《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第二课时)》教案

《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质（第二课时）》教案
二次函数2
y ax k =+的图象与性质：
第二步：描点
， ，
第三步：连线
环节2：思考抛物线221(1)2y x =--与()2
3112
y x =-+如何由抛物线2
112
y x =-
得到？ 通过对应点位置的关系，猜想抛物线221
(1)2
y x =-
-与()2
3112y x =-
+如何由抛物线2112
y x =-得到，经过动画演示发现将
抛物线2112y x =-
向右平移一个单位长度与抛物线221
(1)2
y x =--完全重合，抛物线211
2
y x =-向左平移一个单位长度与抛物线
()2
3112
y x =-+完全重合.
环节3：思考抛物线2112y x =-
，221
(1)2
y x =--与()2
3112
y x =-
+有什么关系？ 通过观察二次函数2112y x =-
，221
(1)2
y x =--与()2
3112
y x =-
+的图象，以及平移变换，可以发现这三个函数的图象开口方向、开口大小和顶点的纵坐标相同，但对称轴不同，或者说顶点的横坐标不同.
环节4：总结二次函数2112y x =-
，221
(1)2
y x =--与()2
3112
y x =-
+的性质.
活动2：例题强化，通过例题补充0a >的情况.
在同一直角坐标系中画出2
12y x =，()2
222y x =-和
()2
222y x =+的图象，并说明2y ，3y 如何由1y 的图象得到.
经过列表、描点、连线，得到这三个函数的图象。

经过平移，我们发现1y 的图象向右平移2个单位长度得到2y 的图象；1y 的图象向左平移2个单位长度得到3y 的图象；
活动3：总结二次函数()2
y a x h =-的图象与性质.
思考：抛物线()2
y a x h =-可以如何由抛物线2
y ax =得到？
0h >时，2y ax =的图象向右平移h 个单位长度得到()2
y a x h =-的图象；
0h <时，2y ax =的图象向下平移h 个单位长度得到()2
y a x h =-的图象.
知能演练提升一、能力提升
(x-2)2的图象与y轴()
1.二次函数y=-1
4
A.没有交点
B.有交点
)
C.交点为(1,0)
D.交点为(0,1
4
2.如图,把抛物线y=x2沿直线y=x平移√2个单位长度后,其顶点在直线上的点A处,则平移后抛物线的解析式是()
A.y=(x+1)2-1
B.y=(x+1)2+1
C.y=(x-1)2+1
D.y=(x-1)2-1
3.已知二次函数y=a(x+1)2-b有最小值1,则a,b的大小关系为()
A.a>b
B.a<b
C.a=b
D.不能确定
4.在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=a(x+c)2的图象大致为()
5.已知二次函数y=(x-m)2-1,若当x≤1时,y随x的增大而减小,则实数m的取值范围是()
A.m=1
B.m>1
C.m≥1
D.m≤1
6.若二次函数y=a(x-h)2+k(a>0)的图象过点A(0,2),B(8,3),则h的值可以是()
A.6
B.5
C.4
D.3
7.关于二次函数y=(x-1)2+5,下列说法正确的是()
A.函数图象的开口向下
B.函数图象的顶点坐标是(-1,5)
C.该函数有最大值,最大值是5
D.当x>1时,y随x的增大而增大
x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点
8.如图,把抛物线y=1
2
O (0,0),它的顶点为P ,它的对称轴与抛物线y=1
2x 2交于点Q ,则图中阴影部分的面积为 .
9.已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在二次函数y=(x-1)2+1的图象上,若x 1>x 2>1,则
y 1 y 2.
10.下列关于二次函数y=-(x-m )2+m 2+1(m 为常数)的结论:①该函数的图象与函数y=-x 2的图象形状相同;②该函数的图象一定经过点(0,1);③当x>0时,y 随
x 的增大而减小;④该函数的图象的顶点在函数y=x 2+1的图象上.其中所有正确结论的序号是 .
11.已知y=a (x-t-1)2+t 2(a ,t 是常数,a ≠0,t ≠0)的图象的顶点是A ,y=(x-1)2的图象的顶点是B.
(1)判断点A 是否在y=(x-1)2的图象上,并说明理由. (2)若y=a (x-t-1)2
+t 2
(a ≠0,t ≠0)的图象经过点B ,求a 的值.
二、创新应用 ★12.阅读理解题.
已知抛物线y=-(x-t )2+2t ,试探求不论t 为何值,其顶点都在某一条直线上. 解:因为y=-(x-t )2+2t 的图象的顶点坐标为(t ,2t ),即{x =t ,
y =2t , 所以不论t 取何值,始终有y=2x.
因此可得到,不论t 为何值,其顶点总在直线y=2x 上移动. 利用以上的解法,试探求解决下列题目:
已知抛物线y=-(x-m )2+2m 2,试探求不论m 为何值时,其顶点总在某一个图象上移动.
知能演练·提升 一、能力提升 1.B
2.C 把抛物线y=x 2
沿直线y=x 平移√2个单位长度,即是将此抛物线向上平移1个单位长度后,再向右平移1个单位长度,故平移后的抛物线的解析式为y=(x-1)2+1.
3.A 因为二次函数有最小值,所以抛物线开口向上,则a>0;因为最小值为1,即-
b=1,所以b=-1<0,a>b.
4.B
5.C
6.D (方法一)开口向上且过点A (0,2),B (8,3)的抛物线大致如下图所示,作出点A 的对称点P ,显然点P 的横坐标一定小于8,故对称轴一定小于4.
(方法二)把A (0,2),B (8,3)代入y=a (x-h )2
+k (a>0),得ah 2
+k=2,64a-16ah+ah 2
+k=3,
∴64a-16ah=1,即16a (4-h )=1.
又a>0,∴4-h>0,h<4,因此,只有选项D 符合要求,故选D . 7.D y=(x-1)2+5中,
x 2的系数为1,1>0,函数图象开口向上,A 错误;
函数图象的顶点坐标是(1,5),B 错误; 函数图象开口向上,有最小值5,C 错误;
函数图象的对称轴为直线x=1,当x<1时,y 随x 的增大而减小. 当x>1时,y 随x 的增大而增大,故D 正确.
8.272
过点P 作PM ⊥y 轴于点M ,设PQ 与x 轴的交点为N (如图),
因为抛物线平移后经过原点O 和点A (-6,0),所以平移后的抛物线的对称轴为x=-3. 所以平移后的抛物线的解析式为y=1
2(x+3)2+h. 将点A (-6,0)的坐标代入,得0=1
2(-6+3)2+h ,解得h=-9
2. 所以点P 的坐标是(-3,-9
2).
根据抛物线的对称性可知,阴影部分的面积等于矩形NPMO 的面积,则S=|-3|×|-92
|=
27
2
. 9.> 由二次函数y=(x-1)2+1可知,其图象的对称轴为直线x=1. 因为x 1>x 2>1,
所以两点均在对称轴的右侧. 因为此函数图象开口向上,
所以在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大. 故y 1>y 2. 10.①②④
11.解 (1)点A 在y=(x-1)2
的图象上.理由:
因为y=a (x-t-1)2+t 2的图象的顶点是A (t+1,t 2),且当x=t+1时,y=(x-1)2=(t+1-1)2=t 2,所以点A 在y=(x-1)2的图象上.
(2)y=(x-1)2的图象的顶点为点B (1,0). 因为y=a (x-t-1)2+t 2的图象经过点B (1,0), 所以a (1-t-1)2+t 2=0. 所以(a+1)t 2
=0. 又因为t ≠0, 所以a+1=0,即a=-1. 二、创新应用
12.解 因为y=-(x-m )2+2m 2的图象的顶点坐标为(m ,2m 2), 即{x =m ,
y =2m 2,所以不论m 取何值,都有y=2x 2.
所以不论m 为何值时,其顶点总在y=2x 2
的图象(抛物线)上移动.。