高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面向量》分类汇编及答案解析

数学《平面向量》期末复习知识要点
一、选择题
1．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．1
B ．2-
C ．
12
D ．12
-
【答案】C 【解析】 【分析】
以,BA BC u u u r u u u r
为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.
【详解】
222,,33
BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
,
11,22
AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r
,
211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r u u u r
22
111362BC BC BA BA =-⋅-u u u
r u u u r u u u r u u u r 111123622=-⨯⨯⨯=.
故选:C. 【点睛】
本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.
2．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u u
r 方向上的投影为4-，则
向量BA u u u r 与AC u u u
r 的夹角为（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
【答案】C 【解析】 【分析】
设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u u r
方向上的投影为
cos =4BD α-u u u r
，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．
【详解】
312AB AC ==，D 是AC 的中点，
则4AC =，2AD DC ==， 向量BD u u u r 在AC u u u r
方向上的投影为4-， 设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r
的夹角为θ，
则cos =4BD α-u u u r
，
∴()
cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA AC
BA AC BA AC BA AC θ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB AC
α⋅+⋅⨯+-⨯-⨯︒⨯⋅-u u u u u r u u u r u u u u r u u u r
u ur r u
， 故夹角为120°， 故选：C . 【点睛】
本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.
3．已知O 是平面上一定点，满足()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ，[0λ∈，)+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．垂心
C ．重心
D ．内心
【答案】B 【解析】 【分析】
可先根据数量积为零得出BC uuu r 与()||cos ||cos AB
AC AB B AC C
λ+u u u r
u u u r
u u u
r u u u r 垂直，可得点P 在BC 的高线
上，从而得到结论．
【详解】
Q ()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ， ∴()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C λ-=+u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ， 即()||cos ||cos AB AC
AP AB B AC C
λ=+u u u r u u u r
u u u r u u u
r u u u r ， Q cos BA BC B BA BC ⋅=u u u r u u u r u u
u r u u u r ，cos CA CB C CA CB
⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，
∴(
)0||cos ||cos AB AC
BC BC BC AB B AC C
⋅+=-+=u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴BC uuu r 与()||cos ||cos AB AC
AB B AC C
λ+u u u r u u u r
u u u
r u u u r 垂直， 即AP BC ⊥uu u r uu u r
，
∴点P 在BC 的高线上，即P 的轨迹过ABC ∆的垂心.
故选：B ． 【点睛】
本题重点考查平面向量在几何图形中的应用，熟练掌握平面向量的加减运算法则及其几何意义是解题的关键，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题.
4．如图，在ABC V 中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u v u u u v ，
1AD =u u u v ，则AC AD ⋅=u u u v u u u v
（ ）
A ．3
B 3
C 3
D 3【答案】D 【解析】
∵3AC AB BC AB =+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u v ，∴(3)3AC AD AB AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=uuu r
，
∴
33cos 3cos 33
AC AD AD AD ADB BD ADB AD u u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v
⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．
5．延长线段AB 到点C ，使得2AB BC =u u u r u u u r ，O AB ∉，2OD OA =u u u v u u u v
，则（ ）
A ．1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v
B ．5263BD OA O
C =-u u u v u u u v u u u v
C ．5163
BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v
D ．1163
BD OA OC =+u u u v u u u v u u u v
【答案】A 【解析】 【分析】
利用向量的加法、减法的几何意义，即可得答案； 【详解】
Q BD OD OB =-u u u v u u u v u u u v ，()
22123333
OB OA AC OA OC OA OA OC =+=+-=+u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
12OD OA =u u u v u u u v ，
∴1263
BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v ，
故选：A. 【点睛】
本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
6．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r
（ ）
A ．2133BA AC +u u
u r u u u r
B ．2133BA A
C -u u
u r u u u r
C ．1233BA AC +u u
u r u u u r
D ．4233
BA AC +u u
u r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】
解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，
则()()
221121332333
OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===⨯+=
++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u
u r u u u r . 故选：A.
【点睛】
本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题.
7．在ABC ∆中，5,6,7AB BC AC ===，点E 为BC 的中点，过点E 作EF BC ⊥交
AC 所在的直线于点F ，则向量AF u u u r
在向量BC uuu r 方向上的投影为（ ）
A ．2
B ．
32
C ．1
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
由1()2
AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， EF BC ⊥，得12AF BC ⋅=u u u r u u u r
，然后套用公式
向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影||
AF BC
BC ⋅=u u u r u u u r
u u u r ，即可得到本题答案. 【详解】
因为点E 为BC 的中点，所以1()2
AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
又因为EF BC ⊥，
所以()
22111()()()12222
AF BC AB AC BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=+⋅-=
-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ， 所以向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影为2||
AF BC
BC ⋅=u u u r u u u r
u u u r . 故选：A. 【点睛】
本题主要考查向量的综合应用问题，其中涉及平面向量的线性运算及平面向量的数量积，主要考查学生的转化求解能力.
8．已知点1F ，2F 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左，右焦点，过原点O 且倾斜
角为60°的直线l 与椭圆C 的一个交点为M ，且1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
，则椭圆C
的离心率为（ ）
A 1
B ．2
C ．
1
2
D ．
2
【答案】A 【解析】 【分析】
由1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，在12Rt MF F V 中，求出2MF ，1MF ，
,a c 的关系，求出离心率可得选项. 【详解】
将1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，即
12121
||2
MF MF OM F F c ⊥=
=，.
又60MOF ∠=︒，∴2MF c =，1MF =，∴2a c =+，∴1c
e a
=
=. 故选:A. 【点睛】
考查了向量的数量积,椭圆的定义，离心率的求法,关键在于得出关于,a c 的关系，属于中档题.
9．已知平面向量,,a b c r r r
满足()
()
2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（ ）
A ．
2
B ．
2
C
D ．
1
2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，易知a r 与b r
的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由
()()
21a c b c -⋅-=r r r r
，可得221202
x y x +-+=，所以原问题等价于，圆
221
202
x y x +-+
=上一动点与点()20，
之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】
因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r
的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，
(),c x y =r
，
因为()()
21a c b c -⋅-=r r r r ，所以22
1202
x y x +-+=，
又b c -=r r
所以原问题等价于，圆22
1
202
x y x +-+=上一动点与点()20，
之间距离的最小值，
又圆2
2
1202x y x +-+
=的圆心坐标为12⎛ ⎝⎭
，，所以点()20，与圆
221
202
x y x +-+
=上一动点距离的最小值为
22=.
故选：A. 【点睛】
本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．
10．平面向量a →与b →
的夹角为π3
，()2,0a →
=，1b →=，则2a b →→-=（ ）
A
．B
C ．0
D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的模的计算和向量的数量积的运算即可求出答案. 【详解】
()2,0a →
=Q ，
||2a →
∴=
2
2
222(2)||4||444421cos 43
a b a b a b a b π
→
→→
→
∴-=-=+-⋅=+-⨯⨯⨯=r r r r ，
|2|2a b ∴-=r r
，
故选：D 【点睛】
本题考查了向量的模的计算和向量的数量积的运算，属于中档题.
11．已知向量(1,2)a =v ，(3,4)b =-v ，则a v 在b v
方向上的投影为
A
B
．
2
C ．1 D
．
5
【答案】C 【解析】 【分析】
根据a v
在b v
方向上的投影定义求解. 【详解】
a v 在
b v 方向上的投影为(1,2)(3,4)381(3,4)5a b b
⋅⋅--+=
==-r
r r ， 选C. 【点睛】
本题考查a v
在b v
方向上的投影定义，考查基本求解能力.
12．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2-3b 2=2ac ，BA u u u r ⋅BC uuu
r =2，则△ABC 的面积为（ ） A ．2 B ．
3
2
C ．22
D ．42
【答案】C 【解析】 【分析】
利用余弦定理求出B 的余弦函数值，结合向量的数量积求出ca 的值，然后求解三角形的面积． 【详解】
在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2﹣3b 2＝2ac ，
可得cosB 222123a c b ac +-==，则sinB 22
=
， BA u u u r ⋅BC =u u u
r 2，可得cacosB ＝2，则ac ＝6，
∴△ABC 的面积为：11226223
acsinB =⨯⨯=22． 故选C ． 【点睛】
本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力．
13．如图，在ABC V 中，已知D 是BC 边延长线上一点，若2B C C D =u u u v u u u v
，点E 为线段
AD 的中点，34
AE AB AC λ=+u u u v u u u v u u u v
，则λ=（ ）
A ．
1
4
B ．14
-
C ．
13
D ．13
-
【答案】B 【解析】 【分析】
由12AE AD =u u u r u u u r ，AD BD BA =-u u u r u u u r u u u r ，AC BC BA =-u u u
r u u u r u u u r ，32
BD BC =u u u r u u u r ，代入化简即可得出．
【详解】 13,,,22
AE AD AD BD BA BD BC BC AC AB ==-==-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，带人可得
()
131322
44AE AC AB AB AB AC ⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，可得14λ=-，
故选B. 【点睛】
本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3BAC π
∠=，若23
BD BC =u u u v u u u v ，则AD BD ⋅=
u u u v u u u v （ ）
A ．
229
B ．229
-
C ．
169
D ．89
-
【答案】A 【解析】 【分析】
本题主要是找到两个基底向量AB u u u v ，AC u u u v ，然后用两个基底向量表示AD u u u v ，BD u u u v
，再通过向量的运算即可得出结果． 【详解】
解：由题意，画图如下：
则：()
22223333
BD BC AC AB AB AC ==
-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u
v u u u v ， 2233AD AB BD AB AB AC =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1233
AB AC =+u u u v u u u v .
∴12223333AD BD AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
22242999
AB AC AB AC =-⋅+⋅-⋅⋅u u u
v u u u v u u u v u u u v
24249cos 999
AB AC BAC =-⋅+⋅-⋅⋅⋅∠u u u
v u u u v
82423cos 993
π=-+-⋅⋅⋅
229
=
.
故选A ． 【点睛】
本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．
15．如图，两个全等的直角边长分别为
1,3的直角三角形拼在一起，若
AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则λμ+等于（ ）
A 323
-+ B 323
+ C 31 D 31+
【答案】B 【解析】 【分析】
建立坐标系，求出D 点坐标，从而得出λ，μ的值． 【详解】
解：1AC =Q ，3AB =
30ABC ∴∠=︒，60ACB ∠=︒，
以AB ，AC 为坐标轴建立坐标系，则13,12D ⎛+ ⎝⎭
． )
3,0AB =u u u r
，()0,1AC =uu u r ，
∴13,12AD ⎛=+ ⎝⎭
u u u r ． Q AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，
∴1323
1λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴36312λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，
231λμ∴+=+
．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．
16．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v
（ ）
A ．3155
AB AC +u u u v u u u v B ．
2155AB AC +u u u v u u u v C ．481515
AB AC +u u u v u u u v D ．841515AB AC +u u u v u u u v 【答案】D
【解析】
【分析】 设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得
cos DAE ∠，由此得到45
AF AD =u u u r u u u r ，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45
AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r 为基底来表示的形式. 【详解】
设6BC =，则32,2AB AC BD DE EC =====，
22π2cos 4
AD AE BD BA BD BA ==+-⋅⋅10=，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45
AF AD =u u u r u u u r . 因为()
1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u u r u u u r ，
所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：D
【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.
17．已知向量(sin ,cos )a αα=r ，(1,2)b =r ， 则以下说法不正确的是（ ）
A ．若//a b r r ，则1tan 2α=
B ．若a b ⊥r r ，则1tan 2
α= C ．若()f a b α=⋅r r 取得最大值，则1tan 2
α=
D ．||a b -r r
1 【答案】B
【解析】
【分析】 根据向量平行、垂直、模以及向量的数量积的坐标运算即可判断.
【详解】
A 选项，若//a b r r ，则2sin cos αα=，即1tan 2α=，A 正确.
B 选项，若a b ⊥r r ，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确.
C 选项，若()f a b α=⋅r r
取得最大值时，则())f ααϕ=+，取得最大值时，
()sin 1αϕ+=，2,2k k Z παϕπ+=
+∈，又tan 2ϕ=，则1tan 2α=，则C 正确. D 选项，
||a b -==r r
的最大值为1=，选项D 正确.
故选：B .
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，以及模的求法，掌握向量平行、垂直、数量积的坐标运算是解题的关键，是基础题.
18．已知向量OA u u u r 与OB uuu r 的夹角为θ，2OA =u u u r ，1OB =uu u r ，=u u u r u u u r OP tOA ，
()1OQ t OB =-u u u r u u u r ，PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，则当0105
t <<时，夹角θ的取值范围为（ ）
A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．20,3π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
【答案】C
【解析】
【分析】 根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，
()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ，根据二次函数的最值可得出
012cos 54cos t θθ
+=
+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围. 【详解】 因为2cos OA OB θ⋅=u u u r u u u r ，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ， ∵PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ
+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5
θθ+<
<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤， 所以223
ππθ<<， 故选：C.
【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题.
19．已知,A B 是圆22
:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v ，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v （ ） A
．8+B
．8-C ．12 D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】 由题意1122
OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，则22521151133226
32OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又圆的半径为4，4AB =uu u r ，则,OA OB u u u r u u u r 两向量的夹角为π3．则8OA OB ⋅=u u u v u u u v ，2216OA OB ==u u u v u u u v ，所以12OC OM ⋅=u u u r u u u u r ．故本题答案选C ．
点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先
选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.
20．已知向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r 的起点均为原点，而终点依次对应点A ，B ，线段AB 边上的点P ，若OP AB ⊥u u u r u u u r ，OP xa yb =+u u u r r r ，则x ，y 的值分别为（ ）
A ．
15，45
B ．43，13-
C ．45，15
D ．13-，43 【答案】C
【解析】
【分析】 求得向量5(,5)2OP x y =u u u r ，5(,5)2
AB b a =-=-u u u r r r ，根据OP AB ⊥u u u r u u u r 和,,A B P 三点共线，列出方程组，即可求解.
【详解】 由题意，向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r ，所以5(,5)2
OP xa yb x y =+=u u u r r r ， 又由5(,5)2
AB b a =-=-u u u r r r ， 因为OP AB ⊥u u u r u u u r ，所以252504
OP AB x y ⋅=-+=u u u r u u u r ，可得4x y =， 又由,,A B P 三点共线，所以1x y +=， 联立方程组41
x y x y =⎧⎨
+=⎩，解得41,55x y ==. 故选：C .
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算和向量共线定理的应用，着重考查了运算与求解能力.。