北京四中高考数学总复习 平面向量的数量积及应用提高

平面向量的数量积及应用
【考纲要求】
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 【知识网络】
【考点梳理】 考点一、向量的数量积 1. 定义：
已知两个非零向量r a 和r b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos θr r
a b 叫做r a 和r b 的数量积（或内积），记作⋅r r a b ，即||||cos ⋅=θr r r r
a b a b .
规定：零向量与任一向量的数量积为0. 要点诠释：
（1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与余弦值决定 . （2）在运用数量积公式解题时，一定注意两向量夹角范围0︒≤θ≤180︒.此外，由于向量具有方向性，一定要找准 θ是哪个角.
2. 平面向量的数量积的几何意义
我们规定||cos θr b 叫做向量r b 在r a 方向上的投影，当θ为锐角时，||cos θr
b 为正值；当θ为钝角时，||cos θr b 为负值；当θ=0︒时，||cos ||θ=r r b b ；当θ=90︒时，||cos 0θ=r b ；当θ=180︒时，||cos ||θ=-r r
b b .
平面向量数量积及应用
平面向量的数量积
平面向量的应用
平面向量的坐标运算
⋅r r a b 的几何意义：数量积⋅r r a b 等于r a 的长度||r a 与 r b 在r a 方向上的投影||cos θr
b 的乘积.
要点诠释：
r b 在r
a 方向上的投影是一个数量，它可正、可负，也可以等于0.
3. 性质：
（1） 0⊥⇔⋅=r r r r
a b a b
(2) 当r a 与r b 同向时，||||⋅=r r r r a b a b ；当r a 与r b 反向时，||||⋅=-r r r r a b a b .
特别地2||||⋅==r r r r ，即a a a a (3) cos ||||⋅θ=r r r r a b
a b
(4) ||||⋅≤r r r r a b a b
4. 运算律
设已知向量r a 、r b 、r
c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： (1) ⋅=⋅r r r r
a b b a (交换律) (2) ()()()λ⋅=λ⋅=⋅λr r r r r r a b a b a b
(3) ()+⋅=⋅+⋅r r r r r r r a b c a c b c
要点诠释：
①当0≠r r a 时，由0⋅=r r a b 不一定能推出0=r r b ，这是因为对任何一个与r a 垂直的向量r
b ，都有0⋅=r r a b ；当0≠r r a 时，⋅=⋅r r r r a b a
c 也不一定能推出=r r b c ，因为由⋅=⋅r r r r a b a c ，得()0⋅-=r r r
a b c ，即r a 与()-r r
b c 垂直.也就是向量的数量积运算不满足消去律.
②对于实数,,a b c ，有()()a b c a b c ⋅=⋅，但对于向量来说，()()⋅⋅=⋅⋅r r r r r r
a b c a b c 不一定相等，这是因
为()⋅⋅r r r a b c 表示一个与r c 共线的向量，而()⋅⋅r r r
a b c 表示一个与r a 共线的向量，而r a 与r c 不一定共线，所以()⋅⋅r r r a b c 与()⋅⋅r r r
a b c 不一定相等.
5. 向量的数量积的坐标运算
①已知两个非零向量11(x ,y )=r a ，22(x ,y )=r b ，那么1212x x y y ⋅=+r r
a b ；
②若(,)x y =r a ，则222,x y ⋅==+=r r r r a a a a
③若1122(,),(,)x y x y ==A B
，则AB ==u u u r AB 离公式；
④若1122(,),(,)x y x y ==r r a b ，则12120x x y y 0⊥⇔⋅=⇔+=r r r r
a b a b
6. 重要不等式
若1122(,),(,)x y x y ==r r
a b ，则||||||||-≤⋅≤r r r r r r a b a b a b
1212x x y y ⇔≤+≤ 考点二、向量的应用
（1）向量在几何中的应用
①证明线段平行，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件；
1221//x y x y 0⇔=λ⇔-=r r r r a b a b （0→
≠r b ）
②证明垂直问题，常用垂直的充要条件；
12120x x y y 0⊥⇔⋅=⇔+=r r r r
a b a b
③求夹角问题；
利用夹角公式：cos cos ,||||θ⋅=<>==⋅r r
r r r
r a b
a b a b 平面向量,r r
a b 的夹角[0]θπ∈，
④求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模==r a
或AB ==u u u r AB （2）向量在物理中的应用
①向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用； ②向量在速度的分解与合成中的应用. 【典型例题】
类型一、数量积的概念
【高清课堂：平面向量的数量积及应用401196 例4】
例1．
已知向量5(1,2),(2,4),||(),2
a b c a b c a c =--=+⋅=r r r r r r r r
若则与的夹角为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
【解析】∵2=-r r b a ，∴,r r a b 是共线向量，(1,2)+=--r r
a b
∴5()||||cos ,cos ,2
+⋅=+<+>=<+>=r r r r r r r r r r r r a b c a b c a b c a b c ，
∴1
cos ,2<+>=r r r a b c ，
∴向量+r r a b 和r c 所成角为0
60，又r a 与+r r a b 共线且方向相反，
∴向量r a 和r c 所成角为0
120，从而选项C 正确.
【总结升华】+r r a b 仍旧是一个向量，本题的关键之处就是注意到r a ，r b ，+r r
a b 是共线向量，从而将
r a 和r
c 的夹角问题进行有效的转化.
举一反三：
【变式1】已知向量r a 与r b 的夹角为120°，1,3==r r a b ，则5-=r r
a b ________
【答案】7
【解析】 222222
15(5)25102511013()3492
-=-=-⋅+=⨯-⨯⨯⨯-+=r r r r r r r r a b a b a a b b ,
∴57-=r r
a b .
【变式2】已知||2=r a , ||1=r b , r r 与a b 夹角为0
60，则向量2=+u u r r r m a b 与向量4=-r r r n a b 的夹角的
余弦值为________.
【答案】14
7-
【解析】由向量的数量积的定义，得0
||||cos 21cos 601⋅=⋅θ=⨯⨯=r r r r a b a b
∵2=+u u r r r m a b ，4=-r r r n a b ,
∴||===u u r m
||===r n
设m u u r 与n 的夹角为θ，则22(2)(4)2743⋅=+-=-⋅-=-r r r r r r m n a b a b a a b b
∴cos 14|||⋅θ===-
⋅u u r r u u r u u r m n m n | 即向量m u u r 与n r 的夹角的余弦值为14
7-.
【变式3】两个非零向量r a 、r b 互相垂直，给出下列各式：①0⋅=r r a b ；②+=-r r r r
a b a b ；③
+=-r r r r
a b a b ；④222()+=-r r r r a b a b ；⑤()()0+⋅-=r r r r a b a b . 其中正确的式子有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 【答案】B
【解析】①显然正确；由向量运算的三角形法则知+r r a b 与-r r
a b 长度相等，但方向不同，所以②错误；③正确；由向量数量积的运算律可知④正确；只有在=r r a b 时，+r r a b 与-r r
a b 才互相垂直，⑤错误，
故①③④正确，故选B.
例2. 若r a 、r b 、r c 均为单位向量，且0⋅=r r a b ，()()0-⋅-≤r r r r
a c
b
c ，则+-r r r a b c 的最大值为（ ）
A ．21-
B ．1
C ．2
D ．2
【答案】B
【解析】方法一：()()0-⋅-≤r r r r Q a c b c ，2
()0∴⋅-⋅++≤r r r r r r a b c a b c ，
又r a 、r b 、r c 均为单位向量，且0⋅=r r a b ，()1∴⋅+≥r r r
c a b ，
222222()32()321∴+-=+++⋅-⋅+=-⋅+≤-=r r r r r r r r r r r r r r
a b c a b c a b c a b c a b ，
∴+-r r r
a b c 的最大值为1.
方法二：设r a =（1，0），r b =（0，1），r c =（x ，y ），则x 2+y 2
=1， -r r a c =（1―x ，―y ），-r r b c =（―x ，1―y ），
则()()-⋅-r r r r a c b c =(1―x)(―x)+(―y)(1―y)=x 2+y 2
―x ―y=1―x ―y ≤0，即x+y ≥1.
又+-r r r
a b c =（1―x ，1―y ），
∴2222
(1)(1)(1)(1)x y x y +-=-+-=-+-r r r a b c ， ①
思路一：如图:
r
c =（x ，y ）对应点在»AB 上，而①式的几何意义为P 点到»AB 上点的距离，
其最大值为1.
思路二：2222
(1)(1)222x y x y x y +-=-+-=+--+r r r a b c
32()32()x y x y =+--=-+，
由x+y ≥1，∴321+-≤-=r r r
a b c ，最大值为1.
【总结升华】考查平面向量数量积和模的问题，特别注意有关模的问题一般采用平方解决，考查我们运用知识分析解决问题的能力. 注意方法一中的整体代换的思想，注意方法二中转换为代数运算求最值问题.
举一反三：
【变式1】若r a 、r b 、r c 均为单位向量，且0⋅=r r a b ，()()+⋅+r r r r
a b b c 的最大值为________
【答案】12+
【解析】因为r a 、r b 、r c 均为单位向量，且0⋅=r r
a b ，
设r a =（1，0），r b =（0，1），(cos ,sin )=θθr
c ,
()()(1,1)(cos ,1sin )cos 1sin 2sin()14
π
∴+⋅+=⋅θ+θ=θ++θ=θ++r r r r a b b c ,
故()()+⋅+r r r r
a b b c 的最大值为12+.
【变式2】设向量r a ，r b ，r c 满足1==r r a b ，12
⋅=-r r a b ，,60<-->=o
r r r r a c b c 则r c 的最大值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A
【解析】由12
⋅=-r r a b 得,120<>=o
r r a b ，设OA =u u u r r a ，OB =u u u r r b ，OC =u u u r r c ，则∠AOB=120°，
CA =-u u u r r r a c ，CB =-u u u r r r b c ，∵,60<-->=o r r r r
a c
b
c ，
∴∠ACB=60°，∴O 、A 、C 、B 四点共圆。

r
c 的最大值应为圆的直径2R ，在△AOB 中，OA=OB=1，∠AOB=120°，所以3AB =，由
正弦定理得22sin AB
R AOB
=
=∠. 故选A.
【变式3】已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅u u u r u u u r
的值为________; DE DC ⋅u u u r u u u r
的最大值为________.
【答案】1；1
【解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,可知||cos ||DE DA θ=u u u r u u u r
,因此2||1DE CB DA ⋅==u u u r u u u r u u u r ;||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,而||cos DE αu u u r
就是向量
DE u u u r 在DC u u u
r 边上的射影,要想让DE DC ⋅u u u r u u u r 最大,即让射影最大,此时E 点与B 点重合,射影为||DC uuu r ,所
以长度为1 .
例3. 已知平面向量αu r 、βu r （0α≠u r r ，αβ≠u r u r ）满足|βu r |=1，且αu r 与βu r ―αu
r 的夹角为120°，则|αu r |
的取值范围是________。

【答案】20,
3π⎛⎤
⎥⎝
⎦
【解析】 如图，数形结合知AB β=u r
u u u r ，AC α=u
r u u u r ，|AB|=1，C 点在圆弧上运动，∠ACB=60°，设 ∠ABC=θ，由正弦定理知||
sin 60sin AB αθ
=︒u r
，∴2323||sin 33αθ=≤u r ，当90θ=︒时，||αu r 取最大值. ∴23||0,3α⎛⎤
∈ ⎥ ⎝⎦
u r
. 【总结升华】考查平面向量数量积角度和模的问题，特别注意夹角的方向. 画出示意图，有助于分析解决问题.
举一反三：
【变式1】若(2,1)a =--r ，(,1)b k =r
，且a r 与b r 的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是（ ）。

A.），（），（∞+-2221
Y B.（2，+∞） C.），（∞+-21 D.）
，（2
1-∞- 【答案】A ；
【解析】∵a r 与b r
的夹角为钝角，
∴0b a ⋅<r r 且a r 与b r
不能反向，即210k --<且2k ≠
故1
222
∈-+∞U k （，）（，）
【高清课堂：平面向量的数量积及应用401196 例1】
【变式2】已知a ρ、b ρ都是非零向量，且a ρ+3b ρ与7a ρ-5b ρ垂直，a ρ- 4b ρ与7a ρ-2b ρ垂直，求a ρ与b ρ
的夹角θ。

【答案】3
π
【变式3】已知r a 与r
b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
12:1[0,)3p πθ+>⇔∈r r a b 22:1(,]3
p π
θπ+>⇔∈r r a b
3:1[0,)3p πθ->⇔∈r r a b 4:1(,]3
p π
θπ->⇔∈r r a b
其中的真命题是（ ）
A ．p 1，p 4
B ．p 1，p 3
C ．p 2，p 3
D ．p 2，p 4
【答案】A
【解析】∵1==r r a b ，且[0]θπ∈，，若1+>r r
a b ，则21+>r r a b , ∴2221+⋅+>r r r r a a b b ，即12
⋅>-r r a b ，
∴1cos 2||||
θ⋅==⋅>-⋅r r
r r r
r a b a b a b ， ∴20,
3πθ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
；
若1->r r a b ，同理求得12
⋅<r r a b ，
∴1cos 2θ=⋅<r r a b ，∴(,]3
π
θπ∈，故p 1，p 4正确，应选A.
类型二、数量积的综合应用
例4.设向量(4cos ,sin )αα=r a ，(sin ,4cos )ββ=r b ，(cos ,4sin )ββ=-r
c .
（1）若r a 与2-r r
b c 垂直，求tan()αβ+的值；
（2）求+r r
b c 的最大值；
（3）若tan tan 16αβ=，求证：r a ∥r
b .
【解析】（1）∵r a 与2-r r b c 垂直，∴(2)20⋅-=⋅-⋅=r r r r r r r
a b c a b a c ，即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，
∴tan()2αβ+=.
（2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-r r
b c ，
2
2222sin 2sin cos cos 16cos 32cos sin 16sin b βββββββ+=+++-+r r b c
1730sin cos 1715sin 2βββ=-=-，
∴2+r r b c 最大值为32，∴+r r
b c 的最大值为（3）证明：由tan tan 16αβ=，得sin sin 16cos cos αβαβ=，
即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=，故r a ∥r
b .
【总结升华】平面向量有几何和代数两种形式，并通过平面直角坐标系将它们联系起来，所以可以说，向量实际上是解析几何的内容，它把数形很好地结合在一起，这正是数学学习中的一个重要思想方法，因此在解决数学问题时被广泛应用.高考中，除了对平面向量本身的概念、运算加以考察外，更重要的是他与其他知识的联系，即用向量来解决代数、几何等综合问题，从而考察学生综合解决问题的能力.
举一反三：
【变式1】已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-<<r r ．
（Ⅰ）若a b ⊥r r
，求θ；
（Ⅱ）求||a b +r r
的最大值．
【解析】
（Ⅰ）若a b ⊥r r
，则sin cos 0θθ+=，
由此得tan 1()2
2π
π
θθ=--
<<
，所以4π
θ=-
；
（Ⅱ）由(sin ,1),(1,cos ),a b θθ==r r 得
||a b +==r r
当sin()14πθ+=时，||a b +r r 取得最大值，即当4
π
θ=时，||a b +r r 1.
【变式2】已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，r a =（sinB+cosB ，cosC ），r
b =（sinC ，sinB ―cosB ）. （1）若0⋅=r r
a b ，求角A ；
（2）若1
5
⋅=-r r a b ，求tan2A.
【解析】（1）由已知0⋅=r r
a b ，得(sin cos )sin cos (sin cos )0B B C C B B ++-=，
化简 sin()cos()0B C B C +-+=，
即sinA+cosA=0，tanA=－1. 而A ∈（0，π），∴34
A π=
（2）∵15
⋅=-r r a b ，
即1sin()cos()5
B C B C +-+=-， ∴1sin cos 5
A A +=-. ① 对①平方得242sin cos 25
A A =-， ∵24
025
-
< ∴(
,)2
A π
π∈，7
sin cos 12sin cos 5
A A A A -=-=
. ② 联立①②得，3sin 5A =
，4cos 5
A =-， ∴3tan 4A =-，∴32244tan 297116
A ⎛⎫⨯- ⎪
⎝⎭=
=--.
【变式3】已知|OA u u u r |＝1，|OB u u u r |＝3，OA u u u r ·OB u u u r ＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC u u u r
＝m OA u u u r ＋n OB u u u r (m ，n ∈R)，则m n
等于（ ）
A.
1
3
B ．3 C.
3
3
D.3 【答案】B
【解析】|OA u u u r |＝1，|OB u u u r |＝3，OA u u u r ·OB u u u r
＝0，
∴OA ⊥OB ，且∠OBC ＝30°，
又∵∠AOC ＝30°，∴OC u u u r ⊥AB u u u r
.
∴(m OA u u u r ＋n OB u u u r )·(OB u u u r －OA u u u r
)＝0，
∴－m OA u u u r 2＋n OB u u u r 2
＝0，
∴3n －m ＝0， 即m ＝3n ，∴m n
＝3.。