2020年高考数学(文)之纠错笔记专题12 概率

专题12 概率
易错点1 忽略概率加法公式的应用前提致错
某商店日收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：
日收入[1000, 1500)[1500,2000)[2000, 2500)[2500, 3000)
概率0.12a b0.14
已知日收入在[1000,3000)(元)范围内的概率为0.67,求月收入在[1500,3000)(元)范围内的概率.
【错解】记这个商店日收入在[1000,1500),[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000) (元)范围内的事件分别为A,B,C,D,则日收入在[1500,3000)(元)范围内的事件为B+C+D,所以P(B+C+D)=1-P(A)=0.88.
【错因分析】误用P(B+C+D)=1-P(A).事实上,本题中P(A)+P（B）+P（C）+P（D）≠1,故事件A与事件B+C+D 并不是对立事件.
【试题解析】因为事件A,B,C,D互斥,且P(A)+P（B）+P（C）+P（D）=0.67,
所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.
在应用概率加法公式时，一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件.对于事件A，B，有U，只有当事件A，B互斥时，等号才成立.
=+
P A B P A P B
()()()
1．已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．
（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；
（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率.
【答案】（1）甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22． （2）甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9
【解析】记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A ，则P （A ）＝1﹣0.56﹣0.22﹣0.12＝0.1， “甲射击一次，命中7环”为事件B ，则P （B ）＝0.12， 由于在一次射击中，A 与B 不可能同时发生， 故A 与B 是互斥事件，
（1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A +B ， 由互斥事件的概率加法公式，
P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）＝0.1+0.12＝0.22． 答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22． （2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件C ， “甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件D ， 则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为B +C +D ，
∴P （B +C +D ）＝P （B ）+P （C ）+P （D ）＝0.12+0.22+0.56＝0.9． 答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9． 方法2：∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件A ， ∴()
()1P A P A =-=1﹣0.1＝0.9．
答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．
【名师点睛】本题考查概率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用对立事件的概率的求法．
易错点2 混淆“等可能”与“非等可能”
从5名男生和3名女生中任选1人去参加演讲比赛,求选中女生的概率.
【错解】从8人中选出1人的结果有“男生”“女生”两种,则选中女生的概率为1
2.
【错因分析】因为男生人数多于女生人数,所以选中男生的机会大于选中女生的机会,它们不是等可能的.
【试题解析】选出1人的所有可能的结果有8种,即共有8个基本事件,其中选中女生的基本事件有3个,故选
中女生的概率为3
8
.
利用古典概型的概率公式求解时，注意需满足两个条件：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）试验的每个基本事件是等可能发生的.
2．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为
A．1
2
B．
1
4
C．1
8
D．
1
16
【答案】B
【解析】可能出现的选择有4种，满足条件要求的种数为1种，则
1
4
P=，故选B.
【名师点睛】本题考查利用古典概型完成随机事件的概率的求解，难度较易.古典概型的概率计算公式：（目标事件的数量）÷（基本事件的总数）.
错点3 几何概型中测度的选取不正确
在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C．
（1）在斜边AB上任取一点M,求AM<AC的概率;
（2）在∠ACB的内部,以C为端点任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM<AC的概率.
【错解】（1）如图所示,在AB上取一点C',使AC'=AC,连接CC'.
由题意,知AB =√2AC ．
由于点M 是在斜边AB 上任取的,所以点M 等可能分布在线段AB 上,因此基本事件的区域应是线段AB ．
所以()
2AC P AM AC AB '<=
==
.
（2）在∠ACB 的内部作射线CM ，则所求概率为
2
AC AC AB AB '==. 【错因分析】第（2）问的解析中错误的原因在于选择的观察角度不正确，因为在∠ACB 的内部作射线CM 是均匀分布的，所以射线CM 作在任何位置都是等可能的，则涉及的测度应该是角度而不是长度.
【试题解析】（1）如图所示,在AB 上取一点C',使AC'=AC,连接CC'.
由题意,知AB =√2AC ．
由于点M 是在斜边AB 上任取的,所以点M 等可能分布在线段AB 上
,因此基本事件的区域应是线段AB ．
所以()
2AC P AM AC AB '<=
==
.
（2）由于在∠ACB 内作射线CM,等可能分布的是CM 在∠ACB 内的任一位置(如图所示),
因此基本事件的区域应是∠ACB,
又1
(18045)67.52
ACC '∠=
-=o o o ，90ACB ∠=o ， 所以()ACC P AM AC ACB '∠<==∠的角度的角度
67.53904=o
o .
对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．
3．如图，在直角梯形ABCD 中，2AD CD ==，B 是OC 的中点，若在直角梯形ABCD 中投掷一点(,)P x y ，则以x ，y ，2为三边构成的三角形为钝角三角形的概率为
A ．1
4π- B ．
2
4π-
C ．13
π-
D ．23
π-
【答案】C
【解析】由题意，得2x ≤，2y ≤，故2为三角形的最长边长，
Q 以x ，y ，2为三边构成的三角形为钝角三角形，224x y ∴+<，
即以原点为圆心，半径为2的圆，
()1
21
1213122
2
AOB ABCD
S P S π-⨯⨯π-π-∴=
==⨯+⨯△梯形，故选C.
(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；
(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题； (3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．
一、随机事件与概率 1．事件关系的判断方法
对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．
2．基本事件个数的计算方法 (1)列举法； (2)列表法； (3)利用树状图列举.
3．求互斥事件概率的两种方法
(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算． (2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P (A )＝1－()P A 求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法往往会较简便. 二、古典概型
1．求古典概型的基本步骤 (1)算出所有基本事件的个数n .
(2)求出事件A 包含的所有基本事件数m . (3)代入公式P (A )＝m
n
，求出P (A )．
2．基本事件个数的确定方法
(1)列举法：此法适用于基本事件较少的古典概型．
(2)列表法：此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法． 3．求与古典概型有关的交汇问题的方法
解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算. 三、几何概型
1.求解与长度(角度)有关的几何概型的方法
求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)． 2．求解与体积有关的几何概型的方法
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求． 3．求解与面积有关的几何概型的方法
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生 C ．616号学生
D ．815号学生
【答案】C
【解析】由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第
一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *
∈N ，若
8610n =+，解得1
5
n =，不合题意；若200610n =+，解得19.4n =，不合题意；若616610n =+，
则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．
2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子
中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A ．
23 B ．
35 C ．25
D ．15
【答案】B
【分析】首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式即可求解．
【解析】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，
则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B b c A ，
{,,},{,,},{,,}b c B b A B c A B ，共10种．
其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,,},{,,}b c A b c B ，共6种， 所以恰有2只做过测试的概率为
63
105
=，故选B ． 【名师点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．
3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A ．1
12 B ．
114 C ．1
15
D ．118
【答案】C
【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，
共有109
452
⨯=种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为
31=4515
. 故选C.
【名师点睛】先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.古典概型中基本事件数的探求方法：
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. 4．一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是 A ．0.3 B ．0.55
C ．0.7
D ．0.75
【答案】D
【解析】因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25， 所以摸出黑球的概率是1(0.450.25)0.3-+=， 因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件， 所以摸出黑球或红球的概率0.30.450.75P =+=，故选D ．
【名师点睛】本题主要考查了两个互斥事件的和事件，其概率公式()()()P AUB P A P B =+，属于中档题.
5．在一项自“一带一路”沿线20国青年参与的评选中“高铁”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”被称作中国“新四大发明”，曾以古代“四大发明”推动世界进步的中国，正再次以科技创新向世界展示自己的发展理念．某班假期分为四个社会实践活动小组，分别对“新四大发明”对人们生活的影响进行调查．于开学进行交流报告,四个小组随机排序，则“支付宝”小组和“网购”小组不相邻的概率为 A ．
1
6 B ．
16
C ．13
D ．
12
【答案】D
【解析】将“支付宝”小组，“网购”小组，“高铁”小组，“共享单车”小组分别记为1A ，2A ，1B ，2B ．则四个小组随机排序的所有情况有：()1212,,,A A B B ，()1221,,,A A B B ，()2112,,,A A B B ，()2121,,,A A B B ，
()1122,,,A B A B ，()1221,,,A B A B ，()2112,,,A B A B ，()2211,,,A B A B ，()1122,,,B A A B ，()1212,,,B A A B ，()2121,,,B A A B ，()2211,,,B A A B ，()1122,,,A B B A ，()1122,,,A B B A ，()2121,,,A B B A ，()2211,,,A B B A ，
()1212,,,B B A A ，()1221,,,B B A A ，()2112,,,B B A A ，()2211,,,B B A A ，()1122,,,B A B A ，()1221,,,B A B A ，()2112,,,B A B A ，()2211,,,B A B A ，共24种，
其中“支付宝”小组与“网购”小组不相邻的有12种， 由古典概型的概率公式得所求概率为12
． 故选：D ．
6．已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：
321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506 318 230 113 507 965
据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率为 A ．0.25 B ．0.30
C ．0.35
D ．0.40
【答案】B
【解析】由题意知模拟三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三次射击恰有两次命中的有：421、292、274、632、478、663， 共6组随机数，∴所求概率为6
0.320
P =
=，故选B ． 【名师点睛】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．
7．传说战国时期,齐王与田忌各有上等,中等,下等三匹马,且同等级的马中,齐王的马比田忌的马强,但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强.有一天,齐王要与田忌赛马,双方约定:比赛三局,每局各出一匹马,每匹马赛一次,赢得两局者为胜.如果齐王将马按上,中,下等马的顺序出阵,而田忌的马随机出阵比赛,则田忌获胜的概率是 A ．1
2 B ．1
3
C ．16
D ．1
36
【答案】C
【解析】由题可得,赛马的对阵方式有A 33=6种,其中满足条件的有1种,所以田忌获胜的概率为1
6. 故选C ．
8．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于l 的概率为
A ．1
3 B ．
23 C ．3
4
D ．14
【答案】B
【解析】设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1，由几何概型，得P 1＝3
2
2π13π12V V ⨯⨯⨯半球圆柱＝＝13
，故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝2
3
. 故选B.
9．某学生用随机模拟的方法推算圆周率π的近似值，在边长为2的正方形内有一内切圆，向正方形内随机投入1000粒芝麻，（假定这些芝麻全部落入该正方形中）发现有795粒芝麻落入圆内，则该学生得到圆周率π的近似值为 A ．3.1 B ．3.2
C ．3.3
D ．3.4
【答案】B
【解析】边长为2的正方形内有一内切圆的半径为1，圆的面积为21π⨯=π，正方形的面积为224=， 由几何概型的概率公式可得
79541000π=，得4795 3.18 3.21000
⨯π==≈， 因此，该学生得到圆周率π的近似值为3.2，故选B ．
【名师点睛】本题考查利用随机模拟思想求圆周率π的近似值，解题的关键就是利用概率相等结合几何概型的概率公式列等式求解，考查计算能力，属于基础题.
10．《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次
时出现两枚正面、一枚反面的概率为
A ．
1
8 B ．
14 C ．38
D ．12
【答案】C
【解析】抛掷三枚古钱币出现的基本事件有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，共8种，其中出现两正一反的共有3种，故所求概率为
3
8
．故选C ． 11．运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为A ,从集合A 中任取一个元素a ,则函数y =x a ,x ∈[0,+∞)是增函数的概率为
A ．3
7 B ．4
5
C ．3
5
D ．3
4
【答案】C
【解析】该程序的运行过程如下:x =-3,输出y =3;x =−2,输出y =0;x =−1,输出y =−1;x =0,输出y =0;x =1,输出y =3;x =2,输出y =8;x =3,输出y =15,程序结束,故A ={3,0,-1,8,15},其中有3个正元素,可使得函数y =x a ,x ∈[0,+∞]是增函数,故所求概率为3
5. 故选C.
12．设函数f (x )=e ,01
ln e,1e
x x x x ⎧≤<⎨
+≤≤⎩在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是 A ．1 e
B ．1﹣
1e
C ．e
1e
+
D ．1
1e
+ 【答案】B
【解析】由题意可得，因为()e f x ≥，且f (x )=e ,01
ln e,1e
x x x x ⎧≤<⎨
+≤≤⎩，所以有1e x ≤≤，所以由几何概型可得，f (x )的值不小于常数e 的概率是e 1e
p -=. 故选B ．
13．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则
A ．p 1=p 2
B ．p 1=p 3
C ．p 2=p 3
D ．p 1=p 2+p 3
【答案】A
【解析】设,,AC b AB c BC a ===，则有2
2
2
b c a +=，从而可以求得ABC △的面积为11
2
S bc =
， 黑色部分的面积为222
21πππ2222c b a S bc ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅-⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
2221π4442c b a bc ⎛⎫=+-+
⎪⎝⎭ 22211π422
c b a bc bc +-=⋅+=，
其余部分的面积为2
231
π1π22
42a a S bc bc ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，所以有12S S =，
根据面积型几何概型的概率公式，可以得到12p p =. 故选A.
【名师点睛】该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，之后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p 1，p 2，p 3的关系，从而求得结果.
14．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前
期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________． 【答案】0.18
【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是3
0.60.50.520.108,⨯⨯⨯=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是2
2
0.40.60.520.072,⨯⨯⨯=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=
【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 15．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________． 【答案】0.98
【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．
【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为
39.2
0.9840
=． 【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．
16．已知向量()()2,1,,x y ==，a b 若{}{}1,0,1,2,1,0,1x y ∈-∈-，则向量∥a b 的概率为_______. 【答案】
1
6
【解析】若x ∈{﹣1，0，1，2}，y ∈{﹣1，0，1}，则满足条件的向量b 共有4×3=12个， 若向量∥a b ，则2y ﹣x =0，故满足条件的向量b 有（0，0），（2，1），共两个， 故向量∥a b 的概率P =212=1
6
， 故答案为
16
. 【名师点睛】本题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．先求出基本事件的个数，利用向量平行确定满足∥a b 的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式求概率. 17．设集合1
{|
216}4
x A x =<<,()
2{|ln 3}B x y x x ==-,从集合A 中任取一个元素,则这个元素也是集合B 中元素的概率是__________．
【答案】1 2
【解析】∵集合A={x|1
4
＜2x＜16}=（﹣2，4），()2
{|ln3}
B x y x x
==-=（0，3），
∴A∩B={x|0＜x＜3}，∴事件“x∈A∩B”的概率是301 422 -
=
+
.
故答案为：1 2 .
【名师点睛】（1）本题主要考查集合的化简和运算，考查几何概型，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.先根据集合A，B，求出A∩B，再利用长度型的几何概型的意义求解即可．
（2）几何概型的解题步骤：
首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；
接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A构成的区域长度（角度、弧长等），最后代
公式()A
P A=
构成事件的区域长度
试验的全部结果所构成的区域长度
；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变
量，再列出试验的全部结果和事件A分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.
18．某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示．
（1）分别求甲乙两个小组成绩的平均数与方差；
（2）分析比较甲乙两个小组的成绩；
（3）从甲组高于70分的同学中，任意抽取2名同学，求恰好有一名同学的得分在[80,90）内的概率．【答案】（1）x̅1=68,x̅2=68;s12=77.5,s22=45.
（2）甲乙两个小组成绩相当; 乙组成绩比甲组成绩更稳定．
（3）p=2
3
.
【解析】（1）记甲乙成绩的的平均数分别为x̅1，x̅2，则
x̅1=1
8
(56+60+61+63+71+72+80+81)=68．
x̅2=1
8
(58+62+64+66+69+71+73+81)=68．记甲乙成绩的的方差分别为s12，s22，则
s12=1
8
[(56−68)2+(60−68)2+(61−68)2+(63−68)2 +(71−68)2+(72−68)2+(80−68)2+(81−68)2]
=77.5．
s22=1
8
[(58−68)2+(62−68)2+(64−68)2+(66−68)2
+(69−68)2+(71−68)2+(73−68)2+(81−68)2]
=45．
（2）因为x̅1=x̅2，所以甲乙两个小组成绩相当；
因为s12>s22，所以乙组成绩比甲组成绩更稳定．
（3）由茎叶图知，甲组高于70分的同学共4名，有2名在[70,80），记为a1，a2，有2名在[80,90）记为b1，b2．
任取两名同学的基本事件有6个：
（a1,a2），（a1,b1），（a1,b2），（a2,b1），（a2,b2），（b1,b2）．
恰好有一名同学的得分在[80,90）的基本事件数共4个：
（a1,b1），（a1,b2），（a2,b1），（a2,b2）．
所以恰好有一名同学的得分在[80,90）的概率为p=2
3
．
【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：
（1）列举法.
（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. 19．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下:甲商场:顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中两个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角
)即为中奖·
乙商场:从装有2个白球、2个蓝球和a 个红球的盒子中一次性摸出1球（这些球除颜色外完全相同），它是红球的概率是
1
3
，若从盒子中一次性摸出2球，且摸到的是2个相同颜色的球，即为中奖. （1）求实数a 的值；
（2）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由. 【答案】（1）2a =;（2）顾客在甲商场中奖的可能性大. 【解析】（1）根据随机事件的概率公式，
1
223
a a =++，解得2a =.
（2）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件A ，试验的全部结果构成的区域为圆盘，
面积为2
r π（r 为圆盘的半径）
设顾客去乙商场一次摸出两个相同颜色的球为事件B ，记2个白球为白1，白2；2个红球为红1、红2；2个蓝球为蓝1、蓝2.
则从盒子中一次性摸出2球，一切可能的结果有（白1、白2），（白1、红1）、（白1、红2），（白1、蓝1），（白1、蓝2）；（白2、红1），（白2、红2），（白2、蓝1），（白2、蓝2）；（红1、蓝1），（红1、蓝2），（红2、蓝1），（红2、蓝2）；（蓝1、蓝2）等共15种；
其中摸到的是2个相同颜色的球有（白1、白2），（红1、红2），（蓝1、蓝2）等共3种； 故由古典概型，得()31155
P B ==. 因为()()P A P B >，
所以顾客在甲商场中奖的可能性大.
20．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
【答案】（1）0.025；（2）0.814；（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000．
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50，
故所求概率为
50
0.025 2000
=．
（2）方法1：由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1 =56+10+45+50+160+51
=372．
故所求概率估计为
372
10.814
2000
-=．
方法2：设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B．
没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部．
由古典概型概率公式得
1628
0.814
2
)
00
(
P B==．
（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
21．【2019年高考天津卷文数】2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有
72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,
A B C D E F．享受
情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．。