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§4.8 时钟问题
§4.8.1 时钟问题(一)
时钟与数学有很多有趣的联系，现代物理学的奠基人爱因斯坦对时钟问题曾做过专向研究，一次青年的爱因斯坦生病休息，一位朋友去探望他，看他无事就出了一道时钟问题考爱因斯坦。

这道题是：时钟的时针与分针在一昼夜中要重合多少次？各在什么准确的时刻。

爱因斯坦思考了一下，很快就做出了圆满的回答：时针与分针，一昼夜中，要重合22次，它们重合的时间分别是1点511
5分，2点11
1010分，3点11
4
16
分…… 这个问题很难吗？其实不难，它实际上是一个小学算术中圆圈追及问题。

首先，我们看一道环行跑道上追及问题的例子。

例：学校跑道长400米，甲同学的跑步速度是8米/秒，乙同学的跑步速度是6米/秒，当二人同时同地出发时，经过多少时间甲可以追上乙？ 分析：甲比乙跑得快，在环行跑道上甲追上乙，必须甲要比乙多跑一圈（400米）
解题思路：利用追及问题的基本关系式： 追及路程÷（速度差）=追及时间 列式：400÷（8—6）=200（秒） 类似地：在分针与时针比赛跑中：
分针的速度为：1（每小时在钟面上跑一圈） 时针的速度为：
121
（每小时在钟面上跑12
1圈） 故以12点整位置为起跑线，分针与时针第一次重合时刻为：
1÷（1—12
1）=1×11
12=11
11（小时）
60×11
1=11
55（分） （小时化分钟乘以60）
所以分针与时针。

第一次重合的时刻为1点11
55分。

不难得到：分针与时针第二次重合时刻为：
2÷（1—12
1）=2×11
12=11
22（小时）=2点1011
10分
类似地：分针与时针第8次重合即：
8÷（1—12
1）=8×11
12=11
88（小时）=8点4311
7分
那么第11次重合时刻是否是11点多钟呢？ 11÷（1—12
1）=11×11
12=12（小时）
这表示分钟与时针在11点——12点之间（不含整点处）不重合，第11次重合时刻就是12点整。

例1、 在3—4点之间，时针与分针几点几分重合？
分析：本题以“起跑线”的选择不同，可以有两种基本解法。

解法① 选12点处为起跑线，两针在3—4点之间重合，是时针与分针第三次重合。

3÷（1—12
1）=3×11
12=311
3点=3点1611
4分
解法② 选3点整看成时针与分针的起跑线，此时，分针落后时针4
1（圈）或15（小格）（每格代表1分钟）。

所以分针要赶上时针，必须追上15（小格）
15÷（1—12
1）=15×11
12=1611
4（分）
注意这里单位的变化与统一：
这里追及路程用钟面的小格表示，每一小格表示1分钟。

分针的速度是每分钟一小格。

时钟的速度是每分钟
12
1
小格，与前面提及的速度相同，只是单位不同而已。

当然也可以按如下公式列式：
41
÷（1—121）=4
1×11
12=11
3（点）=1611
4（分）
例2：小明清早到校时，看到学校的钟的两针如下反向成一直线。

你能准确说出这一时刻吗？
分析：我们画一个钟面图分析：
七点整作起跑线 两针成一直
线时
从图中不难发现，以七点整作起跑线，分针此时落后时针35小格（12
7圈），在两针成一条直线时，分针仍在时针后30小格（
12
1
圈） 故此题：追及路程仅5小格或
12
1
圈 解法： 5÷（1—121）=5×1112=1160=511
5（分）
结论是：分针与时针在7点511
5分时成一直线。

例3、钟表的时针与分针在5点至7点之间何时成直角？
分析：两针成直角（ 90），我们仍采用画图分析法，以5点整作为起跑线。

不难发现，本题满足两针成直角的情况有下列二解：
五点整第一次成直角第二次成直角
时针、分针相交成直角即相差15小格（或
4
1圈），而五点整时，分
针在时针后25小格（或
12
5圈）。

要使分针与时针成直角，分针要处在时针落后15格，或超前15格的两处位置。

所以第一次成直角的时刻为：
（25—15）÷（1—
12
1）=10×
11
12=
11
120=10
11
10（分）
或：（
12
5—
4
1）÷（1—
12
1）=
6
1×
11
12=
11
2（点）=10
11
10（分）
第二次成直角时，
（25+15）÷（1—
12
1）= 40×
11
12=
11
480= 43
11
7（分）
或：（
12
5+
4
1）÷（1—
12
1）=
12
8×
11
12=
11
8（点）= 43
11
7（分）
结论是分针与时针在5点10
11
10分与5点43
11
7分两次相交成直角。

1认识到这类问题可按行程问题中，在圆圈道上的追及问题处理。

2时钟两针的速度差是一个常数，即（1—12
1），并理解1与
12
1
分别代表的意义。

3正确地找出钟面的“追及路程”是解题的关键。

4要注意表示追及路程的钟面小格数（或圈数）及追上的时间，分钟数（或小时数）在单位上的前后一致。

1、将111
1点（小时）作为是时针与分针第一次重合，求出时针与分
针第16次重合是几点几分几秒？
2、在4——5点之间，时针与分针何时刻①重合 ②反向成一直线 ③两针成 45夹角？
3、在5点到6点之间时针与分针有两次成 60的夹角。

请计算着两个时刻的准确时间
1、解：16÷（1—121
）=16×1112=11
517（小时）=17点2711
3分=17点27分
1611
4秒
2、解：①重合 4÷（1—
121
）=4×11
12 =
114
4
（小时）= 4点2111
9分 ②反向成一直线 （20+30）÷（1—121）=50×1112=11654=4点11
654分
③成 45夹角 （20—721）÷（1—121）=1311
7（分）
和（20 + 721）÷（1—12
1）= 30（分）
分针与时针在4点1311
7分与4点30分两次相交成 45角。

3、解：（25—10）÷（1—121）=1611
4（分）
和（25 +10）÷（1—121）=3811
2（分）
分针与时针在5点1611
4分与5点3811
2分两次相交成 60夹角。

§4.8.2时钟问题(二)
这类问题主要是研究时针与分针的夹角的关系。

时钟的两针日夜不停地在钟面上行走，不同的时刻显示出不同的夹角。

这些夹角如何计算？如何找出它们之间的规律呢？这其实也是一个十分简单的算术问题。

分针每小时走一圈，即一个周角360度,360÷ 60 ﹦6（度／分） 请记住分针每分钟走6度。

时针每12小时走一圈，即一个周角360度，360÷12﹦30度／小时。

再记住时针每小时走30度。

下面我们一起研究几个例子。

例题解析:
例1、早上6点15分，小丽起床准备上学了。

这时时针与分针的夹角是多少度？
分析：画一个6点15分的钟表图。

不难发现分针正在15分的位置。

时钟处在六点过了一刻的位置，两针相对于12点这个起始位置（不妨把它看成角的始边）。

①分针走了6 ×15 =
90
②时针走了30 ×64
1 = 30 ×4
25 = 187.5
特别注意：时针在6点15分的位置是它相对于12点位置，行走64
1小时。

③两针之间的夹角：187.5 — 90 = 97.5
例2、中午1点50分小丽走进教室准备上课，这时时针与分钟的夹角是多少度？
解法：①分针走了多少度？
6 ×50 = 300
②时针走了多少度？
5 = 55
1点50分 =1
6
夹角是：300 — 55 =
245（想一想：计算方法错不错？算式答案对不对？）
两针夹角
180还大，再看一个1点50分的时钟图。

245比平角
不难发现上式所求的夹角应该是
245“对面”的角
245
③1点50分两针的夹角应是：
115
245 =
360—
例3、晚上8点多钟小丽上床睡觉时，分针时针正好重合在一起。

小丽想明天早上我也要在六点钟两针重合时起床。

请计算一下，这两次重合时的位置的夹角是多少度？
分析：解这道题，首先计算出两次重合处的时间，然后求出两处的时间差，再求夹角就十分方便了。

解法：结合时钟问题之一，8点多钟时两针的重合处分别为：
8÷（1—121）=8×1112
=811
8（点）
6÷（1—
121
）=6×1112=611
6（点） 时间相差：811
8
—611
6 = 2
11
2
点 两次重合之间的夹角为：30 ×211
2=30 ×11
24 = 6511
5（度）
1、分针每分钟走6
，时针每小时走30
2、计算分针与时针的夹角，最好将12点整作为角的终边。

3、除了整点钟外，时针的时刻要化成以小时为单位的分数来计算度数。

例如：3点20分 = 33
1（小时）
9点零5分 = 9
12
1
（小时） 4、求两针的夹角是指小于180 的那个角。

5、解题步骤，一般可以概括如下三句话： （ⅰ）分针走了多少度？ （ⅱ）时针走了多少度？
（ⅲ）“大度”减去“小度”，求出夹角度。

1、 时钟的时针与分针在8点18分时的夹角是多少度？
2、 时针与分针在2点45分时的夹角是多少度？
3、在8点到九点之间，时针与分针何时（几点几分）夹角为45
4、小明和小静一同做作业，他们四点多钟时开始做作业，发现此时时钟的分针与时针正好重合；恰巧他们在6点多钟把作业做完，这时正好时钟的两针又重合。

请问这两次重合时的位置的夹角是多少度？
1、解：分针每分钟走6度，时针每小时30度
6 ×18 = 108（度） 8点18分 = 8
10
3
（小时） 30×810
3 = 249（度） 249—108 = 141（度）
2、解：6 ×45 = 270（度）
2点45分 = 24
3 30×24
3= 82.5（度）
360 —（270 —82.5）= 172 .5（度） 3、解：60×
360
45 =
4
30 45 角对应的钟面4
30 = 7.5（小格）
以8点整作为起始点研究，时针在分针前40小格 （40—4
30）÷（1—
121
）=3511
5（分） 第一次成45 夹角是8点3511
5
分
（40 +4
30）÷（1 +
121
）=5111
9（分） 第二次成45 夹角是8点5111
9
分
11 4、解：4÷（1—121）=4×1112= 411
4（点） 6÷（1—121）=6×1112=6116（点） 时间相差： 6116— 4114 = 2112 点 两次重合之间的夹角为：30 ×2112 = 30 ×1124 = 65115（度）。