2014年陕西省名校中考数学试题A(含答案)

2014年陕西省名校中考数学试题A(含答案)
第I卷（选择题共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1、零上13℃记作+13℃，零下2℃可记作（）
A．2 B．－2 C．2℃D．－2℃
2、如图，这个几何体的主视图是（）
3、一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
4、把不等式组
x31
5x6
-
⎧
⎨
⎩
＜－
－＜
的解集表示在数轴上，正确的是（）
5、在“爱的奉献”抗震救灾大型募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款。

其中8位工作者的捐款分别是5万，10万，10万，10万，20万，20万，50万，100万。

这组数据的众数和中位数分别是（）
A．20万、15万B．10万、20万C．10万、15万D．20万、10万
6、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
7、方程2
x29
-=
（）的解是（）
A．
12
x5 x1
==-
，B．
12
x5 x1
=-=
，
C．
12
x11 x7
==-
，D．
12
x11 x7
=-=
，
8、如图，直线AB对应的函数表达式是（）
A．
3
y x3
2
=-+B．
3
y x3
2
=+
A．B．C．D．
(第6题图)
A
O
x
y
O
A
B
2
3
C
．2y x 33=-+ D ．2
y x 33
=+
9、如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点， 且∠EDC ＝30°，弦EF ∥AB ，则EF 的长度为 （ ） A ．2 B ．23 C ．3 D ．22
10、已知二次函数2y ax bx c =++（其中a ＞0，b ＞0，c ＜0）， 关于这个二次函数的图象有如下说法：
①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限； ③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧。

以上说法正确的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11、若∠α＝43°，则∠α的余角的大小是 。

12、计算：23
2a （）
·4a ＝ 。

13、一个反比例函数的图象经过点P （－1，5），则这个函数 的表达式是 。

14、如图，菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝45°，则点D 的坐标为 。

15、搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管。

16、如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC ＋∠BCD ＝90 且DC ＝2AB ，分别以DA 、AB 、BC 为边向梯形外作
正方形，其面积分别为1S 、2S 、3S ，则1S 、2S 、3S 之间
（第9题图）
A
B
C E
F
D
O
(第14题图)
y x
O A
D
C (B)
图① 图② 图③
（第15题图）
1
S 2
S 3S
A
B
的关系是 。

三、解答题（共9小题，计72分。

解答应写出过程） 17、（本题满分6分） 先化简，再求值：
222a+2b 2b a b a b ＋＋－，其中a ＝－2，b ＝1
3
18、（本题满分6分）
已知：如图，B 、C 、E 三点在同一条直线上，AC
AC ＝CE
，∠ACD ＝∠B 求证：△ABC ≌△CDE
19、（本题满分7分）
下面图①、图②是某校调查部分学生是否知道母亲生日情况的扇形和条形统计图：
根据上图信息，解答下列问题：
（1
）求本次被调查学生的人数，并补全条形统计图；
（2）若全校共有2700名学生，你估计这所学校有多少名学生知道母亲的生日？
图①
道
不清
知道
选项
图②
（3）通过对以上数据的分析，你有何感想？（用一句话回答）
20、（本题满分7分）
阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜。

请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种
．．测量方案。

（1）所需的测量工具是：；
（2）请在下图中画出测量示意图；
（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x.
21、（本题满分8分）
如图，桌面上放置了红、黄、蓝三个不同颜色的杯子，杯子口朝上，我们做蒙眼睛翻杯子（杯口朝上的翻为杯口朝下，杯口朝下的翻为杯口朝上）的游戏。

（1）随机翻一个杯子，求翻到黄色杯子的概率；
（2）随机翻一个杯子，接着从这三个杯子中再随机翻一个，请利用树状图求出此时恰好有一个杯口朝上的概率。

（第20题图）
22、（本题满分8分）
生态公园计划在园内的坡地上造一片有A 、B 两种树的混合林，需要购买这两种树苗
2000棵。

种植A 、B 两种树苗的相关信息如下表：
设购买A 种树苗x 棵，造这片林的总费用为y 元。

解答下列问题： （1）写出y （元）与x （棵）之间的函数关系式；
（2）假设这批树苗种植后成活1960棵，则造这片林的总费用需多少元？
23、（本题满分8分）
如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，CB ＝12，AD 是△ABC 的角平分线，过A 、C 、D 三点的圆与斜边AB 交于点E ，连接DE 。

（1）求证：AC ＝AE ； （2）求△ACD 外接圆的半径。

（第23题图）
24、（本题满分10分）
如图，矩形ABCD 的长、宽分别为32和1，且OB ＝1，点E （3
2
，2），连接AE 、ED 。

（1）求经过A 、E 、D 三点的抛物线的表达式；
（2）若以原点为位似中心，将五边形AEDCB 放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍，请在下图网格中画出放大后的五边形A ′E ′D ′C ′B ′； （3）经过A ′、E ′、D ′三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请说明理由。

1 2 3 4 5 6 7
A
B C
E D
O
x
y
1
6 4 2 3 5
7 （第24题图）
25、（本题满分12分）
某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。

如图，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学。

点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点
M的正西方向，点D在点M的南偏西60
°的处。

为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：
方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；
方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；
方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。

综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？
图①
2014年陕西省名校中考数学试题答案
第I 卷
一、选择题：
1D 2A 3D 4C 5C 6D 7A 8A 9B 10C 二、填空题：
11、47° 12、108a 13、5
y=x － 14、（2）
15、83 16、2S ＝1S ＋3S 三、解答题：
17、解：原式＝()222
a+2b 2a b b a b
-+-（）…………………………（1分） ＝222
22
222a ab ab b b a b -+-+-……………………（2分）
＝222a ab
a b +-＝()()()a a b a b a b ++-……………………（3分）
＝
a
a b
- ……………………（4分） 当a ＝－2，b ＝1
3时，
原式＝26
1723
-=--
……………………（6分）
18、证明：∵AC ∥DE ，
∴∠ACD ＝∠D ，∠BCA ＝∠E …………………（2分） 又∵∠ACD ＝∠B ，
图②
∴∠B＝∠D ……………………（4分）
又∵AC＝CE，
∴△ABC≌△CDE ……………………（6分）
19、解：（1）∵30÷
120
360
＝90（名）
∴本次调查了90名学生。

………………………………（2分）
补全的条形统计图如下：
………………………………（4分）（2）∵2700×
36012040
360
--
＝1500（名）
∴估计这所学校有1500名学生知道母亲的生日。

…………………（6分）（3）略（语言表述积极进取，健康向上即可得分）。

…………………（7分）20、解：（1）皮尺、标杆。

………………………………（1分）
（2）测量示意图如图所示。

………………………………（3分）
（3）如图，测得标杆DE＝a，
树和标杆的影长分别为AC＝b，EF＝c ……………………（5分）
∵△DEF∽△BAC
∴
DE FE
BA CA
=
∴
a c
x b
=
∴
ab
x
c
=……………………………………（7分）
21、解：（1）P（翻到黄色杯子）＝
1
3
…………………………（3分）
道不
清
不
知
道
选项
10
30
50
学生数/名
20
40
由上面树状图可知：所有等可能出现的结果共有9种，其中恰好有一个杯口朝上的有6种， …………………………………………………………（7分） ∴P （恰好有一个杯口朝上）＝2
3
………………………………（8分）
22、解：（1）y ＝（15＋3）x ＋（20＋4）（2000－x ）＝－6x ＋48000……………（3分） （2）由题意，可得：0.95x ＋0.99（2000－x ）＝1960
∴ x ＝500 …………………………（5分） 当x ＝500时，y ＝－6×500＋48000＝45000
∴造这片林的总费用需45000元。

…………………………（8分） 23、（1）证明：∵∠ACB ＝90°，
∴AD 为直径。

…………………………（1分）
又∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴CD DE =，∴AC AE =
∴AC ＝AE …………………………（3分）
（2）解：∵AC=5，CB=12，
∴
13== ∵AE=AC=5，∴BE=AB-AE=13-5=8 ∵AD 是直径，∴∠AED=∠ACB=90°
∵∠B=∠B ，∴△ABC ∽△DBE ………………………（6分） ∴
AC BC DE BE =
，∴ DE ＝10
3
∴AD
==∴△ACD
外接圆的半径为
…………………（8分） 开始（上，上，上）
（上，上，下） （上，下，上） （下，上，上）
（上，上，上）
（上，下，下） （下，上，下）
（上，下，下） （上，上，上） （下，下，上） （下，上，下） （下，下，上） （上，上，上）
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∵A （1，
32），E （32，2），D （2，32
）…………………（1分） ∴329
32423422
a b c a b c a b c ⎧++=⎪⎪
⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩
， 解之，得265
2a b c ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-
⎩
∴过A 、E 、D 三点的抛物线的表达式为y ＝25
262
x x -+-。

………（4
分）
（2）
…………………（7分）
（3）不能，理由如下： …………………（8分） 设经过A ′、E ′、D ′三点的抛物线的表达式为y ＝2x a b x c ++′′′ ∵A ′（3，
92），E ′（92，6），D ′（6，9
2
） ∴993281
964
293662a b c a b c a b c ⎧
++=⎪⎪
⎪++=⎨⎪⎪
++=⎪⎩
′′′′
′′′′′， 解之，得23a ′＝－ 1 2 3 4 5 6 7
A
B C E D
O x y
1
6 4 2 3 5
7 （第24题图）
A ′
B ′
C ′
D ′
E ′
∵a＝－2，
2
3
a′＝－，∴a≠a′
∴经过A′、E′、D′三点的抛物线不能由（1）中的抛物线平移得到。

…（8分）
25、解：方案一：由题意可得：MB⊥OB，
∴点M到甲村的最短距离为MB。

…………………（1分）
∵点M到乙村的最短距离为MD，
∴将供水站建在点M处时，管道沿MD、MB线路铺设的长度之和最小，
即最小值为
MB+MD=3+（km）…………………（3分）
方案二：如图①，作点M关于射线OE的对称点M′，则MM′＝2ME，
连接AM′交OE于点P，PE∥AM，PE＝1
AM
2。

∵AM＝2BM＝6，∴PE＝3 …………………（4分）在Rt△DME中，
∵DE＝DM·sin60
°＝
2
＝3，ME＝
1
DM
2
＝
1
2
×=
∴PE＝DE，∴P点与E点重合，即AM′过D点。

…………（6分）
在线段CD上任取一点P′，连接P′A，P′M，P′M′，
则P′M＝P′M′。

∵A P′＋P′M′＞AM′，
∴把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA、DM线路铺设的长度之和最小，
即最小值为AD＋DM＝AM
…………
（7分）
北
东
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方案三：作点M关于射线OF的对称点M′，作M′N⊥OE于N点，交OF于点G，
交AM于点H，连接GM，则GM＝GM′
∴M′N为点M′到OE的最短距离，即M′N＝GM＋GN
在Rt△M′HM中，∠MM′N＝30°，MM′＝6，
∴MH＝3，∴NE＝MH＝3
∵DE＝3，∴N、D两点重合，即M′N过D点。

在Rt△M′DM中，DM
＝M′D
＝
在线段AB上任取一点G′，过G′作G′N′⊥
连接G′M′，G′M，
显然G′M＋G′N′＝G′M′＋G′N′＞M′D
∴把供水站建在甲村的G处，管道沿GM、GD
线路铺设的长度之和最小，即最小值为
GM＋GD＝M′D＝…………（11分）
综上，∵3＋
∴供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短。

…………（12分）
图②
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