云南省曲靖市富源六中2025届高考仿真卷数学试题含解析

云南省曲靖市富源六中2025届高考仿真卷数学试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若AB 为过椭圆22
116925
x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ）
A ．20
B ．30
C ．50
D ．60
2．使得()13n
x n N x x +⎛
⎫+∈ ⎪⎝
⎭的展开式中含有常数项的最小的n 为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2
B ．2
C ．4
D ．7
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
2
3
B ．
13
C ．
43
D ．
56
5．如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则()
AB AC AD ⋅+=（ ）
A ．
52
B ．4
C ．2
D ．13+
6．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1z
z
+=（ ） A ．
32
i
+ B ．
12i
+ C ．
132
i
- D ．
132
i
+ 7．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．22
B ．2
C ．4
D ．3
8．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）
A ．16
B ．12
C ．8
D ．6
9．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（ ） A ．162
B ．15
C ．3
D ．83
10．已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）
A ．22
1255x y +=
B ．22
13616
x y +=
C ．22
13010x y +
= D ．22
14525
x y +
= 11．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5
A =,，{}2,3,4
B =，则集合()U
B A =( )
A ．{}1,2,6
B ．{}1,3,6
C ．{}1,6
D ．{}6
12．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数
4
()()12x F x f x x
+=+
-在区间[9,10]-上零点的个数为（ ） A ．9
B ．10
C ．18
D ．20
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．()6
2x y
-的展开式中，2
4
x y 的系数为_______（用数字作答）.
14．已知复数z 满足12i
i z
+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为____________. 15．若实数
满足不等式组
则目标函数
的最大值为__________．
16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，满足22(sin 3)40a a B B -++=，7b =则ABC
∆
的面积为__．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，以x 轴正
半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()26
π
ρθ+=.
（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
（2）设,A B 为曲线1C 上位于第一，二象限的两个动点，且2
AOB π
∠=，射线,OA OB 交曲线2C 分别于,D C ，求AOB
∆面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积.
18．（12分）已知函数()ax
f x e x =-（a R ∈，e 为自然对数的底数），()ln 1
g x x mx =++.
（1）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；
（2）当1a =时，()()x f x x g x ⎡⎤⎣≥⎦
+对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围. 19．（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：
(1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的22⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？ (2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．视频率为概率．
①在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率； ②为了鼓励市民关注环保，针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获得一次抽奖活动．每次抽奖获得红包的金额和对应的概率.如下表：
现某市民要参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加间卷调查获得的红包金额，求X 的分布列及数学期
附表及公式：2
2
(),()()()()
n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=
=+++++++ )k
20．（12分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):
（1）在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;
（2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X .以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望;
（3）如果甲将要从A 市出发到B 市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由. 21．（12分）已知R a ∈，函数()1x
f x ae x =--，()()ln 1
g x x x =-+（ 2.71828
e =是自然对数的底数）.
（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数；
（Ⅱ）若1a =，且命题“[
)0,x ∀∈+∞，()()f x kg x ≥”是假命题，求实数k 的取值范围. 22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x t y t
=⎧⎨
=⎩(t 为参数)，直线l 与曲线:C ()2
211x y -+=交于A B 、两点.
(1)求AB 的长；
(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为34π⎛
⎫
⎪⎝⎭
，求点P 到线段AB 中点M
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
先设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --，在表示出1F AB ∆面积，由图象遏制，当点A 在椭圆的顶点时，此时1F AB ∆面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解. 【详解】
由题意，设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --， 则1F AB ∆的面积为1
22
S OF y c y =
⨯⨯=， 当y 最大时，1F AB ∆的面积最大，
由图象可知，当点A 在椭圆的上下顶点时，此时1F AB ∆的面积最大，
又由22
116925
x y +=，可得椭圆的上下顶点坐标为(0,5),(0,5)-，
所以1F AB ∆的面积的最大值为16925560S cb ==-⨯=. 故选：D.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用. 2、B 【解析】
二项式展开式的通项公式为r -n 1
3x (
)n r
r C x x （），若展开式中有常数项，则3--=02n r r ，解得5
=2
n r ，当r 取2时，n 的最小值为5，故选B
【考点定位】本题考查二项式定理的应用． 3、B 【解析】
在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得3a ，再由等差数列通项公式求得公差. 【详解】
在等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()155********
a a S a a +===⇒=
则3123272a a d d d =+=+=⇒= 故选：B 【点睛】
本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题. 4、A 【解析】
利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积． 【详解】
几何体的三视图的直观图如图所示，
则该几何体的体积为：1
211233
⨯⨯⨯=． 故选：A ． 【点睛】
本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键． 5、B 【解析】
连接CD 、OD ，即可得到60CAB DOB ︒∠=∠=，1AC =，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得； 【详解】
解：连接CD 、OD ，
C ，
D 是半圆弧的两个三等分点， //CD AB ∴，且2AB CD =，60CAB DOB ︒∠=∠=
所以四边形AODC 为棱形，
1cos 1212
AC AB AC AB BAC ∴=∠=⨯⨯
= ∴()
1
1
222
AB AC AD AB AC AC AB AB AC AB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭
⎣⎦
21
22
AC AB AB =+
． 21
21242
=⨯+⨯=
故选：B
【点睛】
本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题. 6、C 【解析】
求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数. 【详解】
121312
z i i
z i +--==+. 故选：C 【点睛】
本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题. 7、A
【解析】
由复数除法求出z ，再由模的定义计算出模． 【详解】
44(1)
22,1(1)(1)
i i i z i z i i i +=
==-+=--+ 故选：A ． 【点睛】
本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 8、B 【解析】
根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果. 【详解】
由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2 所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形， 所以该正三棱柱的侧面积为32212⨯⨯= 故选：B 【点睛】
本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题. 9、B 【解析】
利用正弦定理求出CD ，可得出BC ，然后利用余弦定理求出cos B ，进而求出sin B ，然后利用三角形的面积公式可计算出ABD ∆的面积. 【详解】
AD 为BAC ∠的角平分线，则BAD CAD ∠=∠.
ADB ADC π∠+∠=，则ADC ADB π∠=-∠，
()sin sin sin ADC ADB ADB π∴∠=-∠=∠，
在ABD ∆中，由正弦定理得
sin sin AB BD
ADB BAD =∠∠，即42sin sin ADB BAD
=∠∠，①
在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC ADC =∠∠，即8sin sin CD
ADC CAD
=∠∠，②
①÷②得
21
2
CD =，解得4CD =，6BC BD CD ∴=+=， 由余弦定理得2221cos 24AB BC AC B AB BC +-==-⋅，215
sin 1cos 4
B B ∴=-=
， 因此，ABD ∆的面积为1
sin 152
ABD S AB BD B ∆=⋅=. 故选：B. 【点睛】
本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 10、B 【解析】
由题意可得c=25，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF′=∠FPO ，∠OF′P=∠OPF′， 所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′， 由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知， ∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF′．
在Rt △PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=()
2
2
2
2PF 4548FF -=
-='，
由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36， 于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣
=16，
所以椭圆的方程为22
13616
x y +=．
故选B ．
点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在． 11、D 【解析】
根据集合的混合运算，即可容易求得结果. 【详解】
{}1,2,3,4,5A B ⋃=，故可得
()U
B A ={}6.
故选：D. 【点睛】
本题考查集合的混合运算，属基础题.
12、B
【解析】
由已知可得函数f（x）的周期与对称轴，函数F（x）＝f（x）
4
12
x
x
+
+
-
在区间[9,10]
-上零点的个数等价于函数f（x）
与g（x）
4
12
x
x
+
=-
-
图象在[9,10]
-上交点的个数，作出函数f（x）与g（x）的图象如图，数形结合即可得到答案.
【详解】
函数F（x）＝f（x）
4
12
x
x
+
+
-
在区间[9,10]
-上零点的个数等价于函数f（x）与g（x）
4
12
x
x
+
=-
-
图象在[9,10]
-上交
点的个数，
由f（x）＝f（2﹣x），得函数f（x）图象关于x＝1对称，
∵f（x）为偶函数，取x＝x+2，可得f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），得函数周期为2.
又∵当x∈[0，1]时，f（x）＝x，且f（x）为偶函数，∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x，
g（x）
4419
1221242
x x
x x x
++
=-==+
---
，
作出函数f（x）与g（x）的图象如图：由图可知，两函数图象共10个交点，
即函数F（x）＝f（x）
4
12
x
x
+
+
-
在区间[9,10]
-上零点的个数为10.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、60
【解析】
根据二项式定理展开式通项，即可求得24x y 的系数. 【详解】 因为()
616
2r
r r
r T C x y -+=-
，
所以4r =， 则所求项的系数为()
4
46
260C -=.
故答案为：60 【点睛】
本题考查了二项展开式通项公式的应用，指定项系数的求法，属于基础题. 14、2 【解析】
利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案. 【详解】
2122
2i i z i i i
+-=
==-，所以复数z 的实部为2. 故答案为：2 【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 15、12 【解析】
画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值． 【详解】
根据约束条件画出可行域，如下图，由，解得
目标函数，当
过点
时，有最大值，且最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查线性规划的简单应用，属于基础题． 16、3 【解析】
由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求B ，进而可求a ，然后结合余弦定理可求c ，代入
1
sin 2
ABC S ac B ∆=
，计算可得所求． 【详解】
解：把22(sin 3)40a a B B -++=看成关于a 的二次方程， 则0∆≥，即24(sin 3)160B B +-≥，
即为2
42sin 1603B π⎛⎫⎛
⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
化为2
sin 13B π⎛
⎫
+
≥ ⎪⎝
⎭，而2sin 13B π⎛⎫+≤ ⎪⎝
⎭，
则2
sin 13B π⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
， 由于0B π<<，可得43
3
3
B π
π
π<+
<
， 可得3
2
B π
π
+
=
，即6
B π
=，
代入方程可得，2440a a -+=， 2a ∴=，
由余弦定理可得，2428cos 622c c π
+-==
⨯，
解得：c =，
111
sin 2222
ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=．
故答案为 【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2
213
x y +=
；40x +-=（2）AOB 面积的最小值为34；四边形的面积为294 【解析】
（1）将曲线1C 消去参数即可得到1C 的普通方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线2C 的极坐标方程即可； （2）由（1）得曲线1C 的极坐标方程，设1,()A ρθ，2(,)2B π
ρθ+，3(,)D ρθ，4(,)2
C π
ρθ+
利用方程可得
2
2
121
1
4
3ρρ+
=
，再利用基本不等式得
22121221143ρρρρ≤+=，即可得121324
AOB S ρρ∆=≥，根据题意知ABCD COD AOB S S S ∆∆=-，进而可得四边形ABCD 的面积.
【详解】
（1）由曲线1C
的参数方程为sin x y αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）消去参数得2213x
y +=
曲线2C 的极坐标方程为sin()26
π
ρθ+
=，即sin cos cos sin
26
6
ππ
ρθρθ+=，
所以，曲线2C
的直角坐标方程40x +-=. （2）依题意得1C 的极坐标方程为2222cos sin 13
ρθ
ρθ+=
设1,()A ρθ，2(,)2B π
ρθ+，3(,)D ρθ，4(,)2
C π
ρθ+
则
222
2
11
cos sin 13
ρθ
ρθ+=，
2
222
22
sin cos 13
ρθ
ρθ+=，故
2
2
121
1
43
ρρ+
=
2
2
12
122
1
1
43ρρρρ∴
≤
+
=
，当且仅当12ρρ=（即4
π
θ=）时取“=”， 故1213
24AOB S ρρ∆=
≥，即AOB ∆面积的最小值为34
. 此时
34112222sin()cos()4646
COD S ρρππππ∆=
=⋅++4
8
cos 3π==， 故所求四边形的面积为329844
ABCD COD AOB S S S ∆∆=-=-=. 【点睛】
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18、（1）10,e ⎛
⎫
⎪⎝⎭
；（2）(],1-∞ 【解析】
（1）将()f x 有两个零点转化为方程ln x
a x =有两个相异实根，令()ln x G x x
=求导，利用其单调性和极值求解； （2）将问题转化为ln 1
x
x m e x x ≤--对一切()0,x ∈+∞恒成立，令()()ln 10x x F x e x x x
=-->，求导，研究单调性，求出其最值即可得结果. 【详解】
（1）()f x 有两个零点⇔关于x 的方程ax e x =有两个相异实根 由0>ax e ，知0x >
()f x ∴有两个零点ln x
a x
⇔=
有两个相异实根. 令()ln x G x x =
，则()2
1ln x
G x x -'=， 由()0G x '
>得：0x e <<，由()0G x '
<得：x e >，
()G x ∴在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减
()()max 1
G x G e e
∴==，
又
()10G =
∴当01x <<时，()0G x <，当1x >时，()0G x >
当x →+∞时，()0G x →
()f x ∴有两个零点时，实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
；
（2）当1a =时，()x
f x e x =-，
∴原命题等价于ln 1x xe x mx ≥++对一切()0,x ∈+∞恒成立
ln 1
x x m e x x ⇔≤-
-对一切()0,x ∈+∞恒成立. 令()()ln 1
0x
x F x e x x x
=-
-> ()min m F x ∴≤
()222
ln ln x x
x x e x
F x e x x
+'=+= 令()2ln x
h x x e x =+，()0,x ∈+∞，则
()21
20x h x xe x e x
'=++
> ()h x ∴在()0,∞+上单增
又()10h e =>，1
201110e
h e e e -⎛⎫=-<-= ⎪⎝⎭
01,1x e ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭
，使()00h x =即0
020e n 0l x x x +=①
当()00,x x ∈时，()0h x <，当()0,x x ∈+∞时，()0h x >， 即()F x 在()00,x 递减，在()0,x +∞递增，
()()000min 00
ln 1
x x F x F x e x x ∴==-
- 由①知0
200ln x x e
x =-
01
ln 000000ln 111ln ln x x x x e e x x x x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭
∴
函数()x
x xe ϕ=在()0,∞+单调递增
00
1
ln
x x ∴=即00ln x x =- ()0ln 0min 0000
111
11x x F x e x x x x --∴=-
-=+-=， 1m ∴≤
∴实数m 的取值范围为(],1-∞.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，考查学生转化能力和分析能力，是一道难度较大的题目. 19、 (1)不能；(2) ①18
25
；②分布列见解析，754. 【解析】
（1）根据题目所给的数据可求2×2列联表即可；计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．（2）由相互独立事件的概率可得男“环保达人”又有女“环保达人”的概率：P ＝1﹣（25）3﹣（3
5）31825
=，解出X 的分布列及数学期望E （X ）75
4
=即可； 【详解】
(1)由图中表格可得22⨯列联表如下:
将22⨯列联表中的数据代入公式计算得K”的观测值
22
2
()100(45153010) 3.030 3.841()()()()25755545
n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯，
所以在犯错误的概率不超过0. 05的前提下，不能认为是否为“环保关注者”与性别有关. (2)视频率为概率,用户为男“环保达人”的概率为
35.为女“环保达人”的概率为2
5
，
①抽取的3名用户中既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为
33
231815525
P ⎛⎫⎛⎫=--=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
②X 的取值为10，20，30，40.
133
(10)248
P X ==⨯=,
1113313
(20)2424432P X ==⨯+⨯⨯=,
12
1133
(30)C 24416P X ==⨯⨯⨯=, 1111
(40)24432
P X ==⨯⨯=,
所以X 的分布列为
()1020304083216324
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
本题考查了独立性检验的应用问题，考查了概率分布列和期望，计算能力的应用问题，是中档题目． 20、（1）2950
（2）分布列见解析，数学期望2
5（3）建议甲乘坐高铁从A 市到B 市.见解析
【解析】
（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；
（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是
151
755
=，所以12,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，即()22
11155k
k
k P x k C -⎛⎫
⎛⎫==- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，即可求出X 的分布列和数学期望；
（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机． 【详解】
（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929
()10050
P M +=
=．
（2）由题意，X 的所有可能取值为：012.，，
因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人
为老年人概率是
151
755
=， 所以022116
(0)C (1)525
P X ==⨯-=
， 12
118
(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=， 222
11
(2)C ()525
P X ==⨯=， 所以随机变量X 的分布列为：
1
2
16
25
8
25
125
故16812()0122525255
E X =⨯
+⨯+⨯=． （3）答案不唯一，言之有理即可． 如可以从满意度的均值来分析问题，
参考答案如下：
由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：5210125110116
52121115
⨯+⨯+⨯=++
乘坐飞机的人满意度均值为：
4101457022
41475
⨯+⨯+⨯=++ 因为
11622
155
>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市． 【点睛】
本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．
21、（1）当0a ≤时，()f x 没有极值点，当0a >时，()f x 有一个极小值点.（2）1,
【解析】
试题分析 ：（1）()x
f x ae 1'=-，分a 0≤，a 0>讨论，当a 0≤时，对x R ∀∈，()x
f x ae 10'=-<，当a 0>时
()f x 0'=，解得x lna =-，()f x 在(),lna ∞--上是减函数，在()lna,∞-+上是增函数。

所以，当a 0≤时，()f x 没
有极值点，当a 0>时，()f x 有一个极小值点.（2）原命题为假命题，则逆否命题为真命题。

即不等式()()
f x k
g x <在区间[
)0,∞+内有解。

设()()()F x f x kg x =-= ()x
e kln x 1++ ()k 1x 1-+-，所以()x
k F x e x 1
=+
+' ()k 1-+，设()x
k h x e x 1
=++ ()k 1-+，则()()x 2k h x e x 1=-+'，且()h x '是增函数，所以()()h x h 0'≥' 1k =-。

所以分k 1≤和k>1讨论。

试题解析：（Ⅰ）因为()x
f x ae x 1=--，所以()x
f x ae 1'=-，
当a 0≤时，对x R ∀∈，()x
f x ae 10'=-<，
所以()f x 在(),∞∞-+是减函数，此时函数不存在极值， 所以函数()f x 没有极值点；
当a 0>时，()x
f x ae 1'=-，令()f x 0'=，解得x lna =-，
若()x ,lna ∞∈--，则()f x 0'<，所以()f x 在(),lna ∞--上是减函数， 若()x lna,∞∈-+，则()f x 0'>，所以()f x 在()lna,∞-+上是增函数， 当x lna =-时，()f x 取得极小值为()f lna lna -=， 函数()f x 有且仅有一个极小值点x lna =-，
所以当a 0≤时，()f x 没有极值点，当a 0>时，()f x 有一个极小值点.
（Ⅱ）命题“[)x 0,∞∀∈+，()()f x kg x ≥”是假命题，则“[
)x 0,∞∃∈+，()()f x kg x <”是真命题，即不等式
()()f x kg x <在区间[)0,∞+内有解.
若a 1=，则设()()()F x f x kg x =-= ()x
e kln x 1++ ()k 1x 1-+-，
所以()x
k F x e x 1=+
+' ()k 1-+，设()x
k h x e x 1
=++ ()k 1-+， 则()()
x
2
k
h x e x 1=-
+'，且()h x '是增函数，所以()()h x h 0'≥' 1k =-
当k 1≤时，()h x 0'≥，所以()h x 在[
)0,∞+上是增函数， ()()h x h 00≥=，即()F x 0'≥，所以()F x 在[)0,∞+上是增函数，
所以()()F x F 00≥=，即()()f x kg x ≥在[
)x 0,∞∈+上恒成立.
当k 1>时，因为
()()
x
2
k
h x e x 1=-+'在[
)0,∞+是增函数，
因为()h 01k 0='-<，()h k 1'-= k 1
1
e
0k
--
>， 所以()h x '在()0,k 1-上存在唯一零点0x ，
当[
)0x 0,x ∈时，()()0h x h x 0''<=，()h x 在[
)00,x 上单调递减， 从而()()h x h 00≤=，即()F x 0'≤，所以()F x 在[
)00,x 上单调递减， 所以当()0x 0,x ∈时，()()F x F 00<=，即()()f x kg x <. 所以不等式()()f x kg x <在区间[
)0,∞+内有解 综上所述，实数k 的取值范围为()1,∞+.
22、（1 ;（2）2
. 【解析】
（1）将直线的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，结合垂径定理即可求得AB 的长；
（2）将P 的极坐标化为直角坐标，将直线方程与圆的方程联立，求得直线与圆的两个交点坐标，由中点坐标公式求得
M 的坐标，再根据两点间距离公式即可求得PM .
【详解】
（1）直线l 的参数方程为x t
y t =⎧⎨
=⎩
(t 为参数)， 化为直角坐标方程为y x =，即0x y -= 直线l 与曲线:C ()2
211x y -+=交于A B 、两点. 则圆心坐标为()1,0，半径为1，
则由点到直线距离公式可知d =
=
所以2AB ==
（2）点P
的极坐标为34π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，化为直角坐标可得()2,2-， 直线l 的方程与曲线C 的方程联立()2211
y x
x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，化简可得20x x -=， 解得0,1x x ==，所以A B 、两点坐标为()()001,1，、， 所以11,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
由两点间距离公式可得PM ==【点睛】
本题考查了参数方程与普通方程转化，极坐标与直角坐标的转化，点到直线距离公式应用，两点间距离公式的应用，直线与圆交点坐标求法，属于基础题.。