1 矩阵表示 对偶问题 理论 影子价格

8 16 12
b
单纯形法的矩阵描述
1 0 2 x 1 1 0 8 4 0 0 x 0 0 x 3 16 5 x 0 1 4 x 2 0 1 4 12
解: 把原问题化为标准型
m axz 2 x 1 3 x 2 8 x1 2 x 2 x 3 4 x 1 x4 16 s .t. 4 x2 x 5 12 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0
单纯形法的矩阵描述
用单纯形法求解如下:
1 0 2 B3 4 0 0 0 1 4
线性规划问题的对偶问题
(Dual Problems)
1. 对偶问题的提出 (Dual Problem)
例1 某工厂用两台机器生产三种产品,有关数据如下表:
机器 I 机器 II 利润
甲(m) 1 1 2
乙(m) 1 4 3
丙(m) 1 7 11/3
8 y 1 4 y 2 2 y 3 60 6 y 2 y 1.5 y 30 1 2 3 s.t. y 1 1.5 y 2 0.5 y 3 20 y 1, y 2 , y 3 0
线性规划问题的对偶问题
对称性形式的对偶关系
m inw ( y1 0) ( y 2 0) ( y m 0) y1 y2 ym ( x1 0) x1 a11 a 21 a m1 c1 m ax z ( x 2 0) x2 a 12 a 22 am2 c2 ( x n 0) xn a 1n b1 a 2n b2 a mn bm cn
B 1 1 / 4 0 0 2 0.5 1 0.5 1 / 8 0
1 / 4 0 1 0 1 / 4 0 8 x 1 0 0 x3 x 5 2 0.5 1 0 0 2 0.5 1 16 x 4 0.5 1 / 8 0 12 x 2 0.5 1 / 8 0 0 1
x3 1 0 0 0
x4 0 1 0 0
x5 -0.5 0 1/4 -3/4
b
R
2 2 16 4 3 -9
1 0 2 B1 0 1 0 0 0 4
单纯形法的矩阵描述
迭代
XB x1 x4 x2 -z x1 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 x3 1 -4 0 -2 x4 0 1 0 0 x5 -0.5 2 1/4 1/4 b 2 8 3 -13 R 4 12
矩阵形式的单纯形表
max z C B B 1 b (C N C B B 1 N ) X N X B B 1 NX N B 1 b s.t. X B , X N 0
XB XB -z
XB I 0
XN B-1N CN - CB B-1N
b B-1b - CB B-1b
线性 CX AX b s.t. X O
min w Y T b s.t. A TY C T
练习：
m ax z 6x 1 + 8x 2 3x 1 x 2 s.t .5x 1 2x 2 x , x2 , 1
•
对称性关系
m axz 60x 1 30x 2 20x 3
8 x 1 6 x 2 x 3 48 4 x 2 x 1.5 x 20 1 2 3 s.t. 2 x 1 1.5 x 2 0.5 x 3 8 x 1 , x 2 , x 3 0
线性规划问题的对偶问题
例2 若另一工厂想要租赁这两台机器用于生产产品，那么该 工厂应该如何确定合理的租金呢？
minZ 135y1 405y 2
y1 , y2 ---- 机 器 I 与 机 器 II 的每台时的租金
s .t. y1 y 2 2 y1 4 y 2 3 y1 7 y 2 11 / 3 y1 , y 2 0.
例
m axz 2 x1 3 x 2 m ax z 2 x 1 3x 2 x1 2 x 2 8 8 x 1 2x 2 x 3 4 x1 16 4x x4 16 s.t. s.t. 1 4 x 2 12 4x 2 x 5 12 x1 , x 2 0 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0 x 1 x 1 2 1 0 0 8 2 4 0 0 1 0 0 0 0] X x 3 A b 16 0 4 0 0 1 x4 12 x 5
XB x3 x4 x5 -z x1 1 4 0 2 x2 2 0 4 3 x3 1 0 0 0 x4 0 1 0 0 x5 0 0 1 0 b 8 16 12 0 R 4 3
1 0 0 B0 0 1 0 0 0 1
迭代
XB
x3 x4 x2 -z
x1 1 4 0 2
x2 0 0 1 0
限制条件 135 405
如何组织生产，使总利润最大？ x1 , x2 , x3 ------分别生产甲、 乙、丙产品的数量
maxZ 2 x1 3 x 2 11 / 3 x 3 s.t. x1 x 2 x 3 135 x1 4 x 2 7 x 3 405 x1 , x 2 , x 3 0.
m 个约束
线性规划问题的对偶问题
例 4 求下列问题的对偶问题
maxz 2 x1 x 2 x1 x 2 2 2 x1 x 2 3 s.t. x x2 1 1 x1 0, x 2自 由 变 量
min w 2 y 1 3 y 2 y 3 y 1 2y 2 y 3 2 s.t. y 1 y 2 y 3 1 y 1自 由 变 量 y 2 0, y 3 0 ,
CN
XN
B
x 1 x m ax z [ 2 0 3] x 5 [ 0 0 ] 3 x 4 XB x 2 1 0 2 x 1 0 4 0 0 x 1 0 1 x 3 s.t. 5 x x 2 0 0 4 0 1 4 x 1 0 x x 5 0 , 3 0 . x 0 x 4 0 N 2
对偶理论与灵敏度分析
(Dual Theories and Sensitivity Analysis)
单纯形法的矩阵描述 线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 对偶问题的经济解释 对偶单纯形法 灵敏度分析
----影子价格
单纯形法的矩阵描述
(Matrices Description)
x3 x3 , x4 x4

4 7 0
线性规划问题的对偶问题
原问题与对偶问题对偶关系对照表 原 (对偶) 问题 目标函数 max z=CX n 个变量 ≥0 ≤0 自由变量 ≤ AX ≥ b = 对偶 (原) 问题 目标函数 min w=YTb ≥ n 个约束 ATY ≤ CT = ≥0 m 个变量 ≤0 自由变量
4 ?
1 ?
8 C BV B 1b [1.5 1 / 8 0] 16 14 12
单纯形法的矩阵描述
例
用单纯形法求解下述线性规划问题.
m axz 2 x 1 3 x 2 x1 2 x 2 8 4 x1 16 s .t. 4 x 2 12 x1 , x 2 0
1 0 2 B2 4 1 0 0 0 4
迭代
XB x1 x5 x2 -z x1 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 x3 x4 0 1/4 -2 0.5 0.5 -1/8 -3/2 -1/8 x5 0 1 0 0 b R 4 4 2 -14 X*=(4, 2)T z*=14
B 1a4 ?
B a5 ?
1
单纯形法的矩阵描述
CBV=[2 0 3]
0 1 / 4 0 B 1 2 0.5 1 0.5 1 / 8 0
CBVB -1=[1.5 1/8 0]
1 3 c 3 C BV B 1a3 0 [1.5 1 / 8 0] 0 1.5 0
m axz CX AX b s .t. X 0
令 A=(B N)
(LP)
A Cmn, R(A)=m .
X=(XB XN)T C=(CB CN)
可行基
相应于非基变量的系数矩阵
单纯形法的矩阵描述
max z C B X B C N X N BX B NX N b s.t. X B , X N 0
C [2 3
单纯形法的矩阵描述
XB x1 x5 x2 -z x1 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 x3 0 -2 0.5 -3/2 x4 x5 1/4 0 0.5 1 -1/8 0 -1/8 0 b 4 4 2 -14
1 0 2 B 4 0 0 0 1 4
• •
例1与例2是一个问题的两个方面 两个线性规划模型是一对对偶问题
线性规划问题的对偶问题
2. 原问题与对偶问题的关系
m ax z CX minw Y Tb AX b A TY C T s.t. X O s.t. Y O 例 3 求下列问题的对偶问题 m i n 48 y 1 20 y 2 8 y 3 w
1 0 N 0 1 0 0
XB
x 1 x 5 x 2
XN
x 3 x 4
CB=[2 0 3]
CN=[0 0]
单纯形法的矩阵描述
CB
max z 2 x 1 3x 2 8 x 1 2x 2 x 3 4x x 4 16 1 s.t. 4x 2 x 5 12 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0
1/ 4 x 1 0 4 x 3 4 x 5 2 0.5 x x 2 0.5 1 / 8 4 2
B-1 b
B-1 N
单纯形法的矩阵描述
考虑线性规划问题的标准型
单纯形法的矩阵描述
单纯形表中变量 xj 的系数列向量 ： B-1aj 单纯形表中约束方程的右端项： B-1b
单纯形表中目标函数值： CBB-1b
单纯形表中变量 xj 的检验数 ： Cj - CBB-1aj
单纯形法的矩阵描述
继续讨论上例
0 1 / 4 0 1 0 B 1a3 2 0.5 1 0 2 0. 5 1 / 8 0 0 0. 5