ，y ，
n
n
xi yi ， xi2 的值；③代入公式计算b^，a^的值；④写出回归直
i1
i1
线方程.
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【变式与拓展】
2.(2013 年广东六校一模)已知 x，y 取值如下表：
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练习：有关线性回归的说法，不正确的是( D ) A.相关关系的两个变量是非确定关系 B.散点图能直观地反映数据的相关程度 C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D.散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强
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3.最小二乘法
n
通过求 (yi－bxi－a)2的最小值而得到回归直线的方法， i1
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题型 2 求线性回归方程 【例 2】 一车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所 花费的时间，为此进行了实验，收集数据如下表：
零件数 x/个 10 20 30 40 50 60 70 80
加工时间
y/分钟
62 68 75 81 89 95 102 108
(1)画出散点图；
(2)求回归方程；
叫做最小二乘法.
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【问题探究】 回归直线方程的预测值^y与实际值 y 为什么会产生误差？ 答案：(1)回归直线方程中的截距与斜率都是通过样本估计 出来的，存在随机误差. (2)实际上，y＝b^x＋a^＋e＝^y＋e，这里的 e 是随机变量，而 ^y与 y 的接近程度由随机变量 e 的标准差决定.
思维突破：获得线性回归方程后，用解释变量的取值，对 总体进行估计.
解：(1)散点图如图 D17.
图 D17
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(2)对照数据计算，得
4
4
x ＝4.5， y ＝3.5， xi yi ＝66.5， xi2 ＝81 4
xi yi 4x y
xi2
2
4x
＝66.58－6－4×4×4.45.×52 3.5＝0.7，