圆整章知识点归纳

第24章 《圆》整章知识点归纳

第一节 圆的有关性质

知识点一：圆的定义

1、圆可以看作是到定点（圆心O ）的距离等于定长（半径r ）的点的集合.

2、圆的特征

（1）圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径）. （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 注意：（1）圆指的是圆周，即一条封闭的曲线，而不是圆面.

（2）“圆上的点”指圆周上的点，圆心不在圆周上.

知识点二：圆的相关概念

1、弦与直径：连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.

2、弧、半圆、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.大于半圆的弧（用三个点表示）叫优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．如劣弧AB ，优弧ACB

注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆.半圆既不是优弧，也不是劣弧．．．．．．．．．．．．．

. 3、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.

4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

知识点三：圆的对称性

1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线．．．．．．．

都是圆的对称轴. 注意：（1）圆的对称轴有无数条

（2）因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”.

2、圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心，不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个

角度，所得的图形都与原图形重合（圆的旋转不变性）.

知识点四：垂径定理及推论（重点）

1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 交CD 于点E ，若AB ⊥CD ，则CE =DE ，CB =DB ，AC =AD

注意：（1）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”. （2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立.

2、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

A 如图1：CD 是非直径的弦，A

B 是直径，若CE =DE ，则AB ⊥CD ，CB =DB ，A

C =A

D . 注意：被平分的弦不是直径，因为直径是弦，两直径互相平分，结论就不成立，如图2 直径AB 平分CD ，但AB 不垂直于CD .

重点剖析

知识点五：弧、弦、圆心角之间的关系（重点、难点）

1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等， 所对的弧也相等.如图，在⊙O 中，若∠AOB =∠COD ，则AB =CD ，AB =CD .

2、推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.

定理和推论可概括为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.（圆心角、弧、弦关系定理）

知识点六：圆周角定理及其推论

1、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图：∠CAB =1

2

∠COB

2、圆周角定理的推论：

（1）同弧或等弧所对的圆周角相等.

（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 如图，若AB 为直径，则∠

C =90°；若∠C 为90°，则AB 是直径. 知识点七：圆内接多边形

1、圆的内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补

. ∠A +∠C

=180°，∠B +∠D =180°

第二节 点和圆、直线和圆的位置关系

知识点一：圆的确定

图1

图2

1、过一点作圆：只要以点A外的任意一点

为圆心，以这一点与点A的距离为半径作圆就可以

作出，这样的圆有无数个.

2、过两点作圆：经过两个点A，B作圆，只要以线段

AB垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A或

点B的距离为半径作圆就可以，这样有圆也有无数个.

3、过不在同一直线上的三点作圆：过不在同一直线上的

三点A、B、C作圆，圆心到这三个点的距离相等，因此，

圆心在线段AB，AC的垂直平分线的交点O处，以O为

圆心，以OA（或OB，OC）为半径可作出经过A、B、C

三点的圆，这样的圆有且只有一个.

不在同一条直线上的三个点确定一个圆

4、要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，如果第四到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上，否则不在圆上.

方法归纳：确定一个圆的圆心的方法，只需作出此圆任意两条弦的垂直平分线，其交点就是圆心.

知识点二：三角形的外接圆

1、三角形的外接圆：经过三角形三个项点可以作一个圆，

2、这个圆叫做三角形的外接圆.

3、三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边

的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，如图：⊙O是

△ABC的外接圆，点O是△ABC的外心.

（1）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径.

（2）一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆却有无数个内接三角形

.

（3）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心是斜边中点.

l l

l

P

知识点三：反证法：

（1）假设命题的结论不成立

（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.

知识点四：直线和圆的位置关系

1、直线与圆相离 ⇔ d r > ⇔ 直线与圆无交点；

2、直线与圆相切 ⇔ d r = ⇔ 直线与圆有一个交点；

3、直线与圆相交 ⇔ d r < ⇔ 直线与圆有两个交点；

知识点五：切线的性质与判定定理

1、切线的判定定理： （1）两个条件：①过半径外端；②垂直半径，二者缺一不可

即：∵MN ⊥OA ，MN 过半径OA 外端

∴MN 是⊙O 的切线 （2）切线判定方法： （1）数量关系：若圆心到直线的距离d 等于半径r ，则直线是圆的切线. （2）切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

提示：在判定切线时，往往需要添加辅助线（连半径证垂直或作垂直证半径）. 2、切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点. 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出第三个.

知识点六：切线长定理

切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 即：∵P A 、PB 是⊙O 的两条切线

∴P A =PB ，PO 平分∠BP A

知识点七：三角形的内切圆

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫

做三角形的内心.

三角形的外接圆与内切圆以及外心与内心的对比