苏州市高三上学期期末考试数学试题含附加题

苏州市20XX 届高三调研测试
数学Ⅰ试题 2016．1
参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2
2
11()n i i s x x n ==-∑，其中1
1n i i x x n ==∑．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填
在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设全集U ＝｛x | x ≥2，x ∈N ｝，集合A ＝｛x | x 2≥5，x ∈N ｝，则U A ð＝ ▲ ．
2． 复数i
(0)12i a z a =
<+，其中i 为虚数单位，||z ＝5，则a 的值为 ▲ ． 3． 双曲线22
145x y -=的离心率为 ▲ ． 4． 若一组样本数据9，8，x ，10，11的平均数为10，则该组样本数据
的方差为 ▲ ．
5． 已知向量a =(1，2)，b =(x ，-2)，且a ⊥(a -b )，则实数x = ▲ ． 6． 阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为 ▲ ．
7． 函数22,
0,()1,0
x
x f x x x ⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤的值域为 ▲ ．
8． 连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，则事件
“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为 ▲ ．
9． 将半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底
面半径依次为123,,r r r ，则123r r r ++＝ ▲ ．
10． 已知θ是第三象限角，且2
sin 2cos 5
θθ-=-，则sin cos θθ+＝ ▲ ．
11． 已知{}n a 是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{}n a 的第n 项到第n +5项的和为T n ，则n T 取
得最小值时的n 的值为 ▲ ．
12． 若直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等的四段弧，则
22a b +＝ ▲ ．
13． 已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则
2
00
(1)sin 2x x x +＝ ▲ ． N
（第6题图）
开始
z ←x +y x ←1 ，y ←1
z < 6 y ← z
Y
输出y
x
结束
x ← y
14． 已知14
ab =
，,(0,1)a b ∈，则
1211a
b
+
--的最小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分14分）
在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2cos a B+b A
C c
=．
（1）求角C 的大小；
（2）若ABC ∆的面积为23，6a b +=，求边c 的长． 16． （本小题满分14分）
如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，A 1C 1 与B 1D 1交于点O .
（1）求证：A 1，C 1，F ，E 四点共面；
（2）若底面ABCD 是菱形，且OD ⊥A 1E ，求证：OD ⊥平面A 1C 1FE .
17． （本小题满分14分）
图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C 为半圆弧ACB 的中点，渠宽AB 为2米．
（1）当渠中水深CD 为0.4米时，求水面的宽度；
（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？
18． （本小题满分16分）
如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2
＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直
线l ：y ＝－2上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ．
（1）当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积； （2）①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值； ②求PB PM ⋅的取值范围．
19． （本小题满分16分） 已知数列{}n a 满足：11
2
a =
，113n n n a a p nq -+-=⋅-，*n ∈N ,,p q ∈R . （1）若0q =，且数列{}n a 为等比数列，求p 的值； （2）若1p =，且4a 为数列{}n a 的最小项，求q 的取值范围.
20．（本小题满分16分）
已知函数()e (21)x
f x x ax a =--+（a ∈R ），e 为自然对数的底数．
（1） 当a ＝1时，求函数()f x 的单调区间；
（2） ①若存在实数x ，满足()0f x <，求实数a 的取值范围；
②若有且只有唯一整数0x ，满足0()0f x <，求实数a 的取值范围．
苏州市20XX 届高三调研测试
数学Ⅰ试题 2016．1
参考答案与评分标准
一、填空题
1．{2} 2．－5
3．
32 4．2 5．9 6．5
3
7． (,1]-∞ 8．16 9．5 10．3125- 11．5或6 12．18 13．1
2
14．4243+
二、解答题
15．解：（1）由余弦定理知2222222
2cos cos 222a c b b c a c a B +b A a b c ac bc c
+-+-=⋅
+⋅==，…3分
c o s c o s 1a B +b A c ∴=，1cos 2C ∴=， …………………………………5分
又()0,C ∈π，3C π
=. ………………………7分
（2）1
sin 232
ABC S ab C ==，8ab ∴=， ………………………10分
又
6a b +=，()22222cos 312c a b ab C a b ab ∴=+-=+-=， …………………13分
23c ∴=. …………………………………14分 16．解：（1）连接AC ，因为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF 是△ABC 的中位线， 所以EF ∥AC ． ………………………2分
由直棱柱知AA 1=CC 1，所以四边形AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ∥A 1C 1． ………………5分
所以EF ∥A 1C 1，
故A 1，C 1，F ，E 四点共面．……………7分 （2）连接BD ，因为直棱柱中1DD ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ，
所以1DD ⊥11AC ． ………………………9分 因为底面A 1B 1C 1D 1是菱形，所以11AC 11B D ⊥． 又1
DD 111=B D D ，所以11AC ⊥平面11BB D D ． ………………………11分
因为OD ⊂平面11BB D D ，所以OD ⊥11AC ． 又OD ⊥A 1E ，11
AC 11A E A =，11AC ⊂平面A 1C 1FE ，1A E ⊂平面A 1C 1FE ，
所以OD ⊥平面A 1C 1FE . ………………………14分 17．解：（1）以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，
因为AB ＝2米，所以半圆的半径为1米，
则半圆的方程为221(11,0)x y x y +=-≤≤≤． ………………………3分
（第16题图）
C 1
E
O
D 1
B 1
A 1
F
D
C
B
A
因为水深CD ＝0.4米，所以OD ＝0.6米，
在Rt △ODM 中，22210.60.8DM OM OD =-=-=（米）． ………………………5分 所以MN ＝2DM ＝1.6米，故沟中水面宽为1.6米． ………………………6分 （2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为(cos ,sin )(0)2
P θθθπ
-
<<是圆弧BC 上的一点，过P 作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE ，得切线EF 的方程为cos sin 1x y θθ+=． ……………………8分
令y ＝0，得1
(
,
0)c o s E θ
，令y ＝-1，得1s i n (,1)c o s F θ
θ
+-．
设直角梯形
OCFE
的面积为
S ，则
11s i n 2s i n
()()1
c o s c o s c o s
S C F
O E O C θθθθθ++=+⋅=+⨯= （02
θπ
-
<<）． ……………………10分 22cos cos (2sin )(sin )12sin cos cos S θθθθθθθ-+-+'==，令0S '=，解得6
θπ
=-
， 当26θππ
-<<-时，0S '<，函数单调递减；
当06
θπ
-<<时，0S '>，函数单调递增． ………………………12分
所以6
θπ
=-时，面积S 取得最小值，最小值为3．
此时1sin()
363cos()6
CF π
+-=
=π-，即当渠底宽为233米时，所挖的土最少． ……………14分 18．解：（1）由题意(0,1),(0,1)B C -，焦点(3,0)F ，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，则直线PM
的方程为
113
x y +=-，即3
13y x =-， 联立，221,431,
3x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得83,71,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或0,1x y =⎧⎨
=-⎩（舍），即831(,)77M ． ………………2分 连BF ，则直线BF ：
11
3x y
+=，即330x y +-=， 而2BF a ==，2283123
|
33|
3777271(3)
d +⋅-===+． ………………………4分
故1133
22277
MBF
S
BF d =
⋅⋅=⋅⋅=． ………………………5分 （2）解法一：①设(,2)P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为1(2)1
0k m m
---==--，
M N
P F
E
y
x
O D C
B A
则直线PM 的方程为1
1y x m
=-
-， 联立2211,1,
4
y x m
x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2248(1)0x x m m ++=，解得22
284(,)44m m M m m --++， ………8分 所以2
2212
412148844m m m k m m m m ---+===--+，21(2)30k m m --==--， 所以12313
44
k k m m ⋅=-⋅=-为定值． …………………10分
② 由①知，(,3)PB m =-，2322
222841212
(,2)(,)4444
m m m m m PM m m m m m ---+=--+=++++， 所以324222212121536
(,3)(,)444
m m m m m PB PM m m m m ++++⋅=-⋅-=+++， …………………13分
令2
44m t +=>，故22(4)15(4)367887t t t t PB PM t t t t
-+-++-⋅=
==-+， 因为8
7y t t
=-+在(4,)t ∈+∞上单调递增，
所以88
74794
PB PM t t ⋅=-+>-+=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞．………16分
解法二：①设点()000(,)0M x y x ≠，则直线PM 的方程为00
1
1y y x x +=-，
令2y =-，得00(,2)1
x
P y --+. …………………7分
所以0101y k x -=
，()020*******
y k x x y +--==-
+，
所以()()()()
22
00001222000031313113
441y y y y k k x x x y --+-=⋅===--（定值）. …………………10分 ②由①知，00(
,3)1x PB y =+，0000(,2)1
x
PM x y y =+++， 所以()()()
()2
00000002
00023212311x y x x PB PM x y y y y y +⎛⎫
⋅=+++=++ ⎪+++⎝⎭ =
()()
()
()()()
2000002
0041272321
1y y y y y y y -+-+++=
++． …………………13分
令()010,2t y =+∈，则()()8187
t t PB PM t t
t
-+⋅==-++，
因为8
7y t t
=-+
+在(0,2)t ∈上单调递减， 所以88
72792
PB PM t t ⋅=-++>-++=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞． ……16分
19．解：（1）0q =，113n n n a a p -+-=⋅，∴2112a a p p =+=
+，321
342
a a p p =+=+， 由数列{}n a 为等比数列，得2
1114222p p ⎛⎫⎛⎫
+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得0p =或1p =. ………………3分
当0p =时，1n n a a +=，∴1
2
n a = 符合题意； ………………………4分
当1p =时，113n n n a a -+-=， ∴()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()12
1
1
1131133
32
2132n n n ----+++
+=+=⋅-，
∴
1
3n n
a a +=符合题意. ………………………6分 （2）法一：若1p =，113n n n a a nq -+-=-，
∴()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-
=
()()21
1331212
n n q -++++-++
+-⎡⎤⎣⎦=()11312n n n q -⎡⎤--⎣⎦. ………………8分 ∵数列{}n a 的最小项为4a ，∴对*n ∀∈N ，有()()1411
31271222
n n n q a q -⎡⎤--=-⎣⎦≥恒成立， 即()
1232712n n n q ----≥对*n ∀∈N 恒成立. ………………………10分
当1n =时，有2612q --≥，∴136q ≥
； 当2n =时，有2410q --≥，∴12
5
q ≥；
当3n =时，有186q --≥，∴3q ≥；
当4n =时，有00≥，∴q ∈R ； ………………………12分 当5n ≥时，2
120n n -->，所以有12327
12
n q n n ----≤恒成立，
令()12327
5,12n n c n n n n --=∈--N*≥，则()()()
21122
22123540169n n n n n n c c n n -+--+-=>--， 即数列{}n c 为递增数列，∴527
4
q c =≤. ………………………15分 综上所述，27
34
q ≤≤
. ………………………16分 法二：因为1p =，113n n n a a nq -+-=-，
又4a 为数列{}n a 的最小项，所以435
40,0,a a a a -⎧⎨-⎩≤≥即930,
2740,q q -⎧⎨-⎩≤≥
所以27
34
q ≤≤. …………………………………………………………8分
此时2110a a q -=-<，32320a a q -=-<，
所以1234a a a a >>≥. …………………………………………………………10分
当4n ≥时，令1n n n b a a +=-，141127
232304
n n n b b q --+-=⋅-⋅->≥，
所以1n n b b +>，所以4560b b b <<<≤，
即4567a a a a <<<≤. …………………………………………………………14分
综上所述，当27
34q ≤≤时，4a 为数列{}n a 的最小项， 即所求q 的取值范围为27
[3,]4
. …………………………………………………………16分
20．解：（1）当a ＝1时，()()e 211x f x x x =--+，()()e '211x f x x =+-， ……………1分
由于'(0)0f =，
当(0,)x ∈+∞时，e 1,211x x >+>，∴'()0f x >， 当(,0)x ∈-∞时，0<e 1,211x x <+<，∴'()0f x <，
所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增. …………………4分 （2）①由()0f x <得()()e
211x
x a x -<-．
当1x =时，不等式显然不成立； 当1x >时，()
e 211
x x a x ->-；当1x <时，()
e 211
x x a x -<
-. …………………6分
记()g x =
()
e 211
x x x --，()()()
()
(
)()
22
2
e e e '()232112111x x x g x x x
x x x x x =
-+---=
--，
∴ ()g x 在区间()0-∞，和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，()0,1和31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上为减函数．
∴ 当1x >时，3
2e 342a g ⎛⎫
>= ⎪⎝⎭
，当1x <时，()01a g <=． ……………………8分
综上所述，所有a 的取值范围为()32e ,14,⎛⎫
-∞+∞ ⎪⎝⎭
U ． ………………………9分
②由①知1a <时，0(,1)x ∈-∞，由0()0f x <，得0()g x a >，
又()g x 在区间()0-∞，上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g a =>， ∴()1g a -≤，即e 32a ≥
，∴e
3
12a <≤. ………………………12分 当3
2
4e a >时，0(1,)x ∈+∞，由0()0f x <，得0()g x a <，
又()g x 在区间312⎛⎫
⎪⎝⎭，上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且3
2e 342g a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭
，
∴()()
23g a g a <⎧⎪⎨⎪⎩≥，解得32e 532a <e ≤. ………………………15分
综上所述，所有a 的取值范围为32e e e 3
5[,1)3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦
． ………………………16分。