山西省平遥中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题

平遥中学2018—2019学年度第二学期高一期末考试
数 学 试 题
本试卷满分：150分 考试时间:120分钟
一. 选择题：(本大题共12小题，每小题5分)
1.已知向量a ，b 满足||1a =，1a b ⋅=-，则(2)a a b ⋅-=
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
2.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高
是60cm ，则河流的宽度BC 等于
A
．1)m B
．1)m C
．1)m D
．1)m
3．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为222
4
a b c +-，则
C =
A ．2
π B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π
4．等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =
A ．()1n n +
B ．()1n n -
C ．
()12
n n + D ．
()12
n n -
5.若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +⎧⎪
-⎨⎪-+⎩
≥≤≥ 则2z x y =-的最小值等于
A ．52-
B ．2-
C ．3
2
- D ．2 6.若0a b >>，0c d <<，则一定有
A ．
a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c
< 7.已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前5
项和为 A ．
158或5 B ．3116或5 C ．3116 D ．158
8.已知定义在R 上的函数()21x m
f x -=- （m 为实数）为偶函数，记
0.5log 3a =，()2log 5b f =，()2c f m =则,,a b c 的大小关系为
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a << 9.若将函数2sin 2y x =的图像向左平移
12
π
个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A ．()26k x k Z π
π=
-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()2
12k x k Z ππ=
-∈ D ．()212
k x k Z ππ=+∈ 10.已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为
A.a c b <<
B.a b c <<
C.b c a <<
D.c a b <<
11.在ABC △中，π4B =
，BC 边上的高等于1
3
BC ,则cos A =
A B C ．- D ．-
12.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8
()9
f x ≥-
，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦ B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ C ．5,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
二. 填空题 ：本大题共4小题，每小题5分.
13.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则10
5
S S =___________. 14.函数()cos(3)6
f x x π
=+
在[0,]π的零点个数为________．
15.如图，在矩形ABCD
中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ．
16.设0,
0,25x y x y >>+
=的最小值为 .
三. 解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．
(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．
18.ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，
． （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值．
19．设2()sin cos cos ()4
f x x x x π
=-+
．
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角,,A B C ，的对边分别为,,a b c ，若()02
A
f =，1a =，求
△ABC 面积的最大值．
20.已知函数()4tan cos cos()3
f x x x x π
=-
-(Ⅰ)求()f x 的定义域与最小正周期； (Ⅱ)讨论()f x 在区间[,44
ππ
-
]上的单调性． 21.已知等比数列1{}a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是3a ，5a 的等差中项．数
列{}n b 满足11b =，数列1{()}n n n b b a +-的前n 项和为22n n +． (1)求q 的值；
(2)求数列{}n b 的通项公式．
22．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地
上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中%(0100)x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
30,
030,()1800
290,30100x f x x x x <⎧⎪
=⎨+-<<⎪⎩
≤（单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．
平遥中学2018—2019学年度第二学期高一年级期末考试
数学试题 参考答案与评分标准
1--5BCCAA 6--10DCBBA 11--12CB
13 . 4 14 3个 15.2 16.34 17.【解析】(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-．
由17a =-得d =2．所以{}n a 的通项公式为29n a n =-．
(2)由(1)得22
8(4)16n S n n n =-=--．所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为−16．
18．【解析】（1）
c b a ，，成等差数列，2a c b ∴+=
由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=
sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+()sin sin 2sin A C A C ∴+=+
（2）
c b a ，，成等比数列，22b ac ∴=
由余弦定理得2222221
cos 2222
a c
b a
c ac ac ac B ac ac ac +-+--=
=≥= 2
2
2a c ac +≥（当且仅当a c =时等号成立）22
12a c ac
+∴
≥（当且仅当a c =等号成立） 2211112222
a c ac +∴-≥-=（当且仅当a c =时等号成立）
即1cos 2B ≥
，所以B cos 的最小值为1
2
19．【解析】（Ⅰ）由题意1cos(2)
12()sin 222
x f x x π
++=-
x x 2sin 21212sin 21+-= 2
1
2sin -=x ．
由ππ
ππk x k 22
222+≤≤+-(Z k ∈)，可得ππππk x k +≤≤+-44(Z k ∈)；
由ππ
ππk x k 22
3222+≤≤+(Z k ∈)，得ππππk x k +≤
≤+434(Z k ∈)； 所以)(x f 的单调递增区间是]4
,4[ππ
ππk k ++-（Z k ∈）；
单调递减区间是]4
3,4[ππ
ππk k ++（Z k ∈）
．
（Ⅱ）
1()sin 022A f A =-=，1sin 2
A ∴=，
由题意A 是锐角，所以 cos A =
A bc c b a cos 2222-+=，
可得22
12b c bc +=+≥323
21
+=-≤
∴bc ，且当c b =时成立．
12sin 24bc A +∴≤．ABC ∆∴面积最大值为4
32+． 20.【解析】(Ⅰ)()f x 的定义域为{|,}2
x x k k Z π
π≠
+∈．
()4tan cos cos()3f x x x x π=-4sin cos()3
x x π
=--
1
4sin (cos )2x x x =+-22sin cos x x x =+-
sin 2cos2)x x =+--sin 2x x =-2sin(2)3
x π
=-
所以()f x 的最小正周期22
T π
π=
=． ()II 令2,3z x π
=-
函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+,得5,.12
12
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈ 设
5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤
=-=-+≤≤+∈⎨⎬
⎢⎥⎣⎦⎩⎭
，
易
知
,124A
B ππ⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦
．
所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦时, ()f x 在区间,124ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增, 在区间412π
π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
，上单调递减． 21．【解析】(1)由42a +是3a ，5a 的等差中项得35424a a a +=+， 所以34543428a a a a ++=+=，解得48a =．
由3520a a +=得18()20q q
+=，因为1q >，所以2q =． (2)设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S ．
由11,1,2
n n n S n c S S n -=⎧=⎨-⎩≥，解得41n c n =-．由(1)可知1
2n n a -=，
所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)()2
n n n b b n ---=-⋅，2n ≥，
11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-+⋅⋅⋅+-+-
23111
(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+⋅+．
设22111
3711()(45)()222
n n T n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，2n ≥，
2311111137()11()(45)()22222
n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ 所以22111111
344()4()(45)()22222
n n n T n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅，
因此21
14(43)()2
n n T n -=--⋅，2n ≥，
又11b =，所以21
15(43)()2
n n b n -=--⋅．
22.【解析】(1)当030x <≤时，()3040f x =<恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能
少于自驾群体的人均通勤时间； 当30100x <<时，若40()f x <，即1800
29040x x
+
->，
解得20x <（舍）或45x >； ∴当45100x <<时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； (2)设该地上班族总人数为n ，则自驾人数为%n x ⋅，乘公交人数为(1%)n x ⋅-．
因此人均通勤时间30%40(1%)
,030()1800
(290)%40(1%)
,30100n x n x x n
g x x n x n x x x n ⋅⋅+⋅⋅-⎧<⎪⎪
=⎨+-⋅⋅+⋅⋅-⎪<<⎪
⎩≤， 整理得：240,0010
()1(32.5)36.875,3010050
x x g x x x ⎧
-<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤3，
则当(0,30](30,32.5]x ∈，即(0,32.5]x ∈时，()g x 单调递减；
当(32.5,100)x ∈时，()g x 单调递增．
实际意义：当有32.5%的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短． 适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．。