2020-2021学年浙江省温州市永嘉县东方外国语学校七年级(下)期末数学复习试卷(附答案详解)

2020-2021学年浙江省温州市永嘉县东方外国语学校七年
级（下）期末数学复习试卷
一、选择题（本大题共2小题，共6.0分）
1.某一餐桌的表面如图所示(单位：m)，设图中阴影部分面积S1，餐桌面积为S2，则
S1
S2
=()
A. 1
5B. 1
4
C. 1
3
D. 1
2
2.如图，正方形ABCD由四个相同的大长方形，四个相同
的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形
的长和宽分别是小长方形长和宽的3倍，若中间小正方
形的面积为1，则大正方形ABCD的面积是()
A. 25
B. 36
C. 49
D. 81
二、填空题（本大题共13小题，共39.0分）
3.如图所示，一个长方形窗框ABCD被EF分成上下两个长方形，
上部分长方形又被分成三个小长方形，其中G，H为AD的四等
分点(G在H左侧)且AG=HD.一根晾衣杆斜靠在窗框上的PG
位置，P为BC中点，若BC=4，PG分长方形BEFC的左右面积
之比为a：b，则PG分长方形AEFD的左右面积之比为______(用
含a，b的代数式表示)．
4.如图，长方形ABCD中，AD>AB.E，F分别是AD，BC上不在中点的任意两点，连
结EF，将长方形ABCD沿EF翻折，当不重叠(阴影)部分均为长方形时，所有满足条件的∠BFE的度数为______度．
5.计算：20182−4036×2016+20162=______．
6.小月去买水饺，她身上带的钱恰好可以买15个虾仁水饺或20个韭菜水饺，若她先
买了9个虾仁水饺，则剩下的钱恰好可以买韭菜水饺______个．
7.现有2张大正方形纸片A，2张小正方形纸片B，5张小长方形
纸片C，这9张纸片恰好拼成如图所示的大长方形，已知大长方形的周长为42，面积为107，则1张小长方形纸片C的面积为______．
8.下表是某校初一(7)班20名学生某次数学成绩的统计表：若这20名学生平均成绩为
a(a是整数)，则a至少是______分．
成绩(分)60708090100
人数(人)15x y2
9.如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB，EF与上拉杆CF形成的
∠F=150°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB=35°时，点H，D，B在同一直线上，则∠H的度数是______．
10.若x+1
x =5，则x2
x4+x2+1
=______ ．
11. 三个同学对问题“若方程组{a 1x +b 1y =c 1a 2x +b 2y =c 2
的解是{x =−1
y =−2，求方程组
{5a 1x +6b 1y =7c 1
5a 2x +6b 2y =7c 2
的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定规律，可以试试”；丙说“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以7，通过换元替代的方法来解决”.参考他们的讨论，求出方程组的解是______．
12. 已知a +b =3×√2，ab =4，则a 2−b 2的值为______． 13. 已知m 2−5m −1=0，则2m 2−5m +1
m 2=______．
14. 如图，在长方形ABCD 中，AB =10，BC =13.E ，F ，G ，H 分别是线段AB ，BC ，
CD ，AD 上的定点，现分别以BE ，BF 为边作长方形BEQF ，以DG 为边作正方形DGIH.若长方形BEQF 与正方形DGIH 的重合部分恰好是一个正方形，且BE =DG ，Q ，I 均
在长方形ABCD 内部．记图中的阴影部分面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 2
S 1
=3
7，则
S 3=______．
15. 已知等式a 2−3a +1=0可以有不同的变形：即可以变形为：a 2−3a =−1，a 2=
3a −1，a 2+1=3a ，也可以变形为：a +1
a =3，等等．那么： (1)代数式a 3−8a 的值为______． (2)代数式
a 2a 4+1
的值______．
三、解答题（本大题共4小题，共32.0分）
16. 如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正
方形设计出了图1，图2，图3三种图案
(1)根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？
(2)若图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求大正方形中末被
小正方形覆盖的阴影部分的面积．
17.某超市有甲、乙、丙三种商品，原价分别为20元/件，50元/件，30元/件，小慧一
共购买了三次，仅有一次购买时丙商品打折，其余均无打折．前两次购买甲商品的数量相同，记为x件，第三次购买甲的数量记为y件，乙的数量记为z件，其余各商品的数量与总费用信息如表：
(1)小慧第______次购买的丙商品有打折，求本次丙商品打几折？
(2)若第三次购买的每种商品不少于1件，问第三次购买商品的数量总和是多少件？
(3)五一期间，该超市这三种商品的单价都有所下降，以每件下降金额来比较，乙
倍．小玮在此期间分别花了160元、210元、商品是甲商品的2倍，丙商品是甲商品的3
2
120元来购买甲、乙、丙三种商品，结果甲、丙的数量之和是乙的3倍，求本次购买跟原价相比共节省多少元．
18.某校开展爱心义卖活动，同学们纷纷推销自己的手工制品并将获得的利润捐给贫困
结对学校，小明以3元/张的价格买了400张金属板，其长和宽分别为30厘米，12厘米，现将金属板按图1方式剪去四个相同的小正方形，制成无盖形状的桌面收纳盒．并使其底面长与宽之比为4：1(金属板厚度略去不计，粘合损耗不计)．
(1)求制成的无盖收纳盒的高．
(2)现小明将360张金属板按图1方式裁剪，40张金属板按图2方式裁剪后给部分盒
子配上盖子，现定价无盖收纳盒5元/个，有盖收纳盒8元/个，则全部销售后能获利多少元？
19.为打造美丽校园，小明、小红为校园内的一块空地分别提供了如图甲、乙的设计方
案，其中阴影部分都用于绿化，图甲空白区域修建一座雕像，图乙空白区域修建石子小路．已知S甲表示图甲中绿化的面积，S乙表示图乙中绿化的面积．
(1)S
甲
=______(用含a，b的代数式表示)；
(2)设k=S
甲
S
乙
，
①请用含a，b的代数式表示k并化简；
②当2S甲−S乙=9
8
a2时，求k的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵S 1=(a −2a 3
)(b −12
b)+[(12
b ⋅23
a)−(a 2
×b 3
)]=a 3
×b 2
+[13
ab −
ab 6
]=1
3
ab ，
S 2=ab ， ∴S 1
S 2
=
1
3
ab ab
=1
3，
故选：C ．
根据矩形的面积公式计算出阴影部分面积S 1和餐桌面积为S 2，即可得到结论． 本题考查了整式的混合运算，矩形的面积公式，正确识别图形搞清楚各部分的关系是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：设小长方形的长为x ，宽为y ，则大长方形的长为3x ，宽为3y ， 根据题意得：{3x −3y =x +y
x −y =1，
解得：{x =2
y =1
，
∴(3x +3y)2=(3×2+3×1)2=81． 故选：D ．
设小长方形的长为x ，宽为y ，则大长方形的长为3x ，宽为3y ，观察图形可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出x 、y 的值，再利用正方形的面积公式即可求出大正方形ABCD 的面积．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3.【答案】5a−b
9b−13a
【解析】解：∵BC =4，P 为BC 中点， ∴AD =EF =4，PB =PC =2， ∵G ，H 为AD 的四等分点， ∴AG =1，DG =3，
∵PG分长方形BEFC的左右面积之比为a：b，
∴[1
2BE⋅(EQ+BP)]：[1
2
BE⋅(FQ+PC)]=a：b，
∴(EQ+2)：(4−EQ+2)=a：b，∴EQ=6a−2b
b−a
，
∴FQ=4−EQ=4−6a−2b
b−a =6b−10a
b−a
，
∴PG分长方形AEFD的左右面积之比为：[1
2AE⋅(AG+EQ)]：[1
2
AE⋅(DG+FQ)]=(1+
6a−2b b−a )：(3+6b−10a
b−a
)=5a−b
9b−13a
，
故答案为：5a−b
9b−13a
．
根据梯形的面积公式列代数式即可得到结论．
本题考查了列代数式，梯形面积的计算，正确识别图形是解题的关键．4.【答案】135或45
【解析】解：有两种情形：如图1中，满足条件的∠BFE=135°
如图2中，满足条件的∠BFE=45°，
综上所述，满足条件的∠BFE的值为135°或45°．
故答案为135°或45°．
如图分两种情形分别求解即可解决问题．
本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5.【答案】4
【解析】解：20182−4036×2016+20162
=20182−2×2018×2016+20162
=(2018−2016)2
=4．
故答案为4．
根据完全平方公式计算即可．
本题考查了完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”.完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．熟记公式是解题的关键．
6.【答案】8
元，
【解析】解：设每个虾仁水饺的价钱为x元，则每个韭菜水饺的价钱为15x
20
=8(个)．
∴剩下的钱可以买韭菜水饺的个数为(15−9)x÷15x
20
故答案为：8．
设每个虾仁水饺的价钱为x元，则每个韭菜水饺的价钱为15x
元，根据购买韭菜水饺的数
20
量=买了9个虾仁水饺剩下的钱÷韭菜水饺的单价，即可求出结论．
本题考查了列代数式，利用可购买虾仁水饺和韭菜水饺的数量，找出二者单价之间的关系是解题的关键．
7.【答案】9
【解析】解：设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，
根据题意得，2[(2a +b)+(a +2b)]=42，(2a +b)(a +2b)=107， 解得：a =
7+√132
，b =
7−√132
，
∴纸片C 的面积=ab =7+√132
×7−√132
=9，
故答案为：9．
设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，根据题意列方程即可得到结论． 本题考查了多项式乘多项式，正方形和矩形的面积，正确的识别图形是解题的关键．
8.【答案】79
【解析】解：由题可得，{60+70×5+80x +90y +100×2=20a
x +y =12，
整理，得 a =84.5−1
2x ，
又∵x <12，且x 为整数， ∴当x =11时，a 的最小值为79， 故答案为：79．
依据20名学生的总成绩为20a 分列方程组，即可得到关系式a =84.5−1
2x ，再根据x 的取值范围，即可得到a 的最小取值．
本题主要考查了统计表的应用，统计表是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格，统计表是由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式．
9.【答案】115°
【解析】解：过D 点作DI//EF ， ∵∠F =150°， ∴∠FDI =30°，
∴∠ADB =180°−90°−30°−35°=25°， ∴∠ABH =90°−25°=65°． ∵GH//AB ，
∴∠H =180°−65°=115°．
故答案为：115°．
过D 点作DI//EF ，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI =30°，根据平角的定义可求∠ADB =25°，根据直角三角形的性质可求∠ABH =65°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H =115°．
考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补； 两直线平行，内错角相等．
10.【答案】124
【解析】解：将x +1x =5，两边平方得：(x +1x )2=x 2+1x 2+2=25，即x 2+1x 2=23， 则原式=1x 2+1+1x 2=124．
故答案为：124
将已知等式两边平方，利用完全平方公式化简求出x 2+1x 2的值，原式分子分母除以x 2变形后，将x 2+1x 2代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.【答案】{x =−75y =−73
【解析】解：方程组整理得：{57a 1x +67b 1y =c 157a 2x +67b 2
y =c 2， 由方程组{a 1x +b 1y =c 1a 2x +b 2y =c 2的解是{x =−1y =−2，得到{57x =−167y =−2， 解得：{x =−75y =−73
， 故答案为：{x =−75y =−73
所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可．
此题考查了二元一次方程的解，利用了类比的思想，弄清已知方程组解的特征是解本题
的关键．
12.【答案】±6
【解析】解：∵a+b=3×√2，ab=4，
∴(a−b)2=(a+b)2−4ab=(3×√2)2−4×4=2，
∴a−b=±√2，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)=3×√2×√2=6或3×√2×(−√2)=−6．
故答案为：±6．
根据完全平方公式变形求出a−b的值，再根据平方差公式求解即可．
本题主要考查了完全平方公式以及平方差公式，完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+ b2；平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
13.【答案】28
【解析】解：∵m2−5m−1=0，可得m2−1=5m，
另外将m=0代入，此式不成立，∴m≠0
两边同时除以m得，m−1
m
=5，
两边平方，得：
m2−2m⋅1
m +1
m2
=25，
∴m2+1
m2
=27，
∵2m2−5m+1
m2=m2−5m+m2+1
m2
，
=1+27，
=28．
故答案为：28．
由已知条件可以得到m−1
m =5，根据完全平方公式求出m2+1
m2
的值是27，把所求多
项式整理成m2−5m+m2+1
m2
，然后代入数据计算即可．本题主要考查完全平方公式，代数式求值．
14.【答案】1214
【解析】解：如图，设CG =a ，则DG =GI =BE =10−a ，
∵AB =10，BC =13，
∴AE =AB −BE =10−(10−a)=a ，PI =IG −PG =10−a −a =10−2a ，AH =13−DH =13−(10−a)=a +3，
∵S 2
S 1=37，即a 2a(a+3)=37， 4a 2−9a =0，
a 1=0(舍)，a 2=94，
则S 3=(10−2a)2=(10−92)2=
1214， 故答案为：121
4．
设CG =a ，根据S 2S 1
=37，列方程可得a 的值，根据正方形的面积公式可计算S 3的值． 本题考查正方形和长方形边长之间的关系、面积公式等知识，解题的关键是学会利用分参数列方程解决问题．
15.【答案】(1)−3；
(2)1
7．
【解析】解：(1)a 3−8a =a(a 2)−8a =a(3a −1)−8a =3a 2−a −8a =3(3a −1)−9a =9a −3−9a =−3，
故答案为：−3；
(2)∵a 2−3a +1=0
∴a +1a
=3
∴(a +1a
)2=9 ∴a 2+
1a 2+2=9 ∴a 2+
1a 2=7 由题意得：a ≠0，
∴a 2a 4+1=1
a 2+1a 2=17， 故答案为：17．
(1)根据题意用a 2=3a −1，将a 3表示出来．
(2)分式的分子，分母同除以a 2
，可得1a 2 +1a 2.再由a +1a =3通过完全平方公式可得a 2+1
a 2=7，代入可得．
本题主要考查高次幂用低次幂转化的思想，以及完全平方公式的运用．
16.【答案】解：(1)设大正方形和小正方形的边长分别是x 厘米和y 厘米，
由题意得，{x +2y =10x −2y =2
， 解得：{x =6,y =2
， 答：大正方形和小正方形的边长分别是6厘米和2厘米；
(2)设四个小正方形的重叠部分形成小正方形的边长为zcm ，
由题意得，6−2=3×(2−z)，
解得：z =23，
∴大正方形中末被小正方形覆盖的阴影部分的面积=6×6−4×2×2+6×23×23=683．
【解析】(1)设大正方形和小正方形的边长分别是x 厘米和y 厘米，根据题意列方程组即可得到结论；
(2)设四个小正方形的重叠部分形成小正方形的边长为zcm ，根据题意列方程得到z =23，根据正方形的面积公式即可得到结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，正方形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
17.【答案】二
【解析】解：(1)观察表格中的数据，可知：第二次购进商品的数量比第一次的多且购买费用较低，
∴小慧第二次购买的丙商品有打折．
设本次丙商品打m折，
依题意，得：5×30×(1−m
10
)=390−375−30×(5−3)，
解得：m=5．
答：本次丙商品打5折．
故答案为：二．
(2)依题意，得：20y+50z+30×4=320，
∴z=4−2 5 y.
又∵y，z均为正整数，
∴y=5，z=2，
∴y+z+4=11．
答：第三次购买商品的数量总和是11件．
(3)设每件甲商品降价n元，则每件乙商品降价2n元，每件丙商品降价3
2
n元，
依题意，得：160
20−n +120
30−3
2
n
=3×210
50−2n
，
解得：n=4，
经检验，n=4是原分式方程的解，且符合题意．
∴节省的钱数为4×160
20−4+2×4×120
30−3
2
×4
+3
2
×4×210
50−2×4
=110(元)．
答：本次购买比原价共节省110元．
(1)由第一、二次购买商品数量及总价之间的关系，可得出第二次购物丙商品有打折，设本次丙商品打m折，根据打折省的钱数=本次购买丙商品的数量×丙商品的原价
×(1−折扣率)，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)根据总价=单价×数量，即可得出关于y，z的二元一次方程，结合y，z均为正整数即可求出y，z的值，进而可求出第三次购买商品的数量总和；
(3)设每件甲商品降价n元，则每件乙商品降价2n元，每件丙商品降价3
2
n元，根据数量=总价÷单价结合购买甲、丙的数量之和是乙的3倍，即可得出关于n的分式方程，解之经检验后即可得出n的值，再利用节省的总钱数=购买每件商品节省的钱数×购买数量即可
求出本次购买跟原价相比共节省的钱数．
本题考查了二元一次方程的应用、一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程；(3)找准等量关系，正确列出分式方程．
18.【答案】解：(1)设制成的无盖收纳盒的高为x，
由题可得30−2x=4(12−2x)
∴6x=18，
∴x=3，
答：制成的无盖收纳盒的高为3cm．
(2)360张金属板做好无盖收纳盒，40张金属板按图2方式裁剪后给能给80个无盖收纳盒配上盖子，
∴共有280个无盖收纳盒和80个有盖收纳盒，
全部销售后能获利280×5+80×8−3×400=840元，
答：全部销售后能获利840元
【解析】(1)设制成的无盖收纳盒的高为x，根据题意列出方程即可求出答案．
(2)由题意可知：共有280个无盖收纳盒和80个有盖收纳盒，根据题意列出算式即可求出答案．
本题考查一元一次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
19.【答案】解：(1)a2−4b2；
(2)①S
乙
=a2−2ab，
k=S
甲
S
乙
=a2−4b2
a2−2ab
=(a+2b)(a−2b)
a(a−2b)
=a+2b
a
；
②∵2S
甲−S
乙
=9
8
a2，
∴2(a2−4b2)−(a2−2ab)=9
8
a2，
化简，得a2−16ab+64b2=0，
(a−8b)2=0∴a=8b，
∴k=a+2b
a =8b+2b
8b
=5
4
．
【解析】
【分析】
本题考查了列代数式，正方形、长方形的面积以及分式的化简，正确求出甲、乙两图中绿化的面积是解题的关键．
(1)根据S甲=边长为a的正方形的面积−边长为2b的正方形的面积列式即可；
(2)①先根据S乙=边长为a的正方形的面积−长为a、宽为b的长方形的面积×2求出图乙
中绿化的面积，再代入k=S
甲
S
乙
化简即可；
②根据2S甲−S乙=9
8
a2列出方程，即可求出k的值．【解答】
解：(1)S甲=a2−(2b)2=a2−4b2．
故答案为a2−4b2；
(2)见答案。