高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合：第3节 等差数列等比数列综合应用

第3节等差数列等比数列综合应用【基础知识】
等差数列和等比数列
【规律技巧】
1. 等差、等比数列性质很多，在高考中以等差中项和等比中项的考查为主，在应用时，要注意等式两边的项的序号之间的关系．
2.在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式．方程思想的应用往往是破题的关键．
3. 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．
4.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．
5.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略.
【典例讲解】
【例1】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .
(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1， ∴2a n ＋1＝a n ＋1， ∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴
a n ＋1－1a n －1＝12
，∴{a n －1}是等比数列．又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝1
2，
∵首项c 1＝a 1－1，∴c 1＝－1
2，
公比q ＝1
2
.又c n ＝a n －1，
∴{c n }是以－12为首项，以1
2为公比的等比数列．
规律方法 证明数列{a n }是等比数列常用的方法：一是定义法，证明a n
a n －1
＝q (n ≥2，q 为
常数)；二是等比中项法，证明a 2n ＝a n －1·a n ＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．
【变式探究】 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫S n ＋54是等比数列．
解析：(2)证明 数列{b n }的前n 项和S n ＝5
4（1－2n ）1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －
2.
所以S 1＋54＝5
2，S n ＋1＋5
4S n ＋
54
＝5·2n －
15·2
n －2＝2.
因此{S n ＋54}是以5
2为首项，2为公比的等比数列．
【针对训练】
1、各项都是正数的等比数列{}n a 中，13a ，312
a ，22a 成等差数列，则20122014
20132011a a a a +=+ ( )
A.
B.3
C.6
D.9
【答案】B
【解析】由题意得31232a a a =+，即211132a q a a q =+，解得31q q ==-或（舍去）；而
32012201420112201320112011()
3(1)
a a a q q q a a a q +⋅+===+⋅+.
2、设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1
26a
a a
b b b +++等于( )
A.78
B.84
C.124
D.126
【答案】Ｄ
3、已知{}n a 为等比数列，n s 是它的前n 项和.若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为5
4
，则5S = . 【答案】31
【解析】由2312a a a =得21112a qa q a =，即42a =，4a 与72a 的等差中项为
5
4
，可得47524a a +=
，得714a =，1
2
q ∴=，从而116a =，所以551
16(1)
231112
S -
==-． 4、在公差不为零的等差数列{}n a 中，2
3711220a a a -+=，
数列{}n b 是等比数列，且77b a = 则268log ()b b 的值为 （ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．1 【答案】B
5、设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列．若12a a >，12b b >，且2i i b a =（1i =，2，3）
，则数列{}n b 的公比为 .
【解析】
试题分析：设1a ，2a ，3a 依次为a d -，a ，a d +，因为12a a >，所以0d <，因为12b b >，所以01q <<，
又2213b b b =，所以4
2
2
2
22
()()()a a d a d a d =-+=-，则222a d a =-或222a a d =-（舍），所以
；若
【练习巩固】
1、已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）
A.140,0a d dS >>
B. 140,0a d dS <<
C. 140,0a d dS ><
D.
140,0a d dS <>
【答案】B.
【解析】∵等差数列
}{n a ，3a ，4a ，8a 成等比数列，∴
d
a d a d a d a 35
)7)(2()3(11121-=⇒++=+，
∴d d a a a a S 32)3(2)(211414-=++=+=，∴03521<-=d d a ，0
32
24<-=d dS ，
故选B.
2、已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .
【答案】21n
-
2．数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________. 【答案】1 【解析】 因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5也成等差数列．又 a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构为公比为q 的等比数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5为常数列，故q ＝1.
3．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】C
4．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式．
(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．
【解析】(1)设数列{a n }的公差为d ， 依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，
化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4.
当d＝0时，a n＝2；
当d＝4时，a n＝2＋(n－1)·4＝4n－2.
从而得数列{a n}的通项公式为a n＝2或a n＝4n－2.。