2019-2020学年山东省德州市高一下学期期末数学试题(解析版) (1)

2019-2020学年山东省德州市高一下学期期末数学试题
一、单选题
1．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置. 【详解】由(1)2z i i +=， 得()()()()2121211112
i i i i z i i i i -+=
===+++-， 所以1z i =-，
所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限， 故选：D.
【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.
2． sin 70cos 25sin 20sin 25-的值为（ ）
A ．1-
B ．
C
D ．1
【答案】C
【分析】先利用诱导公式再利用两角差的正弦公式化简可得答案.
【详解】 sin 70cos 25sin 20sin 25sin 70cos 25cos70sin 25-=-
()2sin 7025sin 452
=-==
. 故选：C.
3．若圆锥的轴截面是顶角为120的等腰三角形，且圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积为（ ）
A B ．2π
C ．
D ．
【答案】C
【分析】由已知求出圆锥的底面半径，根据侧面积公式可得答案.
【详解】如图圆锥的轴截面是顶角为120，即60APO ∠=，2AP =，90POA ∠=, 所以3AO =，所以圆锥的侧面积为23AO PA ππ⨯⨯=. 故选：C.
4．25202520tan tan tan tan +︒+︒=（ ） A ．1 B ．3C 3D ．-1
【答案】A
【分析】利用两角和的正切公式化简求解即可. 【详解】
2520tan 45121520tan tan tan tan +︒
︒=-︒
=
，
252021250tan tan tan tan +︒=︒∴-，
故252025201252025201tan tan tan tan tan tan tan tan +︒+︒=-︒+︒=； 故选：A.
5．一个正三棱锥的底面边长是66 ） A ．23B ．36
C ．32
D ．3
【答案】D
【分析】画出正三棱锥A BCD -的图像，得到底面正三角形的中心O 到正三角形的CD 的距离，再利用勾股定理求斜高即可.
【详解】
正三棱锥A BCD -的底面边长6BC CD DB ===, 高6AO =，
所以底面正三角形的中心O
到正三角形的CD 的距离为31
633
OH =⨯⨯=， 故正三棱锥的斜高22633AH AO OH =+=+=；
故选：D.
6．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当扇形的圆心角的弧度数为()
35π-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时
1
2
S S 的值为（ ）
A 51
- B ．
51
+ C 35
D ．35【答案】A
【分析】由题意知1S 与2S 之比即为各扇形圆心角之比，根据扇形圆心角弧度数可求剩余部分圆心角弧度数，进而可求比值.
【详解】由扇形的圆心角的弧度数为(35π， 可知剩余部分圆心角弧度数为((
)
23551πππ-=
，
故
) (
)
1
2
3551
51
S
S
π
π
--
==
-
，
故选：A.
7．已知sin4sin
2
()
π
π
αα
⎛⎫
=+
⎝
+⎪
⎭
，则2
sin22sin
αα
+=（）
A．
40
17
B．
36
17
C．
32
17
D．
24
17
【答案】D
【分析】由条件可得sin4cos
αα
=-，又由
2
2
22
2sin cos2sin
sin22sin
sin cos
ααα
αα
αα
+
+=
+
可得答案.
【详解】由in4
(
s
2
)sin
π
αα
π⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
+可得sin4cos
αα
-=，即sin4cos
αα
=-
()
()
2
222 2
2
22222
2
24cos cos24cos
sin22sin2sin cos2sin24cos24 sin22sin
sin cos sin cos17cos17
4cos cos
ααα
αααααααα
ααααα
αα
-⨯⨯+-
++
+=====
++-+
故选：D
8．《九章算术》是我国古代数学名著﹐它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图P ABCD
-是阳马，PA⊥平面
,5,3
ABCD PA AB
==，4
BC=.则该阳马的外接球的表面积为（）
A．
1252
3
π
B．50πC．100πD．
500
3
π
【答案】B
【分析】连接AC，BD，交于1
O，取PC中点O，连接
1
OO，则可证明
1
OO⊥平面ABCD，即O为该四棱锥的外接球的球心，在Rt PAC
△中，求得PC的值，进而可求得外接球半径R，代入公式，即可求得答案.
【详解】连接AC，BD，交于1
O，取PC中点O，连接
1
OO，如图所示
因为1,O O 分别为PC ，AC 的中点， 所以1//OO PA ， 又PA ⊥平面ABCD ， 所以1OO ⊥平面ABCD ，
所以O 到A,B,C,D 的距离都相等，又PO OC ，
所以O 为该四棱锥的外接球的球心， 在Rt PAC △中，5PA =，2222345AC AB BC ++=，
所以22225552PC PA AC =
+=+=
所以该四棱锥的外接球的半径52
22
PC R =
=
， 所以该阳马的外接球的表面积2
2524450S R πππ
==⨯=⎝⎭
. 故选：B 二、多选题
9．下列函数中，周期为π，且在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
上为增函数的是（ ）
A ．tan 6y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．
tan 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
C ．cos 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
D ．sin 26y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
【答案】AD
【分析】求出周期和单调递增区间2,33
k x k k Z ππ
ππ-
+<<+∈可判断A ；求出周期为π2可判断B ；求
出周期和单调递增区间27,36
k x k k Z ππππ+≤≤+∈，可判断C ；求出周期和单调递增区间,63
k x k k Z ππ
ππ-≤≤+∈，可判断D.
【详解】对于A ，函数tan 6y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的周期为π，单调递增区间为,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+<+
<
+∈，
即2,33
k x k k Z ππ
ππ-
+<<+∈， 当0k =时单调递增区间为233
x ππ-
<<，所以在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭上为增函数，符合题意，正确； 对于B ，函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的周期为π
2，不合题意，故错误；
对于C ，函数cos 23y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的周期为π，单调递增区间为2222,3
k x k k Z π
ππππ+≤-
≤+∈，即
27,36
k x k k Z ππππ+
≤≤+∈， 1k =-时单调递增区间为3
6
x π
π
-
≤≤
，所以在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭上不是增函数，不合题意，错误；
对于D ，函数sin 26y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的周期为π，单调递增区间为222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈，即
,6
3
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈，
0k =时单调递增区间为63
x ππ-
≤≤，所以在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭上是增函数，符合题意.
故选：AD.
【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性和单调性，解题关键点是熟练掌握三角函数的基本性质、基础知识，属于基础题.
10．函数()()sin (0f x A x ωϕω=+>且)ϕπ<在一个周期内的图像如图所示，下列结论正确的是（ ）
A ．2ω=
B ．()2sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
C ．433
f π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
D ．()2cos 26x f x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
【答案】AC
【分析】根据函数图象先求出函数()f x 的解析式，再对选项进行逐一判断即可得出答案. 【详解】由函数()()sin (0f x A x ωϕω=+>且)ϕπ<的图象可得：
252,21212A T π
πππω⎡⎤
⎛⎫==
=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
,所以2ω= ，故选项A 正确. 即()()2sin 2f x x ϕ=+，由22126f sin ππϕ⎛⎫
-=-+= ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭
⎭⎝ 所以2,6
2
k k Z π
π
ϕπ-
+=+∈,则22,3
k k Z π
ϕπ=+
∈，又ϕπ< 所以23
ϕπ=
所以()22sin 23
f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，所以选项B 不正确.
所以4821022sin 2sin 2sin 33
333
f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+==-
=
⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C 正确. 又()222sin 22cos 22cos 22cos 23
2366f x x x x x πππππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+=-+=--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦, 所以D 不正
确. 故选：AC
【点睛】关键点睛：本题考查根据函数()()f x Asin x ωϕ=+图象求出函数解析式，解答本题的关键是先根据图象求出振幅A ,由周期求出ω,再根据特殊值求出ϕ的值，即252,21212A T π
πππω⎡⎤
⎛⎫==
=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，22126f sin ππϕ⎛⎫
-=-+= ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭
⎭⎝，属于中档题. 11．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若,//m n n α⊥，则m α⊥ B ．若,,m n αβα
β⊥⊥⊥，则m n ⊥
C ．若,,,m n m αβαβ⊥⋂=⊥则n β⊥
D ．若,m n αα⊂⊂，且m 与n 不平行，//,//,m n ββ则//αβ 【答案】BD
【分析】结合空间线面位置关系及平行垂直的判定与性质定理对选项进行分别判断. 【详解】A ：若,//m n n α⊥，则m 与α平行或相交或m α⊂，A 选项错误；
B ：因为,ααβ⊥⊥m ，所以//m β或m β⊂，又n β⊥，所以m n ⊥，B 选项正确；
C ：若,,,m n m αβαβ⊥⋂=⊥则n 与β相交或平行或n β⊂，C 选项错误；
D ：若一个平面内两条相交直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行，D 选项正确； 故选：BD.
12．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）
A ．::7:5:3sinA sin
B sin
C = B ．0AB AC ⋅>
C ．若6c =，则ABC 的面积是
D ．若8+=b c ，则ABC 【答案】ACD
【分析】先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=， 所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，
由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；
222222
cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=
222222.5 1.5 3.515
028
k k +-==-<，
故选项B 不正确；
若6c =，则4k =， 所以14,10a b ==，
所以222106141
cos 21062
A +-==-⨯⨯，
所以sin 2
A =
，
故ABC 的面积是：11sin 61022bc A =⨯⨯= 故选项C 正确；
若8+=b c ，则2k =， 所以7,5,3a b c ===，
所以2225371
cos 2532
A +-==-⨯⨯，
所以sin A =
， 则利用正弦定理得：
ABC 的外接圆半径是：12sin 3
a A ⨯=
， 故选项D 正确； 故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设
4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.
三、填空题 13．若复数3412i
z i
-=+则z =________________________．
【分析】利用复数的除法运算法则化简，然后求解复数的模． 【详解】复数z 满足34(34)(12)5101212(12)(12)5
i i i i
z i i i i -----=
===--++-．
则||z ==
故答案为：5；
14．如图，在矩形OACB中，,E F分别为AC和BC上的中点，若OC mOE nOF
=+，其中,,
m n R
∈则m n
+的值为_______．
【答案】
4
3
【分析】由平面向量的线性运算，化简得到
22
33
OC OA OB OE OF
=+=+，即可求解,m n的值得到答案．
【详解】由题意，OC OA OB
=+，
因为
1
2
OF OB BF OB OA
=+=+,
1
2
OE OA AE OA OB
=+=+,
所以两式相加得，()()
133
222
OF OE OA OB OA OB OA OB OC
+=+++=+=,
所以
22
33
OC OF OE
=+，
得
2
3
m n
==，所以
4
3
m n
+=，
故答案为：
4
3
．
【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中根据平面向量的基本定理，合理进行向量的线性运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15．已知函数()()
()3
2
1
2cos1,
244
x
f x x
g x
ππ-
⎛⎫
=--=
⎪
⎝⎭
，若()
f x与()
g x的图象的交点分别为
()()()
1122
,,,,,,
n n
x y x y x y
⋯，则()
1
n
i i
i
x y
=
+=
∑_________．
【答案】5
【分析】在同一坐标系中作出()
f x与()
g x的图象，得到交点的个数，再根据()
f x与()
g x的图象的都关于点()
1,0对称求解.
【详解】函数()22cos 1cos sin 242f x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 在同一坐标系中作出()f x 与()g x 的图象，如图所示：
当3x ≥时，()21g x ≥>，且()g x 为增函数，
当1x ≤-时，()21g x ≤-<-，且()g x 为增函数，
所以由图知：()f x 与()g x 的图象有5个交点，
又因为()f x 与()g x 的图象的都关于点()1,0对称，
所以()555111505i i i
i i i i x y x y ===+=+=+=∑∑∑
故答案为：5
四、双空题
16．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，1A
B 与平面ABCD 所成角的大小为______________．二面角111B A
C B --的正切值为___________
【答案】4π 2
【分析】由题意知1AA ⊥平面ABCD ，所以1A BA ∠即为1A B 与平面ABCD 所成角，
在1A BA 中求1A BA ∠即可；连接11B D ，交11AC 于点O ，连接OB ，故11OB AC ⊥，所以1BOB ∠即为二面角111B AC B --的平面角.
【详解】由题意知1AA ⊥平面ABCD ，
所以1A BA ∠即为1A B 与平面ABCD 所成角，
又1AB AA =，190A
AB ∠=︒， 所以145ABA ∠=︒，
即1A B 与平面ABCD 所成角的大小为
4
π； 如图，
连接11B D ，交11AC 于点O ，连接OB ，
则1111B D AC ⊥，
又11A B C B =，11OA
OC =， 所以11OB AC ⊥，
所以1BOB ∠即为二面角111B AC B --的平面角；
因为1BB ⊥平面1111D C B A ，
所以11BB OB ⊥，所以190OB B ∠=︒,
又1111111222
OB B D A B BB ===,
所以111tan BB BOB OB ∠=
=
故答案为：4
π【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
五、解答题
17．已知向量,,a b c 在同一平面上，且(2,1)a =-.
（1）若//a c ，且25c =，求向量c 的坐标﹔
（2）若()3,2b =，且ka b -与2a b +垂直，求k 的值.
【答案】（1）(105,5c =-或(105,c =-；（2）223k =-
. 【分析】（1）由条件设(2),c a λλλ-==()225λ-+=，求出λ，即可得出答案.
(2)由条件可得()23,2ka b k k -=---，()24,5a b +=，则()()20ka b a b -⋅+=，由此可得答案.
【详解】（1）//a c ，设(2),c a λλλ-==
25c =25= 25=.
λ∴=，λ∴=±
(105,5c =-或(105,c =-.
（2）()23,2ka b k k -=---，()24,5a b +=
()()2ka b a b -⊥+，()()20ka b a b ∴-⋅+=，即423()20)(5k k -+--=
即322,k -=则223k =-
18．已知33542
cos a a πππ⎛⎫⎛⎫=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+
（1）求cosa 的值;
（2）求24sin cos a
a π-⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值. 【答案】（1
）（2）85-. 【分析】（1）先利用已知条件求出37244πππα<+<，进而得到sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，最后利用两角差的余弦公式求解即可；（2）直接利用二倍角公式，两角差的正弦公式以及辅助角公式化简求解即可.
【详解】解：（1）350,547444cos ππππαα⎛⎫++< <⎪⎝⎭
=>， 37244
πππα∴<+<， 4sin 45πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝
⎭，
4cos sin 2444cos cos ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎡⎭⎣⎦⎤∴==⎢⎥⎣⎦
3455⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
=； ()
222242
sin cos a a π⎛⎫ ⎝⎭⎪=-
)sin cos a a =+
2sin 4a π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 85
=-. 19．如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60,ABC PA ∠=︒⊥平面,,ABCD E F 分别为,BC PA 的中点.
（1）求证:AE PD ⊥;
（2）求证://EF 平面PCD .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）连AC ，利用已知条件可得AE BC ⊥，PA AE ⊥，进而得到AE AD ⊥，再利用线面垂直的判定定理得到AE ⊥面PAD ，即可得出结论；（2）取PD 的中点M ，连,FM MC ，利用已知条件得到四边形FECM 是平行四边形，进而得到//EF MC ，再利用线面平行的判定定理即可得出结果. 【详解】
证明：（1）连AC ，
60ABC ∠=，底面ABCD 为菱形，
ABC ∴是等边三角形，
BE EC =，
AE BC ∴⊥，
又//BC AD ，
AE AD ∴⊥，
又PA ⊥面,ABCD AE ⊂面ABCD ，
PA AE ∴⊥，
PA AD A ⋂=，
AE ∴⊥面,PAD PD ⊂面PAD ，
AE PD ∴⊥.
()2取PD 的中点M ，连,FM MC ，
PF FA =， 所以11//
,22
FM AD FM AD =， 又11//,22EC AD EC AD =， //,FM EC FM EC ∴=，
∴四边形FECM 是平行四边形，
//EF MC ∴，
又EF ⊄面,PCD MC ⊂面PCD ，
//EF ∴面PCD .
20．在条件①向量(2,)m a c b =-与向量(),n cosC cosB =共
线;②;2
A C csin bsinC +=③22()sinA sinC sin
B sinAsin
C -=-中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，13,7b a c =+=且满足_ .求三角形的面积. (注:如选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.) 【答案】33ABC S =【分析】若选①，根据向量共线，可得)2(0a c cosB bcosC --=，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，即可求得12
cosB =
，根据角B 的范围，即可求得角B 的值，根据余弦定理，可求得ac 的值，代入面积公式，即可求得答案；若选②，利用正弦定理边化角，结合二倍角公式，即可求得2B sin 的值，即可求得角B 的值，根据余弦定理，可求得ac 的值，代入面积公式，即可求得答案；若选③：根据正弦定理角化边，结合余弦定理，即可求得角B 的值，根据余弦定理，可求得ac 的值，代入面积公式，即可求得答案.
【详解】解:若选①向量(2,)m a c b =-与向量(),n cosC cosB =共线，
()20a c cosB bcosC -∴-=
由正弦定理边化角得20()sinA sinC cosB sinBcosC --=，
即()2sinAcosB sinCcosB sinBcosC sin B C =+=+，
又()sinA sin B C =+，
2,sinAcosB sinA ∴=
(0,)A π∈，∴0sinA ≠
12
cosB ∴=， ()0,B π∈，3B π
∴=；
由余弦定理得2222b a c accosB =+-， ∴()2
222213234933a c accos
a c ac a c ac ac π=+-=+-=+-=-， 12,ac ∴=
∴三角形的面积为1112222
ABC S acsinB ==⨯⨯= 若选②：由题设及正弦定理得2A C sinCsin
sinBsinC +=， ()0,C π∈，0,sinC ∴≠ ∴2
A C sin sin
B += 由A B
C π++=，可得cos 2222A C B B sin sin π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
， ∴cos 2222
B B B sin cos = 0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴0,2
B cos ≠ ∴122B sin =， 26
B π∴=， ∴3B π
=.
由余弦定理得2222b a c accosB =+-，
∴()2
222213234933a c accos
a c ac a c ac ac π=+-=+-=+-=-， 12,ac ∴=
∴三角形的面积为1131233222ABC S acsinB ==⨯⨯=； 若选③：由已知得222sin A sin C sin B sinAsinC +-=，
由正弦定理角化边得222a c b ac +-=
由余弦定理得2221222
ac cosB ac a a c c b +-=== ()0,B π∈，∴3B π
=
由余弦定理得2222b a c accosB =+-，
∴()2
222213234933a c accos
a c ac a c ac ac π=+-=+-=+-=-， 12,ac ∴= ∴三角形的面积为1131233222
ABC S acsinB ==⨯⨯=； 【点睛】解题的关键是熟练掌握正弦定理、余弦定理、面积公式并灵活应用，化简时需注意各角的范围，考查计算化简的能力，属中档题.
21．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PAD ∆为等边三角形，,E F 分别为PC 和BD 的中点，且EF CD ⊥.
（1）证明:CD ⊥平面PAD ;
（2）求点C 到平面PDB 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2221. 【分析】（1）连接AC ，分别证得EF CD ⊥和PA CD ⊥，利用线面垂直的判定，即可求解. （2）利用等积法，即可求解.
【详解】（1）如图所示，连接AC ，由ABCD 是边长为2的正方形，
因为F 是BD 的中点，可得AC 的中点，
在PAC △中，因为,E F 分别是,PC AC 的中点，可得//EF PA ，
又因为EF CD ⊥，所以PA CD ⊥，
又由AD CD ⊥，且AD AP A =，所以CD ⊥平面PAD .
（2）如图所示，取AD 中点O ，连接PO ，
因为PAD △是边长为2的等边三角形，所以PO AD ⊥且3PO =， 由（1）知平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 可得111232233323
P BDC BDC V S PO -=⋅=⨯⨯⨯⨯=， 连接OB ，则225OB AO AB =
+=，所以2222PB PO OB =+=， 又2222BD AB AD =+=， 又2PD =，所以212(22)172
PBD S =⨯⨯-=, 设点C 到平面PDB 的距离为h ，则1773C PBD h V h -=⨯⨯=， 即723h =，解得221h =.
22．已知函数()()2sin 0,22x f x ωϕωπϕ=≥<⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6
π个单位长度得到()g x 的图像， ()g x 图像关于原点对称，()f x 的相邻两条对称轴的距离是
2π. （1）求()f x 在[]0,π上的增区间;
（2）若()230f x m -=+在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上有两解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（2）1332⎛- ⎝⎦
.
【分析】（1）由()f x 的相邻两条对称轴的距离是2
π，可得函数的周期，从而得出ω的值，由平移得出()g x 的解析式，根据()g x 图像关于原点对称，可求出ϕ的值，从而可求()f x 单调增区间,得出答案.
（2）令23t x π
=+ 则4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[2s n i t ∈，根据()230f x m -=+有两解，即2sin 32t m =-有两解，从而可得答案.
【详解】解:由()f x 的相邻两条对称轴的距离是2
π，则22T ππω==，1,ω∴= ()()2sin 2f x x ϕ∴=+
()2sin 2sin 2326x g x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎛⎫==-+ ⎪⎝⎥⎝⎣⎦
⎭⎭ 函数()g x 的图像关于原点对称，3k πϕπ-+=，,2πϕ< 所以3π
ϕ=
()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝
⎭ （1）由222232k x k πππππ-
≤+≤+，k Z ∈ 得51212
k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 令0k =得51212
x ππ-≤≤ 1k =得7131212
x ππ≤≤ ()f x ∴在[]0,π增区间是70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
()2令23t x π
=+，0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
则4,33t ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦
所以[2s n i t ∈
若()230f x m -=+有两解，即2sin 32t m =-在4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解，
由2sin y t =322m ≤-<，即123m <≤
12m ∴<≤
m ∴的取值范围是133,2⎛⎤- ⎥ ⎝⎦
【点睛】关键点睛：本题考查求正弦型函数的单调增区间和根据方程的解个数求参数的范围问题，解答本题的关键是设23t x π
=+，由0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
所以[2s n ,2]i 3t ∈-若()230f x m -=+有两解，即2sin 32t m =-在4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解，然后数形结合求解，属于中档题.。