竖直平面运动

竖直平面内的圆周运动的临界问题
竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。

一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。

临界问题的分析方法：首先明确物理过程，正确对研究对象进行受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出临界值。

１．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。

（注意：绳对小球只能产生拉力）
（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用
mg =
2
v
m
R⇒v临界=Rg
（2）小球能过最高点条件：v ≥
Rg（当v >Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）（3）不能过最高点条件：v <
Rg
（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况
（注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。

）
（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg（F为支持力）
（2）当0< v <
Rg时，F随v增大而减小，且mg > F > 0（F为支持力）
（3）当v =Rg
时，F=0
（4）当v >Rg
时，F随v增大而增大，且F >0（F为拉力）
【案例剖析】
例1．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，
再给小球一水平初速度0v，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下
列说法中正确的是（）
A．球过最高点时，速度为零 B．球过最高点时，绳的拉力为mg
C．开始运动时，绳的拉力为
2
v
m
L D．球过最高点时，速度大小为Lg
解析：开始运动时，由小球受的重力mg和绳的拉力F的合力提供向心力，即
2
v
F mg m
L
-=
，
2
v
F m mg
L
=+
，可见C不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，
2
v
mg m
L
=
，v Lg
=，
所以，A、B、C均不正确。

故选：D
例2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端
O为圆心，使小球做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是（）
A．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零
B．球过最高点时，最小速度为
Rg
C．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反
D．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力
解析：小球用轻杆支持过最高点时，
v=
临，故B不正确；当
v Rg
=
时，F = 0故A正
确。

当0< v <Rg时，mg > F > 0，F为支持力故D正确。

当v >Rg时，F >0，F为拉
力，故C不正确。

故选：A、D
例3．绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m = 0.5kg，绳长L = 40cm，
求：（１）为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？
（２）桶在最高点速率v = 3m/s时，水对桶底的压力？
解析：（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需的向心力。

即：
2
v
mg m
R
≤
，则最小速率00.410
v Rg
==⨯m/s = 2m/s
v
·绳
图
v
a b
v
O
杆
图
b
a
O
图
（2）水在最高点速率大于v0 时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，
设为F ，由牛顿第二定律有F + mg =2
v m R ， F = 2v m R -mg = 6.25N ，由牛顿第三定律知，水对桶
底的作用力F/ ＝F = 6.25N ，方向竖直向上。

【知识链接】
如图6-11-4所示，地球可以看作一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球半径R （约为6400km ）。

地面上有一辆汽车，重量是G = mg ，地面对它的支持力是F 。

汽车沿南北方向行驶，不断加速。

根据上面的分析，汽车速度越大，地
面对它的支持力就越小，会不会出现这样的情况：速度 大到一定程度时，地面对车的支持力是零？这时驾驶员
与座椅之间的压力是多少？驾驶员身体各部分之间的压
力是多少？他这时可能有什么感觉？（g 取10m/s ２
）
【目标达成】
1．如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O 在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F 表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F 可能 （ ） A ．是拉力 B ．是推力 C ．等于零
D ．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零 解析：到最高点临界速度为
v Rg
=
临，当
v v =临界
时，F ＝0；当
v v >临界
时，F 为拉力。

故选：A 、
C
2．（1999年 全国）如图6-11-6所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的
作用力可能是 （ ） A ．a 处为拉力，b 处为拉力
B ．a 处为拉力，b 处为推力
C ．a 处为推力，b 处为拉力
D ．a 处为推力，b 处为推力
解析：小球到最低点时，向心力向上，此时细杆的作用力与小球的重力的合力提供向心力，细杆作用力向上，一定为拉力；当到最高点时，向心力向下，当0v Rg ≤<时，F mg <向，此时为推力，
当v Rg >
，F mg >向，此时为拉力。

故选：A 、B
3．长为L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端与光滑的水平轴相连。

现给小球一个初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点时的速度为v ，则下列叙述正确的是 （ ）
A ．v 的最小值为gL
B ．v 由零逐渐增大，向心力也逐渐增大
C ．v 由零逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大
D ．v 由gL 逐渐减小，杆对小球的弹力逐渐增大
解析：这是“杆模型”，小球到最高点速度0v ≥， A 错；由
2
v F m
L =向得，v 增大，F 向增大， B 对；当0< v <Lg 时，弹力F 随v 减小而增大（F 为支持力），当v >Lg 时，F 随v 增大而增大（F 为拉力）, C 错，D 对。

故选：B 、D
4．质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v 的速度经过最高点时，对轨道的压力是 （ ） A ．0 B ．mg C ．3mg D ．5mg
解析：到最高点临界速度为v ，则：
2
v mg m
R =；当速度为2v 时，则：2
(2)v F mg m R +=（F 为压力）；由上两式解得：F = 3mg 。

故选：C
5．长为L 的细绳一端拴一质量为m 的小球，小球绕细绳另一固定端在竖直平面内做圆周运动并恰能通过最高点，不计空气阻力，设小球通过最低点和最高点时的速度分别为
1
v 和
2
v ，
细线所受拉力分别为1
F 、
2
F ，则 （ ）
A ．
1
v =5gL B ．2v = 0 C ． 1F = 5mg D ．2F
= 0
解析：小球恰能通过最高点，细线拉力2F = 0，有
2
2v mg m
L =，得2v =gL ；由机械能守恒得：22
1211222mv mg L mv =+，解得：1v =5gL ；通过最低点时，有
211v F mg m L -=，解得
16F mg
=。

故选：A 、D
6．质量可忽略，长为L 的轻棒，末端固定一质量为m 的小球，要使其绕另一端点在竖直平
面内做圆周运动，那么小球在最低点时的速度v 必须满足的条件为 （ ） A ．v ≥
2gL B ．v ≥3gL C ．v ≥2gL D ．v ≥5gL
图6-11-4
地球可以看作一个巨大的拱形桥 O 图 a O · b
图
解析：小球到最高点速度1v ≥0，由机械能守恒得：22
111222mv mg L mv =+，解得：v ≥2
gL 。

故选：C
7．如图6-11-7所示，一个高为h 的斜面，与半径为R 的圆形轨道平滑地连接在一起。

现有一小球从斜面的顶端无初速地滑下，若要使小球通过圆形轨道的顶端B 而不落下，则斜面的高度h 应为多大？
解析：小球到达顶端B 速度为v ，则：
2
2
v mg m
R ≤
解得：v ≥
Rg ，由机械能守恒得：
2122mgh mg R mv =+
解得：
5
2h R
≥ 8．如图6-11-8所示，杆长为L ，杆的一端固定一质量为m 的小球，杆的质量忽略不计，整个系统
绕杆的另一端O 在竖直平面内作圆周运动，求： （1）小球在最高点A 时速度
A
v 为多大时，才能使杆对小球m 的作用力为零？
（2）小球在最高点A 时，杆对小球的作用力F 为拉力和推力时的临界速度是多少？ （3）如m = 0.5kg, L = 0.5m,
A
v = 0.4m/s, 则在最高点A 和最低点B 时, 杆对小球m 的作用力
各是多大? 是推力还是拉力?
解析： (1) 若杆和小球之间相互作用力为零，那么小球作圆
周运动的向心力由重力mg 提供，
2
A
mv mg L =
解得：A v Lg =
(2) 若小球m 在最高点A 时受拉力F ，则
21
v F mg m
L += 解得
1FL
v gL Lg
m
=+
>
若小球m 在最高点A 时受推力F ，则
2
2v mg F m
L -= 解得：2FL
v Lg Lg
m
=-<
可见
A v Lg =是杆对小球m 的作用力F 在推力和拉力之间突变的临界速度.
(3) 杆长L = 0.5m 时，临界速度
0.510
v Lg ==⨯临m/s =2.2 m/s ，
A
v = 0.4m/s <
v 临
,
杆对小球有推力A
F 。

由
2
A A v mg F m L -= 解得： 2A A v F mg m L =-＝（2
0.50.40.5100.5⨯⨯-
）N = 4.84N ，由A 到B 只有重力做功，机械能守恒，设B 点所处水平面为参考面，则有22
11
222A B mv mg L mv += 解得：
2240.44100.5
B A v v gL =+=+⨯⨯m/s = 4.5m/s ，在最低点B ，小球m 受拉力
B
F ，
由2B B v F mg m L -=解得22
0.5 4.5(0.510)
0.5B B v F mg m L ⨯=+=⨯+N = 25.3N
【拓展提高】
9．如图6-11-9所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD ，其A 点与圆心等高，D 点为轨道最高点，DB 为竖直线，AC 为水平线，AE 为水
平面，今使小球自A 点正上方某处由静止释放，且从A 点进入
圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终
通过最高点D ，则小球在通过D 点后 （ ） A ．会落到水平面AE 上 B ．一定会再次落到圆轨道上
C ．可能会落到水平面AE 上
D ．可能会再次落到圆轨道上
解析：小球刚好能过最高点时速度v =
Rg ，离开D 后作平抛运动，下落高度为R 时间为
t =2R
g ，水平位移x = vt =2R >R ，所以，小球一定落在AE 上。

故选：A
10．如图6-9-10所示，半径为R ，内径很小的光滑半圆管竖直放
置，AB 段平直，质量为m 的小球以水平初速度0
v 射入圆管。

（1）若要小球能从C 端出来，初速度
v 多大？
（2）在小球从C 端出来瞬间，对管壁压力有哪
A
图
O
A v
B
h A C D E 图6-11-9 C B R
A
图
6-11-10
h
图
B
几种典型情况，初速度
v 各应满足什么条件？
解析：（1）小球恰好能达到最高点的条件是
v 临＝，此时需要初速度为
v ，由机械能守恒 ：
201
2R 2mv mg ＝ 得04v Rg =, 因此要使小球能从C 端出来需C 0v >，故入射速度0
4v Rg > （2）小球从C 出来端出来瞬间，对管壁压力可以有三种典型情况：
①刚好对管壁无压力，此时重力恰好充当向心力，由圆周运动知识 2
C
v
mg m R =由机械能守恒定律：22
0C 11
2+22mv mg R mv ＝ 联立解得0
5v gR = ②对下管壁有压力，此时应有
2
C v mg m
R >，相应的入射速度0v 应满足045gR v gR << ③对上管壁有压力，此时应有
2
C
v mg m
R <，相应的入射速度0v 应满足05v gR >
匀速圆周运动典型问题剖析
匀速圆周运动问题是学习的难点，也是高考的热点，同时它又容易和很多知识综合在一起，形成能力性很强的题目，如除力学部分外，电学中“粒子在磁场中的运动”涉及的很多问题仍然要用到匀速圆周运动的知识，对匀速圆周运动的学习可重点从两个方面掌握其特点，首先是匀速圆周运动的运动学规律，其次是其动力学规律，现就各部分涉及的典型问题作点滴说明。

（一）运动学特征及应用
匀速圆周运动的加速度、线速度的大小不变，而方向都是时刻变化的，因此匀速圆周运动是典型的变加速曲线运动。

为了描述其运动的特殊性，又引入周期（T ）、频率（f ）、角速度（ω）等物理量，涉及的物理量及公式较多。

因此，熟练理解、掌握这些概念、公式，并加以灵活选择运用，是我们学习的重点。

（二）动力学特征及应用
物体做匀速圆周运动时，由合力提供圆周运动的向心力且有
2
22)2(T mr mr r v m ma F F π
ω=====向向合 方向始终指向圆心
1. 基本概念及规律的应用
[例4] 如图3所示，质量相等的小球A 、B 分别固定在轻杆的中点和端点，当杆在光滑水平面上绕O 点匀速转动时求杆OA 和AB 段对球A 的拉力之比。

解析：隔离A 、B 球进行受力分析，如图3所示。

因A 、B 两球角速度相同，设为ω，选用
公式
r
m F 2ω=向，并取指向圆心方向为正方向，则 对A 球：
OA
L m F F 221ω=- ①
O
F 1A B
F 2F 2
对B 球：
OB
L m F 22ω= ② ①②两式联立解得
2
3
21=F F
点评：向心力
向
F 是指做匀速圆周运动物体受到的合力，而不一定是某一个力，要对物体进
行正确的受力分析。

点评：①“向心力始终指向圆心”可以帮助我们合理处理物体的受力；② 根据问题讨论需要，解题时要合理选择向心力公式。

2. 轨迹圆（圆心、半径）的确定 [例6] 甲、乙两名滑冰运动员，
kg
M 80=甲，
kg
M 40=乙，面对面拉着弹簧秤做匀速圆
周运动的滑冰表演，如图5所示，两人相距0.9m ，弹簧秤的示数为9.2N ，下列判断中正确的是（ ）
A. 两人的线速度相同，约为40m/s
B. 两人的角速度相同，为6rad/s
C. 两人的运动半径相同，都是0.45m
D. 两人的运动半径不同，甲为0.3m ，乙为0.6m
甲
乙
图5
解析：甲、乙两人做圆周运动的角速度相同，向心力大小都是弹簧的弹力，则有
乙
乙甲甲r M r M 22ωω=即
乙
乙甲甲r M r M =且
m
r r 9.0=+乙甲，
kg
M 80=甲，
kg
M 40=乙解得m
r 3.0=甲，
m
r 6.0=乙
由于
甲
甲r M F 2ω=
所以
)/(62.03
.0802.9s rad r M F
=⨯==
甲甲ω
而r v ω=，r 不同，v 不同。

所以答案选D 。

点评：有些匀速圆周运动的轨迹圆是比较“隐蔽”的，一旦理解错误，就会给解题带来麻烦，如本题中两人做匀速圆周运动的半径并不是两人的间距，例2中A 、B 做圆周运动的圆心并不是圆环的中心O 等。

3. 联系实际问题
[例7] 司机开着汽车在一宽阔的马路上匀速行驶突然发现前方有一堵墙，他是刹车好还是转弯好？（设转弯时汽车做匀速圆周运动，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。

） 解析：设汽车质量为m ，车轮与地面的动摩擦因数为μ，刹车时车速为
v ，此时车离墙距离为
s ，
为方便起见，设车是沿墙底线的中垂线运动。

若司机采用刹车，车向前滑行的距离设为s ，则
==g v s μ220常数，若司采取急转弯法，则R v m mg 20
=μ（R 是最小转弯半径），s g v R 220
==μ。

讨论： （1）若R
s >0，则急刹车或急转弯均可以；
（2）若
s
s R >>0，则急刹车会平安无事，汽车能否急转弯与墙的长度和位置有关，如图6所示，
质点P 表示汽车，AB 表示墙，若墙长度R l 2<，如图6，)cos (2θR R l -=，则墙在AB 和CD 之间任一位置上，汽车转弯同样平安无事； （3）若
s
s <0，则不能急刹车，但由（2）知若墙长和位置符合一定条件，汽车照样可以转弯。

点评：利用基本知识解决实际问题的关键是看能否将实际问题转化为合理的物理模型。

θ
R C
P A
B
D
图6
三. 匀速圆周运动的实例变形
课文中的圆周运动只有汽车过桥和火车转弯两个实例，而从这两个实例可以变化出很多模型。

试分析如下：
（一）汽车过桥
原型：汽车过凸桥
如图1所示，汽车受到重力G 和支持力FN ，合力提供汽车过桥所需的向心力。

假设汽车过桥的速度为v ，质量为m ，桥的半径为r ，
r mv F G N 2
=
-。

F N
G
图1
分析：当支持力为零时，只有重力提供汽车所需的向心力，即
r mv G 2
=
，gr v =0 1. 当汽车的速度0
v v >，汽车所受的重力G 小于过桥所需的向心力，汽车过桥时就会离开
桥面飞起来。

2. 当汽车的速度
v v =，汽车所受的重力G 恰好等于过桥需要的向心力，汽车恰好通过桥
面的最高点。

)
,(02
gr v r mv G ==
3. 当汽车的速度
v v <，汽车所受的重力G 大于所需的向心力，此时需要的向心力要由重
力和支持力的合力共同来提供。

)
(2
r mv F G N =- 因此，汽车过凸桥的最大速度为
gr 。

模型一：绳拉小球在竖直平面内过最高点的运动。

如图2所示，小球所受的重力和绳的拉力的合力提供小球所需的向心力，即
r v m
F mg T 2
=+。

v G F T
分析：当绳的拉力为零时，只有重力提供小球所需的向心力，即
r mv G 20
=
，gr v =0 1. 当小球的速度
v v >，物体所受的重力G 已不足以提供物体所需的向心力。

不足的部分将由小球
所受的绳的拉力来提供，只要不超过绳的承受力，已知物体的速度，就可求出对应的拉力。

)
(2
r v m F mg T =+
2. 当小球的速度0v v =，物体所受的重力G 刚好提供物体所需的向心力。

)
,(020
gr v r mv G ==
3. 当小球的速度
v v <，物体所受的重力G 大于所需的向心力，此时小球将上不到最高点。

因此，绳拉小球在竖直平面内过最高点时的最小速度为
gr v =0。

实例：翻转过山车
如图3所示：由于过山车在轨道最高点所受的力为重力和轨道的支持力，故分析方法与模型一类似。

请同学们自己分析一下。

G
F N
图3
模型二：一轻杆固定一小球在竖直平面内过最高点的运动。

如图4所示，物体所受的重力和杆对球的弹力的合力提供物体所需的向心力，即
r v m
F mg T 2
=- v
F T
G
图4
分析：当杆对球的弹力为零时，只有重力提供小球所需的向心力，即
r mv G 20
=
，gr v =0
1. 当小球的速度
v v >，物体所受的重力G 已不足以提供物体所需的向心力。

不足的部分
将由小球所受的杆的拉力来提供。

（此时杆对小球的弹力为向下的拉力，参考图3）。

已知
物体的速度，就可求出对应的拉力。

)
(2
r v m F mg T =+ 2. 当小球的速度
v v =，物体所受的重力G 刚好提供物体所需的向心力。

)
,(020
gr v r mv G ==
3. 当小球的速度
v v <，物体所受的重力G 大于所需的向心力，多余的部分将由杆对小球
的支持力来抵消。

（此时杆对小球的弹力为向上的支持力）。

)
(2
r v m F mg T =- 4. 当小球的速度0=v ，物体所受的重力G 等于杆对小球的支持力。

)(T F mg =
因此，一轻杆固定一小球在竖直平面内过最高点的最小速度为0。

（二）火车转弯 原型：火车转弯
如图5所示，火车在平直的轨道上转弯，将挤压外轨，由外轨给火车的弹力提供火车转弯所需的向心力，这样久而久之，将损坏外轨。

图5
故火车转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车的支持力FN 的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力的合力指向圆心，提供火车转弯所需的向心力（如图6所示）。

这就减轻了轮缘与外轨的挤压。

θ
G
F
F N
图6
分析：当火车的速度为
v 时，火车所需的向心力全部由重力和支持力的合力来提供，即
r v m
mg 20
tan =θ，θtan 0gr v =。

1. 若火车的速度0v v >，将挤压外轨；
2. 若火车的速度
v v <，将挤压内轨。

模型一：圆锥摆
小球所需的向心力由重力和绳的拉力的合力来提供（如图7所示）
θ
F T
G
F
图7
模型二：小球在漏斗中的转动
小球所需的向心力由重力和漏斗的支持力的合力来提供（如图8所示）
θ
F
F N
G
图8
四. 匀速圆周运动的多解问题
匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动。

由于这两种运动是同时进行的，因此，依据等时性建立等式来解待求量是解答此类问题的基本思路。

特别需要提醒同学们注意的是，因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在表达做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，以下几例运算结果中的自然数“n ”正是这一考虑的数学化。

[例1] 如图1所示，直径为d 的圆筒绕中心轴做匀速圆周运动，枪口发射的子弹速度为v ，并沿直径匀速穿过圆筒。

若子弹穿出后在圆筒上只留下一个弹孔，则圆筒运动的角速度为多少？
v
ω
图1
解析：子弹穿过圆筒后做匀速直线运动，当它再次到达圆筒壁时，若原来的弹孔也恰好运动到此处。

则圆筒上只留下一个弹孔，在子弹运动位移为d 的时间内，圆筒转过的角度为
ππ+n 2，其中 3,2,1,0=n ，即ωππ+=
n v d 2。

解得角速度的值
v d n π
πω+=
2， 3,2,1,0=n
[例2] 质点P 以O 为圆心做半径为R 的匀速圆周运动，如图2所示，周期为T 。

当P 经过图中D 点时，有一质量为m 的另一质点Q 受到力F 的作用从静止开始做匀加速直线运动。

为使P 、Q 两质点在某时刻的速度相同，则F 的大小应满足什么条件？
A
B
O C
D
Q
F
ω
图2
解析：速度相同包括大小相等和方向相同，由质点P 的旋转情况可知，只有当P 运动到圆周上的C
点时P 、Q 速度方向才相同，即质点P 转过
)
43(+n 周)3,2,1,0( =n 经历的时间)3,2,1,0()43( =+=n T n t ① 质点P 的速率
T R
v π2=
② 在同样的时间内，质点Q 做匀加速直线运动，速度应达到v ，由牛顿第二定律及速度公式得t m F
v =
③
联立以上三式，解得
)
3,2,1,0()34(82
=+=
n T n mR
F π
[例3] 如图3所示，在同一竖直平面内，A 物体从a 点开始做匀速圆周运动，同时B 物体从圆心O
处自由落下，要使两物体在b 点相遇，求A 的角速度。

ω
A
B O b
a
图3
解析：A 、B 两物体在b 点相遇，则要求A 从a 匀速转到b 和B 从O 自由下落到b 用的时间相等。

A 从a 匀速转到b 的时间T n t )43(1+=)
3,2,1,0(2)43( =+=n n ωπ
B 从O 自由下落到b 点的时间
g R t 22=
由21t t =，解得
)3,2,1,0(2)
4
3(2 =+=n R g
n πω
[例4] 如图4，半径为R 的水平圆盘正以中心O 为转轴匀速转动，从圆板中心O 的正上方h
高处水平抛出一球，此时半径OB 恰与球的初速度方向一致。

要使球正好落在B 点，则小球的初速度及圆盘的角速分别为多少？
O
v 0
h
B
图4
解析：要使球正好落在B 点，则要求小球在做平抛运动的时间内，圆盘恰好转了n 圈（ 3,2,1=n ）。

对小球
221gt h =
① t v R 0= ②
对圆盘)3,2,1(2 ==n t n ωπ ③
联立以上三式，解得
)3,2,1(2 ==n h g n π
ω
h g
R v 20= 【模拟试题】
一. 选择题（在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 做匀速圆周运动的物体的加速度恒定
B. 做匀速圆周运动的物体所受合外力为零
C. 做匀速圆周运动的物体的速度大小是不变的
D. 做匀速圆周运动的物体处于平衡状态
2. 如图1所示，把一个长为20cm ，系数为360N/m 的弹簧一端固定，作为圆心，弹簧的另一端连接
一个质量为0.50kg 的小球，当小球以min
/360
r π
的转速在光滑水平面上做匀速圆周运动时，弹簧
的伸长应为（ ）
A. 5.2cm
B. 5.3cm
C. 5.0cm
D. 5.4cm
O
m
图1
3. 一圆盘可以绕其竖直轴在图2所示水平面内转动，圆盘半径为R 。

甲、乙物体质量分别是M 和m （M>m ），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为)(R L L <的轻绳连在一起。

若将甲物体放在转轴位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘间不发生相对滑动，则转盘旋转角速度的最大值不得超过（两物体均看作质点）（ ）
A.
mL g
m M )(-μ B.
ML
g
m M )(-μ
C.
ML g
m M )(+μ D.
mL
g
m M )(+μ
ω
M
m
图2
4. 如图3所示，一个球绕中心线O O '以ω角速度转动，则（ ） A. A 、B 两点的角速度相等 B. A 、B 两点的线速度相等
C. 若︒=30θ，则2:3:=B A v v
D. 以上答案都不对
ω
O ′θ
A B
O
图3
5. 一圆盘可绕圆盘中心O 且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一小木块A ，它随圆盘一起运动（做匀速圆周运动），如图4所示，则关于木块A 的受力，下列说法正确的是（ ）
A. 木块A 受重力、支持力和向心力
B. 木块A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
C. 木块A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D. 木块A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同
O
A
图4
6. 如图5所示，质量为m 的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动。

圆半径为R ，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时（ ） A. 小球对圆环的压力大小等于mg B. 小球受到的向心力等于重力mg C. 小球的线速度大小等于
gR
D. 小球的向心加速度大小等于g。