河北省唐山一中2013届高三数学强化训练(三)理

唐山一中2013届高三强化训练（三）
数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一.选择题:(共60分,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求） 1．已知R 是实数集，2
{|1},{|1}M x N y y x x
===-＜，则R N C M ⋂=( ) A.（1，2）
B. [0，2]
C.∅
D. [1，2]
2．已知a ＋2i
i
＝b －i, (a ，b ∈R)，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝（ ）
A.－1 B ．1 C ．2 D ．3
3. “1a =”是“函数()lg()f x ax =在(0,)+∞单调递增”的（ ）
A.充分不必要条件
B.充分必要条件
C.必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
4．设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）
A ．若,l m m α⊥⊂ ，则l α⊥
B ．若,//l l m α⊥，则m α⊥
C ．若//,l m αα⊂，则//l m
D ．若//,//l m αα，则//l m
5．数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且137,,a a a 为等比数列{}n b 的连续三项，则数列{}n b 的公比为（ ）
A 2
B ．4
C ．2
D ．
1
2
6．已知向量a =(x －1，2)，b =(y ，－4)，若a ∥b ，则向量,12y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭c 与向量()0,1=-d 的夹
角为 （ ）
A ．45°
B ．60°
C. 135° D ．120°
7．已知某个几何体的三视图如下，那么可得这个几何体的 体积是（ ）
A. 31 B ．32
C ．34
D ．38
8．若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（ ）
A ．5n ≤
B ．6n ≤
C ．7n ≤
D ．8n ≤
9.某铁路局近日对所属六列高速列车进行编组调度,决定将这六列高速列车编成两组,每组三列,且1G 和2G 两列列车不在同一小组,如果1G 所在小组三列列车先开出,那么这六列列车先后不同的发车顺序共有( )
A. 162种
B.108 种
C. 216种
D. 432种
10、已知函数))2,0((cos )(π∈=x x x f 有两个不同的零点21,x x ，且方程m x f =)(有两个不同的实根43,x x ，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为（ ）
A
21 B 2
1
- C 23 D 23-
11.已知),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PB PA ,是圆C ：022
2
=-+y y x 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）
A. 3
B.
2
1
2 C.22 D. 2
12.函数21(0)()(1)(0)
x x f x f x x -⎧-≤=⎨
->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不等的实数根,则实数a 的取值范围为
A.(-∞,0)
B.[0,1)
C.(-∞,1)
D.[0,+∞)
第Ⅱ卷
二.填空题:( 每小题5分共20分) 13.设函数)
2()(-=x n
x f ，其中⎰
=20
cos 6
π
xdx n ，则)(x f 展开式中x 4
的系数为
14．椭圆13
42
2=+y x 上有一个动点P ，圆E ：2220x y x +-=，过圆心E 任意作一 条直线与圆E 交于A ，B 两点。

⊙F ：2
2
20x y x ++=,过F 任意作一条直线交⊙F 于 C ，D 两点，向量PD PC PB PA •+•的最小值为
15. 设x 、y 满足约束条件20
44000
x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩ ，若目标函数z ax by =+(0,0)a b >>的最大值
为6
，则12
()a b
+的最小值为 .
16．给出下列五个命题：①当01x x >≠且时，有1
ln 2ln x x
+≥；②ABC ∆中，A B >是
sin sin A B >成立的充分必要条件；③函数x y a =的图像可以由函数2x y a =（其中01a a >≠且）的图像通过平移得到；④已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若75S S >，
则93S S >；⑤函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图像关于直线1x =对称。

其中正确命题的序号为 。

解答题：本大题共6个小题，共70分。

请把解答题答在答题卡限定的区域内，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）已知ABC ∆的角A 、B 、C ，所对的边分别是a 、b 、c ，且3
π
=C ，
设向量m (a,b),n (sin B,sin A),p=b-2,a-2)
==（.
（1）若m //n ，求B ；（2
）若ABC m p,S ∆⊥=c 。

18（本小题满分12分）若盒中装有同一型号的灯泡共10只，其中有8只合格品，2只次品。

（1）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；
第22题图
（2）某工人师傅有该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数x 的分布列和数学期望
19．（本小题满分12分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，
//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．
(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ； (Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；
(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值.
20. （本小题满分12分设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0.
(1)求f(x)的单调区间; (2)当x>0时,证明不等式:x
x
+1<ln(x+1)<x;
(3)设f(x)的最小值为g(a),证明不等式:-1<ag(a)<0 21．（本小题满分12分）
已知点(1,0)Q 在椭圆
C ：22221(0)y x a b a b +=>> 上，且椭圆C
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)过点(,0)P m 作直线交椭圆C 于点A ，B ，△ABQ 的垂心为T ，是否存在实数m ，使得垂心
T 在y 轴上．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
选考题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，若都选，则按所做的第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线交圆O 于点B C ,,APC ∠的平分线分别交AB AC ,于 点D E ,． (Ⅰ)证明：ADE ∠=AED ∠； （Ⅱ）若AC AP =,求
PC
PA
的值． 23．（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程
已知点)sin ,cos 1(αα+P ，参数[]πα,0∈，点Q 在曲线C ：)
4
sin(210π
θρ-=上.
(1)求在直角坐标系中点P 的轨迹方程和曲线C 的方程;
(2)求｜PQ ｜的最小值. 24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲
已知函数a a x x f +-=2)(．
1）若不等式6)(≤x f 的解集为{}
32≤≤-x x ，求实数a 的值；
2）在（1）的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．
A
D
F
E
B
G C
参考答案
1.B
2. D
3.A
4.B
5. C
6.C
7.C
8. B.
9.C 10.D 11.D 12.C 13.60 14.6 15.2 16.②③④
17.证明：（1）B b A a n m sin sin ,//=∴ …………2分 由正弦定理得
b a b a ==即22………4分
又3
π
=
c
3
π
=
∆∴B ABC 为等边三角形………4分
由题意可知0)2()2(,0.=-+-=a b b a p m 即
ab b a =+∴………①…………8分
由正弦定理和①②得,ab c .sin .2
1
3=
2
3sin ,3
=
∴=
C C π
4=∴ab ………②…………10分
2
4
12163)(2222=∴=-=-+=-+=∴c ab b a ab b a c ………12分
18.（1）解：设一次取次品记为事件A ，由古典概型概率公式得：5
1
102==
）（A P ……2 分 有放回连续取3次，其中2次取得次品记为事件B ，由独立重复试验得：
125
1254.51C 223
==）（）（B P ………4分 （2）依据知X 的可能取值为1.2.3………5 且5
4
1081==
=）（x P ………6 458
8222
10
=⨯=
=A x P ）（………7 45
1
32102
2=
==A A x P ）（ (8)
10分 9
11455545345164536==++=
EX ………12分 19.【解析】(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ，
∴//AD BC .
又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，
∴四边形ADGB 是平行四边形，
∴ //AB DG . ……………2分 ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ， ∴//AB 平面DEG . …………………4分 (Ⅱ) 解法1
H
A
D
F
E
B G C
解法2
∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥， 又AE EB ⊥,
∴,,EB EF EA 两两垂直. ……………………5分
以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系. 由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），
C （2，4，0），F （0，3，0），
D （0，2，2）， G （2，2，0）. …………………………6分
20.解：（1）f ’(x)=
1
1
ax x -+(x>-1,a>0) 令f ’(x)=01
0x a ∴=>
∴f(x)在(-1,1a )为减，在（1
a
，+∞）为增
f(x)min =f(1a )=1-(a+1)ln(1
a
+1)
（2）设F(x)=ln(x+1)-(0)1
x
x x >+ F ’(x)=
22
1101(1)(1)x x x x x x +--=>∴+++F(x)在（0，+∞）为增函数 F(x)>F(0)=0 ∴F(x)>0即ln(1)1
x
x x <++ G(x)=x-ln(x+1)(x>0)
G ’(x)=1-
1011
x
x x =>++
∴G(x)在（0，+∞）为增函数 G(x)>G(0)=0 ∴G(x)>0即ln(x+1)<x
经上可知ln(1)1
x
x x x <+<+
（3）由（1）知：()()11()1-1ln(1)0
g a f a a a
a ⎧
==++⎪
⎨⎪>⎩ x z
y
A
D
F E
B
G C
()11'ln(1)01ln(1)0g a a a
a ⎧
=-+-<⎪⎪⎨
⎪+>⎪⎩
1111
ln(1)111
1(1)ln(1)1a a a a a a a <+<+<++<+
由(2)把x=
代入(2)中即
11
1(1)ln(1)1a a a --
<-++<- 11
1(1)ln(1)0a a a
-<-++<即
1()0ag a -<<即
21、（本小题满分12分）
．解：(Ⅰ) 1=b ,
21
12
222=-=a a a c ,∴22=a ∴椭圆C 的方程为1
222
=+y x ——————————————2分
(Ⅱ)假设存在实数m ，使得垂心T 在Y 轴上。

当直线斜率不存在时，设()n m A ,,则()n m B -,则有0=⋅BQ AT ,所以
()012
=-+m m n 又1222
=+n m 可解得
或32-=m 1=m （舍） 32
-
=∴m —————————————4分
当直线斜率存在时，设()t T ,0（0≠t ）
()11,y x A ，()22,y x B
设直线方程为：)(m x k y -=则QT 斜率为t -，QF AB ⊥ ,t k 1
=
∴
又AQ BT ⊥ ,∴()()0,1,1122=--⋅--y x y t x
即：122121ty x y y x x +=+ ∴
⎪
⎭⎫ ⎝⎛-+=+m t x t t x y y x x 11
122121 m x x y y x x -+=+212121————————————6分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=12)(12
2y x m x t y 消去y 可得：()
022122222=-+-+t m mx x t 0>∆ 01222>-+∴m t
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+-=+=+12212222
221221t t m x x t m x x
=21y y ))((1212m x m x t --=()1222][1222
21212+-=
++-t m m x x m x x t
————————————8分 代入可得（1≠m ）
m m m t ---=123222
23--=m ∴0132<++m m 253253--
<<+-∴m --10分
又022
>t
32
-<∴m 综上知实数m 的取值范围
32
253-≤<+-
m ——————————12分
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，若都选，则按所做的第一题记分。

22．解：（Ⅰ）∵PA 是切线，AB 是弦， ∴BAP C ∠=∠． 又∵APD CPE ∠=∠,
∴BAP APD C CPE ∠+∠=∠+∠．
∵ADE BAP APD ∠=∠+∠，AED C CPE ∠=∠+∠, ∴ADE AED ∠=∠．……………………………5分 (Ⅱ) 由（Ⅰ）知BAP C ∠=∠，又∵APC BPA ∠=∠, ∴APC ∆∽BPA ∆． ∴
PC CA
PA AB
=． ∵AC AP =, ∴APC C ∠=∠ ∴APC C BAP ∠=∠=∠．
由三角形内角和定理可知，180APC C CAP ︒∠+∠+∠=．
∵BC 是圆O 的直径，∴90BAC ∠=．∴1809090APC C BAP ︒︒︒∠+∠+∠=-=
∴190303
C APC BAP ︒︒∠=∠=∠=⨯=．
在Rt
ABC ∆中，1tan CA C AB =,
即1tan 30CA
AB
︒
=， ∴CA AB = ∴PC CA
PA AB
==． ………………………10分
23.解：（1）点P 的轨迹是上半圆：).0(1)1(22≥=+-y y x 曲线C 的直角坐标方程：10
=+y x ┈┈5分
（2）12
211max -=PQ ┈┈5分 24.解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤， ∴32a -=-，∴1a =。

┈┈┈┈5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()211f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-，
则，()124, 211212124, 22124, n 2n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩
∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞。

┈┈┈┈┈10分。